張少豐，李書琴

(西北農(nóng)林科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 楊凌 712100)

0 引 言

蜉蝣算法(mayfly algorithm，MA)[1]是Zervoudakis等受蜉蝣的飛行和繁衍行為啟發(fā)提出的一種新型的智能優(yōu)化算法，通過模擬雌性蜉蝣選擇適合的雄性蜉蝣個(gè)體進(jìn)行繁衍，逐步淘汰子代蜉蝣中適應(yīng)度值較低的個(gè)體的過程完成尋優(yōu)。相比于其它算法，該算法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制參數(shù)少、尋優(yōu)能力強(qiáng)[2-4]等優(yōu)點(diǎn)，因此在諸多領(lǐng)域[5，6]有廣泛的應(yīng)用，但在解決高維復(fù)雜問題下，由于蜉蝣在移動(dòng)過程中步長(zhǎng)較短，導(dǎo)致其算法存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等缺陷。

針對(duì)蜉蝣算法的不足，Zheng-MingGAO等[7]提出異構(gòu)蜉蝣算法，通過增加蜉蝣更新的方式，來提高蜉蝣算法尋優(yōu)能力。李浩等[8]提出多目標(biāo)離散蜉蝣算法的動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)社區(qū)發(fā)現(xiàn)方法，通過標(biāo)簽擴(kuò)散算法將種群進(jìn)行離散化，提高了蜉蝣算法求解精度。陳偉超等[9]提出基于倒位變異的蜉蝣算法，利用倒位操作，將隨機(jī)個(gè)體的維度向最優(yōu)個(gè)體靠近，提高了算法收斂性。

上述研究在一定程度上提高了蜉蝣算法的尋優(yōu)能力，但是仍存在收斂速度慢、穩(wěn)定性不強(qiáng)等問題。因此本文提出了混沌蜉蝣算法(chaotic mayfly algorithm，CMA)，主要改進(jìn)策略為：

(1)基于Circle混沌初始化種群，使蜉蝣個(gè)體均勻分布在搜索空間，增加初始解的可行性。

(2)引入基于精英個(gè)體的反向?qū)W習(xí)機(jī)制，對(duì)子代蜉蝣個(gè)體中的精英個(gè)體生成反向解，并選擇其中較優(yōu)個(gè)體作為下一代迭代個(gè)體，增加算法尋優(yōu)能力和收斂速度。

(3)將自適應(yīng)概率閾值與柯西變異策略相結(jié)合，對(duì)劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體進(jìn)行變異擾動(dòng)，保證種群進(jìn)化方向，提高算法的全局尋優(yōu)能力，防止算法陷入局部最優(yōu)。

1 蜉蝣算法(MA)

蜉蝣種群包含雄性蜉蝣和雌性蜉蝣，其數(shù)量均為N/2，N為群體總數(shù)。在蜉蝣繁衍過程中，雄性蜉蝣通過全局最優(yōu)和自身歷史最優(yōu)值移動(dòng)，而雌性則是向優(yōu)于自己的配偶移動(dòng)，若配偶弱于自己則自行局部搜索。蜉蝣產(chǎn)生后代，逐漸淘汰適應(yīng)度較低的個(gè)體并保留群體中較優(yōu)個(gè)體，最終完成尋優(yōu)的過程。

1.1 雄性蜉蝣的移動(dòng)

雄性蜉蝣的移動(dòng)會(huì)根據(jù)自身鄰域范圍內(nèi)的局部最優(yōu)和全局最優(yōu)進(jìn)行位置調(diào)整，雄性蜉蝣在t時(shí)刻的位置更新方式請(qǐng)參見文獻(xiàn)[1]，雄性蜉蝣會(huì)在水面表演舞蹈吸引雌性蜉蝣，在此階段中蜉蝣速度更新方式為

(1)

(2)

