白 璐，鄭瑞超，王 剛

(寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江 寧波 315211)

目標(biāo)定位作為一個(gè)經(jīng)典的研究課題，近幾十年以來一直備受關(guān)注。傳統(tǒng)的目標(biāo)定位在軍事領(lǐng)域主要采用雷達(dá)和聲納來定位敵對(duì)目標(biāo)，同時(shí)為己方目標(biāo)提供協(xié)助。然而，隨著半導(dǎo)體芯片技術(shù)、時(shí)鐘同步技術(shù)、移動(dòng)通信技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等現(xiàn)代技術(shù)的發(fā)展和成熟，目標(biāo)定位逐漸用于民用領(lǐng)域，如海洋監(jiān)測、醫(yī)療救援、交通控制和災(zāi)害預(yù)防等[1－3]，并日漸成為人類生產(chǎn)生活中不可或缺的一部分。

目標(biāo)定位通常需要布置一些位置已知的傳感器，通過各個(gè)傳感器與目標(biāo)之間的通信收集有效信息，然后運(yùn)行定位算法，以此完成定位。這些信息通常包括到達(dá)時(shí)間(Time of Arrival，TOA)[4－6]、到達(dá)時(shí)間差(Time Difference of Arrival，TDOA)[7－9]以及功率信息(如接收信號(hào)強(qiáng)度和聲音能量)[10－13]等。其中，基于TOA 的定位方法是通過尋找若干圓(二維)或球(三維)的交點(diǎn)來估計(jì)目標(biāo)位置，所以它又稱為圓(球)形定位，而基于TDOA 定位的方法則是通過尋找若干條雙曲線的交點(diǎn)來估計(jì)目標(biāo)位置，因而又被稱為雙曲線定位。在多輸入多輸出雷達(dá)及無源相干定位系統(tǒng)中，目標(biāo)定位通常由接收機(jī)觀測發(fā)射機(jī)發(fā)出并經(jīng)過目標(biāo)反射的信號(hào)來完成，充分利用接收機(jī)接收到的信號(hào)可以完成測距，這些測距信息可以形成以接收機(jī)和發(fā)射機(jī)位置為焦點(diǎn)的橢圓(橢球)，這種定位方式通常稱為橢圓(橢球)定位。本文研究的正是橢圓(橢球)定位，它需要發(fā)射機(jī)首先發(fā)出信號(hào)，然后通過幾個(gè)發(fā)射機(jī)－接收機(jī)對(duì)的測量傳播時(shí)間分別形成的橢圓的交點(diǎn)來確定目標(biāo)位置?，F(xiàn)有研究表明[14－15]，在接收機(jī)和發(fā)射機(jī)之間時(shí)鐘同步的情況下，橢圓定位具有比TDOA 定位更高的精度。具體來說，文獻(xiàn)[14]通過克拉美－羅下界(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)分析證實(shí)了在接收機(jī)和發(fā)射機(jī)具備時(shí)鐘同步的條件下，橢圓定位具有更低的CRLB。同時(shí)，文獻(xiàn)[15]通過CRLB 分析表明，當(dāng)發(fā)射機(jī)位置未知但發(fā)射機(jī)與接收機(jī)同步時(shí)，若使用直接路徑信息對(duì)發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置進(jìn)行聯(lián)合估計(jì)，也能夠取得更高的目標(biāo)定位精度。因此，橢圓定位被廣泛應(yīng)用于對(duì)空中無人機(jī)及水下目標(biāo)等的定位，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

接收機(jī)接收到的信號(hào)一般有兩種傳播途徑，一種是發(fā)射機(jī)的發(fā)射信號(hào)經(jīng)過目標(biāo)反射后再被接收機(jī)接收到，稱為間接路徑傳播；另一種則是不經(jīng)目標(biāo)反射直接被接收機(jī)接收，稱為直接路徑傳播，在這種情況下，信號(hào)從發(fā)射機(jī)到接收機(jī)的傳播過程不會(huì)攜帶任何關(guān)于目標(biāo)位置的信息，因此，當(dāng)發(fā)射機(jī)的位置完全已知時(shí)，只需獲得間接路徑的測量信息就可以完成目標(biāo)定位。然而，當(dāng)發(fā)射機(jī)的位置隨著時(shí)間變化或未知時(shí)，比如發(fā)射機(jī)位于導(dǎo)航系統(tǒng)無法通信的地區(qū)，或某些刻意隱藏發(fā)射機(jī)位置以減輕硬件要求的場景，在這些情況下，目標(biāo)位置的估計(jì)就會(huì)存在延時(shí)，從而使得估計(jì)出現(xiàn)偏差，甚至無法估計(jì)出真實(shí)的目標(biāo)方位。為解決這一問題，文獻(xiàn)[15]提出了兩步加權(quán)最小二乘方法(Two-Step Weighted Least Squares，TSWLS)來聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)的位置。該方法在大噪聲下能夠達(dá)到克拉美－羅下界，但同時(shí)會(huì)出現(xiàn)門限效應(yīng)，使得性能迅速惡化。文獻(xiàn)[16]提出了一種半正定規(guī)劃(Semidefinite Programming，SDP)方法來聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)的位置，該方法在大噪聲環(huán)境下具有穩(wěn)定的性能。然而，半正定松弛在小噪聲下可能使半正定規(guī)劃的解無法達(dá)到原問題的最優(yōu)解，導(dǎo)致其結(jié)果偏離CRLB。

