劉 偉,許西惠,萬志勇

(1.常州機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機械工程學(xué)院,江蘇 常州 213164; 2.常州智戌新能源電力科技有限公司,江蘇 常州 213164)

0 引言

自有明確記載以來,人類對輸流管路的大面積使用最早可追溯至兩千多年前的春秋戰(zhàn)國時期,彼時的人們已掌握了灌溉以及排水用管道系統(tǒng)的設(shè)計與鋪設(shè)。時至今日,輸流管路以其設(shè)計原理易懂、制造方法多樣、空間構(gòu)型多變、維護成本低廉等優(yōu)勢被廣泛應(yīng)用于各種場合,如：石油、天然氣輸送系統(tǒng)[1],核反應(yīng)堆冷卻系統(tǒng)[2],城市供水、供熱系統(tǒng)[3],車輛氣動懸架系統(tǒng)[4]等。近年來,隨著科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展,微型管路[5-6]、功能梯度管路[7-9]等新型管路應(yīng)運而生并被成功用于生物醫(yī)療、航空航天、材料科學(xué)等尖端領(lǐng)域?；谄洳粩鄶U大的使用范圍,世界范圍內(nèi)的學(xué)者對輸流管路流固耦合動力學(xué)問題的研究熱度也與日俱增?？傮w來講,當前對輸流管路的研究分為實驗研究和理論研究兩個方面,前者主要通過實驗來發(fā)現(xiàn)新問題,借此改進結(jié)構(gòu)或設(shè)備,后者則主要集中于新的建模理論和數(shù)值算法的研究。

在理論研究方面,自1974年由著名學(xué)者Paidoussis和Issid[10]提出的考慮了多種因素的比較完整的線性運動方程開始至今,借助于同時期飛速發(fā)展的計算機技術(shù),學(xué)者們在建模理論和數(shù)值算法方面,均發(fā)表了大量的研究成果,如：Ni等[11]利用微分變換法(DTM)研究了典型支承形式輸流直管的固有頻率與流速的關(guān)系,并計算了特定工況下的臨界流速;針對復(fù)雜空間構(gòu)型管路系統(tǒng),Dai等[12]針對三維管路系統(tǒng)建立了一種近似的運動方程,并利用傳遞矩陣法(TMM)研究了系統(tǒng)的固有頻率以及頻率響應(yīng)等問題;Zhao等[13]將TMM和Laplace變換相結(jié)合,提出了一種新的傳遞矩陣法,并成功用于研究輸流彎管的固有頻率與彈性系數(shù)的關(guān)系、穩(wěn)態(tài)組合張力對固有頻率的影響以及顫振臨界流速的計算等問題;Li和Yang[14]將變分迭代法(VIM)用于計算典型支承形式輸流直管的固有頻率、振型函數(shù)以及臨界流速等內(nèi)容。

關(guān)于輸流管路的受迫振動問題,學(xué)者們同樣發(fā)表了一些重要的成果[15-20],其中,基于Laplace變換的格林函數(shù)法(GFM)以其能夠?qū)С鑫灰祈憫?yīng)的解析表達式而獲得了人們的青睞,在該方法的應(yīng)用方面,比較典型的成果主要包括：Li和Yang[16]推導(dǎo)了典型支承形式輸流直管的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)表達式,并對某段實際的管路模型進行了計算;Zhao和Sun[18]推導(dǎo)了兩端支承式輸流彎管的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)表達式,并重點研究了附加阻尼、附加質(zhì)量等參數(shù)對響應(yīng)的影響;在此基礎(chǔ)上,他們又將切向分力納入輸流彎管的面內(nèi)運動方程中,隨后推導(dǎo)了穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的解析解,并且研究了不同支承形式下切向分力對位移響應(yīng)的影響[19]。

考慮到實際工作過程中,直管在受迫振動時激勵的方向未必垂直于管路軸線,而是不可預(yù)測的,然而當前卻鮮有相關(guān)的理論研究公開發(fā)表,為此,本文引入激勵與管路橫向的夾角這一參量,以此為前提,列出管路橫向和軸向的運動方程;其次,采用基于Laplace變換的GFM推導(dǎo)管路橫向運動時的格林函數(shù),同時,首次對軸向運動采用相同的方法,并且也得到了相應(yīng)的格林函數(shù),進而通過積分和化簡等步驟,獲得了兩個方向上解析形式的位移響應(yīng)表達式;最后,通過勾股定理獲得了合位移及其與指定坐標軸之間夾角的表達式,至此確定最終的合位移。

