盧會玉

(西北師范大學(xué)附屬中學(xué),甘肅 蘭州 730070)

自新高考施行以來,有很多學(xué)生吐槽數(shù)學(xué)題通常都是“滿紙的不超綱,但就是不正常說話!”不難發(fā)現(xiàn),命題者是想通過改變固定的命題模式,指導(dǎo)教師和學(xué)生實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)變:從解題到解決問題的轉(zhuǎn)變;從死板的刷題到培養(yǎng)思維的轉(zhuǎn)變[1].這是在大力推行核心素養(yǎng)的背景下進行的一次具有革命性的變化!2023年新高考Ⅰ卷第22題讓我們再一次感受到了數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的重要性,下文從三角函數(shù)、直線的參數(shù)方程等五種不同的角度對該題進行了解析.

1 試題呈現(xiàn)

(1)求W的方程;

2 試題解析

2.1 第(1)問解析

解析設(shè)動點P(x,y),則由題意可得

2.2 第(2)問解析

解法1 (利用三角函數(shù)和放縮法解題)不妨設(shè)A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.因為此時AB⊥AD,則設(shè)AB的傾斜角為θ,所以AD的傾斜角為90°+θ.

由拋物線和矩形的對稱性,不妨設(shè)0<θ≤45°.

所以xA+xB=tanθ.則xB=tanθ-xA.

所以矩形ABCD的周長為

因為0<θ≤45°,所以0

解法2(利用直線參數(shù)方程和放縮法解題)不妨設(shè)A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

因為此時AB⊥AD,則設(shè)AB的傾斜角為θ,所以AD的傾斜角為90°+θ.

直線AD的參數(shù)方程為

t2cos2θ+t(2mcosθ-sinθ)=0.

以下同解法1.

解法3(利用常規(guī)根與系數(shù)關(guān)系和放縮法解題)不妨設(shè)A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

所以xA+xB=k,則xB=k-xA,

所以矩形ABCD的周長為

又由拋物線和矩形的對稱性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

又根據(jù)|a|+|b|≥|a+b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時取等號),

解法4(利用常規(guī)根與系數(shù)關(guān)系和分段函數(shù)解題)不妨設(shè)A,B,D在W上,顯然矩形ABCD每條邊所在直線的斜率都存在.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,

Δ=k2+4m-1>0,

所以xA+xB=k,則xB=k-xA,

由拋物線和矩形的對稱性可知,-1≤k≤1,k≠0,不妨使0

以下同解法3.

即(x1-x2)(x1-x3)+(y1-y2)(y1-y3)=0.

所以1+(x1+x2)(x1+x3)=0.

即(x1+x2)(x1+x3)=-1.

所以矩形ABCD的周長為

因為(x1+x2)(x1+x3)=-1,

所以不妨設(shè)(x1+x2)2≤(x1+x3)2,

所以2(|AB|+|AD|)

當(dāng)且僅當(dāng)x2+x3=2x1時取等號.

又根據(jù)|a|+|b|≥|a-b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時取等號),

令m=x1+x2,由(x1+x2)(x1+x3)=-1,可不妨設(shè)m∈(0,1],

以下同解法3.

3 結(jié)束語

不難發(fā)現(xiàn),以上五種方法有一個共同的特點,就是都利用了不等式性質(zhì)進行了放縮運算,達到了減少變量的目的,最后基本都變換為一個利用函數(shù)單調(diào)性求最值的問題. 所以,遇到思維量較大的題目,我們一定要有明確的目標(biāo),有的放矢.