陳鵬林

(福建省永春第一中學(xué),福建 泉州 362601)

“解三角形”是高中數(shù)學(xué)人教A版(新課標(biāo))必修第二冊(cè)第六章第四節(jié)的知識(shí),具有較強(qiáng)的應(yīng)用性,也是平面向量和三角函數(shù)在求解三角形問(wèn)題中的綜合應(yīng)用,其本身不僅僅與日常生產(chǎn)生活問(wèn)題有著緊密的聯(lián)系,同時(shí),也是高考一個(gè)重要且必考的考點(diǎn).在近幾年的高考中,經(jīng)常考查到解三角形的范圍問(wèn)題,但難度適中,屬中檔題型,學(xué)生是可以在這道題上爭(zhēng)取拿高分的.因此,在選擇訓(xùn)練題上應(yīng)注重如下這三點(diǎn):第一,在基礎(chǔ)題型上,要強(qiáng)化基礎(chǔ),抓綱務(wù)本,落實(shí)通法;第二,在難點(diǎn)題型上,要立足教材,突出方法,分級(jí)達(dá)標(biāo);第三,在易錯(cuò)題型上,要變式呈現(xiàn),舉一反三,強(qiáng)化提升.

1 考題再現(xiàn),發(fā)現(xiàn)障礙

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

命題意圖本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(平方關(guān)系)、余弦定理以及三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力及方程思想,屬于中檔題[1].

所以sinB=4(1-cosB).

因?yàn)閟in2B+cos2B=1,

所以16(1-cosB)2+cos2B=1.

所以(17cosB-15)(cosB-1)=0.

利用余弦定理得

=(a+c)2-2ac-15=4.

所以b=2.

解決該題時(shí),雖然學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的一些知識(shí),但是對(duì)于如何準(zhǔn)確使用正、余弦定理來(lái)求解三角形還存在障礙,許多學(xué)生對(duì)于求解三角形中的邊角關(guān)系和周長(zhǎng)面積以及最值(范圍)問(wèn)題產(chǎn)生畏懼心理.下面,通過(guò)該題的多道變式題,可以高效地幫助學(xué)生突破這一障礙.

2 變式延伸,揭示規(guī)律

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求△ABC的周長(zhǎng)．

分析該題是將第(2)小題改為求周長(zhǎng)問(wèn)題．本題只要在第(2)小題求出b=2后,再利用周長(zhǎng)公式l=a+b+c即可求出周長(zhǎng)為8．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,求△ABC的面積.

分析該題是把第(2)小題的條件和結(jié)論對(duì)換．

(2)利用余弦定理,得

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值．

分析該題是在第(2)小題中刪除了一個(gè)已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求面積的最值問(wèn)題．

故△ABC的面積的最大值為4.

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

分析該題與變式4一樣,也是在第(2)小題中刪除了一個(gè)已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求周長(zhǎng)的取值范圍．

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

分析該題是在變式5的基礎(chǔ)上,增加了一個(gè)條件:銳角三角形.這樣,角A的范圍發(fā)生了改變,從而三角形的周長(zhǎng)范圍也跟著改變了.

幾個(gè)變式題的設(shè)計(jì)都是稍微改變了條件,并難度逐步遞進(jìn),激發(fā)了對(duì)知識(shí)的渴望,因此我們可以更好地總結(jié)解決此類問(wèn)題的方法,并了解如何正確選擇正弦和余弦定理來(lái)解決三角形中的周長(zhǎng)、面積和最大值問(wèn)題.達(dá)到突出重點(diǎn)和解決難點(diǎn)的目的.

對(duì)于變式4和變式5,可以采用均值不等式,但變式5只能夠確定“a+c”右側(cè)的范圍,對(duì)于另外一側(cè)的范圍,多數(shù)學(xué)生忽略了“兩邊之和大于第三邊”這一隱藏條件,從而漏解.通過(guò)變式6進(jìn)一步深入探討和研究,發(fā)現(xiàn)用正弦定理就可以解決這一問(wèn)題.我們還可創(chuàng)設(shè)一個(gè)新的問(wèn)題: “求“a-c”的范圍”讓學(xué)生思考.由此可見(jiàn),解決三角形中的(范圍)問(wèn)題的通法是正弦定理.當(dāng)然,應(yīng)該還會(huì)有一些學(xué)生由于沒(méi)有觀察到角的范圍,導(dǎo)致解錯(cuò).

3 結(jié)束語(yǔ)

解三角形是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn),需要在掌握基礎(chǔ)題型的前提下,逐步拓展到難點(diǎn)題型和易錯(cuò)題型.通過(guò)針對(duì)性的訓(xùn)練和提升自己的解題能力,就可以在高考中取得優(yōu)異的成績(jī).因此,在總復(fù)習(xí)中,建議學(xué)生應(yīng)該對(duì)解三角形問(wèn)題進(jìn)行題型選擇并總結(jié)歸納,具體解題過(guò)程中需要根據(jù)題目類型和已知條件靈活應(yīng)用和調(diào)整解題步驟與方法,同時(shí)也可以參考高考數(shù)學(xué)熱門(mén)考點(diǎn)清單等資料,來(lái)更好地掌握相關(guān)題型的學(xué)習(xí)方法和解題技巧.總之,要在高考總復(fù)習(xí)中提高解決問(wèn)題的能力,需要注重解題思路的分析和解題技巧的掌握.本文從一道解三角形綜合問(wèn)題入手,通過(guò)一題多變的形式,達(dá)到擴(kuò)展發(fā)散思維,通過(guò)問(wèn)題的辨析與探究,真正體會(huì)選擇正弦定理、余弦定理在求解三角形的最值(范圍)中的運(yùn)用.同時(shí),避免深陷“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全以及全而不準(zhǔn)”的尷尬境地,真正實(shí)現(xiàn)由一題多變突破解三角形的解題障礙的最終目標(biāo).