李建國(guó)，徐國(guó)勝

（1.天津職業(yè)大學(xué)機(jī)械工程實(shí)訓(xùn)中心，天津 300410；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)工程實(shí)訓(xùn)中心，天津 300222）

0 前言

螺旋錐齒輪以其傳動(dòng)效率高、承載能力強(qiáng)、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平穩(wěn)、噪聲低等優(yōu)點(diǎn)，已成為機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中不可或缺的關(guān)鍵部件。由于螺旋錐齒輪傳動(dòng)的運(yùn)行振動(dòng)隨著機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)功率的增大而增大，對(duì)高接觸比螺旋錐齒輪進(jìn)行齒面修形和動(dòng)態(tài)分析，以減小其運(yùn)行振動(dòng)，對(duì)提高機(jī)械動(dòng)力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)水平具有重要意義［1-2］。

學(xué)者們針對(duì)降低螺旋錐齒輪副的振動(dòng)特性開(kāi)展了大量研究。王星等人［3］基于局部綜合方法，對(duì)準(zhǔn)雙曲面齒輪傳動(dòng)的加工參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，以提高齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性為目標(biāo)，提出了加工參數(shù)優(yōu)化的遺傳算法，降低了齒輪副的載荷傳遞誤差。張衛(wèi)青等［4］建立了螺旋錐齒輪的共軛齒面，根據(jù)螺旋錐齒輪的齒形設(shè)計(jì)，提出了曲面設(shè)計(jì)的插值算法，通過(guò)實(shí)例及齒輪接觸分析對(duì)該方法進(jìn)行了驗(yàn)證，表明螺旋錐齒輪具有良好的傳動(dòng)特性。余佳豪等［5］通過(guò)有限元仿真研究了單齒面磨損和全齒磨損情況螺旋錐齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，結(jié)果表明單齒磨損與錐齒輪動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差呈現(xiàn)正弦關(guān)系，而全齒磨損則與錐齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)誤差呈線性關(guān)系。嚴(yán)宏志等［6］通過(guò)有限元分析方法研究了螺旋錐齒輪副在不同載荷下的振動(dòng)響應(yīng)特性，結(jié)果表明載荷與振動(dòng)加速度幅值呈近似反比關(guān)系，該研究成果為螺旋錐齒輪的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了有效的理論支撐。張衛(wèi)青等［7］針對(duì)螺旋錐齒輪的修形，通過(guò)有限元模型研究了不同修形量與傳動(dòng)性能的關(guān)系，建立了基于高階切齒運(yùn)動(dòng)的修形優(yōu)化算法，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法能有效提高螺旋錐齒輪的傳動(dòng)特性。耿龍龍等［8］建立了螺旋錐齒輪螺旋加工的數(shù)學(xué)模型，對(duì)齒面進(jìn)行了點(diǎn)離散，在此基礎(chǔ)上研究了修形加工參數(shù)對(duì)齒面偏差的影響以及動(dòng)力學(xué)特性，通過(guò)仿真表明所提模型的合理性。

上述研究為改善高接觸比螺旋錐齒輪的動(dòng)態(tài)特性提供了參考。本文作者在前述研究成果的基礎(chǔ)上，提出一種降低載荷傳遞誤差和嚙合沖擊的齒面修形方法。采用輔助齒面修形（Auxiliary Tooth Surface Modification，ATSM）方法生成高階修形螺旋錐齒輪，建立了降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊的優(yōu)化模型。通過(guò)比較二階和高階修形螺旋錐齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊，驗(yàn)證了所提方法的有效性。仿真結(jié)果表明：該方法可以降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差和嚙合沖擊，并能顯著提高高接觸比齒輪副在全速范圍內(nèi)的動(dòng)態(tài)特性。

1 基于Ease-off 的高階目標(biāo)曲面模型

根據(jù)高接觸比齒輪的嚙合特性［9］，建立了如圖1所示的高階傳輸誤差曲線，其上有7 個(gè)嚙合控制點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)G分別為嚙合齒接觸或脫離接觸的位置，點(diǎn)D是參考點(diǎn)，φ1i（i＝A，B，…，G）為齒輪在嚙合點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，對(duì)應(yīng)的TE 為δi（i＝A，B，…，G），λj（j＝1，2，3，4）用于控制嚙合點(diǎn)的位置。

圖1 高階傳輸誤差曲線Fig.1 Higher-order transmission error curve

假設(shè)控制點(diǎn)的小齒輪旋轉(zhuǎn)角度為

式中：CR為接觸比；TZ表示嚙合周期。根據(jù)預(yù)先設(shè)計(jì)的高階傳輸誤差和接觸模式［10］，得到滿足功能要求的小齒輪Ease-off 目標(biāo)面［11］，如圖2（a）所示。為形象地顯示高階目標(biāo)面，建立圖2（b）所示的二階目標(biāo)表面，兩個(gè)目標(biāo)面的傳輸誤差曲線嚙合點(diǎn)幅值是相同的。