為克服現(xiàn)有方法中存在的問題，本文中提出了一種三步估計(jì)法，其思想是將發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置分別估計(jì)。首先，通過對(duì)直接路徑模型處理，將該問題描述為廣義信賴域子問題(Generalized Trust Region Subproblem，GTRS)，以此得到發(fā)射機(jī)的初始位置估計(jì)。然后，將第一步估計(jì)的發(fā)射機(jī)位置代入間接路徑模型并把該問題表述為關(guān)于目標(biāo)位置的GTRS 問題，進(jìn)而可以完成對(duì)于目標(biāo)位置的初始估計(jì)。最后，本文通過構(gòu)造線性加權(quán)最小二乘問題來聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)的位置誤差項(xiàng)，以進(jìn)一步改善估計(jì)性能，從而得到精確的目標(biāo)和發(fā)射機(jī)位置估計(jì)。仿真結(jié)果表明，所提出方法的性能能夠在使用較少數(shù)量的接收機(jī)的情況下，即可達(dá)到克拉美－羅下界，并且與現(xiàn)有方法相比復(fù)雜度更低。

此處對(duì)本文所使用的符號(hào)進(jìn)行統(tǒng)一說明。粗體的小寫字母和大寫字母分別表示列向量和矩陣。a(1:k)表示向量a的第1 到第k個(gè)元素組成的向量。tr‖A‖是A的跡，diag(a)和diag(A)為a的元素構(gòu)成的對(duì)角矩陣和由A的對(duì)角元素構(gòu)成的向量。blkdiag(A，B)表示A和B在對(duì)角線上的塊對(duì)角矩陣。0k是k×1 維全零向量，Ik表示維度為k的單位矩陣。‖A‖和E[A]分別表示A的2 階范數(shù)和數(shù)學(xué)期望。ao是變量a的真實(shí)值。

1 測量模型

考慮k維空間中的橢圓定位問題(圖1)，發(fā)射機(jī)和目標(biāo)的位置分別用∈Rk和∈Rk表示，接收機(jī)的位置分布如圖所示，用，j＝1，…，N表示。假設(shè)發(fā)射機(jī)和接收機(jī)在時(shí)間上是同步的，且每個(gè)接收機(jī)將已知的發(fā)射機(jī)信號(hào)波形與兩條路徑的疊加信號(hào)相關(guān)聯(lián)。考慮到發(fā)射信號(hào)有足夠的帶寬和持續(xù)時(shí)間，兩個(gè)最強(qiáng)的峰值可通過互相關(guān)運(yùn)算分離，其位置對(duì)應(yīng)于直接和間接路徑的傳播時(shí)間。由于直接路徑信號(hào)的傳播距離較短，較小的一個(gè)是直接路徑傳播時(shí)間，另一個(gè)則是間接路徑傳播時(shí)間。

圖1 橢圓定位模型

由于在信號(hào)傳播速度已知的情況下，時(shí)間延遲和距離是成比的，本文在不引起歧義的情況下將它們互換使用。間接路徑的真實(shí)距離可表示為:

式中:表示發(fā)射機(jī)到目標(biāo)和目標(biāo)到第j個(gè)接收機(jī)之間的距離之和。直接路徑的真實(shí)距離為:

式中:表示發(fā)射機(jī)到第j個(gè)接收機(jī)之間的距離。

在實(shí)際中只能利用其帶有誤差的測量值，間接路徑和直接路徑的測量距離值可表示為:

