馬思群,王兆強(qiáng),韓博,趙佳偉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)

隨著谷歌、百度、華為、特斯拉等公司的紛紛入局,自動駕駛在近些年迎來了蓬勃發(fā)展的時期[1]。自動駕駛車輛以其舒適、安全等優(yōu)點在全世界范圍內(nèi)收到了廣泛的關(guān)注[2]。一般來說,自動駕駛系統(tǒng)由環(huán)境感知、決策、路徑規(guī)劃和路徑跟蹤這4部分組成[3]。在這些技術(shù)中,路徑跟蹤控制是實現(xiàn)智能駕駛的核心,是保障車輛行駛安全、操縱穩(wěn)定性的重要保障[4-5]。由于其直接影響到汽車的安全性和用戶體驗,所以關(guān)于路徑跟蹤的研究具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用價值和理論研究意義。

路徑跟蹤是指通過控制車輛的轉(zhuǎn)向以及速度來使其行駛在規(guī)劃路徑上,最小化車輛與參考路徑之間的橫向距離和航向誤差是路徑跟蹤的主要目的[6]。在過去的半個多世紀(jì)里,研究者設(shè)計了各式各樣的路徑跟蹤控制器。例如基于車輛運動學(xué)模型的純跟蹤法和斯坦利法[7],雖然運動學(xué)控制器設(shè)計簡單,但因為考慮到車輛的動力學(xué)因素,所以其在高速情況下的跟蹤效果較差。因此目前大家主要的研究方向是基于車輛動力學(xué)的路徑跟蹤控制。這其中有經(jīng)典的PID控制[8]、線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)[9]、模糊邏輯控制[10]、滑?？刂?SMC)[11]和模型預(yù)測控制(MPC)[12]。

LQR控制是最優(yōu)控制中的一種,在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用[13]。在2009年,斯坦福大學(xué)的Snider提出將LQR控制方法應(yīng)用于車輛的路徑跟蹤控制,并建立了包含有路面曲率擾動的動力學(xué)模型[14]。雖然該控制方法能使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定,但沒有考慮到干擾項的影響,跟蹤器存在穩(wěn)態(tài)誤差。Kapani和Gerdes提出了前饋+反饋的LQR轉(zhuǎn)向控制器[15],該設(shè)計在Snider的基礎(chǔ)上設(shè)計了前饋控制器,結(jié)果表明跟蹤誤差顯著的減小。Xu和Peng提出在LQR反饋控制的基礎(chǔ)上增加一個包含道路曲率信息的前饋控制部分,以消除控制器的穩(wěn)態(tài)誤差[16]。針對LQR的權(quán)重系數(shù),高琳琳等提出一種根據(jù)路徑誤差實時調(diào)整LQR控制器權(quán)重系數(shù)的方法,提高了跟蹤精度[17],但是其沒有具體的分析每個權(quán)重系數(shù)對跟蹤的影響?；贚QR控制方法的研究已經(jīng)在智能汽車上得到了廣泛的應(yīng)用,但仍需要提高控制器的穩(wěn)定性。

以現(xiàn)代智能算法為基礎(chǔ)的控制方法,主要包括模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和遺傳算法等。將智能控制算法應(yīng)用于路徑跟跟蹤問題是未來的趨勢[18]。Onieva等提出了一種自適應(yīng)模糊控制器,它可以通過迭代遺傳算法實時調(diào)整模糊控制器的隸屬度函數(shù)和規(guī)則庫[19]。Yuan等提出一種根據(jù)車輛的橫向速度和縱向速度調(diào)整預(yù)瞄距離的路徑跟蹤控制器,調(diào)整方法是根據(jù)駕駛者經(jīng)驗設(shè)計的模糊控制器[20]。盡管基于智能控制方法的路徑跟蹤性能得到了很大的優(yōu)化,但模糊控制規(guī)則的制定仍然是一個棘手的問題。

