馬能杰，王洪申

（蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050）

0 前言

電主軸作為高速加工數(shù)控機(jī)床的核心功能部件，其性能好壞嚴(yán)重影響整臺(tái)機(jī)床的加工精度［1-2］。而電主軸的發(fā)熱卻不可避免，由于其發(fā)熱所引起的誤差已經(jīng)占到了總加工誤差的60%～80%。隨著機(jī)床定位精度的提高，目前熱誤差已成為影響總誤差最明顯的因素［3］，因此對(duì)于高速主軸單元來(lái)說(shuō)，采用必要的措施以減少其熱誤差對(duì)機(jī)床加工精度的影響就顯得尤為重要。目前主要采用硬補(bǔ)償和軟補(bǔ)償兩種方法［4-5］，硬補(bǔ)償是通過(guò)數(shù)控設(shè)備機(jī)械結(jié)構(gòu)的調(diào)整及改變來(lái)減小誤差；軟補(bǔ)償是通過(guò)數(shù)學(xué)方法或軟件方法提高電主軸精度，其中具有代表性的方法有：溫度控制法、熱態(tài)性能優(yōu)化以及熱誤差補(bǔ)償法［6］。而熱誤差補(bǔ)償方法是在不改變電主軸結(jié)構(gòu)，且成本較低的前提下通過(guò)實(shí)驗(yàn)、分析、測(cè)試等過(guò)程建立一個(gè)熱誤差預(yù)測(cè)模型，并將其反饋給控制系統(tǒng)，從而進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)姆椒?，因此熱誤差模型的建立成為了國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的重點(diǎn)之一。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)熱誤差模型的建立進(jìn)行了大量的研究。一直以來(lái)，人們希望通過(guò)預(yù)測(cè)熱變形的規(guī)律性減小熱變形帶來(lái)的影響［7］。LI 等［8］利用鯨魚(yú)優(yōu)化算法（Whale Optimization Algorithm）優(yōu)化了支持向量機(jī)（Support Vector Machine），以此來(lái)建立起熱誤差模型，使得模型預(yù)測(cè)精度顯著提升。HUANG等［9］利用遺傳算法（Genetic Algorithm，GA）對(duì)BP（Back Propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值進(jìn)行了優(yōu)化，將優(yōu)化后的權(quán)值和閾值返回BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使其預(yù)測(cè)精度及收斂速度大幅度提高。YANG 等［10］通過(guò)改進(jìn)的灰狼優(yōu)化器（Improved Gray Wolf Optimizer，IGWO）和自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)（Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System，ANFIS），提出一種較為精準(zhǔn)的電主軸熱誤差模型，結(jié)果表明：新模型具有更好的泛化性和魯棒性。馬馳等人［11］對(duì)精密鏜床主軸進(jìn)行研究，建立了基于PSO-BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的熱誤差模型，結(jié)果表明模型的有效性較BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有了巨大的提升。謝杰等人［12］提出一種思維進(jìn)化算法，優(yōu)化了基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立電主軸熱誤差模型的方法，其最低補(bǔ)償率超過(guò)了90%以上。

LSTM（Long Short-Term Memory）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種特殊的RNN（Recurrent Neural Network），相比一般的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，它具有解決長(zhǎng)序列訓(xùn)練過(guò)程中梯度消失和梯度爆炸問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，在解決電主軸熱誤差預(yù)測(cè)精度問(wèn)題上有較為理想的效果。研究表明：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力取決于網(wǎng)絡(luò)隱藏層的結(jié)構(gòu)，其中包括隱藏層的數(shù)目和每個(gè)隱藏層中節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。隱藏層的數(shù)量可以有效降低網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練誤差，提高網(wǎng)絡(luò)識(shí)別的準(zhǔn)確率，但也會(huì)使網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，訓(xùn)練時(shí)間也會(huì)更長(zhǎng)；而增加隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)也可以提高識(shí)別的準(zhǔn)確率，更容易觀察和調(diào)整訓(xùn)練效果［13］。隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)的選取方法有很多種，BENARDOS、VOSNIAKOS［14］利用試湊法不斷地對(duì)不同隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行測(cè)試，直到數(shù)據(jù)接近理想情況為止，該方法沒(méi)有目的性，只是盲目的測(cè)試，花費(fèi)成本巨大。MIRCHANDANI、CAO［15］應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式法來(lái)確定隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)，但此方法缺少相關(guān)理論依據(jù)，且只針對(duì)特定的情況，適應(yīng)性較差，不能通用。ISLAM 等［16］利用增長(zhǎng)法從一個(gè)最小的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行試驗(yàn)，依次增加隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)，最終篩選出最適合的節(jié)點(diǎn)數(shù)，但對(duì)于如何終止增長(zhǎng)的問(wèn)題目前沒(méi)有較為科學(xué)的方法來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。