本文的研究可以為工程人員提供精確的計算結(jié)果,并對后續(xù)調(diào)整管路的受力方式有著很好的參考意義,也可以為研究其他類型管路的受迫振動問題提供參考。

1 運動方程及邊界條件

假設(shè)管路水平放置,若以固定端為坐標原點O,沿管路軸線方向為x軸,垂直于管路軸線方向為y軸,則固定-彈性支承式輸流直管的受迫振動力學(xué)模型如圖1所示。其中：F為集中激勵,N;a為激勵作用點的坐標,m;α為激勵與豎直方向的夾角,rad,且0≤α≤π/2;L表示管路總長,m;K1和K2分別表示豎直和水平2個線彈簧的彈性系數(shù),N/m;KT為扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù),N·m/rad。

圖1 輸流管路力學(xué)模型

一般來講,工程中的外部激勵多為關(guān)于時間的周期性函數(shù),根據(jù)Fourier級數(shù)的概念：任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級數(shù)來表示,因此,研究單頻率激勵是有實際意義的。假設(shè)激勵幅值為F0,激勵頻率為Ω,為便于研究,將其分解為橫向力Ft和軸向力Fa,則它們在頻域內(nèi)的表達式分別為

(1)

若管路長徑比大于10,其力學(xué)行為可以用Euler-Bernoulli梁來近似,此時,可以用軸線的運動來表征管路結(jié)構(gòu)的運動[10]。于是,根據(jù)文獻[12],管路在橫向和軸向的運動方程可分別表示為

F0δ(x-a)eiΩtcosα

(2)

(3)

式中：E為管材的彈性模量,N/m2;I和A分別表示管路的橫截面慣性矩和橫截面積,m4和m2;mf和mp分別表示單位長度流體和管路的質(zhì)量,kg/m;U為平推流模型下管路橫截面內(nèi)不可壓縮流體的平均流速,m/s;w和v分別表示橫向和軸向位移,m。

若分別以θ、M、Q、P表示管路軸線上任意點在任何時刻的轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和軸力,則根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論,有以下關(guān)系：

(4)

(5)

(6)

(7)

因此,對于如圖1所示的固定-彈性支承式輸流管路,其橫向和軸向的邊界條件可表示為

a.橫向運動時的邊界條件

(8)

b.軸向運動時的邊界條件

(9)

式中：(·)′、(·)″、(·)?分別表示括號中的變量對x求1階、2階、3階導(dǎo)數(shù),同(·)(1)、(·)(2)、(·)(3)。

2 格林函數(shù)法推導(dǎo)運動方程的解

2.1 橫向運動的解

對橫向運動來說,式(2)的復(fù)數(shù)解可假設(shè)為

w(x,t)=w(x)eiΩt

(10)

將式(10)代入式(2),可得

Ω2w=F0δ(x-a)cosα

(11)

式(11)的解可表示為

F0cosαGt(x,a)

(12)

式中：Gt(x,x0)為橫向運動時管路的格林函數(shù),根據(jù)格林函數(shù)的定義：Gt(x,x0)為在任意位置x0處對管路施加橫向單位集中激勵的響應(yīng),即下式的解

Ω2w=δ(x-x0)

(13)

對式(13)等號兩端進行Laplace變換,可得

(14)

式中：

(15)

對式(14)等號兩端進行Laplace逆變換,可得

(16)

式中：H(·)表示單位階躍函數(shù),且

由式(16)可知,當x≥x0時,w(x,x0),關(guān)于x的任意m(m≥1)階導(dǎo)數(shù)為

(17)

結(jié)合式(8),對于管路的始、末兩端,可得

(18)