上文總結(jié)了自主車輛路徑跟蹤控制算法的一些研究成果,并提出了這些控制算法面臨的一些問題。雖然LQR控制器可以在路徑跟蹤時擁有著較高的跟蹤精度。但是在車輛遠(yuǎn)離期望路徑或者行駛在極端路況時,由于代價函數(shù)的權(quán)重固定所引起的駕駛舒適性問題研究較少。為此我們設(shè)計了一種基于汽車誤差動力學(xué)模型的前饋+反饋的離散LQR控制器。并設(shè)計了根據(jù)跟蹤誤差實時調(diào)整的模糊控制器來控制LQR的權(quán)重系數(shù)。隨后考慮到實時調(diào)整將導(dǎo)致控制器計算量太大。于是針對LQR控制器在跟蹤精度和計算量之間的平衡問題進(jìn)行了研究,設(shè)計了基于余弦相似度的更新規(guī)則。通過在Simulink-Carsim平臺下的仿真測試,將改進(jìn)的LQR控制器與傳統(tǒng)LQR控制器進(jìn)行對比仿真。結(jié)果表明:改進(jìn)的LQR控制器在降低跟蹤誤差和減少計算負(fù)荷方面得到了改善。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 車輛動力學(xué)模型

由于車輛是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng),僅僅使用車輛的運動學(xué)模型很難很好的來表述車輛的運動特性。所以本文采用的是經(jīng)過簡化后的二自由度動力學(xué)模型。汽車在高速行駛時,輪胎會變形產(chǎn)生側(cè)偏角。當(dāng)側(cè)偏角較小時,輪胎的側(cè)向力與側(cè)偏角成正比,所以有Fy=Cα。我們假設(shè)車是對稱的,同時忽略掉車輪的間距,將兩車輪合并為一個。其動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 二自由度動力學(xué)模型Fig. 1 Dynamics model of two degrees of freedom

圖1中:αf與αr為前后輪的側(cè)偏角大小;Fyf和Fyr為前后輪的側(cè)向力;δ為前輪轉(zhuǎn)角;a與b分別為前后車橋到質(zhì)心處的距離;vf與vr分別為前后輪的速度。由于側(cè)偏角的存在,所以看到車輪的速度方向不與車輪的方向相同。v為質(zhì)心處的速度,一般情況下不與車身坐標(biāo)系的x軸重合。

根據(jù)圖1動力學(xué)模型,對汽車坐標(biāo)系y軸方向進(jìn)行動量定理分析及對質(zhì)心處的動量矩定理分析可得:

(1)

考慮到高速情況下前輪轉(zhuǎn)向角δ一般較小,所以我們視cosδ≈1,將式(1)簡化為:

(2)

借鑒剛體運動學(xué)知識,可以得到前后輪側(cè)偏角的表達(dá)式為:

(3)

式中:β為質(zhì)心側(cè)偏角;vx和vy分別為汽車的縱向速度和橫向速度。

(4)

1.2 車輛動力學(xué)誤差模型

為了實現(xiàn)汽車的橫向控制,使用frenet自然坐標(biāo)系將汽車的動力學(xué)模型轉(zhuǎn)換動力學(xué)誤差模型。在橫向跟蹤中,定義橫向誤差為當(dāng)前汽車所在位置與其在規(guī)劃路徑上的投影點的距離,航向誤差則為當(dāng)前位置的航向角與規(guī)劃路徑上投影點的切線方向的偏差,圖2為橫向誤差和航向誤差的定義。

圖2 當(dāng)前位置和期望路徑之間的誤差示意圖Fig. 2 Demonstrated picture for the error between current position and expected path

根據(jù)圖2可以得到橫向誤差ed的表達(dá)式為

ed=(r-rref)·nref

(5)

將式(5)對時間求導(dǎo),可以得到橫向誤差導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(6)

(7)

因為在設(shè)計路徑時通常將參考的航向角設(shè)計的相對順滑,所以忽略掉θr的高階導(dǎo)數(shù)。此外,因為設(shè)計的是橫向運動控制器,所以將vx視為一個常數(shù)?？梢缘玫絼恿W(xué)模型到動力學(xué)誤差模型的變換方程為:

(8)

(9)

式中:

2 橫向路徑跟蹤控制器設(shè)計

為了使車輛可以較好的跟蹤在參考路徑上,基于車輛的誤差模型,設(shè)計了離散LQR控制器對車輛進(jìn)行橫向控制,實現(xiàn)了橫向距離誤差和航向誤差的快速收斂。首先,根據(jù)車輛的動力學(xué)誤差模型設(shè)計離散LQR控制器,得到反饋系數(shù)。然后根據(jù)環(huán)境感知系統(tǒng)得到當(dāng)前車輛的位置,從而計算車輛與規(guī)劃路徑間的狀態(tài)誤差。再通過反饋系數(shù)和前饋部分來補(bǔ)償忽略掉的參考航向角變化率部分。最后,將離散LQR控制器計算出來的反饋系數(shù)和環(huán)境誤差以及前饋部分輸入到車輛控制器中去控制車輛的前輪轉(zhuǎn)角,從而實現(xiàn)車輛的橫向控制。

(10)

式中:Q和R為對角矩陣,其中參數(shù)表示每個變量的權(quán)重系數(shù),系數(shù)越大,表示對該變量的重視程度,其求解時就越快收斂。Q=diag[q1,q2,q3,q4],q1,q2,q3,q4分別為橫向誤差、橫向誤差變化率、航向誤差和航向誤差變化率的重要性。R=[r*],r*為對輸入前輪轉(zhuǎn)角的重視程度。

2.1 反饋控制

(11)

式中dt為采樣周期。

根據(jù)積分的中值定理,得:

(12)

一般來說采用中點歐拉法系統(tǒng)的準(zhǔn)確性較高,但是由于輸入只知道當(dāng)前時刻的輸入,所以采用向前歐拉法和中點歐拉法的混合使用,令E(ξ)=[E(t)+E(t+dt)]/2,u(ξ)=u(t),代入到式(12),化簡整理后得到離散化的方程為

(13)

由于式(10)中的無窮不好處理,所以將其變換,轉(zhuǎn)換為:

(14)

使用拉格朗日乘數(shù)法構(gòu)造在有約束情況下的代價函數(shù)為

(15)

通過構(gòu)造哈密頓方程來化簡方程,哈密頓方程為

(16)

將式(16)代入到式(15)中,對其進(jìn)行化簡可得

(17)

為了求代價函數(shù)的最小值,利用向量導(dǎo)數(shù)的知識。求式(17)的極值,對其進(jìn)行求導(dǎo),并使其等于0,可得:

(18)

根據(jù)式(18),可以得到

(19)

式(19)和λn=2QEn擁有相同的格式。從n開始遞推,使用同樣的方法可以得到λn-1,λn-2,直到λ1的表達(dá)式。如果定義λk=2PkEk,并且Pk=Q,根據(jù)式(19),可以得到Pk-1的表達(dá)式為

(20)

式(20)也被稱為Riccati方程,該方程的特性是當(dāng)P的值迭代很多次后,P的值將收斂,可以認(rèn)定為一個定值。通過求解Riccati方程可以得到一個收斂的P值,則代入到式(18)可以得到

(21)

將式(13)代入式(21)可以得到

(22)

可以將式(22)簡寫為uk=-kEk,其中,k為LQR控制器的反饋系數(shù),k=[k1,k2,k3,k4]。

2.2 前饋控制

將式(22)代入到式(9),可以得到

(23)

u=-kE+δf

(24)

(25)

將式(9)中A,B,C代入式(25)中,可以得到系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方程為

E=

(26)

根據(jù)式(5),可以得到rref+edVnref=r,對其兩邊求導(dǎo),并代入式(7)和弗萊納公式,可以得到

(27)

(28)

(29)

此外,因為假設(shè)車輛是一個剛體,根據(jù)等效替換方法Fyr≈(a/a+b)may,則式(29)可以簡化為

(30)

二自由度模型示意圖如圖3所示。圖3中:O為車輛的轉(zhuǎn)向半徑。后輪的轉(zhuǎn)彎半徑和質(zhì)心的轉(zhuǎn)彎半徑近似相等,可以近似為一個等腰三角形。又因為角γ通常是一個較小的值,所以其可以表示為γ≈b/R。

圖3 二自由度模型示意圖Fig. 3 Model of two degrees of freedom

根據(jù)三角形的內(nèi)角和,可以得到質(zhì)心側(cè)偏角為

(31)