本文作者提出一種基于優(yōu)化灰狼算法（IGWO）的單隱含層的LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)熱誤差預(yù)測(cè)模型，通過(guò)改變灰狼算法中收斂因子a的算法公式，解決了灰狼算法在計(jì)算最優(yōu)隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)時(shí)陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題。最后通過(guò)基于最優(yōu)節(jié)點(diǎn)數(shù)的LSTM 網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)電主軸熱誤差。

1 優(yōu)化灰狼算法（IGWO）模型

灰狼算法（Gray Wolf Algorithm，GWO）受灰狼捕獵行為啟發(fā)而提出。算法中每只灰狼的位置代表了解空間的一個(gè)可行解。在群體中將最優(yōu)解命名為α，第二、第三最優(yōu)命名為β 和δ，剩下的候選項(xiàng)記為ω，在GWO 中狩獵過(guò)程由α、β 和δ 引導(dǎo)，ω 跟隨這三只狼。GWO 的主要過(guò)程為包圍、狩獵和攻擊。

1.1 包圍

式中：D表示個(gè)體與獵物間的距離；X（t＋1）是灰狼的位置更新公式；t是迭代代數(shù)；A和C是系數(shù)向量；Xp為獵物的位置向量；X為灰狼的位置向量。A和C計(jì)算公式如下：

式中：a是收斂因子，隨著迭代次數(shù)從2 線性減小到0；r1和r2的取值為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)向量。

1.2 狩獵

灰狼個(gè)體跟蹤獵物位置的數(shù)學(xué)模型描述如下

式中：Dα、Dβ和Dδ分別表示α、β 和δ 與其他灰狼個(gè)體的距離；Xα、Xβ和Xδ分別表示α、β 和δ的當(dāng)前位置；C1、C2和C3是隨機(jī)向量；X為當(dāng)前灰狼的位置。

式（6）分別定義了狼群中ω 個(gè)體的朝向、前進(jìn)的步長(zhǎng)和方向，式（7）定義了ω 的最終位置。

1.3 攻擊

為了模擬逼近獵物，a的值被逐漸減小，因此Ai（i＝1，2，3）的波動(dòng)范圍也隨之減小。換句話說(shuō)，在迭代過(guò)程中，當(dāng)a的值從2 線性下降到0 時(shí)［見(jiàn)式（8）］，其對(duì)應(yīng)的Ai的值也在區(qū)間 ［-a，a］內(nèi)變化。

式中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；T為最大迭代次數(shù)。

如圖1 所示，當(dāng)Ai的值位于區(qū)間內(nèi)時(shí)，灰狼的下一個(gè)位置可以位于其當(dāng)前位置和獵物之間的任意位置。當(dāng)時(shí)，狼群向獵物發(fā)起攻擊（陷入局部最優(yōu)）；當(dāng)時(shí)，灰狼與獵物分離，希望找到最合適的獵物（全局最優(yōu)）。

