張耀文，趙 晶?，何 穎，霍林生

(1.大連交通大學材料科學與工程學院，遼寧 大連 116028；2.大連科技學院交通運輸學院，遼寧 大連 116052；3.大連理工大學建設工程學部，遼寧 大連 116024)

近年來，壓電阻抗法在結構健康監(jiān)測領域得到了廣泛應用[1－2]，如損傷檢測[3]、混凝土強度監(jiān)測[4]、螺栓松動[5]等。PZT 片粘貼狀態(tài)的導納理論模型，是壓電阻抗法應用的理論基礎。Liang 等[6]首先提出了基于機械阻抗概念的一維導納模型，通過定義PZT 與結構的機械阻抗，把PZT 與結構當成一個耦合系統(tǒng)來考慮，損傷會導致耦合系統(tǒng)的機械阻抗發(fā)生變化，進而改變PZT 的導納。在Liang等[6]提出的模型中，沒有考慮PZT 與結構之間的膠層影響。為了研究膠層的影響，Xu 等[7]把膠層簡化為處于PZT 和結構之間的一維彈簧質量阻尼結構，通過引入粘結系數(shù)的概念來建立導納模型。Zhou等[8]對Liang 等[6]提出的一維機械阻抗模型進行了擴展，提出了二維導納模型。但由于未知參數(shù)多于已知方程，計算難度很大。Bhalla 等[9]基于等效機械阻抗的概念，提出了一個更加實用的二維導納模型。該模型中只有結構的等效機械阻抗這一個未知量，但僅適用于正方形PZT 片。Wang 等[10]基于等效機械阻抗的概念，針對嵌入式方形PZT 傳感器，提出了三維導納模型。左春愿等[11]基于等效機械阻抗的概念，針對嵌入式圓形PZT 傳感器，提出了三維導納模型。以上模型均是基于機械阻抗的概念建立的，除此之外，還有一些學者基于其他的理念建立導納模型。孫慷等[12]基于梅森等效電路，假定外力(聲動勢)與外加電壓成比例來建模，定性地分析了不同外力條件下PZT 片的振動情況。Giurgiutiu等[13]提出了基于結構動剛度的導納模型，把結構的影響考慮為PZT 片的一個邊界約束條件，認為結構的損傷等變化會改變這個邊界條件，進而影響PZT的導納。

綜合分析以上模型，均是把結構簡化為一個變量(以下簡稱結構變量)來考慮。當結構變量發(fā)生變化時，PZT 的導納也會隨之改變。壓電阻抗法適用的前提是結構的損傷等變化會使結構變量發(fā)生改變。然而，由于結構的復雜性，各模型中的結構變量通常難以計算或只能對特定的細小結構進行近似計算[14]。因此，關于結構的損傷等變化改變結構變量的機理尚不明確，理論模型難以給壓電阻抗法的應用提供更加深入的理論支撐。另外，由于結構變量計算的復雜性，模型的計算結果與實驗的相符程度也就難以廣泛考量。目前，針對各模型的適用性的對比研究尚較為缺乏。

因僅基于粘貼后的導納測量實驗難以評價各模型的適用性，本文嘗試從PZT 粘貼前和粘貼后的導納曲線變化的角度尋找規(guī)律，進而對各模型進行對比分析。首先從力學原理的角度，對三種理論模型進行分析研究，然后結合實驗中得出的粘貼前后的導納曲線會發(fā)生的頻移和幅值變化，定性地探討各模型的適用性。

1 PZT 導納理論模型

1.1 PZT 自由狀態(tài)一維導納模型

考慮圖1 所示的矩形PZT 薄片，其厚度b遠小于長l和寬w。在上下主表面被有電極，沿厚度方向極化。

圖1 矩形PZT 片示意圖

當施加于兩個電極上的交變電壓的頻率相對較低(如<1 MHz)時，PZT 的運動以橫振動為主，即沿長度和寬度方向產(chǎn)生相同頻率的伸縮振動。以長度較大于寬度的長條片為例，在一定的頻率范圍內，橫振動以長度伸縮振動為主。考慮此一維伸縮振動，當施加正弦信號激勵時，其壓電方程[15]為:

式中:S1為x方向的應變，T1為x方向的應力，E3為z方向的電場強度，D3為z方向的電位移，sE11為電場恒定時的彈性柔順常數(shù)，d31為壓電應變常數(shù)，εT33為應力恒定時的介電常數(shù)。

其運動方程為:

式中:u為位移，A，B為待定系數(shù)，k為波數(shù)，ω為激勵正弦信號的角頻率。

設其兩端的速度分別為v1、v2，則應力T1可表示為:

由式(1)、式(2)、式(4)，可得通過壓電片的電流為:

自由振動時，兩端速度大小相等，方向相反，且端部所受的外部力為0。由此可解出端部速度，進而求得壓電片自由振動的導納為:

1.2 PZT 粘貼狀態(tài)一維導納模型

當PZT 粘貼到結構表面時，由于結構的影響，其導納模型變得復雜。孫慷等[12]基于梅森等效電路，假定外力(聲動勢)與外加電壓成比例，得出的導納模型(以下簡稱等效電壓模型)為:

式中:B為外力與外加電壓的比例系數(shù)。

Liang 等[6]提出了基于機械阻抗概念的一維導納模型，其表達式為:

在該模型中，結構的機械阻抗，定義為驅動力與響應速度的比值[6]:

式中:F為PZT 與結構的相互作用力。

Giurgiutiu 等[13]通過引入結構動剛度的概念，把結構施加給PZT 的力簡化為:

式中:kstr為結構的動剛度。

進而得出PZT 的導納為:

為方便對比，將式(8)表達的一維導納模型進行簡化。設粘貼后PZT 的振動仍是對稱的，長度方向兩端的速度大小相等。結合式(4)和(9)，令:

反解出邊界速度v2后，代入式(5)，可得導納的表達式為:

對比式(9)和式(10)，可以發(fā)現(xiàn)，從力學角度看，式(9)是力與速度的關系，和阻尼理論中的粘滯阻尼類似。所以，結構的機械阻抗可理解為結構給PZT 片施加的阻尼力的阻尼系數(shù)。換言之，機械阻抗的理念，實際是把結構對PZT 運動的影響視作對PZT 片的運動施加了一個阻尼力，該影響通過阻尼系數(shù)來體現(xiàn)。

式(10)是力與位移的關系，和彈簧力類似。所以，結構的動剛度，可理解為結構給PZT 片施加的彈性力的剛度系數(shù)。換言之，結構動剛度的理念，實際是把結構對PZT 運動的影響視作對PZT 片的運動施加了一個彈性力，該影響通過剛度系數(shù)來體現(xiàn)。

可見，三種模型均是在自由狀態(tài)的一維導納模型的基礎上建立的，不同之處在于各模型使用不同的結構變量來表達基體結構的影響。其中，等效電壓模型使用外加電壓的比例系數(shù)作為結構變量，機械阻抗模型使用結構的機械阻抗作為結構變量，結構動剛度模型使用結構的動剛度作為結構變量。

1.3 PZT 圓片二維導納模型

以上各模型均為只考慮一維振動的理想化的模型。在實際工程應用中，使用的PZT 片多以矩形或圓形為主，同時存在二維或三維的運動。為通過實驗對以上各模型進行對比，基于各理念，將模型推廣為圓形PZT 薄片橫振動的二維模型。因推導過程類似于一維模型，文中不再重復。對于如圖2 所示的PZT 圓片(半徑為a，厚度為b)，自由狀態(tài)及粘貼狀態(tài)的導納表達如下。

圖2 PZT 圓片示意圖

自由狀態(tài)下，圓形PZT 薄片的徑向振動導納模型為:

基于外力與外加電壓成比例的假定，可得等效電壓模型為:

基于機械阻抗理念的二維導納模型可表達為:

基于結構動剛度理念的二維導納模型可表達為[13]:

需要強調的是，式(15)～式(17)中分別只有一個待定變量，即比例系數(shù)B、機械阻抗Zs、動剛度kstr。當該變量為0 時，表示不存在結構的影響，即PZT 片處于自由振動狀態(tài)。此時各式與式(14)也完全一致。相反，粘貼之后，導納的變化也只歸因于該變量的變化。換言之，結構的一切影響均只通過該變量(以下簡稱結構變量)來反映。然而，關于該結構變量如何獲得，研究者都僅針對特定的細小結構提出了方法，但計算非常復雜[14]。因此，想要直接通過理論計算與實驗測量來分析粘貼后理論模型的適用性比較困難。然而，從上述分析中可知，自由狀態(tài)下的導納是可以直接計算的，且自由狀態(tài)和粘貼狀態(tài)的導納僅差一個結構變量。盡管結構變量不能直接獲得，但通過對結構變量進行適當取值來分析粘貼后導納曲線的變化規(guī)律是可行的。若能找到粘貼前后導納曲線會發(fā)生的變化規(guī)律，即可從定性的角度對粘貼狀態(tài)的導納模型進行對比分析。因此，以下首先通過實驗來分析粘貼前后PZT 片導納曲線的變化規(guī)律。

