蔡麗江

（廣州華商學(xué)院 廣東 廣州 510030）

0 引言

轉(zhuǎn)子葉片用陶瓷材料可作為旋轉(zhuǎn)中心剛體—柔性梁結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)研究，在熱環(huán)境下高速旋轉(zhuǎn)的葉片所承受的熱應(yīng)力以及旋轉(zhuǎn)剛體運動與柔性梁變形耦合作用對葉片的工作強度會產(chǎn)生很大的影響［1－3］。 本文針對具有內(nèi)冷通道且截面尺寸不一致的旋轉(zhuǎn)中心剛體—梯度功能材料柔性梁在熱環(huán)境下的動力學(xué)特性進行了研究，先后分析了物理彎曲引起的非線性耦合變形量和外高溫、內(nèi)冷卻條件下柔性梁的溫度場分布，并通過計算機仿真說明了葉片陶瓷材料的實際動力學(xué)特征。

1 功能梯度陶瓷材料模型建立

具有內(nèi)冷通道的旋轉(zhuǎn)中心剛體—FGM 柔性梁模型如圖1 所示。 中空的柔性梁安裝在圓形橫截面的中心剛體上，中心剛體半徑為R，圍繞Z 軸高速旋轉(zhuǎn)，O－XYZ是模型運動的慣性坐標系。τ為驅(qū)動系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)的外部作用力的力矩，l為柔性梁長度，he（x）為梁的橫截面高度，be（x）梁的橫截面寬度，內(nèi)冷通道即中控部分的高度和寬度分別為hi（x）和bi（x）。

圖1 旋轉(zhuǎn)中心剛體－FGM 柔性梁模型

柔性梁的外表面兩側(cè)采用的是耐高溫陶瓷材料，且由外到內(nèi)材料按照冪律漸變?yōu)榻饘?，具體的材料梯度分布形式如式（1）所示。

具體的參數(shù)取值分別為am＝2.3×10－5，Km＝204，ρm＝2.707×103kg／m3，Em＝7.0×1011Pa，ac＝1.0×10－5，Kc＝209，ρc＝3.0×103kg／m3，Ec＝1.51×1011。

1.1 熱傳導(dǎo)方程

本文的研究基于轉(zhuǎn)子葉片在相對穩(wěn)定高溫條件下的動力學(xué)特性，因此將外部溫度T1和內(nèi)冷溫度T0設(shè)定為恒定值，由此柔性梁的熱傳導(dǎo)方程可表示為式（2）所示。

假定橫向?qū)ΨQ面兩側(cè)實心處的溫度為T0，那么實心部分的邊界條件即如式（3）所示。

式（2）與式（3）相結(jié)合可得到實心部分的溫度分布函數(shù)如式（4）所示。

1.2 動力學(xué)方程

針對柔性梁的物理變形所建立的浮動坐標系o′xyz如圖2 所示。 該坐標系中o′x軸與慣性坐標系OX軸的夾角為θ，由于FGM 梁沿厚度方向材料的冪律漸變，所以柔性梁的熱傳導(dǎo)系數(shù)k（y）、熱膨脹系數(shù)a（y）、材料密度ρc（y）、彈性模量E（y）均為以y為自變量的函數(shù)。

圖2 FGM 梁浮動坐標系

在圖2 中，柔性梁發(fā)生變形后其任意一點p在浮動坐標系中的矢量半徑表達式如式（5）所示。

2 計算機仿真分析

2.1 已知大范圍運動

葉片處于加速旋轉(zhuǎn)和勻速運轉(zhuǎn)交替的工作狀態(tài)，本文首先對已知葉片轉(zhuǎn)速變化規(guī)律的旋轉(zhuǎn)中心剛體—FGM 柔性梁系統(tǒng)特性進行分析。 在大范圍運動已知的條件下系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動角速度變化規(guī)律可由式（6）所示：