其中，xij表示蜉蝣i的第j個(gè)分量，Xi為蜉蝣對(duì)應(yīng)的pbest和gbest。 為了找到最優(yōu)位置，蜉蝣需要不斷更新速度，其速度的更新方式為

(3)

其中，d表示舞蹈系數(shù)，r為[-1，1]之間的隨機(jī)數(shù)。

1.2 雌性蜉蝣的移動(dòng)

雌性蜉蝣會(huì)飛到雄性群體中選擇適配度較高的雄性蜉蝣進(jìn)行交配繁衍。它的位置通過增加速度來更新，雌性蜉蝣位置更新方式請(qǐng)參見文獻(xiàn)[1]，雌性蜉蝣的速度計(jì)算方法如下

(4)

1.3 蜉蝣交配過程

蜉蝣交配過程中一對(duì)雌性和雄性會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)后代，交配過程中通過蜉蝣的適應(yīng)度選擇親本，最優(yōu)的雄性蜉蝣與最優(yōu)的雌性蜉蝣進(jìn)行繁衍交配，次優(yōu)雄性蜉蝣與次優(yōu)的雌性蜉蝣進(jìn)行繁衍交配。交叉算子代表兩個(gè)蜉蝣交配過程，交叉的結(jié)果是兩個(gè)后代，產(chǎn)生結(jié)果如下

offspring1=L·male+(1-L)·female
offspring2=L·female+(1-L)·male

(5)

其中，male表示雄性父代，female表示雌性父代，L是 [-1，1] 之間的隨機(jī)數(shù)。

2 混沌蜉蝣算法

2.1 Circle混沌映射

針對(duì)MA進(jìn)行初始化種群分布是隨機(jī)生成，導(dǎo)致算法容易陷入局部最優(yōu)的問題。本文采用混沌映射的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)中群的初始化，結(jié)合混沌映射具有不可預(yù)測(cè)、非線性等特點(diǎn)。通過混沌初始化種群使得蜉蝣種群均勻分布在搜索空間內(nèi)，從而提高蜉蝣算法的搜索性能。常用來初始化種群的混沌映射有Logistic映射和Tent映射，相關(guān)研究結(jié)果表明[10，11]Logistic映射呈現(xiàn)切比雪夫分布，隨著迭代次數(shù)增加在[0，0.1]和[0.9，1]區(qū)間內(nèi)有較高的分布，導(dǎo)致分布不均，搜索盲區(qū)較大，從而影響算法的尋優(yōu)能力。Tent映射分布相對(duì)均勻，但是屬于映射折疊次數(shù)有限的混沌模型，存在周期不穩(wěn)定容易使得映射陷入不動(dòng)點(diǎn)的缺陷。而Circle混沌映射不僅能克服Tent和Logistics映射的缺點(diǎn)，而且其產(chǎn)生的混沌序列也更加均勻[13]。因此采用的Circle混沌映射來生成初始群體，Circle映射定義如式(6)所示

(6)

其中，xi+1表示映射之后的位置，xi表示目標(biāo)原位置，i表示維度。

隨機(jī)生成的種群分布圖和經(jīng)過Circle映射后的種群分布圖如圖1和圖2所示，通過Circle混沌映射初始化后的蜉蝣種群與隨機(jī)生成的種群序列相比，蜉蝣個(gè)體的位置分布更加均勻，增加群體位置的多樣性。提高了初始解的可靠性，一定程度上提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力，從而提高了算法的尋優(yōu)效率。

圖1 隨機(jī)生成種群分布

圖2 Circle映射后的種群分布

2.2 精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制

反向?qū)W習(xí)[14](opposition-based learning，OBL)是通過求解問題可行解的反向解，并對(duì)反向解和可行解進(jìn)行評(píng)估，從中選擇更優(yōu)解為下一代個(gè)體，提高算法的尋優(yōu)效率。為了增加MA算法的全局尋優(yōu)能力，防止算法進(jìn)入“早熟”階段，引入精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制。在蜉蝣交配繁衍產(chǎn)生子代中，針對(duì)精英個(gè)體，使用反向?qū)W習(xí)機(jī)制生成對(duì)應(yīng)的反向解，采用雙向評(píng)估導(dǎo)則，在選取適應(yīng)度較高的蜉蝣個(gè)體作為下一代種群，加快算法的收斂速度。設(shè)當(dāng)前蜉蝣在D維搜索空間的可行解表示為

