徐通福，李秀英

（上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，上海 201418）

0 前言

隨著計(jì)算機(jī)在工業(yè)控制領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法特別是離散時(shí)間非仿射非線性系統(tǒng)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)自適應(yīng)控制具有重要意義。該方法僅利用被控裝置的實(shí)測(cè)閉環(huán)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以避免傳統(tǒng)基于模型的自適應(yīng)控制系統(tǒng)中無法解決的精確建模和模型約簡、未建模的動(dòng)力學(xué)、魯棒性、持續(xù)激勵(lì)條件和閉環(huán)控制等問題［1］。由于輸入輸出測(cè)量數(shù)據(jù)包含了所有的被控對(duì)象動(dòng)力學(xué)信息，從而導(dǎo)致傳統(tǒng)基于模型意義上的系統(tǒng)建模、未建模動(dòng)力學(xué)、模型約簡和魯棒性等概念消失。

無模型自適應(yīng)控制（Model Free Adaptive Control，MFAC）作為一種典型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)控制方法，利用偽偏導(dǎo)數(shù)（Pseudo Partial Derivative，PPD）或偽梯度（Pseudo Gradient，PG）矢量的新概念在每個(gè)工作點(diǎn)通過所謂的動(dòng)態(tài)線性化數(shù)據(jù)模型設(shè)計(jì)控制器，控制器參數(shù)的整定方法基于使用閉環(huán)測(cè)量數(shù)據(jù)的確定性估計(jì)算法［2］。MFAC 由于具有計(jì)算簡單、無需建模等優(yōu)點(diǎn)，已被應(yīng)用于車輛、儲(chǔ)能電池、磁懸浮和數(shù)控機(jī)床等許多領(lǐng)域［3-6］。到目前為止，MFAC 的魯棒性仍然是一個(gè)懸而未決的問題。在基于模型的控制理論中，魯棒性是指處理未知的不確定性或未建模動(dòng)態(tài)的能力。然而，無模型控制方案只利用被控裝置的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，不涉及系統(tǒng)的任何模型信息，因此不存在未建模的動(dòng)力學(xué)。從這個(gè)角度來看，傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)的魯棒性已經(jīng)不存在了。對(duì)于任何實(shí)際控制問題，輸入輸出數(shù)據(jù)都可能受到外部干擾，或由于傳感器、執(zhí)行器或網(wǎng)絡(luò)故障而導(dǎo)致數(shù)據(jù)丟失。因此，研究未知干擾或數(shù)據(jù)丟失對(duì)無模型自適應(yīng)控制算法性能的影響很有必要［7］。在工業(yè)環(huán)境中，測(cè)量從來不是完美的。它們可能會(huì)被各種噪聲所扭曲。因此，對(duì)有測(cè)量干擾的MFAC 算法進(jìn)行研究，無論在理論方面還是在實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義。

近年來，許多學(xué)者對(duì)具有測(cè)量干擾的MFAC 算法進(jìn)行了研究。一種改進(jìn)的帶濾波器的MFAC 算法有效抑制了測(cè)量擾動(dòng)的影響［8］，該方法通過設(shè)計(jì)低通去除高頻噪聲信號(hào)，但實(shí)際中噪聲信號(hào)頻率多樣。針對(duì)測(cè)量擾動(dòng)信號(hào)，提出了一種跟蹤微分器對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行抑制，但該方法會(huì)使系統(tǒng)相位發(fā)生改變［9-10］。一種小波閾值去噪的方法被提出，該方法能夠?qū)υ肼曔M(jìn)行實(shí)時(shí)自適應(yīng)過濾，但存在閾值難以設(shè)定的問題［11］。針對(duì)電液伺服系統(tǒng)存在不確定性干擾和不確定性因素的情況，徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)干擾觀測(cè)器被提出去估計(jì)擾動(dòng)，并將其補(bǔ)償?shù)娇刂破鞯脑O(shè)計(jì)中，從而有效減小了擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響，但這種方法增加了系統(tǒng)的復(fù)雜性［12］。一種改進(jìn)的卡爾曼濾波MFAC 算法被用來抑制測(cè)量擾動(dòng)，該方法假設(shè)系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲相互獨(dú)立，但是大多數(shù)情況下系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲之間是相關(guān)的，而且該方法只考慮了單個(gè)傳感器的測(cè)量結(jié)果［13］?；诖?，本文作者提出一種基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 方法，該方法將多個(gè)傳感器的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行最優(yōu)集中式卡爾曼濾波融合，并且考慮系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲以及各個(gè)傳感器之間的測(cè)量噪聲都是相關(guān)的情況。相比只使用單個(gè)傳感器的卡爾曼濾波MFAC 算法來說，基于多傳感器的集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器MFAC 算法具有更好的跟蹤性能和更大的信噪比。