圖1 攻擊（a）和尋找（b）獵物Fig.1 Attack（a）and hunt（b）for prey

GWO 算法在收斂過(guò)程中容易陷入局部最優(yōu)，造成這些缺點(diǎn)的主要原因?yàn)椋河晒剑?）可知，GWO算法的主要搜索模式由系數(shù)向量Ai所決定。由公式（3）可知，A的大小主要由收斂因子a決定。由公式（8）可知，收斂因子a趨于線性變化，但實(shí)際情況下需要GWO 的尋優(yōu)過(guò)程是非線性的，因此收斂因子a的線性變化將會(huì)導(dǎo)致收斂過(guò)程中的缺陷。

針對(duì)上述情況，本文作者對(duì)灰狼優(yōu)化算法進(jìn)行了改進(jìn)，具體策略如下所述。

收斂因子a的改進(jìn)。本文作者提出了一種收斂因子a的非線性計(jì)算公式，見(jiàn)式（9）：

為進(jìn)一步說(shuō)明改進(jìn)后的灰狼算法較未改進(jìn)灰狼算法的優(yōu)勢(shì)，利用MATLAB 軟件分別繪制了改進(jìn)前后的GWO 收斂變化圖，如圖2 所示。未改進(jìn)的GWO算法在迭代次數(shù)23～25、27～29 期間分別停留在數(shù)值4 000 和2 300 處，即陷入局部最優(yōu)。而改進(jìn)后的IGWO 算法則在此處跳出了局部最優(yōu)，并且改進(jìn)后的IGWO 算法迭代至35 代達(dá)到收斂，較未改進(jìn)的GWO算法迭代至37 代才收斂的收斂速度更快，因此本文作者提出的對(duì)于收斂因子a的改進(jìn)更適用于實(shí)際情況下GWO 算法的收斂運(yùn)算。

圖2 收斂曲線對(duì)比Fig.2 Convergence curves comparison

2 LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建

LSTM 模型，本質(zhì)上是一種特殊的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）。在RNN 模型的基礎(chǔ)上利用增加的門(mén)單元來(lái)解決RNN 的短期記憶問(wèn)題。而電主軸熱誤差對(duì)歷史熱信息具有長(zhǎng)期記憶特征，因此LSTM 模型適用于電主軸熱誤差預(yù)測(cè)模型的建立。

采用LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)熱誤差，其輸入跟輸出單元數(shù)要根據(jù)實(shí)驗(yàn)變量數(shù)來(lái)決定。實(shí)驗(yàn)中首先需要確定熱敏點(diǎn)的數(shù)量跟位置，其目的是減少因傳感器過(guò)多而造成的精確性問(wèn)題以及溫測(cè)點(diǎn)形成的強(qiáng)耦合而造成的多重共線性問(wèn)題。

因此，通過(guò)模糊聚類(lèi)法跟灰色關(guān)聯(lián)度分析模型相結(jié)合的方法［17］，綜合分析和評(píng)價(jià)各溫測(cè)點(diǎn)，最終得到2 個(gè)位置的最佳溫測(cè)點(diǎn)，即后軸承殼體外表面跟前軸承主軸殼體外表面處，如圖3 所示。以此來(lái)作為L(zhǎng)STM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層單元。

圖3 電主軸溫度傳感器布局示意Fig.3 Motorized spindle temperature sensor layout

主軸誤差主要有軸向和徑向兩種，由其熱伸長(zhǎng)跟熱彎曲引起，而軸向的熱伸長(zhǎng)量幅度遠(yuǎn)大于徑向熱伸長(zhǎng)量，故文中僅研究軸向位移引起的熱誤差，以此作為L(zhǎng)STM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層單元。從而，LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)建立完成，其中輸入層單元數(shù)設(shè)置為“2”，隱含層初始單元數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式選取為“5”，輸出層單元數(shù)設(shè)置為“1”。遺忘門(mén)采用sigmoid 函數(shù)作為激活函數(shù)，輸入門(mén)跟輸出門(mén)采用tanh 函數(shù)作為激活函數(shù)。訓(xùn)練次數(shù)設(shè)置為300，學(xué)習(xí)率設(shè)置為0.005，均方根誤差ε設(shè)置為0.01。

