張紫方，史濤

（1.華北理工大學(xué)電氣工程學(xué)院，河北唐山 063210；2.天津理工大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，天津 300382）

0 前言

滑模變結(jié)構(gòu)控制（Sliding Mode Control，SMC）近來被廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。SMC 控制策略主旨在于系統(tǒng)“結(jié)構(gòu)” 雖不固定，但依然可按照滑動模態(tài)設(shè)定的軌跡使得系統(tǒng)到達(dá)平衡點［1-2］，且不受參數(shù)和外界干擾，這也是保證SMC 具有完全魯棒性的根本依據(jù)。SMC 因其簡單易操作、響應(yīng)速度快、魯棒性強從而被廣泛應(yīng)用到機器人編隊、航天器飛行器等復(fù)雜的非線性系統(tǒng)中去。

傳統(tǒng)的滑模控制由于控制開關(guān)不可避免的空間滯后環(huán)節(jié)，趨近平衡點時間過長使控制器延遲引發(fā)強烈抖振問題［3-4］，嚴(yán)重影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。以上問題如不解決會引起未建模系統(tǒng)部分消耗能量從而引起系統(tǒng)失穩(wěn)并震蕩。為解決上述抖振帶來的消極影響，國內(nèi)外專家創(chuàng)造提出趨近律的概念?，F(xiàn)今控制器的設(shè)計基礎(chǔ)旨在于趨近律設(shè)計。中國科學(xué)院院士高為炳［5］率先提出趨近律概念并解釋分類，包含一般、等速、指數(shù)和冪次趨近律［6］，介紹趨近律旨在改變控制器內(nèi)部參數(shù)從而降低抖振頻率，并簡單歸納了以上趨近律使用及類別，但有很大的局限性。眾多學(xué)者開始致力于改變趨近律階次，并分析各種趨近律的優(yōu)勢對其進行結(jié)合進而徹底消除抖振現(xiàn)象所帶來的影響。

綜上，各界學(xué)者為解決如上問題展開深入研究。LIU 等［7］在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律基礎(chǔ)上創(chuàng)新引入冪次項設(shè)計并提出了新型指數(shù)趨近律，對比原指數(shù)趨近律成功提升了系統(tǒng)收斂至原點的速度。PAN 等［8］將部分滑模積分算法思想引入雙冪次趨近律設(shè)計中，創(chuàng)新了原雙冪次趨近律，加快了控制器的響應(yīng)速度；但缺陷在于該算法以等速趨近律為基礎(chǔ)，使控制器在響應(yīng)速度快的同時產(chǎn)生頻率較快的低頻抖振。YU 等［9］創(chuàng)新引入了比例項的設(shè)計在單冪次指數(shù)趨近律中，不足點在于未充分考慮系統(tǒng)在擾動情況下的穩(wěn)定性。廖瑛等人［10］提出一種fal 函數(shù)的雙冪次函數(shù)組合趨近律，在區(qū)間［0，δ］內(nèi)提升了收斂速度，并且因為構(gòu)造函數(shù)為連續(xù)函數(shù)從而消除了抖振產(chǎn)生的影響；但構(gòu)造函數(shù)缺點在于前后兩端差異性過大從而影響趨近律，不具備自適應(yīng)能力。張瑤等人［11］在廖瑛的研究基礎(chǔ)上為了提高趨近律自適應(yīng)能力，在組合函數(shù)中引入變冪次項，雖解決問題但系統(tǒng)仍然存在抖振。張國山、李現(xiàn)磊［12］基于改進函數(shù)構(gòu)造提出一種新型的冪次趨近律，創(chuàng)新點在于引入tan 函數(shù)并實時調(diào)節(jié)參數(shù)跟蹤系統(tǒng)動態(tài)特性。FALLAHA 等［13］提出一種非線性指數(shù)趨近律應(yīng)用于控制器中，旨在調(diào)節(jié)系統(tǒng)動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)性能，結(jié)果顯示控制器良好地跟蹤系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)，同時提升了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。林潔瓊等［14］為解決抖振頻率大問題設(shè)計雙冪次指數(shù)趨近律，結(jié)果顯示系統(tǒng)仍存在低頻抖振現(xiàn)象，從高頻轉(zhuǎn)至低頻直至低頻平穩(wěn)，且實驗對比對象單一，只參考對比了單冪次指數(shù)趨近律。楊新巖等［15］采用分段函數(shù)設(shè)計了趨近律，提出一種分段滑模冪次趨近律，在不同分段狀態(tài)上設(shè)計不同參數(shù)，實驗結(jié)果顯示收斂速度很快并且在滑模平面上沒有抖振現(xiàn)象產(chǎn)生；但不足之處在于需要調(diào)節(jié)的參數(shù)過多，而且要求控制器的精度和計算能力很高，但實際狀況中很難達(dá)到要求。

