劉彥琦,顧黃森,宋春芳,汪新,鄧二杰,王友會

(1. 北京市科學技術研究院 城市安全與環(huán)境科學研究所,北京 100054; 2. 江南大學 機械工程學院 江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室,江蘇無錫 214122)

近年來,非線性隔振理論及應用迅猛發(fā)展[1],準零剛度隔振系統(tǒng)作為一種新興的非線性低頻隔振技術,改變了線性系統(tǒng)隔振的傳統(tǒng)觀念。準零剛度隔振系統(tǒng)是由正負剛度結構并聯(lián)組成,正剛度結構可以提供承載能力,負剛度結構主要用于降低系統(tǒng)的總剛度,使整個隔振系統(tǒng)的總剛度值接近于零,即為準零剛度。高靜低動剛度的準零剛度隔振器具有優(yōu)良的低頻隔振性能,其動態(tài)特性、隔振性能受到廣泛關注,主要聚焦于非線性高靜低動系統(tǒng)在諧波激勵下的隔振性能研究[2-4]。Hao等[5]設計了一種高靜、低動剛度可調的六自由度正交隔振系統(tǒng),并通過理論與實驗研究了其隔振性能。劉彥琦等[6]研究了耦合線性吸振器的準零剛度隔振系統(tǒng)的隔振性能。姚國等[7]對X型準零剛度隔振器的隔振特性進行了研究分析。趙權等[8]研制了一種空間占比小、安裝方便的準零剛度車載隔振系統(tǒng)并研究了其低頻隔振性能。然而,沖擊載荷普遍存在工程中,準零剛度隔振平臺的沖擊響應分析同樣重要。

國內外的學者對沖擊響應進行了一定的研究。任晨輝等[9]提出了一種由多層負剛度余弦形曲梁連接構成的新型高性能艦船設備沖擊防護裝置,給出了余弦形曲梁橫向壓載下力-位移關系解析表達并優(yōu)化了模型。Tang等[10]研究了具有高靜低動剛度特性的非線性隔振器在半正弦和圓形階躍沖擊激勵下的動態(tài)特性,并提出了3種評價系統(tǒng)緩沖性能的指標。高鵬等[11]設計了一種八連桿抗沖擊隔離器,并通過模擬仿真分析了系統(tǒng)的抗沖擊性能。Ledezma-Ramirez等[12]研究了一種用于沖擊隔振的非線性低動力剛度實驗裝置,并分析了系統(tǒng)沖擊響應。Shekhar等[13]研究了在瞬態(tài)基礎沖擊激勵下幾種非線性隔振器的沖擊性能。Yan等[14]研究了帶負電阻電磁并聯(lián)阻尼的非線性隔振器的沖擊隔振性能。Huang等[15]研究了歐拉梁作為負剛度調節(jié)器的非線性隔振系統(tǒng)的抗沖擊特性,分析了剛度對系統(tǒng)沖擊響應的影響。

本文針對準零剛度隔振平臺,研究了準零剛度隔振系統(tǒng)沖擊響應和系統(tǒng)能量損耗特性。數(shù)值分析了系統(tǒng)在沖擊激勵下的時域響應,并與相應的線性系統(tǒng)進行了對比分析。進一步分析了阻尼和結構參數(shù)對系統(tǒng)緩沖性能的影響,以系統(tǒng)能量損耗速度作為緩沖性能評價指標。

1 準零剛度隔振平臺模型

通過碟形彈簧與螺旋彈簧并聯(lián)構成壓桿式準零剛度單元,如圖1a)所示。由3個壓桿式準零剛度單元鉸接構成錐形支柱,準零剛度隔振平臺由承載平臺及4個錐形支柱組成,如圖1b)所示。

圖1 準零剛度隔振平臺結構示意圖Fig.1 Structure of quasi-zero stiffness vibration isolation platform

碟形彈簧初始處于預壓縮狀態(tài),其結構示意圖如圖2所示,當其受到外激勵時,碟形彈簧提供了負剛度,用于抵消正剛度,從而降低系統(tǒng)的動剛度,實現(xiàn)系統(tǒng)準零剛度。錐形支柱的3個壓桿式準零剛度單元均勻布置,在靜平衡狀態(tài)時,其與豎直方向的夾角為φ,其中錐形支柱受力分析如圖3所示。

