張靜，郭凱，郭宏偉，劉榮強(qiáng)，寇子明

1.燕山大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島 066004

2.河北省輕質(zhì)結(jié)構(gòu)裝備設(shè)計(jì)與制備工藝技術(shù)創(chuàng)新中心，秦皇島 066004

3.太原理工大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，太原 030024

4.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150006

張拉整體結(jié)構(gòu)是一種由只受壓力的離散桿構(gòu)件與只受拉力的連續(xù)索構(gòu)件構(gòu)成的預(yù)應(yīng)力自平衡鉸接結(jié)構(gòu)，屬于小應(yīng)變大位移的空間結(jié)構(gòu)范疇。其以輕質(zhì)靈活的索構(gòu)件為主體，輔以局部剛性桿構(gòu)件，僅需在構(gòu)件中施加合適的預(yù)應(yīng)力即可實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的剛化，不需要外部的支撐與荷載，具有剛度可調(diào)、形狀可控、易于折展等顯著優(yōu)勢(shì)［1-3］。

Yildiz 等［4］采用粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)了輕量化、高剛度的二類(lèi)三桿張拉整體式伸展臂。Kan 等［5］通過(guò)建立多節(jié)點(diǎn)集束索的方式得到一種10 個(gè)四棱臺(tái)單元軸向連接的張拉整體式伸展臂，相比于經(jīng)典索桿機(jī)構(gòu)更易于展開(kāi)。Zhang 等［6］以帶端板的可變形張拉整體單元構(gòu)造了多種一維張拉整體結(jié)構(gòu)，拓展了伸展臂的應(yīng)用場(chǎng)合。張拉整體式伸展臂的設(shè)計(jì)與分析多集中于找形方法選擇、結(jié)構(gòu)剛度比較與穩(wěn)定性判定等方面。找形研究中，力密度法［7］是一種最常用、最基礎(chǔ)的靜力學(xué)找形方法。Lee 等［8］將力密度法與遺傳算法相結(jié)合，提高了力密度法找形效率。Lu 等［9］考慮張拉整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性，使用動(dòng)態(tài)松弛法去搜尋索中預(yù)應(yīng)力，并完成找形研究。Pellegrino［10］運(yùn)用非線(xiàn)性規(guī)劃法，將張拉整體結(jié)構(gòu)的找形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為約束最小化問(wèn)題，得到桿長(zhǎng)最長(zhǎng)的張拉整體結(jié)構(gòu)。Kanno 等［11-13］將基結(jié)構(gòu)法與混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃法（MILP）相結(jié)合，以節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置為已知輸入量，求得最終結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)間的拓?fù)潢P(guān)系與各構(gòu)件內(nèi)力。Wang 等［14-15］在其研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了混合整數(shù)二次規(guī)劃法（MIQP）與混合整數(shù)半定規(guī)劃法（MISDP）以解決張拉整體結(jié)構(gòu)找形中各構(gòu)件力的對(duì)稱(chēng)性與預(yù)應(yīng)力缺失等問(wèn)題。在伸展臂穩(wěn)定性與剛度研究方面，Connelly［16-17］從數(shù)學(xué)角度提出了張拉整體框架的預(yù)應(yīng)力穩(wěn)定、超穩(wěn)定等重要概念。Guest［18］研究發(fā)現(xiàn)張拉整體結(jié)構(gòu)體系的切線(xiàn)剛度矩陣由線(xiàn)性剛度矩陣和幾何剛度矩陣兩部分組成。張沛［19］將確定形態(tài)的張拉整體結(jié)構(gòu)劃歸到不同穩(wěn)定等級(jí)當(dāng)中，極大地便利了結(jié)構(gòu)工程師設(shè)計(jì)的過(guò)程。羅阿妮［20］以三桿張拉整體結(jié)構(gòu)單元的有限元模型為例，分析了不同因素對(duì)該經(jīng)典結(jié)構(gòu)單元?jiǎng)偠鹊挠绊懗潭?。Cai 等［21］基于特征值分析法分別對(duì)經(jīng)典三棱柱與星型張拉整體機(jī)構(gòu)單元?jiǎng)偠染仃囂卣髦惦S構(gòu)件中預(yù)應(yīng)力水平變化的趨勢(shì)進(jìn)行了分析。