基于上述研究，針對文獻［14］中趨近律仍存在抖振問題，且系統(tǒng)快速性仿真收斂對比對象單一，對其進行改進。改進后雙冪次指數(shù)趨近律，其變指數(shù)項通過改變參數(shù)和最大最小值區(qū)間，可以對系統(tǒng)的收斂速度、趨近時間、抖振現(xiàn)象調(diào)節(jié)分兩階段進行。即以為臨界值，當(dāng)時，系統(tǒng)沿滑模面平滑進入，抖振影響可忽略不計；當(dāng)時，系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)顯著提高，收斂速度縮短，綜合提升了系統(tǒng)全局的收斂速度。最后考慮系統(tǒng)受干擾情況下穩(wěn)態(tài)誤差限，控制輸出仍保持良好的穩(wěn)態(tài)特性。通過MATLAB 仿真對比多種趨近律，驗證改進后的雙冪次指數(shù)趨近律在有限時間內(nèi)收斂速度更快且品質(zhì)更好，并且在受到系統(tǒng)外界擾動下仍可保持良好特性。

1 改進雙冪次指數(shù)趨近律設(shè)計

1.1 相關(guān)工作基礎(chǔ)

現(xiàn)階段滑模趨近律概念作為消除或抑制抖振現(xiàn)象的方法之一并廣泛應(yīng)用，其中基礎(chǔ)雙冪次趨近律為

指數(shù)趨近律為

式中：＝-ks是指數(shù)趨近律，其解為s＝s（0）e-kt。

文獻［14］中提出的雙冪次指數(shù)趨近律為

其中：0＜α＜1，β＞1，k＞0。

1.2 改進雙冪次指數(shù)趨近律

結(jié)合（1）（2）（3），提出一種改進的雙冪次指數(shù)趨近律：

2 改進的雙冪次指數(shù)趨近律特性分析

2.1 滑動模態(tài)可達(dá)性分析及證明

定理1：對于改進雙冪次指數(shù)趨近律（4）（5），系統(tǒng)狀態(tài)s可以快速運動趨近至平衡點s＝0。證明：由公式（4）可知

當(dāng)且僅當(dāng)s＝0 時，有＝0。

根據(jù)系統(tǒng)連續(xù)性，滑模趨近律存在定理及可達(dá)性定義可知，若滿足≤0，則設(shè)計的趨近律滿足滑動模態(tài)可達(dá)性條件，所證即所求，得文中所設(shè)計的雙冪次指數(shù)趨近律式（4）可收斂至平衡點s＝0。

2.2 系統(tǒng)收斂時間分析及證明

定理2：對于改進雙冪次指數(shù)趨近律式（4），假設(shè)s的初始狀態(tài)為s0，則與之對應(yīng)的狀態(tài)s和均可在有限時間內(nèi)到達(dá)滑模面且收斂至0，收斂時間小于（t1＋t2＋t3）。其中t1、t2、t3表達(dá)式如下：

證明：假設(shè)1＜λ＜s0，將全局過程分成3 個階段進行。

第一階段：系統(tǒng)從s0到st1，此時趨近律式（4）可寫成：

求解上述方程，因未知項參數(shù)過多，可將方程分兩步求解。首先對1sλ＝k3s這部分進行求解，其過程如下：

假設(shè)存在中間變量y＝s1-λ，公式（11）可寫成：

求解一階微分線性方程，令y＝u（t）exp（-∫（1-λ）k3dt），u＝u（t）表示t是連 續(xù)函數(shù)，代入公 式（12）得：

對式（13）兩邊進行積分：

C為常數(shù)，求解過程如下：

化簡可得：

令時間t＝0，可解得常數(shù)C

聯(lián)立公式（16）（17）即可求得系統(tǒng)從s0運動到st1所需時間t1為

同理可得第二階段，系統(tǒng)由s（t1）運動至s（t2）的時間t2和第三階段，系統(tǒng)由s（t2）運動至s（t3）的時間t3。

所以系統(tǒng)由s（t1）＝1 運動至s（t2）＝β所需時間小于t2，系統(tǒng)由s（t2）＝β運動至s（t3）＝0 所需時間小于t3。此時可得出結(jié)論系統(tǒng)所需收斂總時間小于（t1＋t2＋t3）。