根據(jù)式(30)和式(31),可得eφ=-β,所以航向誤差的穩(wěn)態(tài)值就不需要前饋部分消除。綜上所述,得到前饋部分為

(32)

3 LQR控制器的實時更新方法

LQR路徑跟蹤控制器的性能受到權(quán)重系數(shù)的選擇影響,但通常對權(quán)重系數(shù)選擇是依靠經(jīng)驗來決定的。為了更好的觀察各權(quán)重系數(shù)對路徑跟蹤控制效果的影響,使用Simulink-Carsim平臺進(jìn)行仿真驗證,選擇雙移線路況作為測試路徑。針對q1,q2,q3,q4和r這5個權(quán)重系數(shù),單獨改變各權(quán)重系數(shù)的數(shù)值,并將其他4個權(quán)重系數(shù)設(shè)置為1,測試不同的權(quán)重系數(shù)對跟蹤效果的影響。LQR控制器在不同權(quán)重系數(shù)下的結(jié)果如圖4和圖5所示。結(jié)果表明:權(quán)重系數(shù)q1和q4的改變對車輛的跟蹤性能影響較大,當(dāng)權(quán)重系數(shù)改的過大或過小并且跟蹤出現(xiàn)較大誤差時,車輛不能很好的快速消除誤差并且穩(wěn)定的維持在參考路徑上。但是權(quán)重系數(shù)q2,q3和r對跟蹤控制效果的影響則很小。

圖4 不同權(quán)重系數(shù)q1,q2,q3,q4下路徑跟蹤的結(jié)果Fig. 4 The results of path tracking in different weight coefficients q1,q2,q3,q4

圖5 不同權(quán)重系數(shù)r下路徑跟蹤的結(jié)果Fig. 5 The result of path tracking in different weight coefficient r

由于是在計算機(jī)上的仿真環(huán)境下進(jìn)行仿真,所以可以在每個計算周期內(nèi)都根據(jù)新的狀態(tài)矩陣重新進(jìn)行離散LQR控制器的求解。雖然這樣提高了跟蹤精度,但是會增大計算機(jī)的計算量,其跟蹤結(jié)果只具有理論參考價值,在實際應(yīng)用時很難實現(xiàn)。所以為了提高LQR控制器的穩(wěn)定性以及實時性,本文提出了一種改進(jìn)的LQR路徑跟蹤策略。具體的實現(xiàn)過程如圖6所示,控制策略主要分為兩部分:首先,控制器模塊使用離散LQR算法進(jìn)行轉(zhuǎn)向輸入角的計算。然后模糊控制器根據(jù)車輛位置來更新控制器的權(quán)重系數(shù)。其次,根據(jù)最新的狀態(tài)矩陣和權(quán)重系數(shù)矩陣,更新模塊計算其與控制器中的狀態(tài)矩陣和權(quán)重矩陣之間的余弦相似度。若余弦相似度低于設(shè)定好的更新閾值,則將最新的狀態(tài)矩陣和權(quán)重系數(shù)矩陣替換掉控制模塊中的狀態(tài)矩陣和權(quán)重系數(shù)矩陣,并重新進(jìn)行離散LQR控制的計算過程,得到新的反饋系數(shù)。若余弦相似度大于更新閾值,則不重新計算,使用之前的反饋系數(shù)k。

圖6 基于模糊控制和余弦相似度的LQR橫向路徑跟蹤控制器框架Fig. 6 LQR lateral path tracking controller based on the fuzzy control and cosine similarity degree

3.1 基于模糊控制的權(quán)重系數(shù)的更新

隨著模糊控制理論的發(fā)展,人們提出了模糊控制算法。它的突出特點是不需要對控制系統(tǒng)進(jìn)行精確建模,對過程參數(shù)變化具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。由于模糊控制采納了人們的經(jīng)驗理論,可以簡化系統(tǒng)的復(fù)雜性,是一種易于控制、魯棒性強(qiáng)的控制方法。將模糊控制與LQR控制器相結(jié)合,結(jié)合駕駛者的經(jīng)驗設(shè)計模糊控制器規(guī)則,使用模糊控制實時調(diào)整LQR控制器的權(quán)重系數(shù)。這樣可以充分利用LQR控制器和模糊控制器的優(yōu)點,有效地提高控制器的抗干擾性和魯棒性。圖7為模糊控制的過程。