Xi=(x1，x2，…，xD)

(7)

則當(dāng)前可行解的反向解則表示為

(8)

(9)

其中，k為[0，1]上均勻分布的隨機(jī)函數(shù)，ai、bi分別為xi的最大值和最小值。

當(dāng)前種群內(nèi)所有個(gè)體中對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)函數(shù)的極值為精英個(gè)體，如式(10)所示。對(duì)精英個(gè)體構(gòu)造反向解可以增加種群的多樣性，并從當(dāng)前候選解和反向解中選擇最優(yōu)值作為子代蜉蝣個(gè)體，從而提高算法的收斂能力。精英反向解的計(jì)算方法如式(11)、式(12)所示

(10)

(11)

(12)

2.3 基于柯西變異擾動(dòng)機(jī)制

在蜉蝣群體在繁衍過程中，如果蜉蝣個(gè)體進(jìn)化程度多次低于種群平均進(jìn)化程度，則評(píng)定該蜉蝣為劣勢(shì)蜉蝣。如果劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體較多使得種群進(jìn)化方向偏移，導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。為了減少劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體出現(xiàn)，本文引入基于柯西變異的擾動(dòng)機(jī)制策略，每次更新種群時(shí)，將劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體進(jìn)行柯西變異，在蜉蝣個(gè)體附近生成更大擾動(dòng)，擴(kuò)大尋優(yōu)范圍，增加收斂速度，從而提高全局尋優(yōu)能力。判斷是否為劣勢(shì)蜉蝣標(biāo)準(zhǔn)如式(13)、式(14)所示

(13)

(14)

為了避免陷入局部最優(yōu)值以及保障整個(gè)種群進(jìn)化方向，對(duì)劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體通過自適應(yīng)擾動(dòng)概率p進(jìn)行柯西變異。自適應(yīng)概率p的定義如式(15)所示

(15)

其中，N為種群個(gè)數(shù)，Iter為迭代次數(shù)，ε為調(diào)節(jié)因子取值為0.05，0.1，0.15，0.2進(jìn)行調(diào)整。

相比正態(tài)分布，柯西分布具有相對(duì)平緩的概率浮動(dòng)的特點(diǎn)，在峰值處相比正態(tài)分布較低，在兩側(cè)趨近于0的速率較慢[15]。因此能夠產(chǎn)生更好的擾動(dòng)效果，利用柯西變異對(duì)蜉蝣個(gè)體進(jìn)行擾動(dòng)，提高CMA跳出局部最優(yōu)能力，從而提高算法的收斂能力。具體更新方式如式(16)所示，其中cauchy(0，1) 為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)柯西變異分布函數(shù)定義參見文獻(xiàn)[16]

(16)

如果當(dāng)前蜉蝣滿足式(13)則可以判斷為劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體，然后隨機(jī)生成隨機(jī)?，?∈[0，1]。 如果?>p， 則進(jìn)行變異擾動(dòng)，否則保持不變。因此當(dāng)前蜉蝣位置更新方式如下

(17)

其中，柯西分布隨機(jī)變量生成函數(shù)為η=tan[(ξ-0，5)π]。

2.4 算法流程

綜上所述，基于精英反向?qū)W習(xí)和柯西變異的混沌蜉蝣算法的偽代碼見表1，算法流程如圖3所示，CMA算法主要流程為：

表1 混沌蜉蝣算法CMA偽代碼

圖3 CMA算法流程

步驟1 初始化參數(shù)，種群規(guī)模N，迭代次數(shù)Iterator，舞蹈系數(shù)dance， 飛行系數(shù)α。

步驟2 根據(jù)式(6)進(jìn)行Circle混沌映射生成初始化種群，并初始化蜉蝣位置和速度。

步驟3 根據(jù)式(1)、式(2)更新雄性蜉蝣的速度和位置，并計(jì)算適應(yīng)度值。并對(duì)雄性蜉蝣的適應(yīng)度值進(jìn)行排序，獲取當(dāng)前雄性蜉蝣的pbest和gbest。