2 實驗分析

2.1 實驗設計

為區(qū)分于結構變量的不同取值，文章選取了三種不同的材料板(亞克力、鋁和不銹鋼)開展實驗。把相同的PZT 圓片粘貼到不同材料板上，通過測量粘貼前后PZT 片的導納曲線，來分析不同結構變量對導納曲線的影響規(guī)律。實驗選用的PZT 片為直徑16 mm，厚度0.6 mm 的薄片，類型為PZT－5H，相關參數(shù)列于表1。

表1 PZT 片的參數(shù)表

步驟1 自由狀態(tài)導納測量。首先通過測量自由狀態(tài)下PZT 的導納，篩選出一致性較好的PZT 片用于后續(xù)實驗。檢測時，使用自制的夾具夾持PZT片圓心位置，如圖3(a)所示。導納測量設備為Keysight E4990A 阻抗分析儀。測量頻率范圍為1 kHz～1 MHz。因該阻抗分析儀單次測量的頻率點數(shù)最多為1 601，為獲得更多頻率點的導納值，把整個測量頻段分為10 段，1 kHz～100 kHz，100 kHz～200 kHz，200 kHz～300 kHz，…，900 kHz～1 MHz。掃描方式選擇為線性掃描。實驗現(xiàn)場如圖3(b)所示。

圖3 實驗設備及設置

步驟2 粘貼狀態(tài)導納測量。將篩選出的PZT片分別粘貼到亞克力板、鋁板和不銹鋼板上。板的尺寸均為200 mm×200 mm×1 mm。PZT 片均粘貼在板的中心位置。粘貼使用的膠水為超聲波振動專用膠水(科美達KMD－398)。根據(jù)Islam 等[16]的研究，膠層的厚度會影響PZT 片的導納。因此，粘貼時，盡量保證了各PZT 片的用膠量相同，且涂抹盡量均勻。粘貼后，使用1 kg 的鋼塊進行按壓固化24 h，以盡量減少粘膠差別對實驗的影響。待固化后，給每個PZT 片焊接連接導線，然后依次進行導納測量。測量過程中，各材料板使用商用包裝采用的泡沫板來支撐。

2.2 實驗數(shù)據(jù)分析

PZT 片粘貼前后的導納測量結果如圖4 所示。從圖4 可見，粘貼后，導納曲線均有明顯的變化。各階諧振頻率對應的幅值明顯減小。粘貼到不同材料上后，PZT 的導納會發(fā)生不同的變化。兩塊金屬板上的PZT 的導納曲線上出現(xiàn)了非常密集的局部峰。局部峰在一階諧振頻段最為強烈，在低頻段和二階諧振頻段也有明顯分布。但亞克力板上PZT 的導納曲線依然較為光滑，只在一階諧振頻段有很弱的局部峰，且分布非常稀疏。需要說明的是，對于粘貼后的PZT片，因機械邊界條件影響，其振動隨頻率的變化非常復雜。上述內容中的一階諧振頻率，實際是為簡化分析而類比出的結果。對比亞克力板上PZT 片粘貼前后的導納曲線變化，粘貼后導納曲線仍相對光滑，導納曲線仍有類似自由狀態(tài)下的變化趨勢，但各階諧振頻率頻段發(fā)生了不同程度的向左偏移。對比鋁板和不銹鋼板對應的導納曲線300 kHz 以上的頻段在粘貼前后的變化，各階諧振頻段也發(fā)生了明顯的向右偏移。因此，為簡化分析，可做出以下類比結果:當PZT片粘貼到結構上后，其導納曲線上的各階諧振頻率段都會發(fā)生不同程度的偏移，且偏移的方向一致。但因某些材料會使PZT 片的導納曲線上出現(xiàn)密集的局部峰，會“淹沒”掉一階諧振頻率段。基于這一類比分析，結合圖4(b)、圖4(c)，可認為鋁板和不銹鋼板對應的導納曲線上的一階諧振頻段為200 kHz 附近，為局部峰最為密集且強度最大的頻段。在實驗中，只有板的材料這一個變量。因此可見，粘貼后，結構的材料會對PZT 的導納產(chǎn)生不同的影響。