圖7 模糊控制框架Fig. 7 Fuzzy control

根據(jù)圖4可知:q1和q4對跟蹤性能影響較大,所以主要對q1和q4進(jìn)行模糊控制的調(diào)整。根據(jù)人們的駕駛經(jīng)驗,橫向誤差與航向誤差并不是所有時候都是越小越好。所以需要根據(jù)不同的情況,有時擁有一定的誤差反而是好的結(jié)果。當(dāng)橫向誤差較大時,需要有存在較大的航向誤差來消除橫向誤差,反之當(dāng)橫向誤差較小時,應(yīng)該主要控制航向誤差以保證車輛行駛的穩(wěn)定性。

所以q1和q4需要滿足以下需求:

1) 當(dāng)橫向誤差較大,航向誤差不處于消除橫向誤差的方向時,q1需要取一個較大的值,q4需要取一個較小的值,如圖8a)所示。

2) 當(dāng)橫向誤差較大,航向誤差處于可以消除橫向誤差的方向時,q1需要取一個較小的值,q4需要取一個較大的值,如圖8b)所示。

3) 當(dāng)橫向誤差較小,航向誤差較大時,q1需要取一個較大的值,q4需要取一個較小的值,如圖8c)所示。

4) 當(dāng)橫向誤差較小,航向誤差也較小時,q1需要取一個較小的值,q4需要取一個較大的值,如圖8d)所示。

圖8 車輛在不同橫向誤差和偏航誤差下的位置示意圖Fig. 8 The positions of the vehicle under different lateral error and yaw error

因此,q1和q4的數(shù)值需要由檢測到的橫向誤差和航向誤差來確定。在此基礎(chǔ)上,使用控制因子來調(diào)整q1和q4的數(shù)值。q1和q4被描述為控制因子,橫向誤差和航向誤差的函數(shù)分別為:

(33)

式中:τ和σ分別為q1和q4的控制因子。通過式(34)將輸入ed和eφ標(biāo)準(zhǔn)化處理在[-2,2]的合適范圍內(nèi)。

(34)

式中:Range(·)為max(·)-min(·)。使用圖9中的隸屬度函數(shù)記性模糊化和逆模糊化處理。隸屬度函數(shù)由高斯和三角形隸屬度函數(shù)組成。

圖9 ed,eφ,τ和σ的隸屬度函數(shù)Fig. 9 Membership functions for ed,eφ,τ,σ

根據(jù)前面對各種車況下的所需權(quán)重系數(shù)的分析,在表1和表2中設(shè)計了具體的模糊控制規(guī)則。然后根據(jù)經(jīng)典的重心法對推理出的結(jié)果進(jìn)行逆模糊運算。

表1 τ的模糊規(guī)則Tab. 1 Fuzzy rule of τ

表2 σ的模糊規(guī)則Tab. 2 Fuzzy rule of σ

圖10為控制因子τ和σ在不同的橫向和航向誤差情況下通過模糊推理得到的值。

圖10 控制因子的τ和σ的模糊推理結(jié)果Fig. 10 Fuzzy inference results of control parameters τ and σ

根據(jù)控制因子τ和σ的值可以得到q1和q4的計算公式為:

(35)

3.2 基于余弦相似度的更新規(guī)則

為了降低計算機(jī)的計算時間,使用余弦相似度的計算方法判斷是否更新狀態(tài)矩陣和權(quán)重系數(shù)矩陣,余弦相似度的計算公式為:

(36)

式中:A*和Q*為控制器正在使用的矩陣;A和Q為當(dāng)前時刻最新的狀態(tài)矩陣和權(quán)重系數(shù)矩陣;sA和sQ為當(dāng)前時刻的矩陣和控制器中的矩陣之間的余弦相似度,其數(shù)值位于0～1之間,數(shù)值越接近1表示兩矩陣間的差異就越小。