本文首先建立混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃法所需的基本變量、約束條件與目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并由基結(jié)構(gòu)法得到形狀確定的張拉整體結(jié)構(gòu)單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)與所有可能構(gòu)件。然后將各數(shù)學(xué)模型與所得基結(jié)構(gòu)相結(jié)合，通過(guò)改變約束條件中控制參數(shù)拓?fù)湔倚蔚玫蕉喾N結(jié)構(gòu)單元構(gòu)型，并基于改進(jìn)型麥克斯韋爾準(zhǔn)則和平衡矩陣奇異值分解法對(duì)所得單元構(gòu)型以及現(xiàn)有經(jīng)典單元構(gòu)型完成穩(wěn)定性判定及剛度比較，優(yōu)選得到2 種單元構(gòu)型。其次基于模塊化設(shè)計(jì)思想提出兩種構(gòu)造伸展臂的方式，并分別得到2 種張拉整體式伸展臂。最后分別研究了不同預(yù)應(yīng)力水平、約束方式、構(gòu)件截面尺寸對(duì)兩種伸展臂彎曲剛度的影響并明確了2 種伸展臂在各種情形下的剛度大小關(guān)系。

1 數(shù)學(xué)模型

建立混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型中所需的基本變量、約束條件與目標(biāo)函數(shù)，以便對(duì)基結(jié)構(gòu)法所生成的基結(jié)構(gòu)構(gòu)件集合進(jìn)行篩選與定義，即剔除構(gòu)件集合中冗余構(gòu)件，并指定剩余構(gòu)件為索構(gòu)件或桿構(gòu)件，從而得到滿(mǎn)足條件的張拉整體結(jié)構(gòu)單元。

1.1 基本變量

三維空間中的n個(gè)節(jié)點(diǎn)的集合用V表示，任意節(jié)點(diǎn)兩兩連接可得到元素總數(shù)為b的構(gòu)件集合E。節(jié)點(diǎn)總數(shù)n與所有可能構(gòu)件的總數(shù)b之間的關(guān)系為

為了表征前述混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃法對(duì)基結(jié)構(gòu)構(gòu)件集合的劃分結(jié)果，構(gòu)件集合E可劃分為3 個(gè)兩兩不相交的子集S、C、N，且滿(mǎn)足：

式中：S為桿構(gòu)件集合；C為索構(gòu)件集合；N為冗余構(gòu)件集合。

首先，分別引入2 個(gè)0-1 整數(shù)變量xi∈{0，1}和yi∈{0，1}用作定義構(gòu)件類(lèi)型的基本變量，且與集合S、C、N之間的關(guān)系為

式中：i為集合E中第i個(gè)構(gòu)件。

然后，同樣引入0-1 變量nj∈{0，1}表示集合V中任意節(jié)點(diǎn)j是否存在于最終結(jié)構(gòu)中，VΟ和VΙ分別表示剔除節(jié)點(diǎn)的集合與保留節(jié)點(diǎn)的集合，即有

最后，引入描述張拉整體結(jié)構(gòu)中各構(gòu)件內(nèi)力的連續(xù)變量向量t=(ti)∈Rb?？紤]張拉整體結(jié)構(gòu)定義與實(shí)際應(yīng)用，ti與集合S、C、N之間的關(guān)系為

1.2 約束條件

約束條件1張拉整體結(jié)構(gòu)中，桿只受軸向壓力，索只受軸向拉力，由式（3）與式（6）可得構(gòu)件內(nèi)力屬性約束條件為

式中：M和ε為2 個(gè)特定的正數(shù)，且滿(mǎn)足0 ＜ε?M。

約束條件2由結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和各構(gòu)件拓?fù)溥B接方式可得張拉整體結(jié)構(gòu)單元的平衡矩陣A∈R3n×b，各節(jié)點(diǎn)所受外載荷向量為f∈R3n，因此，平衡約束方程為

