張博倫， 于 濤

（遼寧工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧錦州 121001）

0 引言

隨著智能化時(shí)代到來，工業(yè)機(jī)器人的應(yīng)用愈加廣泛，軌跡規(guī)劃是其中重要一環(huán)[1]。

軌跡規(guī)劃是工業(yè)機(jī)器人的基礎(chǔ)， 其性能對(duì)工業(yè)機(jī)器人工作效率、運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和能量消耗具有重大影響，如機(jī)器人在點(diǎn)動(dòng)時(shí)末端抖動(dòng)造成的機(jī)器人角加速度不連續(xù)、運(yùn)動(dòng)精度降低、軌跡偏移等問題，甚至由于沖擊導(dǎo)致機(jī)械部件損壞[2-3]。

目前常見的軌跡規(guī)劃方法主要有直線插補(bǔ)、 多項(xiàng)式曲線插補(bǔ)、S 型曲線插補(bǔ)、B 樣條插補(bǔ)等方法[4]。 各種方法各有優(yōu)劣，如B 樣條插補(bǔ)方法的計(jì)算量大，多項(xiàng)式軌跡規(guī)劃方法次數(shù)較高時(shí)容易出現(xiàn)龍格現(xiàn)象， 直線插補(bǔ)方法獲得的軌跡曲線速度不連續(xù)， 帶拋物線過渡的直線插補(bǔ)方法獲得的軌跡曲線加速度不連續(xù)易產(chǎn)生抖震問題[5-6]。

本文以六自由度的UR10 機(jī)器人為研究對(duì)象，參考帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法提出一種新的軌跡規(guī)劃方法，使其可以有效改善沖擊對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)的影響，并通過MATLAB 進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 軌跡規(guī)劃方法的分析與構(gòu)造

1.1 對(duì)帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃的分析

在工業(yè)機(jī)器人的控制中， 為避免直接進(jìn)行線性插值導(dǎo)致起終值點(diǎn)關(guān)節(jié)速度不連續(xù)，常使用拋物線進(jìn)行過渡，可有效使直線插補(bǔ)軌跡規(guī)劃獲得連續(xù)速度[7]。 但是單純使用拋物線過渡的軌跡規(guī)劃方法同樣導(dǎo)致關(guān)節(jié)加速度突變時(shí)對(duì)其產(chǎn)生一定沖擊， 使得該方法在沖擊影響不可忽視的場(chǎng)景下的適用性受到極大影響[8-9]。 如圖1 所示為應(yīng)用該方法對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)進(jìn)行軌跡規(guī)劃時(shí)關(guān)節(jié)角度與角加速度典型的曲線圖[10]。

圖1 帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃角度、角加速度圖像

機(jī)械臂關(guān)節(jié)在tk時(shí)刻角加速度突變， 產(chǎn)生極大的角加加速度，對(duì)關(guān)節(jié)產(chǎn)生沖擊。此時(shí)需要考慮沖擊對(duì)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)及使用壽命等的影響， 判斷該軌跡規(guī)劃方法是否適用于機(jī)械臂當(dāng)前的應(yīng)用場(chǎng)景。

1.2 二三次多項(xiàng)式曲線混合過渡的構(gòu)造

為降低帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃中沖擊的影響， 可在其拋物線階段與線性插值階段過渡節(jié)點(diǎn)的鄰域內(nèi)增加一段三次多項(xiàng)式過渡， 使軌跡規(guī)劃曲線在獲得平滑的角度、角速度的同時(shí)，保證角加速度連續(xù)，進(jìn)而削弱沖擊造成的影響。該方案可被稱為“帶二三次多項(xiàng)式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃”，其角度、角速度、角加速度及角加加速度曲線如圖2 所示。

圖2 帶二三次多項(xiàng)式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃角度、角速度、角加速度及角加加速度示意圖

圖中tb時(shí)刻為三次多項(xiàng)式與二次多項(xiàng)式銜接時(shí)刻，tc時(shí)刻為二次多項(xiàng)式與線性插值銜接時(shí)刻。其中tm=tf/2，tn=tc/2。

根據(jù)tc時(shí)刻速度連續(xù)，有：

角度值θc：

將式（1）、式（2）與式（3）聯(lián)立，且有θm=θf/2，得：

求解式（4）得

為保證tc≤tf/2，需滿足：

此時(shí)tc必有實(shí)解。

為保證tb≤tc/2，需滿足：

當(dāng)式（6）取等時(shí)，線性段消失，路徑完全由三次多項(xiàng)式與二次多項(xiàng)式構(gòu)成。

當(dāng)式（7）取等時(shí)，二次段消失，路徑完全由三次多項(xiàng)式與線性段構(gòu)成。

當(dāng)tb=0，即加加速度無限大時(shí)，該軌跡規(guī)劃方案退化為帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃。