1 問題描述

考慮一類SISO 離散時(shí)間非線性系統(tǒng)：

其中：u（k）和y（k）分別表示k時(shí)刻系統(tǒng)的輸入和輸出；ny、nu是兩個(gè)未知的正整數(shù)；f（…）代表未知的非線性函數(shù)。

假設(shè)1：除有限時(shí)刻點(diǎn)外，f（…）對(duì)u（k）的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

假設(shè)2：除有限時(shí)刻點(diǎn)外，系統(tǒng)公式（1）滿足廣義的利普席茲條件。

定理1：對(duì)滿足假設(shè)1 和假設(shè)2 的非線性系統(tǒng)公式（1），當(dāng)時(shí)，一定存在一個(gè)被稱為PPD 的時(shí)變參數(shù)φc（k），使得系統(tǒng)公式（1）轉(zhuǎn)化為如下線性模型［14］：

若系統(tǒng)存在測(cè)量擾動(dòng)，則系統(tǒng)的輸出測(cè)量值為

其中：d（k）代表測(cè)量擾動(dòng)，且，d是正常數(shù)。

系統(tǒng)存在測(cè)量擾動(dòng)時(shí)，MFAC 控制方案為

其中：λ＞0，μ＞0，ρ∈（0，1］，η∈（0，1］；ε是一個(gè)充分小的正數(shù)；（1）是（k）的初值；y*（k＋1）代表系統(tǒng)的期望輸出。

由式（6）可知，控制器的設(shè)計(jì)依賴于系統(tǒng)期望輸出與測(cè)量輸出的誤差值。當(dāng)系統(tǒng)不存在測(cè)量擾動(dòng)時(shí)，在MFAC 控制方法的作用下，系統(tǒng)的輸出誤差可以收斂至0［14］。而當(dāng)系統(tǒng)受到測(cè)量擾動(dòng)的影響時(shí)，在MFAC 控制方法的作用下，系統(tǒng)的輸出誤差收斂到一個(gè)大于0 的常數(shù)［8］。可見，當(dāng)系統(tǒng)存在測(cè)量擾動(dòng)時(shí)，MFAC 控制方法的控制性能會(huì)顯著降低。

2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC方法

2.1 集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

考慮如下方程所描述的非線性離散系統(tǒng)：

其中：狀態(tài)y（k）代表系統(tǒng)在時(shí)刻k時(shí)的系統(tǒng)輸出；ω（k-1）表示系統(tǒng)噪聲，假設(shè)其為零均值的高斯白噪聲，方差為，且系統(tǒng)噪聲誤差協(xié)方差矩陣為Q（k-1）；ymi（k）代表傳感器i在時(shí)刻k時(shí)的測(cè)量輸出；Ci（k）代表系統(tǒng)的觀測(cè)陣；vi（k）表示傳感器i的測(cè)量噪聲，與系統(tǒng)噪聲ω（k-1）相關(guān)，其相關(guān)的強(qiáng)度與βi的取值有關(guān)；N代表傳感器的個(gè)數(shù)；γi（k）是零均值高斯白噪聲，方差為，并且與系統(tǒng)噪聲ω（k-1）相互獨(dú)立。當(dāng)i≠j時(shí)，對(duì)k，l＝1，2，…，有：