由于所研究的是不考慮結(jié)構(gòu)自重與外載的自平衡張拉整體結(jié)構(gòu)單元，因此式（8）又可寫(xiě)為

約束條件3為提高三維空間找形所得結(jié)構(gòu)單元的穩(wěn)定性，應(yīng)首先保證結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定性，從實(shí)際角度出發(fā)，1 個(gè)節(jié)點(diǎn)應(yīng)至少連接3 個(gè)構(gòu)件，則約束條件為

式中：Ej為連接于節(jié)點(diǎn)j的所有可能構(gòu)件集合，下同。

約束條件4由式（3）結(jié)合實(shí)際可知，同一構(gòu)件不能同時(shí)為桿與索，即有(xi，yi)≠(1，1)，據(jù)此設(shè)置約束條件為

約束條件5由于任意節(jié)點(diǎn)j的存在性與連接于節(jié)點(diǎn)j的構(gòu)件存在性密切相關(guān)，根據(jù)文獻(xiàn)［22］可得nj、xi、yi（i∈Ej）之間的關(guān)系為

約束條件6張拉整體結(jié)構(gòu)存在多種分類(lèi)方式，按照連接于同一節(jié)點(diǎn)最大桿數(shù)為k分類(lèi)，可分別稱(chēng)為Class-k（k=1，2，…）型張拉整體結(jié)構(gòu)［23］，該約束條件表達(dá)式為

約束條件7現(xiàn)有張拉整體結(jié)構(gòu)找形問(wèn)題通常可歸結(jié)為其余各構(gòu)件長(zhǎng)度不變的情形下，求解桿件長(zhǎng)度最長(zhǎng)的約束優(yōu)化問(wèn)題，由此提出約束條件為

約束條件8為提高找形結(jié)果的準(zhǔn)確性，文獻(xiàn)［15］根據(jù)張拉整體結(jié)構(gòu)每個(gè)節(jié)點(diǎn)均連接有桿和索的基本特征，引入約束條件為

1.3 目標(biāo)函數(shù)

為了避免張拉整體結(jié)構(gòu)單元在展開(kāi)過(guò)程中易出現(xiàn)的柔性構(gòu)件纏繞問(wèn)題，應(yīng)在滿(mǎn)足約束條件的前提下盡量減少使用索構(gòu)件，即尋求一種最簡(jiǎn)張拉整體結(jié)構(gòu)。最簡(jiǎn)張拉整體結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

2 結(jié)構(gòu)單元找形與優(yōu)選

2.1 基結(jié)構(gòu)

Zawadzki 等［24］在對(duì)比輕型伸展臂時(shí)提到一種4 層節(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展型八面體張拉整體結(jié)構(gòu)單元，該單元因存在較多的獨(dú)立機(jī)構(gòu)位移模態(tài)而穩(wěn)定性較差，且受限于桿構(gòu)件交叉的情況，不利于伸展臂結(jié)構(gòu)的構(gòu)造。因此本文在該結(jié)構(gòu)單元同層節(jié)點(diǎn)相對(duì)位置不變的基礎(chǔ)上，調(diào)整不同層節(jié)點(diǎn)間相對(duì)轉(zhuǎn)角，即第4 層節(jié)點(diǎn)（N5、N7）水平面坐標(biāo)與第3 層節(jié)點(diǎn)（N6、N8）水平面坐標(biāo)分別相對(duì)第1 層（N1、N3）與第2 層（N2、N4）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到如圖1 所示的包含n=8 個(gè)節(jié)點(diǎn)和b=28 個(gè)構(gòu)件的新的基結(jié)構(gòu)。圖中細(xì)線(xiàn)表示結(jié)構(gòu)單元找形前的所有構(gòu)件。