步驟4 根據(jù)式(4)更新雌性蜉蝣速度。

步驟5 根據(jù)式(5)蜉蝣交叉算子產(chǎn)生子代。

步驟6 結(jié)合蜉蝣pbest和gbest， 對(duì)適應(yīng)度進(jìn)行排序，選擇精英個(gè)體，根據(jù)式(14)生成精英反向解。

步驟7 通過式(13)、式(14)判斷劣勢(shì)蜉蝣個(gè)體offspringi， 如果符合則根據(jù)式(17)進(jìn)行柯西變異。第n行對(duì)更新后種群進(jìn)行篩選，淘汰適應(yīng)度值低的個(gè)體。

步驟8 判斷是否達(dá)到終止條件，是則輸出最優(yōu)解，否則執(zhí)行步驟3～步驟6。

2.5 算法時(shí)間復(fù)雜度分析

設(shè)搜索空間的維度為D，種群總數(shù)為N，雄性蜉蝣的個(gè)數(shù)為N1，雌性蜉蝣的個(gè)數(shù)為N2，子代蜉蝣個(gè)體為N3，最大迭代次數(shù)為T。初始化復(fù)雜度為O(1)，則MA的時(shí)間復(fù)雜度T(n)=O(1+T(N1D+N2D+N3D))=O(TN)。 Circle混沌映射初始化種群分布的時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，由于精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制嵌套在種群交配循環(huán)內(nèi)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N1D)， 柯西變異的擾動(dòng)機(jī)制只在子代蜉蝣產(chǎn)生后進(jìn)行判斷，時(shí)間復(fù)雜度為O(N3D)。 所以改進(jìn)CMA的時(shí)間復(fù)雜度為T(n)=Of(n)=O(T(N1(D+2)+N2(D+1)+N3(D+2)))。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

為驗(yàn)證CMA算法的尋優(yōu)性能，本文選取了粒子群優(yōu)化算法(PSO)[17]、蜻蜓優(yōu)化算法(DA)[18]、基于Logistics映射的蜉蝣算法(LMA)[19]以及蜉蝣算法(MA)[3]、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。并選擇8個(gè)標(biāo)準(zhǔn)benchmark測(cè)試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中包括4個(gè)單峰測(cè)試函數(shù)(f1～f4)和4個(gè)多峰測(cè)試函數(shù)(f5～f8)。種群規(guī)模設(shè)置為N=30， 最大迭代次數(shù)為Iterator=500， 維度為30，各類算法獨(dú)立運(yùn)行50次，編譯工具為Matlab R2021a，算法主要參數(shù)見表2，測(cè)試函數(shù)見表3，本文的實(shí)驗(yàn)分為3個(gè)部分進(jìn)行：

表2 算法主要參數(shù)

表3 測(cè)試函數(shù)

(1)將CMA與基本MA算法、PSO算法、DA算法和LMA算法進(jìn)行比較，分別從算法性能、收斂速度、高維度分析3個(gè)角度進(jìn)行分析，驗(yàn)證算法的有效性。

(2)以MA為基本模型，將CMA與基本MA算法、基于Circle混沌映射的蜉蝣算法CIMA、基于精英反向?qū)W習(xí)的蜉蝣算法EMA和基于柯西變異的蜉蝣算法CAMA進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性。