設(shè)定一個閾值作為更新的條件,當(dāng)最新的狀態(tài)矩陣與參考的狀態(tài)矩陣的余弦相似度小于設(shè)定閾值,則以最新的狀態(tài)矩陣去求解LQR控制器。若大于設(shè)定的閾值則不使用新的狀態(tài)求解LQR控制器,依舊使用之前的反饋系數(shù)作為結(jié)果。為了更好的分析在不同的閾值下狀態(tài)矩陣的更新頻率。采用如圖11所示正弦形式的縱向速度作為速度輸入。分別設(shè)置余弦相似度的更新閾值sA,ref為0.8,0.9,0.95和不更新狀態(tài)矩陣。

圖11 正弦形式的縱向速度輸入Fig. 11 Longitudinal velocity input in sinusoidal form

如圖12所示,當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣不更新時,其余弦相似度較小,且相似度的變化率較大。從這個角度講,當(dāng)實時的縱向速度與控制器默認(rèn)狀態(tài)矩陣之間余弦相似度較小時會導(dǎo)致車輛行駛不穩(wěn)定。將閾值設(shè)置為0.8時,總體的余弦相似度減小,更新次數(shù)為6次,但是變化率變大,不利于系統(tǒng)的輸入。增大更新閾值至0.9,余弦相似度與余弦相似度的變化率均減小,且更新次數(shù)沒有增加,保持在6次。當(dāng)進(jìn)一步增大更新閾值至0.95,則更新次數(shù)增大到12次,但是余弦相似度與余弦相似度的變化率都進(jìn)一步減小。若是繼續(xù)增大更新閾值,則計算負(fù)荷進(jìn)一步增加。綜合考慮后選擇狀態(tài)矩陣的更新閾值為0.9,在保證實時性的同時提高了LQR控制器的實時性。

圖12 在正弦輸入下狀態(tài)矩陣A的余弦相似度及變化率Fig. 12 Cosine similarity degree and rate of change of state matrix A under sinusoidal input

使用同樣的方法分析權(quán)重系數(shù)矩陣的更新閾值設(shè)置。使用如圖13所示的輸入作為τ和σ的值。分別設(shè)置權(quán)重系數(shù)矩陣的更新閾值sQ,ref為0.8,0.85,0.9和不更新作為權(quán)重系數(shù)矩陣。

圖13 正弦形式的σ和τ輸入Fig. 13 Input of σ and τ in sinusoidal form

如圖14所示,當(dāng)系統(tǒng)的權(quán)重系數(shù)矩陣不更新時,其余弦相似度很小,不能滿足車輛對各種情況的自適應(yīng)性。當(dāng)更新閾值設(shè)置為0.8時,總體的余弦相似度減小,更新次數(shù)為7次,但是變化率變大,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。增大更新閾值至0.85,余弦相似度與余弦相似度的變化率均減小,處于一個合適的范圍內(nèi),且更新次數(shù)保持在7次。當(dāng)進(jìn)一步增大更新閾值至0.9時,雖然余弦相似度與余弦相似度的變化率都進(jìn)一步減小,但是更新次數(shù)增大到14次,若是繼續(xù)增大更新閾值,則計算負(fù)荷進(jìn)一步增加。綜合考慮后選擇權(quán)重系數(shù)矩陣的更新閾值為0.85。

圖14 在正弦輸入下權(quán)重系數(shù)矩陣Q的余弦相似度及變化率Fig. 14 Cosine similarity and rate of change of weight coefficient matrix Q under sinusoidal input

4 仿真試驗分析

為了驗證改進(jìn)的LQR控制器的跟蹤控制效果,我們使用Simulink-CarSim聯(lián)合仿真平臺進(jìn)行仿真驗證。其中Simulink軟件用來構(gòu)建橫向路徑跟蹤控制器,Carsim軟件用來搭建車輛模型。我們使用雙移線軌跡作為參考路徑來測試控制器的跟蹤性能,控制器及車輛主要參數(shù)的設(shè)定如表3所示。