圖4 粘貼到不同材料后的導納曲線變化

除了局部峰的不同外，各導納曲線的一階諧振頻率也有明顯的不同。亞克力板上PZT 導納的一階和二階諧振頻率及反諧振頻率均出現(xiàn)了明顯的左移(負頻移)。而兩塊金屬板上PZT 導納的一階和二階諧振頻率及反諧振頻率均出現(xiàn)了明顯的右移(正頻移)。但因密集局部峰的存在，一階諧振及反諧振頻率的位置并不能很直觀地觀察到。為此，采用Origin軟件中的非對稱最小二乘平滑算法對粘貼后的PZT導納曲線進行基線創(chuàng)建，進而把導納的主體部分和局部密集峰進行分離。創(chuàng)建基線時的參數(shù)設置如表2所示。基線創(chuàng)建及局部密集峰分離的結果如圖5 所示，其中，圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)中的局部峰曲線為原始導納減去基線后的結果，稱為局部峰曲線。

表2 非對稱最小二乘平滑模式創(chuàng)建基線的參數(shù)設置

圖5 基線創(chuàng)建及對比

圖5(d)中的各基線曲線均放大了10 倍，且縱坐標沿縱軸方向進行了適當?shù)钠?。為對比粘貼前后導納曲線的頻移情況，自由狀態(tài)下檢測的導納曲線也在圖5(d)中繪出。若以基線上第一、二個局部最大值作為一、二階諧振頻率點，從圖5 可以看出，粘貼后，前兩階諧振頻率均會發(fā)生明顯的頻移現(xiàn)象。對于亞克力板，前兩階諧振及反諧振頻率均出現(xiàn)明顯左移，而對于金屬板，前兩階諧振頻率均明顯右移。但是，不銹鋼板和鋁板的上PZT 導納的頻移仍有明顯不同。相比之下，不銹鋼板對應的頻移更大。這一點，在二階諧振及反諧振頻率處體現(xiàn)得更加直觀。更高階的諧振因不容易分清，暫不討論。

3 模型適用性分析

通過實驗可知，頻移和幅值變化是粘貼前后導納發(fā)生的兩個主要變化?；诖艘?guī)律，就PZT 圓片粘貼狀態(tài)下的各導納理論模型的適用性進行分析。首先根據(jù)式(14)計算1 kHz～1 MHz 頻段上自由PZT 圓片的導納。計算中使用的PZT 尺寸與實驗相同，參數(shù)如表1 所示。需要說明的是，由于實驗使用的PZT 是有損耗的，在使用模型計算時，也要包含損耗。相關損耗因子是根據(jù)Zhuang 等[17]提出的方法測量并計算得到的，如表1 所示。用于k31模式的測量試樣尺寸為20 mm×2 mm×1 mm，用于kp模式的測量試樣尺寸為直徑16 mm、厚度1 mm。

計算結果與實驗測量結果繪制于圖6。從圖6可以看出，計算結果中的各階諧振反諧振頻率總體較小，差異可能來自，①實驗所用的PZT 片尺寸有誤差；②為方便粘貼，實驗用PZT 片的電極引出到了同一面，減小了電極面積。③計算模型只考慮了PZT 片的徑向振動，但在實驗中，同時存在厚度向及其他方向的振動。④因生產(chǎn)廠家提供的參數(shù)只是一個中位數(shù)[18]，計算中所使用的參數(shù)可能與實驗使用的PZT 參數(shù)有所偏差。盡管有差異，但總體來看，計算結果與實驗測試結果比較相符，自由狀態(tài)的導納模型能較好地表達真實情況。

圖6 自由狀態(tài)下的導納模型與實驗測試結果對比

在模型計算中考慮損耗后，整個計算在復數(shù)域進行，想通過實驗來反解出對應的結構變量難度很大。另外，結構對PZT 的影響是一個復雜的問題，在模型中只用一個變量來考慮，本身也讓獲取變量的具體數(shù)據(jù)更加困難。所以，想通過直接對比粘貼條件下的理論結果和實驗結果來評價各模型的適用性難以實現(xiàn)。通過實驗可以發(fā)現(xiàn)，頻移和幅值變化是粘貼后的兩個明顯特征。因此，以下僅定性地分析各模型是否能有效表達粘貼前后諧振頻率和反諧振頻率的頻移和幅值變化。

對于等效電壓模型，由式(15)可知，當B＝0時，計算結果為自由狀態(tài)的導納。當時，計算結果為頻率的一次函數(shù)，相當于一個固定電容的導納，此時，PZT 片處于徑向完全夾緊狀態(tài)。若不考慮損耗，此時的B≈1.175。對于機械阻抗模型和結構動剛度模型，由式(16)、式(17)可知，當Zs＝0 或kstr＝0 時，計算結果為自由狀態(tài)的導納。理論上，可以通過式(16)、式(17)計算出對應PZT 片處于徑向完全夾緊狀態(tài)時的Zs或kstr值，但因計算涉及復數(shù)運算，且與頻率有關，實際計算較為復雜。因文章僅就頻移和幅值變化趨勢對各模型做定性分析，各結構變量值可通過試算分析導納曲線變化的方式來選取。即通過選取適當?shù)闹担瑥膶Ъ{曲線的變化上觀察，找出使基頻諧振接近“抑制”的變量值，為結構變量的最大(小)值。然后在零和最大(小)值之間選取幾個代表性的值來分析頻移和幅值變化。各模型計算得到的導納曲線隨結構變量的變化如圖7 所示。