圖1 基結(jié)構(gòu)Fig.1 Ground structure

2.2 結(jié)構(gòu)單元拓?fù)湔倚?/h3>

基于上述基結(jié)構(gòu)和式（7）～式（16）所給的約束條件和目標(biāo)函數(shù)，設(shè)基結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)均被采用，且M=100，ε=0.01，k=1，在MATLAB 中通過(guò)改變約束條件中的控制參數(shù)拓?fù)涞玫揭韵? 種張拉整體結(jié)構(gòu)單元構(gòu)型（圖中紅色粗線(xiàn)表示桿件，藍(lán)色細(xì)線(xiàn)表示索件，黑色圓點(diǎn)表示基結(jié)構(gòu)中的各節(jié)點(diǎn)）：

1）不限桿長(zhǎng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少連接3 個(gè)構(gòu)件，可得構(gòu)型1，如圖2 所示。

2）不限桿長(zhǎng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少連接4 個(gè)構(gòu)件，可得構(gòu)型2，如圖3 所示。

圖3 單元構(gòu)型2Fig.3 Element configuration 2

3）不限桿長(zhǎng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少連接5 個(gè)構(gòu)件，可得構(gòu)型3，如圖4 所示。

圖4 單元構(gòu)型3Fig.4 Element configuration 3

4）llimit=1，每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少連接3 個(gè)構(gòu)件，可得構(gòu)型4，如圖5 所示。

圖5 單元構(gòu)型4Fig.5 Element configuration 4

5）llimit=1，每個(gè)節(jié)點(diǎn)至少連接5 個(gè)構(gòu)件，可得構(gòu)型5，如圖6 所示。

圖6 單元構(gòu)型5Fig.6 Element configuration 5

6）與構(gòu)型3 條件相同，但是基結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)旋向相反，得到與構(gòu)型3 旋向相反的構(gòu)型6，如圖7所示。

圖7 單元構(gòu)型6Fig.7 Element configuration 6

以上拓?fù)渌脧埨w結(jié)構(gòu)單元均包含4 根不連續(xù)的桿，滿(mǎn)足Class-1 型張拉整體結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)數(shù)是桿數(shù)2 倍的條件。各單元構(gòu)型的統(tǒng)計(jì)信息見(jiàn)表1。

表1 各單元構(gòu)型統(tǒng)計(jì)信息Table 1 Element configuration statistics

由表1 可知，單元構(gòu)型1、2、4 雖然滿(mǎn)足所有約束條件，但由空間鉸接結(jié)構(gòu)的麥克斯韋爾準(zhǔn)則［25］可知，這3 類(lèi)單元構(gòu)型不符合張拉整體結(jié)構(gòu)ns＞0 且nm≥0 的定義，因此不做考慮。單元構(gòu)型3、5、6 均滿(mǎn)足ns＞0 且nm=0，屬于第3 類(lèi)空間鉸接結(jié)構(gòu)體系［26］，即靜不定動(dòng)定張拉整體結(jié)構(gòu)。

2.3 穩(wěn)定性判定與剛度比較

在衡量張拉整體結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性與剛度時(shí)，常引入結(jié)構(gòu)的切線(xiàn)剛度矩陣K，其由線(xiàn)彈性剛度矩陣KE和幾何剛度矩陣KG兩部分組成，即有

式中：KE取決于結(jié)構(gòu)的幾何形狀與構(gòu)件剛度，而KG則與構(gòu)件中的預(yù)應(yīng)力水平密切相關(guān)。

通過(guò)MATLAB 編程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可知單元構(gòu)型3、5、6 均滿(mǎn)足文獻(xiàn)［27］中動(dòng)定結(jié)構(gòu)體系穩(wěn)定性條件：

因此，這3 個(gè)單元構(gòu)型均達(dá)到基本的穩(wěn)定設(shè)計(jì)要求。其中，單元構(gòu)型3 與單元構(gòu)型6 僅旋向相反，其余相關(guān)參數(shù)類(lèi)似。