由式(18)得到w″(0)和w?(0)表達式后代入式(16),可以求得管路橫向運動的格林函數(shù)Gt(x,x0),再結(jié)合式(12)和(10),便可得到管路橫向穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的實數(shù)解為

w(x,t)=Re{w(x)eiΩt}=

(19)

式中：Re{·}表示取實部解;Im{·}表示取虛部解。

2.2 軸向運動及合位移的解

由2.1節(jié)的推導(dǎo)過程可知,求解位移響應(yīng)的關(guān)鍵是得到與運動對應(yīng)的格林函數(shù)。于是,對軸向運動來說,式(3)的復(fù)數(shù)解可表示為

v(x,t)=v(x)eiΩt

(20)

與式(12)相似,v(x)可以表示為

F0sinαGa(x,a)

(21)

軸向運動與橫向運動的求解過程相同,首先定義

(22)

然后對式(3)采用與式(11)～(16)相同的步驟,并結(jié)合式(9)的第一個等式,可得軸向運動時管路的格林函數(shù)為

φ2(x)v′(0)

(23)

結(jié)合式(9)的第二個等式,可得

(24)

由此可得

(25)

于是,結(jié)合式(21)和(20),可得管路軸向穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)的實數(shù)解為

v(x,t)=Re{v(x)eiΩt}=

(26)

綜合式(19)和(26),根據(jù)勾股定理,可得管路合位移響應(yīng)的大小為

(27)

為最終確定合位移,引入其與x軸的夾角γ(x,t),根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系,可得

(28)

由式(27)和(28)發(fā)現(xiàn)：d(x,t)與F0成正比關(guān)系,而γ(x,t)與F0無關(guān),該結(jié)論與實際相符。

3 計算結(jié)果與討論

事實上,一個完整的液體輸送系統(tǒng)并非只有管路結(jié)構(gòu)本身,還會有支承件、接頭、動力源、執(zhí)行機構(gòu)等必需的組件,在系統(tǒng)正式運轉(zhuǎn)前,設(shè)計人員必須考慮由于振動引起的位移響應(yīng)并為這些組件在空間中留出足夠的位置以避免碰撞的產(chǎn)生,因此,研究位移響應(yīng)是有實際意義的。下面以夾角α為切入點,將分別從無軸向分力(α=0)、無橫向分力(α=π/2)和同時含有橫向、軸向分力(0<α<π/2)3個方面進行研究。

3.1 無軸向分力(α=0)

基于共振原理,當位移響應(yīng)產(chǎn)生極大值時對應(yīng)的激勵頻率便為管路的固有頻率。因此,為便于與前人的結(jié)果進行比較,可以計算當U=0時管路上任意位置任意時刻的橫向位移響應(yīng)隨激勵頻率的變化曲線,需要注意的是：由于α=0,所以只須考慮式(19)。假設(shè)系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示,計算當t=0,F0=20 N,α=0.25 m,K1=K2=KT=0時,x=0.35 m處的橫向位移響應(yīng),結(jié)果如圖2所示。

表1 物理參數(shù)

圖2 橫向位移響應(yīng)w隨激勵頻率的變化曲線

如圖2所示,箭頭所指為橫向位移響應(yīng)極大值,依據(jù)共振原理,系統(tǒng)固有頻率與此時的激勵頻率相等。提取前4階,GFM計算結(jié)果依次為：169.82 Hz、1 059.25 Hz、2 968.38 Hz、5 817.64 Hz,而已有的精確解可參見文獻[11],將同樣的參數(shù)代入后得到的結(jié)果依次為：169.04 Hz、1 059.33 Hz、2 966.17 Hz、5 812.50 Hz,二者吻合。需要說明的是：圖2中頻率的采樣點僅為201個,然而由于式(19)是封閉的解析解,所以若采樣點足夠,兩結(jié)果將嚴格一致。