2.3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析

考慮到提出的改進雙冪次指數(shù)趨近律會受到不確定性擾動影響，系統(tǒng)變?yōu)?/p>

系統(tǒng)期望誤差小于δ，δ為非常小的正數(shù)。

定理3：對于任意的ki ＞0（i＝1，2，3），β＞1，存在正數(shù)k1＞0，0＜α＜1，且0＜D＜k1＜D／δ1，0＜δ≤logδ1（D／k1）（0＜δ1≤δ）時，系統(tǒng)式（21）可在有限時間內(nèi)收斂于δ。

證明：選擇Lyapunov 函數(shù)：

求導(dǎo)得：

表達(dá)式（23）可替換為

定理4：假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)（x），f∈Rn，且x∈D?Rn，D為平衡點附近的區(qū)域，設(shè)此時存在連續(xù)函數(shù)V并滿足正定，且除平衡點外均負(fù)定；同時存在一個領(lǐng)域M?D和一個實數(shù)μ＞0，0 ＜η＜1，使得＋μVη≤0，那么（x）就能在有限時間收斂到平衡點。

根據(jù)定理4 可知，系統(tǒng)狀態(tài)可以收斂至，代入公式（23），計算得：

通過計算，定理4 得證。

3 實驗仿真及分析

3.1 仿真模型和控制器設(shè)計

首先建立控制器結(jié)構(gòu)和仿真模型，控制器結(jié)構(gòu)擬采用雙閉環(huán)結(jié)構(gòu)控制，該控制器控制下的機器人流程如圖1 所示。

圖1 雙閉環(huán)控制的輪式機器人控制流程Fig.1 Control flow of wheeled robot with double closed loop control

仿真模型采用輪式機器人，輪式機器人運動模型為

式中：θ表示機器人運動的偏轉(zhuǎn)角；x、y表示機器人實際位姿；v、ω分別表示機器人實際線速度和角速度。

理想情況下系統(tǒng)軌跡跟蹤誤差如下：

式中：［xe，ye，θe］T表示輪式機器人實際偏差量；［xq，yq，θq］T表示機器人期望偏差量。

對式（28）求導(dǎo)結(jié)合趨近律式（4）（5）

其中：ωq、vq分別表示輪式機器人期望角速度、線速度。由此設(shè)計合適的滑模面，為了使機器人軌跡跟蹤誤差xe、ye、θe均可在有限時間內(nèi)收斂至零點，設(shè)計的滑模面為

其中：ωq≠0 且為常數(shù)。

上式滿足改進的雙冪次指數(shù)趨近律：

公式（29）—（31）聯(lián)立獲得控制器表達(dá)式為

3.2 改進前后雙冪次指數(shù)趨近律對比

通過MATLAB 進行仿真實驗，對文獻［14］提出的雙冪次指數(shù)趨近律在控制器中抖振現(xiàn)象進行復(fù)現(xiàn)，如圖2 所示。

圖2 文獻［14］基于雙冪次指數(shù)趨近律控制器輸出曲線Fig.2 Output curve based on a double power exponential convergence law controller in literature［14］

由圖2 可知：文獻［14］采用的雙冪次指數(shù)趨近律，在控制器作用下系統(tǒng)運動到滑模面時，產(chǎn)生了強烈的高頻抖振，之后由于趨近律的作用減緩抖振，使得系統(tǒng)保持均勻的低頻抖振運動，即減緩了抖振但沒有消除抖振對系統(tǒng)帶來的影響。

由圖3 可知：本文作者提出改進后的雙冪次指數(shù)趨近律，在控制器作用下系統(tǒng)運動至滑模面時間延長了0.2 s 左右，隨后出現(xiàn)了極輕微的低頻抖振，影響可忽略不計，最后在改進后趨近律作用下明顯消除了抖振。由此驗證了改進后的雙冪次指數(shù)趨近律最大限度地消除了系統(tǒng)抖振，在理想時間內(nèi)跟蹤控制器輸出軌跡，良好地提升了系統(tǒng)的動態(tài)特性。