其中：δkl表示克羅尼克δ函數(shù)。從上面的描述可以看出，在同一時(shí)刻不同傳感器的測(cè)量噪聲是相關(guān)的，并且每個(gè)時(shí)刻的測(cè)量噪聲都和上一時(shí)刻的系統(tǒng)噪聲相關(guān)。式（7）將非線性系統(tǒng)等價(jià)轉(zhuǎn)換為線性系統(tǒng)，并且上述對(duì)于實(shí)際環(huán)境噪聲的假設(shè)是合理的，這與相關(guān)噪聲環(huán)境下多傳感器數(shù)據(jù)融合的假設(shè)一致。

集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器是通過將所有的觀測(cè)方程集中為一個(gè)觀測(cè)方程，然后在每一時(shí)刻利用該時(shí)刻的集中觀測(cè)方程與上一時(shí)刻最優(yōu)輸出的估計(jì)值得到當(dāng)前時(shí)刻的輸出預(yù)測(cè)值，并且利用傳感器當(dāng)前時(shí)刻的輸出測(cè)量值對(duì)卡爾曼增益進(jìn)行校正。集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of centralized Kalman filter disturbanceobserver

假設(shè)k-1 時(shí)刻y（k-1）的一個(gè)最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)為，則k時(shí)刻y（k）的最優(yōu)集中式估計(jì)算法［15］為

其中：當(dāng)噪聲不相關(guān)時(shí)，R（k）是對(duì)角矩陣，即非對(duì)角線部分的值全為0 且S（k）＝0，此時(shí)，所提出的最優(yōu)集中式估計(jì)算法退化為噪聲無關(guān)情況下的算法。因此，文中討論的噪聲相關(guān)下的最優(yōu)集中式估計(jì)算法更具一般性。

從上式中可以看出，集中式卡爾曼濾波增益與Q（k-1）和R（k）的值息息相關(guān)，而當(dāng)前時(shí)刻集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的估計(jì)值等于上一時(shí)刻卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的估計(jì)值和傳感器測(cè)量值ym（k）的加權(quán)和，因此與Q（k-1）和R（k）的值也息息相關(guān)。

2.2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC算法

將傳感器的測(cè)量值和數(shù)據(jù)模型的預(yù)測(cè)值經(jīng)過集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器濾波輸出，然后將該輸出與系統(tǒng)的期望輸出值的偏差信號(hào)送入MFAC 控制器的設(shè)計(jì)中，從而得到基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 控制方案。算法結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

圖2 基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法結(jié)構(gòu)Fig.2 MFAC algorithm structure based on centralized Kalman filter disturbance observer

結(jié)合圖 2，公式（10）—（14）和公式（19）—（21）構(gòu)成了完整的基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 控制方案：

其中：式（10）—（14）是集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器算法，該算法的目的是為了得到濾波后的預(yù)測(cè)輸出；式（19）—（21）是基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器MFAC 算法，與常規(guī)MFAC 算法的不同之處在于，該算法利用干擾觀測(cè)器的輸出去設(shè)計(jì)控制器，而不是直接利用傳感器的測(cè)量值去設(shè)計(jì)，這樣有效規(guī)避了測(cè)量擾動(dòng)對(duì)常規(guī)MFAC 算法控制性能的影響。

3 仿真

為驗(yàn)證基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法的有效性，給出由3 個(gè)傳感器組成的集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器（集中式觀測(cè)器）的MFAC算法，基于傳感器1 的卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器（局部觀測(cè)器1）的MFAC 算法，基于傳感器2 的卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器（局部觀測(cè)器2）的MFAC 算法和基于傳感器3 的卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器（局部觀測(cè)器3）的MFAC 算法的仿真對(duì)比試驗(yàn)。并且利用均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）和 信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）兩個(gè)指標(biāo)對(duì)5 種控制算法的控制性能進(jìn)行比較：