(3)Wilcoxon秩和檢驗(yàn)，驗(yàn)證CMA與其它對(duì)比算法之間的顯著性差異。

3.2 算法性能分析

通對(duì)5種算法在8個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)比分析，并以最優(yōu)值Best、 平均值Mean、 標(biāo)準(zhǔn)差Std為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表4。在最優(yōu)值方面，CMA在f1、f2、f3、f5這4個(gè)測(cè)試函數(shù)中已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)值，且其它算法均沒到達(dá)最優(yōu)值，說明CMA搜索性能得到了一定的提高。在單峰測(cè)試函數(shù)f4中盡管沒有到達(dá)理論最優(yōu)值，但相比其余4種算法均有較大提升，而且平均值也更接近理論最優(yōu)值。說明CMA在單峰測(cè)試函數(shù)中具有較強(qiáng)的搜索能力且有更高的收斂精度。而在多峰測(cè)試函數(shù)f6、f7、f8中，求解精度有一定的下降，但是仍然比MA、PSO、DA、LMA的求解平均高出其它算法10～15個(gè)數(shù)量級(jí)，說明引入針對(duì)精英個(gè)體的反向?qū)W習(xí)策略和柯西變異擾動(dòng)策略使得CMA的跳出局部最優(yōu)能力有所提升提高。

表4 測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果

在均值和標(biāo)準(zhǔn)差方面，在f1、f2、f3中，CMA的均值都是最優(yōu)的，而在測(cè)試函數(shù)f4、f8中DA、PSO、MA在尋優(yōu)后期陷入了局部最優(yōu)值，標(biāo)準(zhǔn)差比較小而CMA能夠跳出局部最優(yōu)解，因此CMA標(biāo)準(zhǔn)差大于DA、PSO、MA三者，但是同時(shí)也具有更高求解精度。說明CMA算法的穩(wěn)定性和魯棒性優(yōu)于其它4種算法。通過與MA進(jìn)行對(duì)比，在所有測(cè)試函數(shù)函數(shù)中最優(yōu)值、均值和標(biāo)準(zhǔn)差均比MA具有更好的效果，并且在f1、f2、f3、f5這4個(gè)測(cè)試函數(shù)中已經(jīng)達(dá)到了理論值，說明在MA中加入混沌映射、精英反向?qū)W習(xí)、基于柯西變異的擾動(dòng)機(jī)制策略，幫助算法提高的收斂能力和尋優(yōu)能力，驗(yàn)證了改進(jìn)策略的有效性。

3.3 收斂速度分析

為了驗(yàn)證算法的收斂精度和收斂速度，繪制了測(cè)試函數(shù)的收斂曲線圖，分別如圖4～圖11所示，由圖4～圖7單峰收斂曲線可知，在f1、f2、f3、f4單峰測(cè)試函數(shù)中，PSO、DA的收斂曲線呈現(xiàn)平緩、停滯狀態(tài)，容易陷入局部最優(yōu)值，尋優(yōu)精度較低。LMA和MA收斂曲線相比PSO、DA在收斂速度所有提高，但是仍然存收斂精度較低的問題。而隨著迭代次數(shù)的增加CMA的收斂曲線一直處于其它曲線的下方，具有更快的收斂速度。在收斂速度和收斂精度方面，CMA都明顯優(yōu)于其它算法，說明在單峰測(cè)試函數(shù)方面，CMA收斂速度和尋優(yōu)精度有較大提升。