圖2 小齒輪Ease-off 目標(biāo)表面Fig.2 Pinion Ease-off target surfaces：（a）higher-order target surface；（b）second-order target surface

2 小齒輪齒面數(shù)學(xué)模型

假設(shè)原小齒輪機(jī)的參數(shù)設(shè)置已知，切削錐的位置矢量為

其中：Rp為刀具半徑；sp、θp為刀盤(pán)參數(shù)；α1為齒形角。

圖3 為刀盤(pán)與小齒輪的坐標(biāo)系，其中S1與小齒輪連接，Sp與刀盤(pán)連接。?p表示托架旋轉(zhuǎn)角；?1為小齒輪旋轉(zhuǎn)角；sr1為刀具半徑；q1為初始托架初始角度；Em1為垂直偏移量；Xb1為滑動(dòng)底座進(jìn)給量；XG1為機(jī)床中心到后部的增量；γ1表示工件安裝角。

圖3 刀盤(pán)與小齒輪的坐標(biāo)系示意Fig.3 Schematic of coordinate system of cutter head and pinion

為實(shí)現(xiàn)螺旋錐齒輪傳動(dòng)的復(fù)雜側(cè)面修形，將ATSM 方法引入到小齒輪齒面設(shè)計(jì)中，利用數(shù)控機(jī)床的優(yōu)點(diǎn)，在切削過(guò)程中，刀具參數(shù)和原機(jī)床設(shè)置不變，但ATSM 運(yùn)動(dòng)是可以改變的，Em1和XG1以高階多項(xiàng)式［12］表述為

其中：ai和bi（i＝1，2，3，…，8）表示多項(xiàng)式系數(shù)；E0和X0表示初始設(shè)置；φ10＝φ1-φ0，φ0為齒輪在齒面控制點(diǎn)處的嚙合角度。小齒輪修正齒面位置矢量r1為

則在離散點(diǎn)處，Ease-off 目標(biāo)表面和小齒輪修正齒表面之間的偏差為

其中：pi和表示修正齒面和目標(biāo)面上離散點(diǎn)的位置向量；ni表示小齒輪修正齒面上離散點(diǎn)的單位法向量。最后，以ATSM 方法的多項(xiàng)式系數(shù)作為優(yōu)化模型的優(yōu)化變量，第一個(gè)目標(biāo)為

3 動(dòng)力響應(yīng)分析

3.1 載荷傳遞誤差激勵(lì)分析

采用齒輪承載接觸分析法得到的載荷傳遞誤差是螺旋錐齒輪傳動(dòng)運(yùn)行振動(dòng)的主要激勵(lì)之一。齒輪承載接觸分析利用計(jì)算機(jī)模擬齒輪的嚙合性能［13］，齒輪承載接觸分析模型如圖4 所示。通過(guò)求解基于力平衡條件和變形協(xié)調(diào)方程建立的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，得到了齒輪在載荷作用下的變形。載荷傳遞誤差可以通過(guò)將法向位移Z轉(zhuǎn)換為角位移來(lái)獲得，則第二個(gè)目標(biāo)是：

圖4 齒輪承載接觸分析模型示意Fig.4 Schematic of gear bearing contact analysis model

其中：Te表示載荷傳遞誤差。

3.2 嚙合沖擊激勵(lì)分析

螺旋錐齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，載荷變形產(chǎn)生的沖擊速度［14］表述為

其中：v2和v1表示速度；nh表示初始嚙合點(diǎn)的法向量。齒輪的彈性變形是由嚙合沖擊引起的，相應(yīng)的沖擊力就是最大的沖擊力。嚙合沖擊模型結(jié)構(gòu)示意如圖5 所示。根據(jù)TIMOSHENKO 的彈性理論，假設(shè)在靜態(tài)下建立的方程在沖擊過(guò)程中也是有效的。因此，最大沖擊力Fs如下：

圖5 嚙合沖擊模型結(jié)構(gòu)示意Fig.5 Structural diagram of meshing impact model

式中：n為嚙合力指數(shù)系數(shù)；ks為嚙合剛度；δs為齒變形。彈性勢(shì)能Ek可以表示為

根據(jù)沖擊理論，沖擊動(dòng)能與彈性勢(shì)能的關(guān)系為

其中：J1、J2為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；rb1、rb2為瞬時(shí)基圓半徑。因此，最大彈性變形可以表示為