其中：δRMSE代表各個(gè)時(shí)刻的實(shí)際值與期望值誤差平方和，其值越小，系統(tǒng)控制性能越好；δSNR代表信號(hào)與噪聲的方差比，其值越大，系統(tǒng)的去噪能力與控制性能越好。

例1 考慮如下非線性系統(tǒng)［13］：

期望輸出信號(hào)為

由圖3—4 可知：當(dāng)系統(tǒng)存在測(cè)量擾動(dòng)時(shí)，MFAC控制算法的跟蹤誤差會(huì)顯著增加；采用基于單個(gè)傳感器卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法后，系統(tǒng)的控制性能優(yōu)于MFAC 算法；而對(duì)于各個(gè)局部干擾觀測(cè)器來說，在系統(tǒng)噪聲方差和噪聲相關(guān)系數(shù)相同的情況下，局部干擾觀測(cè)器的γi（k）的噪聲方差越小，基于該局部卡爾曼濾波干擾器的MFAC 算法的控制性能越好。當(dāng)采用基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法后，系統(tǒng)的控制性能又優(yōu)于只使用單個(gè)傳感器卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法。除此之外，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法的響應(yīng)速度比MFAC 算法和基于單個(gè)傳感器卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法的響應(yīng)速度快。可見，集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法能有效提高存在測(cè)量擾動(dòng)的時(shí)不變參考信號(hào)的跟蹤能力。

圖3 時(shí)不變參考信號(hào)跟蹤性能比較Fig.3 Comparison of tracking performance of time-invariant reference signal

圖4 時(shí)不變參考信號(hào)跟蹤誤差絕對(duì)值比較Fig.4 Comparison of the absolute value of tracking error of time-invariant reference signal

例2 考慮如下非線性系統(tǒng)［14］：

期望輸出信號(hào)：

設(shè)置此例中的系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲的相關(guān)參數(shù)值、系統(tǒng)的初始參數(shù)值、系統(tǒng)的控制器參數(shù)值均和例1 中的參數(shù)值一致。5 種控制算法的跟蹤性能如圖5和圖6 所示。

圖5 時(shí)變參考信號(hào)跟蹤性能比較Fig.5 Comparison of tracking performance of time-varying reference signal

圖6 時(shí)變參考信號(hào)跟蹤誤差絕對(duì)值比較Fig.6 Comparison of the absolute value of tracking errors of time-varying reference signal

由圖5—6 可知：MFAC 算法的控制性能最差，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法的控制性能最好，因此，基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法對(duì)時(shí)變的參考信號(hào)依然可以很好地抑制測(cè)量擾動(dòng)對(duì)MFAC 算法的影響，大大提升系統(tǒng)的跟蹤性能。

綜合上述的兩個(gè)例子，使用RMSE 和SNR 指標(biāo)對(duì)5 種控制算法的控制性能進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 5 種控制算法的控制性能比較Tab.1 Comparison of control performance of five control algorithms

根據(jù)圖3—6 和表1 的數(shù)據(jù)可知：本文作者提出的基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的算法相比MFAC 算法和基于局部卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法，在時(shí)不變參考信號(hào)和時(shí)變參考信號(hào)并且在噪聲相關(guān)的情況下具有更好的抑制測(cè)量擾動(dòng)的效果，在算法具有適用性的同時(shí)具有更小的均方根誤差和更大的數(shù)據(jù)信噪比，可以顯著提升在測(cè)量擾動(dòng)作用下系統(tǒng)的控制性能。

4 結(jié)論

本文作者針對(duì)具有測(cè)量擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)，提出一種基于集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法。將所提出的算法與MFAC 算法和基于局部卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法分別在時(shí)不變參考信號(hào)和時(shí)變參考信號(hào)下進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果表明：在具有適用性的同時(shí)，集中式卡爾曼濾波干擾觀測(cè)器的MFAC 算法具有更強(qiáng)的抗干擾能力、更小的均方根誤差和更大的數(shù)據(jù)信噪比等優(yōu)點(diǎn)，可以顯著提升MFAC算法在測(cè)量擾動(dòng)下的控制性能。