下面利用表1的數(shù)據(jù),用GFM計算當F0=50 N,Ω=50 Hz,U=100 m/s,K1=5×104N/m,KT=5×104N·m/rad而激勵位置a發(fā)生變化時整個管路橫向位移響應(yīng)的幅值(以wmax表示,下同),結(jié)果如圖3所示,需要注意的是：①由于此處K2的值對結(jié)果沒有影響,所以為方便起見,取K2=0;②為了避免計算時遺漏某些點,必須使時間段大于一個振動周期,即t>2π/50=0.13 s,文中接下來涉及到計算幅值的地方均有此考慮。由圖3可知,當a由0.25增加至0.75時,wmax(x)也隨之增加,但當a=1時,其wmax(x)較之a(chǎn)=0.75時有明顯的下降,意味著隨著a的增加,wmax(x)表現(xiàn)出“先增加,后減小”的現(xiàn)象,從計算的角度證明了激勵位置可影響位移響應(yīng)幅值最大值的發(fā)生位置。

圖3 不同激勵位置a下的橫向位移響應(yīng)幅值wmax

3.2 無橫向分力(α=π/2)

首先,當直管受軸向載荷時,由于需要考慮壓桿穩(wěn)定問題,故此處的軸向載荷需要限制在臨界值以下,當不計端部的彈性支承時,支承形式退化為懸臂式,其臨界載荷Pcr的理論計算公式為

(29)

若采用與表1相同的物理參數(shù),通過計算可得Pcr=18.23 kN,意味著當軸向載荷在18.23 kN以下時,管路將不會發(fā)生失穩(wěn)。由于α=π/2,所以只需要考慮式(26),下面利用GFM計算當t=0,F0=20 N,α=0.25 m,K1=K2=KT=0時,x=0.35 m處的軸向位移響應(yīng),結(jié)果如圖4所示。

圖4 軸向位移響應(yīng)v隨激勵頻率Ω的變化曲線

取前2階固有頻率,其GFM的計算結(jié)果分別為7 559.10 Hz和22 653.75 Hz,在同樣的參數(shù)及支承形式下,其理論解分別為7 560.63 Hz和22 656.30 Hz[21],二者幾乎一致。接下來同樣利用表1的數(shù)據(jù),用GFM計算當F0=50 N,Ω=50 Hz,U=100 m/s,K2=0,而激勵位置a發(fā)生變化時整個管路軸向位移響應(yīng)的幅值(以vmax表示,下同)結(jié)果如圖5所示,需要注意的是：由于此處K1和KT的值對結(jié)果沒有影響,所以為方便起見,取K1=KT=0。如圖5所示,4條曲線均為折線,而折點恰恰對應(yīng)著激勵所處的位置,這是由于激勵以右的管路均不承受任何軸向載荷,故右段管路的軸向位移均相同且等于激勵位置處的位移。對比圖3和圖5,發(fā)現(xiàn)盡管其他所有參數(shù)均一致,但當x相同時,vmax比wmax小得多,甚至在1 μm以下,說明在當前的激勵水平下,管路在軸線方向的運動可忽略不計,因此這里取K2=0是合理可行的。

圖5 不同激勵位置a下的軸向位移響應(yīng)幅值vmax

3.3 同時有軸向和橫向分力(0<α<π/2)

當夾角α在0～π/2之間變化時,管路的位移將由橫向和軸向位移兩部分組成,需要綜合式(27)和(28)來確定最終的合位移,而合位移響應(yīng)是預(yù)留空間位置最主要的參考因素,因此必須給予足夠的重視。

①合位移d和夾角γ與夾角α及時間t的關(guān)系

下面利用表1的數(shù)據(jù),用GFM計算當F0=50 N,Ω=50 Hz,a=0.5 m,U=100 m/s,K1=5×104N/m,K2=0,KT=5×104N·m/rad,x=0.8 m處的合位移d及其與x軸之間的夾角γ隨時間t的變化情況,結(jié)果如圖6～圖7所示。