2 推導(dǎo)軌跡方程

帶二三次多項(xiàng)式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃可將軌跡方程分為七段，現(xiàn)用θ（1）～θ（7）對(duì)七段軌跡進(jìn)行表示。其中tb在滿足tb≤tf/4 的條件下適當(dāng)選取，tc由式 （5）得出，在式（6）與式（7）所得出的上下限內(nèi)選取，。

2.1 第一段曲線

當(dāng)0≤t≤tb時(shí)，角加速度增大，軌跡曲線為三次多項(xiàng)式：

有邊界約束條件：

將式（9）代入式（8）解得軌跡曲線系數(shù)：

2.2 第二段曲線

當(dāng)tb≤t≤tc-tb時(shí)，角加速度保持，軌跡曲線為二次多項(xiàng)式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（11）代入式（10）解得軌跡曲線系數(shù)：

2.3 第三段曲線

當(dāng)tc-tb≤t≤tc時(shí)，角加速度降低，軌跡曲線為三次多項(xiàng)式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（13）代入式（12）解得軌跡曲線系數(shù)：

2.4 第四段曲線

當(dāng)tc≤t≤tf-tc時(shí)，該階段為線性段，軌跡曲線為：

為保證角度與速度連續(xù)，有約束條件：

將式（15）代入式（14）解得軌跡參數(shù)：

2.5 第五段曲線

當(dāng)tf-tc≤t≤tf-tc+tb時(shí)，角加速度增加，軌跡曲線為三次多項(xiàng)式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（17）代入式（16）解得軌跡參數(shù)：

2.6 第六段曲線

當(dāng)tf-tc+tb≤t≤tf-tb時(shí)，角加速度保持，軌跡曲線為二次多項(xiàng)式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（19）代入式（18）解得軌跡參數(shù)

2.7 第七段曲線

當(dāng)tf-tb≤t≤tf時(shí)有，角加速度降低，軌跡曲線為三次多項(xiàng)式：

為保證角度、速度與加速度連續(xù)，有約束條件：

將式（21）代入式（20）解得軌跡參數(shù)

可得出，在七段軌跡中，關(guān)節(jié)產(chǎn)生的最大角速度：

最大角加速度：

3 在機(jī)械臂軌跡規(guī)劃中的應(yīng)用

本文選用丹麥優(yōu)奧機(jī)器人公司生產(chǎn)的UR10 機(jī)器人為研究對(duì)象，其技術(shù)參數(shù)如下：有六個(gè)自由度，有效負(fù)載約10kg，有效工作半徑為1300mm，所有關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍是±360°，均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)[11]。該機(jī)械臂各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系及D-H參數(shù)如圖3 及表1 所示。

表1 UR10 機(jī)械臂D-H 參數(shù)表

圖3 UR10 的各關(guān)節(jié)坐標(biāo)系

六個(gè)關(guān)節(jié)的啟停時(shí)刻的角度如表2 所示。 時(shí)間設(shè)置為4s，指定啟停時(shí)刻角速度、角加速度均為0，則針對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)分別應(yīng)用帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法和二三次多項(xiàng)式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法針對(duì)關(guān)節(jié)角度與角加速度的仿真結(jié)果如圖4 與圖5 所示。各關(guān)節(jié)角度與角加速度分別用θ1～θ6、α1～α6表示，虛線部分為帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法，實(shí)線部分為本文方法。

表2 關(guān)節(jié)啟停時(shí)刻角度

圖4 各關(guān)節(jié)角度變化曲線

圖5 各關(guān)節(jié)加速度變化曲線

由圖4 可知，兩種方法在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)間運(yùn)行時(shí)間基本一致，且由初始值逐漸變化至終止值，軌跡規(guī)劃均符合要求。

由圖5 可知， 若采用帶有拋物線過渡的線性插值方法， 在加速階段與速度保持階段的過渡時(shí)刻加速度會(huì)產(chǎn)生跳變，對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)造成較大沖擊。本文方法則通過增加三次曲線過渡，使加速度連續(xù)變化，減弱了沖擊對(duì)關(guān)節(jié)的影響。

4 結(jié)論

本文針對(duì)帶有拋物線過渡的線性插值方法在拋物線段與線性段銜接時(shí)刻加速度產(chǎn)生跳變， 對(duì)關(guān)節(jié)產(chǎn)生過大沖擊的問題， 提出了二三次多項(xiàng)式混合過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法，并推導(dǎo)出了該方法的軌跡方程參數(shù)，給出了其相關(guān)參數(shù)的選取建議。 雖然本文給出方法相對(duì)帶拋物線過渡的線性插值軌跡規(guī)劃方法提升了軌跡方程的復(fù)雜度， 但是有效降低了軌跡規(guī)劃中沖擊對(duì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)的影響，為軌跡規(guī)劃方案的的創(chuàng)新提供了思路。