3 IGWO-LSTM 電主軸預(yù)測(cè)模型

隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)的選擇十分復(fù)雜，與學(xué)習(xí)算法的激勵(lì)函數(shù)選擇相比，確定隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)目的研究較少［18］。目前隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)計(jì)算的主要方法為經(jīng)驗(yàn)公式法，但其只適應(yīng)于特定的環(huán)境，魯棒性較差。

若隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)太少，網(wǎng)絡(luò)可能根本不能訓(xùn)練或網(wǎng)絡(luò)性能很差，且精度不夠；若隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)太多，雖然可使網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)誤差減小，但網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間延長(zhǎng)，另一方面也可能會(huì)引起“過(guò)擬合” 現(xiàn)象。

因此，合理的隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)應(yīng)在綜合考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度和誤差大小的情況下確定。

一般隱藏層節(jié)點(diǎn)計(jì)算經(jīng)驗(yàn)公式如式（10）所述

式中：m為隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)；n為輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)；l為輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)；α為0～10 之間的常數(shù)。

IGWO-LSTM 模型既適用于電主軸熱誤差在實(shí)際工況下的遲滯效應(yīng)，又極大地降低了模型在收斂時(shí)陷入局部最優(yōu)的可能性。具體實(shí)施步驟如圖4 所述。

圖4 IGWO-LSTM 算法流程Fig.4 IGWO-LSTM algorithm flow

（1）導(dǎo)入電主軸240 min 內(nèi)熱誤差數(shù)據(jù)。

（2）劃分訓(xùn)練集與測(cè)試集。將數(shù)據(jù)集中80%的數(shù)據(jù)劃為訓(xùn)練集，20%為測(cè)試集，并利用MATLAB自帶map minmax 函數(shù)對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

（3）確定灰狼種群規(guī)模為30，最大迭代次數(shù)為50，參數(shù)上下界為（ub，lb）。

（4）初始化種群位置Xi，見(jiàn)式（11）。

式中：r0為［0，1］內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

（5）計(jì)算每個(gè)灰狼個(gè)體適應(yīng)度值，將3 個(gè)最優(yōu)解位置記為Xα、Xβ和Xδ。

（6）根據(jù)公式（3）（4）（9）更新C、A和a，根據(jù)公式（5）（6）更新灰狼位置，根據(jù)公式（7）得到獵物的最優(yōu)位置。

（7）判斷是否超過(guò)最大迭代次數(shù)，若沒(méi)有則返回第（5）步，反之輸出最優(yōu)隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)。

（8）將LSTM 網(wǎng)絡(luò)迭代次數(shù)設(shè)置為300 次、學(xué)習(xí)率設(shè)置為0.005，設(shè)置ε為誤差允許最小值。將上一步中的最優(yōu)隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)代入LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后進(jìn)行訓(xùn)練和預(yù)測(cè)。

（9）判斷絕對(duì)誤差值是否滿足不大于允許最大誤差值，若滿足則進(jìn)行下一步，若不滿足則將得到的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值代入步驟（5）中。

（10）基于平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分比誤差（MAPE）以及均方根誤差（RMSE）這3種指標(biāo)對(duì)優(yōu)化后的IGWO-LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)跟通過(guò)經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)的LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行評(píng)估。其中MAE、MAPE 和RMSE 的定義式分別見(jiàn)式（12）、式（13）和式（14）。

式中：x（t）為實(shí)測(cè)誤差值；（t）為模型預(yù)測(cè)誤差值；n為測(cè)試樣本個(gè)數(shù)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

4.1 電主軸熱誤差實(shí)驗(yàn)

此次采用的電主軸為某公司研制的一種臥式銑削加工中心的電主軸，其額定功率為11 kW，轉(zhuǎn)速可達(dá)到8 000 r／min。對(duì)其進(jìn)行空載運(yùn)行實(shí)驗(yàn)，測(cè)定其在環(huán)境溫度為22 ℃、轉(zhuǎn)速為5 000 r／min 下熱誤差數(shù)據(jù)。