最后，根據(jù)得到的最大彈性變形，最大沖擊力可表示為

則第三個(gè)目標(biāo)為

3.3 優(yōu)化模型的建立

減小振動(dòng)激勵(lì)和響應(yīng)是抑制螺旋錐齒輪傳動(dòng)運(yùn)行振動(dòng)以及提高動(dòng)態(tài)性能的主要手段，而減小振動(dòng)激勵(lì)是提高螺旋錐齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)性能最有效的措施。螺旋錐齒輪齒面優(yōu)化修形的直接目的是降低載荷傳遞誤差的激勵(lì)效應(yīng)和嚙合沖擊，以減少螺旋錐齒輪的運(yùn)行振動(dòng)，提高其動(dòng)態(tài)性能。為此，基于Ease-off 技術(shù)和高階齒面修形方法，建立了螺旋錐齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化模型，以減少載荷傳遞誤差和嚙合沖擊。螺旋錐齒輪傳動(dòng)的優(yōu)化模型如下：

其中：ai和bi（i＝ 1，2，…，4）表示優(yōu)化變量；χ1表示最小值；χ2表示最大值。

傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法是利用加權(quán)目標(biāo)法將多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，存在主觀性強(qiáng)、局部?jī)?yōu)化和各目標(biāo)相互約束的缺點(diǎn)。文中的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為齒輪承載接觸分析和嚙合沖擊的結(jié)果，與優(yōu)化變量沒(méi)有直接關(guān)系，因此無(wú)法建立從優(yōu)化變量到目標(biāo)函數(shù)的精確解析表達(dá)式。針對(duì)這一問(wèn)題，采用了快速最優(yōu)非支配排序遺傳算法（NSGA-II）［15］，并編制了相應(yīng)的MATLAB 程序。NSGA-II 采用了快速非支配排序算法和擁擠距離比較算子，并引入了精英策略，從而降低了計(jì)算復(fù)雜度，保證了種群的多樣性，提高了算法的計(jì)算效率。

3.4 動(dòng)態(tài)性能分析

根據(jù)圖6 所示的齒輪傳動(dòng)八自由度動(dòng)力學(xué)模型，應(yīng)用載荷傳遞誤差激勵(lì)和嚙合沖擊激勵(lì)對(duì)齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行分析。

圖6 螺旋錐齒輪傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型Fig.6 Dynamic model of spiral bevel gear transmission

式中：Fs為沖擊力，根據(jù)沖擊理論求得；Fn表示法向載荷，F(xiàn)n＝kn（t）f（λn）＋cn，kn為嚙合剛度，λn表示齒輪嚙合點(diǎn)的法向相對(duì)位移；Fx、Fy、Fz分別表示Fn沿為x、y、z軸3 個(gè)方向的法向載荷分量；k1x、k1y、k1z分別表示主動(dòng)齒輪沿x、y、z軸的支承剛度；k2x、k2y、k2z分別表示從動(dòng)齒輪沿x、y、z軸的支承剛度；m1和m2分別表示主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪的質(zhì)量；J1、J2表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；cn表示嚙合阻尼；c1x、c1y、c1z分別表示主動(dòng)齒輪沿x、y、z軸的阻尼；c2x、c2y、c2z分別表示從動(dòng)齒輪沿x、y、z軸的阻尼；T1和T2分別表示主動(dòng)齒輪和從動(dòng)齒輪的扭矩。

4 數(shù)值算例

以某螺旋錐齒輪傳動(dòng)為例，驗(yàn)證該方法的有效性。其幾何參數(shù)和加工參數(shù)設(shè)置分別如表1 和表2 所示。當(dāng)負(fù)載為1 000 N·m、小齒輪轉(zhuǎn)速為20 000 r／min時(shí)，高接觸比螺旋錐齒輪的優(yōu)化是基于Ease-off技術(shù)，通過(guò)ATSM 方法計(jì)算高階修正螺旋錐齒輪傳動(dòng)的多項(xiàng)式系數(shù)，如表3 所示。分析了高階修正齒輪傳動(dòng)的嚙合性能，輪齒接觸分析結(jié)果如圖7 所示。通過(guò)比較，可以看出高階修正齒輪傳動(dòng)的傳輸誤差曲線符合上述條件。

表1 幾何參數(shù)設(shè)置Tab.1 Geometric parameter settings

表2 加工參數(shù)設(shè)置Tab.2 Processing parameter settings

表3 ATSM 方法的多項(xiàng)式系數(shù)Tab.3 Polynomial coefficients of ATSM method

圖7 高階修正齒輪的接觸分析結(jié)果Fig.7 Contact analysis results of high-order modified gears

對(duì)負(fù)載為1 000 N·m 時(shí)的高階修正齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差進(jìn)行了齒輪承載接觸分析，將其與高階修正齒輪嚙合比相同的二階修正齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了比較，其加工參數(shù)設(shè)置如表4 所示。