圖7 各模型中導納曲線隨結構變量變化的比較

圖7 中，各曲線都是結構變量取特定值的計算結果。選定的各變量值為經(jīng)大量取值試驗后，挑選出可表達出該模型導納曲線變化趨勢的若干代表性變量值。圖7 中標注的數(shù)字即為各結構變量選定的具有代表性的特定值。圖7(a)中的變量為比例系數(shù)B，圖7(b)中的變量為結構機械阻抗Zs，圖7(c)中的變量為結構動剛度kstr。即在計算不同頻率點的導納時，該結構變量是固定值。在這種情況下，各模型計算出的導納曲線均為光滑曲線，而沒有出現(xiàn)局部峰。而且，不同的結構變量值，只會讓曲線出現(xiàn)幅值變化和頻移現(xiàn)象。圖7(a)顯示，比例系數(shù)B 的變化只會使反諧振頻率出現(xiàn)頻移，諧振頻率保持不變，與實驗不符。圖7(b)顯示，機械阻抗Zs的變化只會使諧振頻率出現(xiàn)負頻移，反諧振頻率出現(xiàn)正頻移，不會出現(xiàn)圖4、圖5 所示的整體負頻移或正頻移。圖7(c)顯示，動剛度kstr的變化可以使諧振頻率和反諧振頻率出現(xiàn)整體的負頻移或正頻移。這一方面，與實驗結果較為相符。但正頻移時，諧振和反諧振頻率間導納坡度變陡，負頻移時，諧振幅值減小很少，反諧振幅值不增反減。這些都與實驗不符。各模型對比分析結果列于表3。

表3 各模型對比分析結果

另外，從圖7 可以看出，各理論模型中的導納曲線在220 kHz 左右，都會趨向同一點，這一點與實驗檢測結果不相符。從數(shù)學角度講，是因為各模型中決定諧振頻率的項分子中都包含有J1(ka)項，當該項接近于0 時，導納曲線主要由靜態(tài)項(各模型中的前兩項)決定。從力學角度講，可能是在建立各模型時，均把結構對PZT 的影響只簡化為邊界力，而實際上，是PZT 與膠粘接的整個面都會受到結構的影響。需要說明的是，各理論模型都未考慮膠層影響，均假定了PZT 與結構之間為理想粘貼。但因實驗主要用于定性地探索粘貼前后PZT 片導納曲線發(fā)現(xiàn)的變化，所以在膠層盡量一致的情況下，可以不考慮膠層對實驗結果的影響。

粘貼狀態(tài)的導納理論模型的一個重要應用是，結構健康監(jiān)測中用于檢測結構損傷等變化的壓電阻抗法[1]。目前，壓電阻抗法雖然被國內外學者廣泛地采用，但在實際應用時，多止步于通過試錯或經(jīng)驗驗證方法對結構的特定損傷或變化的敏感性，關于檢測頻率選擇、檢測敏感區(qū)域范圍、對損傷敏感的深層機理等尚缺乏系統(tǒng)的研究。開展對粘貼狀態(tài)導納理論模型的研究，可以進一步認識各理論的形成基礎及適用范圍，進而為壓電阻抗法等應用的探索和完善奠定理論基礎。

4 結論

本文對現(xiàn)有的PZT 薄片粘貼狀態(tài)的導納理論模型進行了對比研究，從力學角度分析了各模型對粘貼條件的簡化，并結合實驗中相同PZT 圓片粘貼在不同材料的結構上后導納曲線出現(xiàn)的頻移和幅值變化，對各模型的適用性進行了對比分析，主要結論有:

①從力學角度分析，機械阻抗模型是把結構影響簡化為速度阻尼，動剛度模型是把結構影響簡化為速度阻尼彈性力。

②比例電壓模型和機械阻抗模型，不能體現(xiàn)粘貼后諧振反諧振頻率的一致頻移現(xiàn)象。動剛度模型可以較好地體現(xiàn)粘貼后諧振反諧振頻率的一致頻移和正頻移時的幅值減小，但不能體現(xiàn)負頻移時幅值的大幅減小。