圖3 改進后基于雙冪次指數(shù)趨近律在控制器中的輸出曲線Fig.3 Output curve in controller based on improved double power exponential reaching law

3.3 系統(tǒng)快速收斂性仿真對比

考慮單輸入單輸出非線性系統(tǒng)：

式中：d（t）為擾動變量且有界；s為系統(tǒng)滑模變量；u為系統(tǒng)控制輸入。

對于已確定的系統(tǒng)式（34），分別采用如下趨近律作為系統(tǒng)快速收斂性仿真對比：文獻［8］中的雙冪次等速趨近律，快速冪次趨近律，文獻［14］中的雙冪次指數(shù)趨近律，文獻［10］中的fal 函數(shù)組合趨近律，文獻［15］中的分段滑模冪次趨近律，和改進的雙冪次指數(shù)趨近律。

其中文獻［10，15］趨近律分別為

為了保證趨近律對比仿真的有效性，參數(shù)設(shè)置和相同項系數(shù)設(shè)定大致相等。

設(shè)置參數(shù)k1＝1，k2＝1，k3＝1，k4＝1，α＝2，β＝0.5，λ＝0.5，N＝5，p＝2。系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)置s0＝10.0，sm＝10.05。對上述趨近律進行仿真對比，仿真結(jié)果如圖4、5 所示。

圖4 滑模趨近律隨時間收斂曲線對比Fig.4 Comparison of convergence curves of sliding mode convergence law over time

通過實驗，若設(shè)置的初始值s0較小，則趨近律收斂效果彼此接近不足以區(qū)分效果，故設(shè)置初始值s0＝10，區(qū)分效果明顯。由圖4 可知：文中改進的雙冪次指數(shù)趨近律具有最佳收斂速度，滑模狀態(tài)s在最快時間內(nèi)趨近于零點，同時系統(tǒng)沒有產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。且由圖5 可知：在0.25 s 前文獻［15］提出的分段滑模趨近律趨于零點速度最快，但因其涉及分段函數(shù)，需要考慮參數(shù)過多，因此在0.25 s 后文中改進的雙冪次滑模趨近律更快收斂到零點處。由此驗證了文中所改進的趨近律具有最佳實用性及有效性。

圖5 控制量隨時間收斂曲線對比Fig.5 Comparison of convergence curves of control variables over time

3.4 干擾下穩(wěn)態(tài)誤差界仿真

將滑模模態(tài)初始值設(shè)置為12，對于不確定系統(tǒng)式（34），外界所受一切擾動用d（t）表示，對外界干擾下的穩(wěn)態(tài)誤差界進行仿真。

設(shè)置干擾上界數(shù)值為12，代入系統(tǒng)中，且d＝sin2t＋cos2t，控制輸出u仿真結(jié)果如圖6 所示。

圖6 干擾下滑模輸出u 收斂曲線Fig.6 Convergence curve of sliding mode output u under interference

由圖6 可知：受到干擾下，系統(tǒng)收斂時間約為0.7 s，穩(wěn)態(tài)誤差界在±0.2 s 內(nèi)，可驗證文中所提雙冪次指數(shù)趨近律在外界干擾下具有極好的穩(wěn)態(tài)特性。當(dāng)系統(tǒng)存在外界擾動或不確定因素下，滑模變量仍可在最快時間收斂至平衡點附近，趨近律依然可以獲得良好效果。

4 結(jié)語

提出一種改進的雙冪次指數(shù)趨近律，通過靈活設(shè)計參數(shù)改進變指數(shù)項設(shè)計，并運用新的函數(shù)組合，提出了新的雙冪次指數(shù)趨近律，之后對文中趨近律進行分析。首先在理論上驗證改進后的趨近律能夠快速收斂到平衡點且削弱抖振影響，再通過實驗對比，對其他文獻中各種趨近律進行比對分析，驗證了所提出的趨近律不僅消除了抖振影響，且具有最佳性能和實用性。最后再通過實驗驗證在系統(tǒng)存在干擾下，文中趨近律仍然可以快速收斂至平衡點附近，說明改進后的雙冪次指數(shù)趨近律具有顯著的優(yōu)越性。