表4 二階修正齒輪傳動(dòng)的小齒輪加工設(shè)置Tab.4 Pinion machining settings of second-order modifed gear transmission

高階修正齒輪傳動(dòng)和二階修正齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差如圖8 所示，通過(guò)對(duì)比可以看出：二階修正齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差幅值為5.438 0，高階修正齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差幅值為3.339 0，比二階修正齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差幅值低38.60%。因此，ATSM 方法可以降低高接觸比齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差幅值。

圖8 高階和二階修正齒輪的載荷傳遞誤差振幅的比較Fig.8 Comparison of the load trasmission error amplitudes for the higher-order and second-order modified gears

當(dāng)負(fù)載為1 000 N·m，小齒輪轉(zhuǎn)速為20 000 r／min時(shí)，計(jì)算高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)的嚙合沖擊值，并與二階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖9 所示。通過(guò)比較可以看出：二階修正齒輪傳動(dòng)的沖擊速度和沖擊力分別為0.46 m／s 和7.89 kN，而高階修正齒輪傳動(dòng)的沖擊速度與沖擊力分別是0.26 m／s 與4.31 kN，分別比二階齒輪傳動(dòng)低43.93%和46.12%。因此，ATSM 方法可以有效降低高接觸比齒輪傳動(dòng)的嚙合沖擊。

圖9 高階和二階改進(jìn)型齒輪的嚙合沖擊比較Fig.9 Comparison of meshing impact between high-order and second-order modified gears：（a）impact velocity；（b）impact force

基于圖6 所示的八自由度螺旋錐齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，比較了在相同工況下（負(fù)載為1 000 N·m，小齒輪轉(zhuǎn)速為20 000 r／min），二階修正齒輪傳動(dòng)與高階修正齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，結(jié)果如圖10 所示。

圖10 高階和二階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)比較Fig.10 Comparison of dynamic load coefficients of high-order and second-order modified gear transmission

通過(guò)對(duì)比可以看出：二級(jí)齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)為1.118，而高階修正齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)為1.089，小于二級(jí)齒輪傳動(dòng)。因此，ATSM 方法可以有效地降低高接觸比螺旋錐齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)，提高其動(dòng)態(tài)性能。

為驗(yàn)證ATSM 方法的優(yōu)越性，對(duì)高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)在多種工況下的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)進(jìn)行了分析。當(dāng)小齒輪轉(zhuǎn)速為20 000 r／min時(shí)，結(jié)果如圖11—13 所示。通過(guò)對(duì)比可以看出：高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)都比二階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)的要小得多。高階修正齒輪和二階修正齒輪的嚙合沖擊均隨載荷的增大而增大，高階修正齒輪和二階修正齒輪的動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)均隨載荷的增大而減小。因此，ATSM 方法可以有效地降低載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)，提高高接觸比齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)性能。

圖11 多工況下載荷傳遞誤差振幅比較Fig.11 Load trasmission error amplitudes comparison under multiple operating conditions

圖12 多工況下嚙合沖擊的比較Fig.12 Comparison of meshing impact under multiple working conditions：（a）impact velocity；（b）impact force

圖13 多工況下動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)比較Fig.13 Comparison of dynamic response under multiple working conditions

5 結(jié)論

針對(duì)高接觸比螺旋錐齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)，提出了減少螺旋錐齒的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊的輔助齒面修形方法。通過(guò)仿真分析得到如下結(jié)果：

（1）基于Ease-off 技術(shù)和輔助齒面修形方法，實(shí)現(xiàn)了具有高接觸比螺旋錐齒輪的傳動(dòng)。通過(guò)齒輪接觸分析，表明高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)滿足設(shè)計(jì)要求。

（2）與二階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)相比，高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)的載荷傳遞誤差振幅、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)均大幅降低，有效地降低了螺旋錐齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)，改善了螺旋錐齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性，且螺旋錐齒輪傳動(dòng)的振動(dòng)隨動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)的增大而增大。

（3）針對(duì)螺旋錐齒輪傳動(dòng)的可變工況，分析了螺旋錐齒輪傳動(dòng)在多載荷作用下的載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)。仿真結(jié)果表明：與二階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)相比，高階改進(jìn)型齒輪傳動(dòng)能有效降低載荷傳遞誤差、嚙合沖擊和動(dòng)態(tài)負(fù)載系數(shù)。