采用基于LMS SCADAS 的高性能數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)控制系統(tǒng)，數(shù)據(jù)分析與處理系統(tǒng)采用Test.Lab Signature 軟件，軸向熱誤差的采集使用非接觸式電渦流位移傳感器。傳感器接線布置如圖5所示。

實(shí)驗(yàn)中溫度與熱誤差每2 min 采集一次樣本，共采集到120 個(gè)樣本，如圖6—7 所示。

圖7 電主軸軸向熱誤差Fig.7 Thermal error of motorized spindle along axis

由圖6—7 可知：溫升變化曲線與熱誤差變化曲線的變化趨勢(shì)比較相似。這是由于前期電主軸從靜止開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)，速度上升，溫度也快速上升，而熱誤差主要因?yàn)殡娭鬏S內(nèi)部熱源分布不對(duì)稱(chēng)、各零部件溫度上升不均勻而導(dǎo)致的，因此前期熱誤差變化也比較大；隨著電主軸進(jìn)入熱平衡狀態(tài)，溫升變化幅度減緩，熱誤差也逐漸趨于平衡。由熱膨脹理論可知，當(dāng)膨脹系數(shù)為常數(shù)時(shí)，可近似將溫升與熱誤差看作線性關(guān)系。

4.2 模型預(yù)測(cè)結(jié)果

根據(jù)第3 節(jié)，經(jīng)MATLAB 軟件編程運(yùn)算，兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比如圖8、9 所示。

圖8 IGWO-LSTM 模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比Fig.8 Comparison of IGWO-LSTM model prediction value and real value

圖8 與圖9 分別為兩種模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的對(duì)比。可知：IGWO-LSTM 模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合程度比經(jīng)驗(yàn)LSTM 模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的擬合程度更高，且IGWO-LSTM 模型預(yù)測(cè)最大誤差為0.63 μm，與原LSTM 模型預(yù)測(cè)誤差0.71 μm 相比減少11.3%，平均絕對(duì)百分比誤差減少0.027%，平均絕對(duì)誤差減少了70.5%，均方根誤差減少了69.1%，見(jiàn)表1。

表1 評(píng)估結(jié)果數(shù)據(jù)Tab.1 Evaluation result data

圖9 原LSTM 模型預(yù)測(cè)值與真實(shí)值對(duì)比Fig.9 Comparison of LSTM model prediction value and real value

5 結(jié)論

針對(duì)電主軸熱誤差預(yù)測(cè)模型誤差較大以及LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂性容易陷入局部最優(yōu)問(wèn)題，本文作者提出一種改進(jìn)的灰狼算法來(lái)對(duì)LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，進(jìn)而對(duì)電主軸熱誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)，并得到以下結(jié)論：

（1）通過(guò)對(duì)灰狼算法（GWO）中收斂因子進(jìn)行非線性計(jì)算方法的改進(jìn)，降低了其陷入局部最優(yōu)的可能性，且更適合實(shí)際情況下的收斂運(yùn)算。

（2）利用改進(jìn)后的灰狼算法算出最優(yōu)隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)，再將最優(yōu)節(jié)點(diǎn)數(shù)代入LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，然后將LSTM 預(yù)測(cè)所得值與實(shí)際值代入IGWO 適應(yīng)度函數(shù)中重新計(jì)算最優(yōu)隱藏層節(jié)點(diǎn)，以此循環(huán)往復(fù)形成一個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)，最終達(dá)到規(guī)定迭代次數(shù)或最小均方根誤差，最后通過(guò)MATLAB 軟件對(duì)電主軸熱誤差進(jìn)行訓(xùn)練，得到IGWO-LSTM 熱誤差預(yù)測(cè)模型，與經(jīng)驗(yàn)式計(jì)算下的隱藏層節(jié)點(diǎn)數(shù)的LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比對(duì)，IGWO-LSTM 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的平均絕對(duì)誤差、平均絕對(duì)百分比誤差和均方根誤差均優(yōu)于經(jīng)驗(yàn)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，因此IGWO-LSTM 能更好地實(shí)現(xiàn)電主軸熱誤差的預(yù)測(cè)。