表3 仿真參數(shù)Tab. 3 Parameters for simulation

為了更好的分析改進(jìn)的LQR控制器的路徑跟蹤效果,將其與實時計算更新的LQR控制器進(jìn)行比較。分別在速度15 m/s和25 m/s的情況下進(jìn)行測試。如圖15所示,在車速15 m/s的情況下,改進(jìn)的LQR控制器可以和實時更新的LQR控制器一樣很好的跟蹤在期望路徑上。在低速的情況下,橫向誤差的最大值約為0.2 m,這是較小的數(shù)值。改進(jìn)的LQR控制器雖然沒有實時更新反饋系數(shù),但是其跟蹤效果與實時更新的LQR控制器相比偏差較小。

圖15 在15 m/s速度下改進(jìn)的LQR控制器和實時 更新的LQR控制器的路徑跟蹤結(jié)果Fig. 15 Path tracking results of improved LQR controller and real-time updated LQR controller at 15 m/s speed

圖16為在25 m/s的車速下改進(jìn)的LQR控制器和實時更新的LQR控制器的跟蹤效果。顯然,當(dāng)車輛處于高速行駛狀態(tài)下,車輛已經(jīng)很難完美的行駛在雙移線工況上。在曲率最大的轉(zhuǎn)彎處,兩種控制算法均出現(xiàn)了較大的誤差,但是改進(jìn)的LQR控制器的橫向誤差更小,且當(dāng)誤差較大時可以更快的修正當(dāng)前狀態(tài)。改進(jìn)的LQR控制器相比較于實時更新的LQR控制器,其最大橫向誤差降低了約28%。這表明當(dāng)車輛的跟蹤誤差較大時,改進(jìn)的LQR控制器可以更快速的消除誤差,使車輛行駛在一個安全的情況下。其原因主要是因為當(dāng)橫向誤差較大時,模糊控制器通過調(diào)整權(quán)重系數(shù)調(diào)整對橫向誤差的優(yōu)先級,使LQR控制器更快的消除橫向誤差。

圖16 在25 m/s速度下改進(jìn)的LQR控制器和實時 更新的LQR控制器的路徑跟蹤結(jié)果Fig. 16 Path tracking results of improved LQR controller and real-time updated LQR controller at 25 m/s speed

為了評估改進(jìn)的LQR控制器的實時性,將其與實時更新的LQR控制器的計算時間進(jìn)行比較。使用MATLAB中的τ和σ函數(shù)記錄下在25 m/s的速度下,兩個控制器的時間,其結(jié)果如圖17所示。由圖17可知:改進(jìn)的LQR控制器的計算時間大大縮減,相比于實時更新的LQR控制器計算時間縮減了92%。改進(jìn)的LQR控制器在某些時刻計算時間突然增加,原因是在這些時刻余弦相似度低于更新閾值,導(dǎo)致控制器重新進(jìn)行計算求解。但整體觀察下來,由于引入了余弦相似度的計算,在大多數(shù)時刻改進(jìn)的LQR控制器的計算時間大大降低,達(dá)到了期望的目的。

圖17 改進(jìn)的LQR控制器和實時更新的 LQR控制器的運行時間Fig. 17 Improved LQR controller and real-time updated LQR controller operation time

通過以上測試結(jié)果和數(shù)據(jù),驗證了改進(jìn)的LQR控制器的路徑跟蹤效果達(dá)到了最初設(shè)計的目的。相比較于實時更新的LQR控制器,可以有效提高車輛的自適應(yīng)性,減小車輛的跟蹤誤差,同時可以大幅的降低控制器的計算負(fù)荷。與固定的LQR控制器相比,可以提高車輛的路徑跟蹤精度。

5 結(jié)論

1) 在低速行駛下,控制器可以很好的滿足路徑跟蹤精度。在高速行駛下,跟蹤效果出現(xiàn)較大誤差時,控制器通過改變權(quán)重系數(shù),使車輛快速消除跟蹤誤差。相比于傳統(tǒng)的LQR控制器,最大橫向誤差減少了約28%。改進(jìn)后的LQR控制器可以提高行駛安全性和軌跡跟蹤精度。

2) 改進(jìn)后的LQR控制器具有更小的計算量。相比于傳統(tǒng)的LQR控制器,控制器的計算量減少了約91%,大幅提高了控制器的實時性。

3) 仿真試驗結(jié)果證明了改進(jìn)后的LQR控制器的有效性,為將該控制器運用到實車測試中提供了一定的理論基礎(chǔ)和依據(jù)。