式（6）中，ω0＝4 rad／s，Tt＝15 s，即加速旋轉(zhuǎn)15 s 后梁的轉(zhuǎn)動角速度達到4 rad／s，自此開始角速度維持不變。

建立3 種不同形式的簡化葉片模型，即等截面實心梁（equal section solid beam，ESSB） 模型、等截面空心梁（equal section hollow beam，ESHB）模型、變截面空心梁（tapered hollow beam，THB）模型。 對這3 種模型的動力學(xué)特征進行對比。

以上3 種模型的尺寸數(shù)據(jù)如下：

（1）ESSB：L＝8 m，b1＝1.985 9 mm，h1＝3.675 9 cm；

（2）ESHB：L＝8 m，be＝2.808 5 mm，he＝5.198 5 cm，Bi＝1.985 9 mm，hi＝3.675 9 cm，gi＝0.293；

（2）THB：L＝8 m，be＝3.439 7 mm，he＝6.366 8 cm，Bi＝1.985 9 mm，hi＝3.675 9 cm，gi＝0.634。

當(dāng)N與ΔT均為0 時，整個柔性梁均為陶瓷材料且不受熱，為了證明本文的建模方法是正確的，設(shè)定Qc＝Qm并進行仿真，圖3 為仿真結(jié)果，通過與杜超凡等［4］的對比兩者的結(jié)果是一致的。

圖3 模型驗證仿真實驗結(jié)果

大范圍運動已知條件下3 種葉片模型尾部變形情況如圖4 所示。 由圖4（a）可見，等截面實心梁的尾部變形量最大，其次為等截面空心梁，與葉片實際結(jié)構(gòu)接近的變截面空心梁尾部變形量最小。 由圖4（b）可見，在大范圍旋轉(zhuǎn)角速度維持不變的狀態(tài)下，柔性梁產(chǎn)生固定周期的振動，其中頻率最高、振幅最小的是變截面空心梁，頻率最低、振幅最大的是等截面實心梁。 由此說明柔性梁的結(jié)構(gòu)對其動力學(xué)特性具有較大影響，因此必須根據(jù)實際結(jié)構(gòu)創(chuàng)建系統(tǒng)模型。

圖4 大范圍運動已知條件下梁尾部變形情況

大范圍運動已知條件下承受不同熱沖擊時柔性梁尾部變形情況如圖5 所示。 由圖5（a）可見，柔性梁內(nèi)外部溫差越大，其尾部的變形量越小，這是因為高溫一側(cè)的陶瓷材料熱膨脹系數(shù)低，而溫度相對較低的一側(cè)金屬材料膨脹系數(shù)高，且柔性梁的梯度材料分布是對稱的，從而抑制了梁的橫向彎曲變形，抑制能力也隨著溫差的增大而持續(xù)增強。 由圖5（b）可見，大范圍運動維持不變時柔性梁內(nèi)外溫差越大，熱沖擊的影響越明顯，主要表現(xiàn)為梁的振動頻率升高、周期變短，同時會產(chǎn)生高頻振蕩，而且抑制強度越高振動的幅度越大。

圖5 不同熱沖擊作用時梁尾部橫向總變形情況

設(shè)定柔性梁內(nèi)外溫差為ΔT＝300 K，在此條件下變截面空心梁尾部變形量及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)受到功能梯度指數(shù)N的實際影響如圖6 所示。 由圖6（a）可見，柔性梁尾部的變形量會隨著功能梯度指數(shù)N的遞增而變大，且當(dāng)N＜10 變化量較大，之后N繼續(xù)增大時變形量僅發(fā)生較小的增長變化。 由圖6（b）可見，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)過程中振幅的變化是非線性的，隨著N的遞增振幅先增大后減小之后又持續(xù)增大，曲線的拐點分別為N＝3 和N＝7。

圖6 N 的變化對梁尾部變形情況的影響

2.2 未知大范圍運動

渦輪葉片工作過程中是在外力的驅(qū)動下旋轉(zhuǎn)的，因此需要針對已經(jīng)外力矩的狀態(tài)進行動力學(xué)研究。 以時間為變量的外力矩函數(shù)表達式為式（7）所示［5］：