現(xiàn)以相同的包絡(luò)圓半徑、高度、構(gòu)件剛度及預(yù)應(yīng)力水平分別構(gòu)造單元構(gòu)型3 與單元構(gòu)型5、經(jīng)典三棱柱/四棱柱、帶附加索的三棱柱/四棱柱等6 類(lèi)張拉整體結(jié)構(gòu)單元并順次編號(hào)。通過(guò)平衡矩陣奇異值分解法求解得到6 種單元構(gòu)型的自應(yīng)力模態(tài)與內(nèi)部機(jī)構(gòu)位移模態(tài)，并計(jì)算各單元構(gòu)型切線(xiàn)剛度矩陣K的最小特征值以比較它們的剛度，所得各數(shù)據(jù)見(jiàn)表2。

表2 各單元構(gòu)型穩(wěn)定性與剛度參數(shù)信息Table 2 Configuration stability and stiffness parameter information of each element

由表2 可知，單元1（單元構(gòu)型3）、單元2（單元構(gòu)型5）和單元5（帶附加索的三棱柱）均為靜不定動(dòng)定結(jié)構(gòu)，同屬于文獻(xiàn)［27］中提到的穩(wěn)定等級(jí)1，即單元構(gòu)型穩(wěn)定性最強(qiáng)且剛度大，該穩(wěn)定等級(jí)中單元5 剛度最大，單元1 次之，單元2 最小。其余3 個(gè)單元?jiǎng)t屬于穩(wěn)定等級(jí)2，即結(jié)構(gòu)單元穩(wěn)定但剛度較小，這3 個(gè)單元的剛度由大到小依次為單元3（經(jīng)典三棱柱）、單元6（帶附加索的四棱柱）、單元4（經(jīng)典四棱柱），此計(jì)算結(jié)果和相關(guān)結(jié)論與文獻(xiàn)［28-29］實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同。

綜上所述，拓?fù)湔倚嗡脝卧獦?gòu)型3 穩(wěn)定性與剛度僅次于帶附加索的三棱柱張拉整體結(jié)構(gòu)單元，且單元構(gòu)型3 與經(jīng)典（或帶附加索）四棱柱張拉整體結(jié)構(gòu)單元同為四桿張拉整體結(jié)構(gòu)，前者在穩(wěn)定性與剛度優(yōu)于后者的情況下，索的數(shù)量也更少，完美契合目標(biāo)函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)證，單元構(gòu)型6 與單元構(gòu)型3 有相同的性能，僅單元旋向不同，因此選擇這2 種單元構(gòu)造伸展臂。

3 伸展臂構(gòu)造及可展分析

基于上述優(yōu)選單元構(gòu)型與模塊化設(shè)計(jì)思想，提出2 種單元構(gòu)型軸向拓?fù)浞绞剑⒎謩e構(gòu)造2 種10 個(gè)單元的伸展臂。所得2 種伸展臂均為Class-2 型張拉整體結(jié)構(gòu)，即伸展臂中桿構(gòu)件之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)直接相連。關(guān)于Class-2 型伸展臂的折展研究，引入集束索（Clustered）概念，將2 種伸展臂的邊索均串聯(lián)成連續(xù)滑動(dòng)繩索單元，構(gòu)成集束索。集束索的一端固定連接在伸展臂頂部節(jié)點(diǎn)，繩索連續(xù)滑動(dòng)穿過(guò)伸展臂中多個(gè)節(jié)點(diǎn)后，另一端由底部節(jié)點(diǎn)引出連接至驅(qū)動(dòng)器。通過(guò)驅(qū)動(dòng)器的收緊與釋放，改變伸展臂中集束索的有效長(zhǎng)度驅(qū)動(dòng)控制伸展臂的折疊與展開(kāi)。同時(shí)伸展臂中所有層索均由彈簧替代，當(dāng)驅(qū)動(dòng)器收緊集束索而使伸展臂折疊時(shí)，各彈簧均被拉伸以?xún)?chǔ)存勢(shì)能，隨著驅(qū)動(dòng)器釋放集束索，彈簧彈性勢(shì)能被釋放，從而實(shí)現(xiàn)伸展臂展開(kāi)。