圖2 碟形彈簧結構示意圖Fig.2 Structure of disc spring

圖3 錐形支柱受力分析圖Fig.3 Force analysis of conical prop

承載平臺質心受到附加荷載作用時,準零剛度隔振平臺產生的回復力(Fx,Fy,Fz,Mx,My,Mz)[16-19]表達式為:

(1a)

(1b)

2 動力學方程

則系統(tǒng)的非線性動力學方程為

(2)

式中:M=diag{m,m,m,Ix,Iy,Iz};c為線性黏滯阻尼系數(shù)矩陣;u為承載平臺中心受到激勵作用時各個自由度方向產生的位移,u={x,y,z,θx,θy,θz}T;Ft為沖擊激勵;Fr為回復力。

由沖量定理可知:當沖擊持續(xù)時間t極短時,平臺尚未發(fā)生任何位移,但速度可以突變,隨著沖擊激勵的消失,平臺運動問題可轉變?yōu)槌跏嘉灰茷?,初始速度最大的自由振動問題[20]。

(3)

將式(3)在[-ε,ε]內積分,得到沖擊激勵作用后的速度增量為H0/M,即在沖擊激勵消失后,初始運動條件為

(4)

在脈沖激勵結束后,系統(tǒng)在式(4)表示的初始擾動下做自由振動。

通過將準零剛度系統(tǒng)中所有非線性因素去除從而可以得到相對應的線性系統(tǒng),其中ωnz為相應的線性平臺z方向的固有頻率,則平臺動力學方程可轉化為:

(5)

其中:

u′=[x′,y′,z′,θx,θy,θz]T,

ζ=diag{ζ1,ζ2,ζ3,ζ4,ζ5,ζ6},

F′r=[F′x(u),F′y(u),F′z(u),M′x(u),M′y(u),M′z(u)]T,

3 沖擊響應分析

準零剛度隔振平臺結構參數(shù)及平臺初始運動參數(shù)見表1,沖量大小為隔振平臺及被隔振物體質量的10%。

表1 隔振平臺及初始運動參數(shù)Tab.1 Vibration isolation platform and initial motion parameters

通過求解式(5),得到準零剛度隔振平臺在沖擊激勵下的時域位移響應,對比展示了準零剛度隔振平臺與相應線性系統(tǒng)的沖擊位移響應,如圖4所示。

由圖4可知:在沖擊激勵下,系統(tǒng)在經過一段時間后位移趨于0。此外,準零剛度隔振系統(tǒng)的位移幅值高于相應的線性系統(tǒng),但是在系統(tǒng)衰減過程中,準零剛度系統(tǒng)所用的衰減周期數(shù)遠遠低于線性系統(tǒng)。因此,若從位移幅值的角度評價,準零剛度系統(tǒng)緩沖效果不如線性系統(tǒng),若從系統(tǒng)衰減過程中所需周期數(shù)判斷,則準零剛度系統(tǒng)遠優(yōu)于線性系統(tǒng)。

阻尼對準零剛度系統(tǒng)沖擊響應的影響如圖5所示,隨著系統(tǒng)阻尼增大,系統(tǒng)位移響應幅值降低,并且系統(tǒng)衰減所需時間減少,所需的周期數(shù)降低。

圖5 不同阻尼下系統(tǒng)位移響應Fig.5 Displacement response under different dampings

4 系統(tǒng)能量轉換

在沖擊激勵的情況下,系統(tǒng)在沖擊的極短過程中并未發(fā)生位移,沒有能量損耗,但是產生了較大的初速度,所以沖擊能全部轉化為系統(tǒng)的動能,沖擊結束后系統(tǒng)做自由振動,在自由振動過程中,沖擊能逐漸轉化為系統(tǒng)動能、勢能以及運動過程中的能量損耗。設沖擊能為J1,系統(tǒng)動能為J2,系統(tǒng)勢能為J3,自由振動過程中的能量損耗為J4,則系統(tǒng)自由振動過程中能量損耗占比為

(6)