圖4 f1收斂曲線

圖5 f2收斂曲線

圖6 f3收斂曲線

圖7 f4收斂曲線

由于多峰測(cè)試函數(shù)都存在大量的局部最優(yōu)值，在測(cè)試函數(shù)f5、f6、f7、f8中，如圖8～圖11多峰收斂曲線可知，MA、PSO、DA都容易陷入局部最優(yōu)值，全局收斂性較差，收斂曲線呈現(xiàn)平緩趨勢(shì)，出現(xiàn)早熟早收斂的現(xiàn)象。LMA相比MA、DA、PSO具有更好的收斂速度，但仍然存在收斂精度不足的問題。相比CMA法的收斂曲線，隨著迭代次數(shù)的增加，收斂曲線表現(xiàn)呈現(xiàn)較好的向下尋優(yōu)過程。說明CMA引入精英反向?qū)W習(xí)機(jī)制擴(kuò)大尋優(yōu)范圍和柯西變異擾動(dòng)機(jī)制保證整個(gè)種群的進(jìn)化方向，使得CMA算法性能得到顯著提高。綜上所述，相比于其它算法，CMA算法具有更好的收斂速度和收斂精度，改善了MA的早熟早收斂的問題。

圖8 f5收斂曲線

圖9 f6收斂曲線

圖10 f7收斂曲線

圖11 f8收斂曲線

3.4 高緯度分析

為了驗(yàn)證CMA算法求解高維度問題的能力，分別測(cè)試CMA在50、100維下實(shí)驗(yàn)結(jié)果，參數(shù)設(shè)置均保持不變，分別從平均值Mean和標(biāo)準(zhǔn)差Std兩個(gè)方面進(jìn)行評(píng)估，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表5。由表可知，在維度50維、100維的情況下，CMA在測(cè)試函數(shù)f1、f2、f3、f5仍然可以達(dá)到理論最優(yōu)值。其它算法中表現(xiàn)次好的為L(zhǎng)MA，在f1、f2單峰測(cè)試函數(shù)維度為50情況下，LMA算法均值為1.3257e-15、2.2581e-08，雖然與CMA相比仍然還有所差距，但是仍然比其它算法有更高精度。

表5 CMA算法高緯度對(duì)比結(jié)果

通過結(jié)合表4中上述算法在30維度的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由表4、表5可知隨著維度的增加，使得函數(shù)更加復(fù)雜，搜索空間增大，尋優(yōu)難度增加。所以PSO、MA、DA求解精度和魯棒性整體呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，其中DA是3種算法中較差的，PSO次之。且CMA在求解單峰函數(shù)f4和多峰函數(shù)f6～f8時(shí)，隨著維度的增加，收斂精度和魯棒性整體也呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。但仍比其它算法提高了5～10個(gè)的數(shù)量級(jí)的收斂精度和更好的穩(wěn)定性。CMA在f4精度存在波動(dòng)但表現(xiàn)出很強(qiáng)的魯棒性，在f6、f7、f8中隨著維度的增加表現(xiàn)出更好的收斂精度和穩(wěn)定性，從而驗(yàn)證CMA在低維和高維情況下均有更好的尋優(yōu)能力。

在標(biāo)準(zhǔn)差方面，CMA的標(biāo)準(zhǔn)差整體都小于其它算法，但在100維多峰測(cè)試函數(shù)f6、f7、f8中，MA、PSO、DA、LMA其它4種算法隨著維度的增加而陷入局部最優(yōu)值，所以每次尋優(yōu)結(jié)果比較接近，標(biāo)準(zhǔn)差小。CMA標(biāo)準(zhǔn)差雖然大于其它算法，但是跳出局部最優(yōu)能力較強(qiáng)，具有較高的求解精度。說明引入精英反向?qū)W習(xí)策略避免陷入局部最優(yōu)值，在種群更新的過程中引入了柯西變異，保證了種群的多樣式，提高算法的尋優(yōu)能力。

3.5 改進(jìn)策略分析

為進(jìn)一步探究改進(jìn)策略對(duì)CMA的有效性，以標(biāo)準(zhǔn)蜉蝣算法(MA)作為基本模型，對(duì)基于Circle混沌初始化的蜉蝣法(CIMA)、基于精英反向?qū)W習(xí)的蜉蝣算法(EMA)、基于柯西變異的蜉蝣算法(CAMA)以及CMA進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)分別從最優(yōu)值Best、均值Mean以及標(biāo)準(zhǔn)差Std這3個(gè)方面分析改進(jìn)策略的有效性。算法參數(shù)設(shè)置與3.1節(jié)相同，算法獨(dú)立運(yùn)行50次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表6。