圖6 合位移響應(yīng)d隨夾角α和時間t變化的曲面圖

圖7 夾角γ隨夾角α和時間t變化的曲面圖

由于在式(26)中,人為地對橫向和軸向位移先作了平方求和再開根號,導(dǎo)致如圖6所示的合位移d始終為正,為了了解d隨α和t的真實變化情況,需要結(jié)合圖7進行判斷。根據(jù)式(27),當w和v同號時,γ為正,當w和v異號時,γ為負,由圖7發(fā)現(xiàn)：只有在α=0附近w和v才會出現(xiàn)短暫的同號,其他大部分時候,w和v均異號,進一步來講,當w和v異號時,只有當α接近0和π/2時,γ才會出現(xiàn)明顯的趨于0的變化,其他大部分時候,γ始終位于-π/2以上的附近區(qū)域,這是由于在同等參數(shù)條件下v遠小于w導(dǎo)致的。由于只有當α=0時,才絕對不會產(chǎn)生軸向位移v,導(dǎo)致只有此時γ才有可能達到π/2,而且當α=0時,在t=0.035 s、0.955 s、0.165 s(時間點之差均為半個周期)時,γ發(fā)生-π/2到π/2之間(或相反)的突變,對應(yīng)于圖7中產(chǎn)生尖點的位置,這是因為此刻w發(fā)生了由正到負(或相反)的轉(zhuǎn)變,而v始終為0的緣故。

②合位移響應(yīng)幅值dmax與夾角α和彈性系數(shù)K1、KT的關(guān)系

添加彈性支承是為了抑制運動的幅度,避免過大的位移引發(fā)管路本身發(fā)生疲勞破壞或與其他零部件發(fā)生碰撞等失效,因此有必要研究合位移響應(yīng)幅值(以dmax表示,下同)與夾角α和彈性系數(shù)K1、KT的關(guān)系。下面同樣利表1的數(shù)據(jù),用GFM研究當F0=50 N,Ω=50 Hz,a=0.5 m,U=100 m/s,K2=0,且彈性系數(shù)K1和KT取不同值(為方便起見,略去單位)時,管路上任意位置的合位移響應(yīng)幅值d(單位：mm)隨夾角α的變化情況,結(jié)果如圖8所示,其中：dmax的最大值(以(dmax)max表示,下同)已在圖中以黑色圓點結(jié)合具體坐標標出。

圖8 不同彈性系數(shù)下dmax隨夾角α變化的等高線圖

由于同等參數(shù)水平下橫向位移遠大于軸向位移,又由于位移響應(yīng)與力成正比,所以當橫向分力達到最大,即α=0時,管路上任意給定位置x0處的位移響應(yīng)峰值才會達到該位置處的最大值,即(dmax)max(x0,α)=dmax(x0,0),這一點可由圖8的任一子圖驗證。結(jié)合4張子圖,發(fā)現(xiàn)若固定α=0,且當其他參數(shù)均一致僅K和KT可變時,隨著彈性系數(shù)的增加,管路上任意給定位置的dmax減小,并且對整根管路來說,(dmax)max的發(fā)生位置(以x((dmax)max)表示,下同)越來越靠近管路的中心x=L/2,進一步講,當K和KT無窮大時,管路的支承形式將變?yōu)閮啥撕喼?又因為激勵位置恰好在管路中心,所以屆時將有x((dmax)max)≡L/2。

4 結(jié)論

利用格林函數(shù)法首次推導(dǎo)得到了輸流管路在激勵方向可變時的穩(wěn)態(tài)合位移響應(yīng)的理論表達式,在給定物理參數(shù)的基礎(chǔ)上進行了精確的數(shù)值計算,并得到以下重要結(jié)論：

①基于共振原理,可通過計算管路任意位置的頻率響應(yīng)來確定固有頻率,由于位移響應(yīng)的表達式是解析形式的,所以只要頻率的采樣點足夠,方法的計算結(jié)果可與理論解嚴格一致。

②相同激勵水平下,管路上任意給定位置處的軸向位移遠小于橫向位移,所以當其他參數(shù)均一致僅夾角α可變時,該位置的位移響應(yīng)幅值總是出現(xiàn)在α=0處。

③激勵位置和彈性系數(shù)都會影響位移響應(yīng)幅值最大值發(fā)生的位置,借助于本文的研究,工程人員在管路正式投入使用前便可獲得振幅過大時的位置及其具體數(shù)值,為后續(xù)調(diào)整激勵位置和彈性系數(shù)提供有效的算法支撐。

④根據(jù)GFM的推導(dǎo)過程,可知方法可以拓展到其他支承形式的直管、彎管等同類問題研究中,可以為管路疲勞可靠性問題的研究提供精確的計算結(jié)果。