以2 個(gè)單元的張拉整體結(jié)構(gòu)的構(gòu)造方式與折展驅(qū)動(dòng)方式為例，進(jìn)行2 種伸展臂的構(gòu)造說(shuō)明和可展分析。文中以下示意圖中紅色圓柱體為桿構(gòu)件，藍(lán)色圓柱體為由彈簧代替的層索構(gòu)件，綠色圓柱體為集束索構(gòu)件。

3.1 相同單元構(gòu)造及可展分析

將10 個(gè)相同的單元構(gòu)型3 沿軸向疊加，各單元之間序號(hào)相同的節(jié)點(diǎn)相連，各單元序號(hào)相同節(jié)點(diǎn)之間的索構(gòu)件相互重疊，因此重疊部分只保留一組索構(gòu)件。疊加效果如圖8 所示。

圖8 相同單元構(gòu)造方式Fig.8 Same element construction

將圖8 中邊索N11-N6、N6-N1串聯(lián)構(gòu)成集束索N11-N6-N1，集束索一端固定在節(jié)點(diǎn)N11，繩索連續(xù)滑動(dòng)穿過(guò)節(jié)點(diǎn)N6和N1，集束索另一端由節(jié)點(diǎn)N1引出，繼續(xù)延伸連接至驅(qū)動(dòng)器。以同樣方式繼續(xù)構(gòu)成了集束索N12-N7-N2、N9-N8-N3、N10-N5-N4，共連接4 個(gè)驅(qū)動(dòng)器。所有層索均由彈簧替代，底部4 節(jié)點(diǎn)N1-N4通過(guò)球鉸連接在基座上。依據(jù)前述折展驅(qū)動(dòng)原理，相同單元構(gòu)造方式下的兩單元張拉整體結(jié)構(gòu)的折展示意圖如圖9 所示。

圖9 相同單元構(gòu)造折展過(guò)程Fig.9 Folding process of the same element construction

以上述構(gòu)造方式與折展驅(qū)動(dòng)方式得到的10 個(gè)單元的伸展臂命名為SS 伸展臂，如圖10 所示。

圖10 SS 伸展臂Fig.10 SS deployable mast

3.2 兩類(lèi)單元交替構(gòu)造及可展分析

將單元構(gòu)型3 和單元構(gòu)型6 沿軸向由下至上交替排列，奇數(shù)層為單元構(gòu)型3，偶數(shù)層為單元構(gòu)型6。其中，單元構(gòu)型3 的節(jié)點(diǎn)N5、N6、N7、N8分別與單元構(gòu)型6 的節(jié)點(diǎn)S4、S1、S2、S3一一對(duì)應(yīng)連接，各相同節(jié)點(diǎn)之間索構(gòu)件重合，連接處重疊部分同樣只保留一組索構(gòu)件，疊加效果如圖11 所示。

圖11 2 類(lèi)單元交替構(gòu)造方式Fig.11 Alternate construction of two types of elements

由前述折展原理與驅(qū)動(dòng)方式，分別構(gòu)成了N9-N6-N1、N10-N7-N2、N11-N8-N3、N12-N5-N44 根集束索，4 根集束索一端分別固定連接在節(jié)點(diǎn)N9、N10、N11、N12，另一端分別由節(jié)點(diǎn)N1、N2、N3、N4引出延長(zhǎng)，連接至4 個(gè)驅(qū)動(dòng)器。所有層索同樣均由彈簧替代，底部4 節(jié)點(diǎn)N1-N4通過(guò)球鉸連接在基座上。該構(gòu)造方式下的折展示意圖如圖12 所示。

圖12 2 類(lèi)單元交替構(gòu)造折展過(guò)程Fig.12 Folding process of alternate construction for two types of elements