式（7）中，Tt＝10 s，τ0＝1N·m。

對于ESSB、ESHB、THB 這3 種模型，排除熱沖擊影響的大范圍運動未知狀態(tài)下的柔性梁尾部橫向彎曲變形情況進行數(shù)據(jù)分析。 3 種柔性梁尾部變形量的差別相對于大范圍運動已知狀態(tài)下的變形量差別是一致的，ESSB 的尾部變形量最大，THB 的最小。 外力矩消失后，柔性梁開始周期性地持續(xù)振動，其中ESSB 的振動頻率最低、振幅最大，而THB 的振動頻率最高、振幅最小。

在大范圍運動未知狀態(tài)下，施加驅(qū)動力的外力矩較小，因此熱沖擊的驅(qū)動作用不能被忽略，實際上，此時葉片的旋轉(zhuǎn)作用力是外力矩和熱沖擊作用耦合施加的，因此該狀態(tài)下柔性梁尾部的變形應(yīng)基于這種耦合作用進行研究。由此可見，由于溫度場的作用柔性梁的變形產(chǎn)生了高頻振蕩，而且溫度越高振蕩幅度越大。 此時，梁的振動已不再呈現(xiàn)周期性，隨著時間的推進，在熱沖擊的耦合作用下變形量會持續(xù)增大。

分析不同熱沖擊作用時大范圍運動狀態(tài)下中心剛體的角位移時程能夠進一步分析計入熱沖擊作用后柔性梁不再進行周期性振動的原因。 隨著內(nèi)外溫差的升高，外力矩消失后中心剛體旋轉(zhuǎn)角位移的變化幅度有所增加，因此Tt＞10 s 后運動響應(yīng)開始波動，且隨著時間的推進振動愈加劇烈。 在大范圍運動未知狀態(tài)下外力矩與熱沖擊作用耦合驅(qū)動系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)，熱力耦合使得運動的初始階段就產(chǎn)生了高頻振蕩，即使撤去外力矩，在熱沖擊的作用下柔性梁仍保持了這種高頻振蕩的狀態(tài)，而且振幅有所增加，并帶動了剛體隨之旋轉(zhuǎn)，由此剛?cè)釤狁詈闲?yīng)開始出現(xiàn)。

設(shè)定內(nèi)外溫差ΔT＝2 K，分析隨著外力矩τ0的增加THB 尾部橫向彎曲變形情況。 隨著τ0的增加，熱沖擊作用所引發(fā)的振蕩效應(yīng)逐漸變?nèi)?，Tt＞10 s 后大范圍運動保持穩(wěn)定振蕩也隨之逐漸平穩(wěn)，如果增大外力矩?zé)釠_擊作用的影響會有所減小。 設(shè)定內(nèi)外溫差ΔT＝2 K，對功能梯度指數(shù)N對梁尾部橫向彎曲變形的影響進行數(shù)值仿真分析。 柔性梁尾部變形量會隨著N的遞增而增大。 此時的高頻振蕩是在熱沖擊與彈性變形的耦合作用下產(chǎn)生的，N的變化改變了柔性梁的材料結(jié)構(gòu)，進而改變了其振型與固有頻率，分析可知，N增加到10 時外部作用對柔性梁的變形振蕩影響較小。

3 結(jié)語

本文對旋轉(zhuǎn)中心剛體—功能梯度材料梁剛?cè)釤狁詈蟿恿W(xué)特性進行了研究。 基于物理變形研究了不同結(jié)構(gòu)形式下柔性梁的動力學(xué)特性，對大范圍運動已知狀態(tài)下熱沖擊作用對梁的變形所產(chǎn)生的影響進行了分析，說明了大范圍運動未知狀態(tài)下熱沖擊與彈性變形結(jié)合的剛?cè)狁詈献饔脤θ嵝粤核a(chǎn)生的振蕩效應(yīng)。 本次研究深入分析了高速旋轉(zhuǎn)的中心剛體—FGM 梁的剛?cè)釤狁詈蟿恿W(xué)特性，對于陶瓷材料轉(zhuǎn)子葉片在高溫狀態(tài)下的運動強度研究具有一定的參考價值。