表6 不同改進(jìn)策略對(duì)比結(jié)果

由表6可知，CMA在測(cè)試函數(shù)f1、f2、f3、f5的3個(gè)指標(biāo)均能達(dá)到理論值，對(duì)于f4、f6、f8雖然沒有尋到最優(yōu)，但是相對(duì)于其它改進(jìn)算法，CMA具有更高的求解精度和穩(wěn)定性。相比于基礎(chǔ)模型MA而言，CIMA的求解精度是3種改進(jìn)策略算法中最差的，但其收斂精度也得到了一定的提高，其中在f2、f3、f5函數(shù)上提升效果最好，說明混沌初始化改進(jìn)策略提高了算法尋優(yōu)能力。EMA在最優(yōu)值Best和均值Mean都有較大提升，在整體測(cè)試函數(shù)中提升大約5～10個(gè)數(shù)量級(jí)，說明引入精英反向?qū)W習(xí)對(duì)于算法收斂性有較大提升。而CAMA在收斂精度有所提升，但是提升效果低于EMA。在標(biāo)準(zhǔn)差方面，EMA均小于MA，說明引入基于柯西變異的擾動(dòng)機(jī)制增強(qiáng)了MA的穩(wěn)定行。綜合表6的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，在最優(yōu)值Best、均值Mean以及標(biāo)準(zhǔn)差Std方面相比其它算法，CMA都有更優(yōu)的性能，同時(shí)具有更強(qiáng)的有效性和可行性。綜上所述，說明融合3種改進(jìn)策略的CMA，對(duì)于增加種群多樣性、增強(qiáng)算法尋優(yōu)能力是有效的。

3.6 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證CMA算法穩(wěn)定性和公平性，本文采用Wil-coxon秩和檢驗(yàn)[20]對(duì)CMA進(jìn)行顯著性分析，對(duì)CMA獨(dú)立運(yùn)行30次的數(shù)據(jù)在5%的顯著水平下驗(yàn)證與其它算法是否存在顯著差異，若計(jì)算出p<0.05， 則說明兩種算法存在顯著性差異。若計(jì)算出p>0.05， 則說明兩種算法不存在顯著性差異。CMA和MA、PSO、DA、LMA在顯著水平p=5%， 維度30維下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表7，其中N/A表示二者性能相當(dāng)，無法進(jìn)行比較。由表7可知大部分的p值均小于0.05，說明CMA的尋優(yōu)能力與其它算法存在顯著性差異。對(duì)于f5、f6、f7函數(shù)CMA和LMA，f4和f7函數(shù)，CMA和MA尋優(yōu)效果差異不明顯，尋優(yōu)能力相當(dāng)。結(jié)合上述實(shí)驗(yàn)，故認(rèn)為CMA與其它算法存在顯著性差異且CMA的性能更加。

表7 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)束語

針對(duì)MA的不足，提出一種引入精英反向?qū)W習(xí)和柯西變異的混沌蜉蝣算法。首先通過Circle映射初始化種群，使其種群分布均勻，然后對(duì)精英個(gè)體進(jìn)行反向?qū)W習(xí)策略生成精英反向解，提高算法的收斂速度，最后引入基于自適應(yīng)概率閾值和柯西變異的擾動(dòng)策略，對(duì)劣勢(shì)蜉蝣進(jìn)行擾動(dòng)，擴(kuò)大尋優(yōu)范圍保證種群尋優(yōu)方向。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證CMA具有更好的尋優(yōu)能力、收斂速度以及穩(wěn)定性。同時(shí)本文改進(jìn)策略也為其它啟發(fā)式算法提供借鑒，在未來的研究中，考慮將改進(jìn)算法運(yùn)用于優(yōu)化移動(dòng)群智感知的任務(wù)分配問題，以進(jìn)一步驗(yàn)證算法的性能。