以上述構(gòu)造方式與折展驅(qū)動(dòng)方式得到的10 個(gè)單元伸展臂命名為SN 伸展臂，如圖13所示。

圖13 SN 伸展臂Fig.13 SN deployable mast

4 伸展臂剛度仿真分析

依據(jù)圖10 和圖13 中所示節(jié)點(diǎn)排布位置及構(gòu)件連接關(guān)系，本文在有限元分析軟件ANSYS APDL 中通過(guò)編程建立了含40 個(gè)桿單元與106 個(gè)索單元的張拉整體式SS 伸展臂與SN 伸展臂有限元模型并進(jìn)行分析。2 種伸展臂結(jié)構(gòu)同類(lèi)構(gòu)件初始預(yù)應(yīng)力水平均相同，都采用外徑60 mm，壁厚4 mm 的Q345 鋼管為桿構(gòu)件以及公稱(chēng)直徑為8.6 mm 的高強(qiáng)鋼絞線(xiàn)為索構(gòu)件。其中，索構(gòu)件的預(yù)緊長(zhǎng)度極限為其原長(zhǎng)的0.681%，詳細(xì)結(jié)構(gòu)參數(shù)信息見(jiàn)表3。

表3 構(gòu)件與材料屬性信息Table 3 Element and material property information

本文所設(shè)計(jì)的2 種張拉整體式伸展臂均等效為一端固定，一端承受集中力作用的懸臂梁模型。對(duì)2 種伸展臂頂部均施加沿著X軸負(fù)方向的逐漸增加的外載荷F，并平均分配到頂部4 個(gè)節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)41～節(jié)點(diǎn)44），各節(jié)點(diǎn)所受外載荷均為F/4，使得伸展臂發(fā)生彎曲變形。鑒于張拉整體結(jié)構(gòu)本身較強(qiáng)的幾何非線(xiàn)性特性，求解前需打開(kāi)大位移分析開(kāi)關(guān)。以變形后的伸展臂結(jié)構(gòu)頂部4 個(gè)節(jié)點(diǎn)沿X軸負(fù)方向位移大小的平均值為該伸展臂的最大撓度wB，在伸展臂長(zhǎng)度L已知的情況下，伸展臂在不同工況下的彎曲剛度為

式中：EI 為伸展臂的彎曲剛度，單位為N·m2。

在上述條件下研究不同索構(gòu)件預(yù)應(yīng)力水平及不同約束方式對(duì)伸展臂彎曲剛度的影響，并在給定外載荷與索構(gòu)件預(yù)應(yīng)力的情況下研究成倍增長(zhǎng)的構(gòu)件橫截面積對(duì)2 種伸展臂剛度質(zhì)量比的影響。

4.1 不同預(yù)應(yīng)力水平下伸展臂剛度分析

無(wú)多余約束方式（即分別約束節(jié)點(diǎn)1 的3 個(gè)自由度，節(jié)點(diǎn)2 在Y、Z方向的自由度，節(jié)點(diǎn)3 與節(jié)點(diǎn)4 在Z方向的自由度）下，分析討論當(dāng)索構(gòu)件預(yù)緊長(zhǎng)度分別為其原長(zhǎng)的0.05%、0.10%、0.15%、0.20%、0.25%以及0.50%這6 種不同預(yù)應(yīng)力水平下，2 種伸展臂彎曲剛度隨著外載荷的變化的規(guī)律，2 種伸展臂載荷-位移曲線(xiàn)和載荷-剛度曲線(xiàn)如圖14～圖17 所示。

圖14 SN 伸展臂載荷-位移變化曲線(xiàn)Fig.14 Load-displacement curves of SN deployable mast

由圖15 和圖17 可知，在任意相同外載荷作用下，張拉整體式SS 伸展臂和SN 伸展臂的彎曲剛度均隨著索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變的增加而增加，2 種伸展臂沿X軸負(fù)方向的變形也均相應(yīng)地減小。但是當(dāng)2 種伸展臂索構(gòu)件預(yù)緊長(zhǎng)度分別為其初始值的2 倍及以上，且SN 伸展臂與SS 伸展臂分別承受400 N 和300 N 及以上外載荷時(shí)，伸展臂在承受相同外載荷作用下索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變的增加對(duì)伸展臂彎曲剛度的影響逐漸減小，伸展臂彎曲變形敏感度下降。這是由于隨著結(jié)構(gòu)構(gòu)件中預(yù)應(yīng)變?cè)黾樱瑥埨w式伸展臂剛化效果明顯增強(qiáng)，近似為一剛性結(jié)構(gòu)，此時(shí)伸展臂的剛度隨外載荷的變化不再明顯。