式中:rj表示間接路徑的測量值，εr，j表示間接路徑測量噪聲，dj表示直接路徑的測量值，εd，j表示直接路徑測量噪聲。

2 三步閉式解方法

本文提出了一種三步估計(jì)方法來估計(jì)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)的位置。首先根據(jù)直接路徑測量模型式(4)構(gòu)造關(guān)于發(fā)射機(jī)位置的GTRS 問題，求解該GTRS 得到發(fā)射機(jī)的位置估計(jì)，然后將第一步估計(jì)的發(fā)射機(jī)位置代入間接路徑測量模型式(3)中構(gòu)造關(guān)于目標(biāo)位置的GTRS，從而可以得到目標(biāo)的位置估計(jì)。最后，通過構(gòu)造線性加權(quán)最小二乘問題來聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)位置的估計(jì)誤差以得到更精確的發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置估計(jì)。

2.1 第一步:發(fā)射機(jī)位置估計(jì)

對(duì)于直接路徑測量式(4)兩邊進(jìn)行平方并且忽略二階噪聲項(xiàng)得:

定義優(yōu)化變量＝[toT，‖to‖2]T，將式(5)表示成偽線性方程的形式:

根據(jù)式(6)，可以構(gòu)造如下約束加權(quán)最小二乘問題:

式中:Ik表示維度為k的單位矩陣。注意到問題(10)中的約束明確表示出了向量yd中元素之間的關(guān)系。

問題(10)是一個(gè)典型的GTRS，其雖然為一個(gè)非凸問題，但該問題可以求得全局最優(yōu)解，求解方法參考文獻(xiàn)[17－18]。根據(jù)文獻(xiàn)[17－18]，式(10)的全局最優(yōu)解具有如下形式:

式中:λ1表示拉格朗日乘子。由式(12)可看出，若獲得λ1的值，GTRS 的最優(yōu)解即可獲得。根據(jù)文獻(xiàn)[15－16]，λ1可通過求解如下非線性方程獲得:

式中:H表示λ1的區(qū)間范圍，具體表示如下:

式中:λd(?)表示矩陣?的最大特征值。通常，可采用二分法求解非線性方程式(13)。

由式(12)可以得到發(fā)射機(jī)的位置估計(jì):

值得注意的是，權(quán)重矩陣Wd＝(BdQd)－1依賴于未知的發(fā)射機(jī)真實(shí)位置to。在算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，本文首先設(shè)置矩陣Bd為單位矩陣即Wd＝(Qd)－1求得發(fā)射機(jī)位置的初始估計(jì)，然后用初始估計(jì)值更新權(quán)重矩陣Wd，再一次求解式(12)得到最終估計(jì)。

2.2 第二步:目標(biāo)位置估計(jì)

在第二步中，本文將利用間接路徑模型估計(jì)目標(biāo)位置。將第一步中發(fā)射機(jī)位置估計(jì)寫為＝to＋Δt，其中Δt是發(fā)射機(jī)位置估計(jì)誤差，并將＝to＋Δt代入模型(3)得:

對(duì)式(16)兩邊平方并忽略二階噪聲項(xiàng)得:

為了便于運(yùn)算，定義變量＝[uoT，‖uo－‖]T，由此可將式(17)表示成偽線性方程的形式:

式中:向量br為:

矩陣Ar、Br和Er表達(dá)式如下

根據(jù)式(18)可構(gòu)造如下約束加權(quán)最小二乘問題:

式(23)為一個(gè)GTRS。因此，通過類似于2.1 節(jié)中的求解方法即可得到目標(biāo)位置估計(jì)。令表示優(yōu)化變量yr的估計(jì)，其可表示為:

式中:λ2表示拉格朗日乘子，且其是下列方程的唯一解:

由式(25)可以得到目標(biāo)位置估計(jì):

權(quán)重矩陣Wr依賴于協(xié)方差矩陣和真實(shí)目標(biāo)位置。一方面，根據(jù)文獻(xiàn)[16]，在大噪聲時(shí)，第一步中的發(fā)射機(jī)估計(jì)為近似無偏且趨近于CRLB。因此，協(xié)方差矩陣Qt可使用CRLB 近似，其中，CRLB 表達(dá)式中的發(fā)射機(jī)真實(shí)位置可用發(fā)射機(jī)位置估計(jì)代替，即:

另一方面，類似2.1 節(jié)，本文首先通過設(shè)置矩陣Bd為單位矩陣即Wr＝(Qr)－1，求得目標(biāo)位置的初始估計(jì)，然后用初始估計(jì)值更新一次權(quán)重矩陣Wr，再一次求解式(25)得到最終估計(jì)。