式(6)可用于評價系統(tǒng)的緩沖性能,若系統(tǒng)能量損耗越快,則系統(tǒng)緩沖性能越好。

不同阻尼情況下,準零剛度隔振平臺系統(tǒng)能量損耗占比曲線如圖6所示。

圖6 不同阻尼下系統(tǒng)的能量損耗占比曲線Fig.6 Energy loss ratio curve under different dampings

由圖6可知:準零剛度隔振系統(tǒng)的能量損耗占比總體上隨著時間的持續(xù)迅速增大經過波動而后逐漸趨近于1,并且隨著阻尼的增加,能量損耗占比曲線的變化梯度越來越大,說明增大阻尼有助于提升系統(tǒng)的緩沖能力。在能量損耗占比曲線趨近于1的過程中,曲線會出現(xiàn)峰谷,這可能是由于非線性系統(tǒng)的運動不穩(wěn)定性導致的。在增大阻尼的過程中,曲線峰谷位置的值分別從0.78、0.77、0.90、0.42、0.65、0.66增大至0.98、0.98、1(峰谷消失)、0.85、0.95、0.96,峰谷不斷減小,且當阻尼增大到一定程度時,峰谷會直接消失。

圖7為不同剛度比λ時系統(tǒng)六自由度方向能量損耗占比情況。除z自由度方向之外,其他5個自由度能量損耗曲線均出現(xiàn)峰谷,并且x、y自由度方向,只在剛度比λ=1時,出現(xiàn)峰谷現(xiàn)象。在非峰谷區(qū)域,在每個自由度上,系統(tǒng)在不同剛度比下的能量損耗曲線非常的接近,即剛度比對系統(tǒng)能量損耗曲線的影響不顯著。在峰谷區(qū)域,剛度比對曲線峰谷具有一定的作用,隨著剛度比的減小曲線峰谷處的值分別從0.95、0.94、0.71、0.81、0.88增大至0.98、0.98、0.85、0.96、0.95,峰谷不斷減小,當剛度比減小到一定程度時,峰谷會趨于消失。

圖7 不同剛度比λ下系統(tǒng)能量損耗占比曲線Fig.7 Energy loss ratio curve under different stiffness ratio λ

不同傾斜角φ的情況下,系統(tǒng)6個自由度方向的能量損耗占比曲線如圖8所示。與剛度比相似,在非峰谷區(qū)域,在給定的3組傾斜角度的工況,系統(tǒng)能量損耗占比曲線非常接近;即在每個自由度上,傾斜角對系統(tǒng)能量損耗占比的影響不顯著。傾斜角的變化只會對系統(tǒng)損耗能量占比曲線的峰谷造成一定影響,增大傾斜角會加深曲線的峰谷。

圖8 不同傾斜角φ下系統(tǒng)的能量損耗占比曲線Fig.8 Energy loss ratio curve of the system at different inclination angles φ

5 結論

1) 在沖擊激勵下,準零剛度系統(tǒng)的位移響應幅值高于線性系統(tǒng),但準零剛度系統(tǒng)位移響應的衰減速度快于線性系統(tǒng),衰減所需的周期數(shù)少于線性系統(tǒng);增大阻尼會使系統(tǒng)的位移響應幅值降低,衰減速度加快,衰減所需周期數(shù)減少。

2) 增大阻尼的過程中會使能量損耗占比曲線坡度變陡,說明增大阻尼有助于提升系統(tǒng)緩沖性能,并且在增大阻尼的過程會使曲線的峰谷逐漸減小甚至消失。

3) 除z自由度方向之外,其他5個自由度能量損耗曲線均出現(xiàn)峰谷。在非峰谷區(qū)域,剛度比對系統(tǒng)每個自由度的能量損耗曲線的影響均不顯著。在峰谷區(qū)域,剛度比對曲線峰谷具有一定的作用,減小剛度比能減小曲線的峰谷,當剛度比減小到一定程度時,峰谷會趨于消失。

4) 傾斜角的變化只會對系統(tǒng)損耗能量占比曲線的峰谷帶來一定影響,增大傾斜角會加深曲線的峰谷;在非峰谷區(qū)域,系統(tǒng)傾斜角φ對能量損耗占比的影響不顯著。