2.3 第三步:發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置估計(jì)的進(jìn)一步精確

在前兩步估計(jì)中，本文依次估計(jì)發(fā)射機(jī)和目標(biāo)的位置。當(dāng)直接路徑和間接路徑測量噪聲存在相關(guān)性時(shí)，分步估計(jì)將導(dǎo)致一定的性能損失而無法達(dá)到聯(lián)合估計(jì)的CRLB。本節(jié)通過構(gòu)造線性加權(quán)最小二乘問題以進(jìn)一步提高發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置的估計(jì)精度，其思想是聯(lián)合估計(jì)發(fā)射機(jī)和目標(biāo)的位置誤差，并利用估計(jì)誤差校正前兩步的估計(jì)，使其能夠趨近于CRLB。

本文的思想是構(gòu)造關(guān)于Δu和Δt的線性加權(quán)最小二乘問題。為此，分別將式(28)和式(29)進(jìn)行一階泰勒展開，得:

令Δφ＝[ΔuT，ΔtT]T，可將式(30)和式(31)表示成如下線性方程:

式中:矩陣A＝[，]T，向量b的表達(dá)式為:

由于式(32)為關(guān)于Δφ的線性方程，其線性最小二乘估計(jì)為:

式中:W＝Q－1表示權(quán)重矩陣。

3 分析

3.1 估計(jì)性能分析

在本節(jié)中，證明所提方法的估計(jì)均方誤差(Mean Square Error，MSE)在大噪聲條件下能夠趨近于CRLB。

將式(32)代入式(36)，誤差項(xiàng)δ＾φ＝[δuT，δtT]T可通過以下計(jì)算得到:

根據(jù)式(38)，易知δ＾φ的MSE 為:

顯然，A中包含誤差項(xiàng)，可令A(yù)＝Ao＋ΔA。當(dāng)噪聲足夠小時(shí)，估計(jì)誤差ΔA二次項(xiàng)可忽略。由此，A＝Ao＋ΔA代入上式并僅保留一階誤差項(xiàng)，有:

根據(jù)Neumam[19]公式可得:

由于E[ΔA]＝0，所以式(41)第二項(xiàng)取期望后為0，即:

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，不難驗(yàn)證，CRLB 的表達(dá)式為:

因此，在足夠小的噪聲下，最終估計(jì)的均方誤差能夠趨近于CRLB。

3.2 復(fù)雜度分析

本文所提出方法需要求解兩次GTRS 及一次線性加權(quán)最小二乘問題，主要計(jì)算復(fù)雜度為O(2N2m＋T1m3＋T2m3)[17]，其中N是接收機(jī)的數(shù)量，m＝k＋1，T1、T2分別為兩步GTRS 問題的迭代次數(shù)。對(duì)于二維定位問題，GTRS 中的λ1和λ2為一元四次方程的根，有閉式表達(dá)式，因此不需要迭代，即T1＝T2＝1，復(fù)雜度為O(2N2m＋2m3)；對(duì)于三維定位問題，λ1和λ2為一元六次方程的根，需要進(jìn)行迭代求解，復(fù)雜度為O(2N2m＋T1m3＋T2m3)，T1、T2與搜索區(qū)間相關(guān)，以T1為例，設(shè)其搜索區(qū)間為[p，q]，則T1滿足T1>log2[(qp)/γ]的最小整數(shù)，其中γ為求解精度。文獻(xiàn)[16]中SDP 方法的計(jì)算復(fù)雜度為O{4N2(m＋2)＋(2m＋5)0.5×[5(2m＋3)3＋25(2m＋3)2＋10m2＋125]}。相比之下，本文方法的計(jì)算復(fù)雜度低于SDP 方法。

4 仿真結(jié)果

本節(jié)將通過數(shù)值仿真來評(píng)估所提出的方法的性能。簡易起見，本節(jié)只考慮三維情況，因?yàn)槎S場景的觀察結(jié)果是類似的。同時(shí)，給出TSWLS[15]、SDP[16]以及最大似然估計(jì)(Maximum Likelihood Estimator，MLE) 的性能作為比較，其中MLE 是由MATLAB 函數(shù)“fminunc”以真實(shí)的發(fā)射機(jī)和目標(biāo)位置作為初始值迭代求解。通過MSE 來評(píng)估所提出方法的性能，其定義如下:

式中:tr{Qo}表示Qo的跡，σ2表示測量噪聲功率。τ的定義為，其中，γ表示信號(hào)經(jīng)過目標(biāo)反射后的噪聲損失，本文設(shè)置γ＝3 dB。

4.1 使用四個(gè)接收機(jī)

考慮在三維空間中定位一個(gè)目標(biāo)，其位置坐標(biāo)uo＝[－1 000，500，1 500]Tm，發(fā)射機(jī)和接收機(jī)的位置坐標(biāo)是從(－4 000，4 000)×(－4 000，4 000)×(1 000，3 000)m3區(qū)域中隨機(jī)產(chǎn)生。使用一個(gè)發(fā)射機(jī)和四個(gè)接收機(jī)來評(píng)估所提出方法的性能，噪聲設(shè)置為相關(guān)噪聲。圖2 和圖3 分別給出了隨噪聲水平變化時(shí)目標(biāo)和發(fā)射機(jī)位置估計(jì)仿真結(jié)果。由圖中可以看出，在小噪聲下，本文所提出的方法能夠趨近于CRLB。而由于松弛導(dǎo)致SDP 即使在小噪聲下也無法保證全部產(chǎn)生秩為1 的解，其性能低于本文所提出的閉式解方法。而在大噪聲下，雖然所提方法的性能略低于MLE 和SDP，但其復(fù)雜度低于這兩種方法。而SDP 方法雖然性能穩(wěn)定，但在接收機(jī)數(shù)量較少的情況下，由于松弛導(dǎo)致SDP 獲得秩為1 的解較少，因此在大噪聲下也無法趨近于CRLB。注意到在大噪聲下MLE 的均方誤差低于CRLB，這是由于MLE 問題的非凸性，無法保證取得全局最優(yōu)解而可能收斂到真實(shí)位置附近的局部點(diǎn)，從而導(dǎo)致最大似然估計(jì)是有偏估計(jì)，進(jìn)而使MLE 的性能甚至低于CRLB。最后，由于接收機(jī)的數(shù)量較少，無論是目標(biāo)位置還是發(fā)射機(jī)位置，無論在小噪聲還是大噪聲下，TSWLS 方法均無法精確估計(jì)。

圖2 使用4 個(gè)接收機(jī)時(shí)不同方法對(duì)于目標(biāo)位置估計(jì)MSE 比較

圖3 使用4 個(gè)接收機(jī)時(shí)不同方法對(duì)于發(fā)射機(jī)位置估計(jì)MSE 比較

4.2 使用五個(gè)接收機(jī)

由4.1 節(jié)知，當(dāng)使用四個(gè)接收機(jī)時(shí)，TSWLS 方法無法正常工作，因此，在本節(jié)增加一個(gè)接收機(jī)，即使用五個(gè)接收機(jī)去評(píng)估所有方法的性能。增加的一個(gè)接收機(jī)位置從相同的空間中隨機(jī)產(chǎn)生，其他參數(shù)設(shè)置均與4.1 節(jié)相同。圖4 和圖5 分別給出了目標(biāo)和發(fā)射機(jī)位置的估計(jì)結(jié)果。由圖可得，當(dāng)使用五個(gè)接收機(jī)時(shí)，TSWLS 性能有了很大的提升，但仍不理想。盡管SDP 在大噪聲時(shí)的性能略優(yōu)于本文所提出的方法，但在小噪聲時(shí)的性能仍然無法趨近于CRLB。在性能接近的情況下，本文所提出的方法可應(yīng)用于計(jì)算能力不足時(shí)的場景。由于為有偏估計(jì)，MLE 在大噪聲時(shí)仍然略低于CRLB。

圖4 使用5 個(gè)接收機(jī)時(shí)不同方法對(duì)于目標(biāo)位置估計(jì)MSE 比較

圖5 使用5 個(gè)接收機(jī)時(shí)不同方法對(duì)于發(fā)射機(jī)位置估計(jì)MSE 比較

5 結(jié)束語

本文研究了發(fā)射機(jī)位置未知情況下的單目標(biāo)橢圓定位，提出了一種三步估計(jì)方法。由于三步估計(jì)中的子問題均可以獲得全局最優(yōu)解，因此，不存在局部收斂和發(fā)散等問題，且所提出的方法具有極低的計(jì)算復(fù)雜度。理論性能分析和仿真驗(yàn)證表明本文所提方法能夠趨近于CRLB。

本文僅考慮單目標(biāo)定位問題。對(duì)于多目標(biāo)定位問題，發(fā)射機(jī)發(fā)出的信號(hào)經(jīng)過多目標(biāo)反射后到達(dá)接收機(jī)，由于為同一信號(hào)，接收機(jī)無法區(qū)分信號(hào)來自于哪一個(gè)目標(biāo)，即存在數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，若解決了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，多目標(biāo)定位問題就變?yōu)槎鄠€(gè)單目標(biāo)定位問題。多目標(biāo)定位問題中存在的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題，這將作為我們未來的研究工作。