圖15 SN 伸展臂彎曲剛度變化曲線(xiàn)Fig.15 Bending stiffness curves of SN deployable mast

圖17 SS 伸展臂彎曲剛度變化曲線(xiàn)Fig.17 Bending stiffness curves of SS deployable mast

同時(shí)對(duì)比了相同預(yù)應(yīng)變水平下，外載荷的增加對(duì)2 種伸展臂剛度的影響。可以清楚地看到，在初始預(yù)應(yīng)變不變的情況下，當(dāng)外載荷小于600 N時(shí)，2 種伸展臂彎曲剛度受外載荷變化影響較小，而在600 N 以上時(shí)，隨著外載荷的增加2 種伸展臂彎曲變形大幅增加。出現(xiàn)該明顯下降趨勢(shì)的原因?yàn)樯煺贡墼谠摴r下存在構(gòu)件內(nèi)力小于結(jié)構(gòu)所受外載荷的索構(gòu)件，SN 伸展臂在初始預(yù)應(yīng)變情況下，當(dāng)其所受外載荷為600 N 時(shí)，此時(shí)結(jié)構(gòu)中索構(gòu)件內(nèi)力最小值為1 000.02 N，大于所受外載荷；而當(dāng)其所受外載荷為700 N 時(shí)，結(jié)構(gòu)中索構(gòu)件內(nèi)力最小值為341.91 N，小于所受外載荷，經(jīng)驗(yàn)證SS 伸展臂也存在同樣構(gòu)件內(nèi)力與外載荷大小關(guān)系。當(dāng)2 種伸展臂中索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變水平分別為其初始值的2 倍及以上時(shí)，隨著外載荷的增加，彎曲剛度均呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，且變化量也逐漸減小，符合張拉整體結(jié)構(gòu)非線(xiàn)性變化特征。驗(yàn)證了張拉整體式結(jié)構(gòu)具有良好的自適應(yīng)性，在受到外載荷后自動(dòng)調(diào)整構(gòu)件內(nèi)力分布與節(jié)點(diǎn)位置，以提高結(jié)構(gòu)自身對(duì)外界載荷變化的適應(yīng)能力，維持自身的功能特性。

對(duì)比圖15 和圖17，2 種伸展臂分別在承受1 kN 外載荷時(shí)，SN 伸展臂桿構(gòu)件最大等效應(yīng)力為133.89 MPa，索構(gòu)件為1 243.9 MPa，而SS 伸展臂桿構(gòu)件最大等效應(yīng)力為133.87 MPa，索構(gòu)件為1 244.5 MPa，均未超過(guò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)強(qiáng)度。該載荷工況下，2 種伸展臂隨索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變水平變化的彎曲剛度數(shù)值見(jiàn)表4。

表4 非全約束下彎曲剛度數(shù)值變化Table 4 Numerical variation of bending stiffness under incomplete constraint

由表4 可知，當(dāng)2 種伸展臂均承受相同最大彎曲外載荷時(shí)，在索構(gòu)件的抗拉強(qiáng)度、桿構(gòu)件的屈服強(qiáng)度范圍內(nèi)，無(wú)論索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變水平如何變化，SS 伸展臂彎曲剛度總是大于SN 伸展臂，經(jīng)驗(yàn)證其余載荷工況下也存在相同的規(guī)律。因此在承受合理彎曲載荷的工況下，為減少伸展臂的變形，宜采用SS 伸展臂。

4.2 不同約束方式下伸展臂剛度分析

本節(jié)將伸展臂底部4 節(jié)點(diǎn)的非多余約束方式轉(zhuǎn)換為全約束方式（即節(jié)點(diǎn)1～節(jié)點(diǎn)4 的3 個(gè)方向的自由度均被約束）以研究2 種張拉整體式伸展臂在索構(gòu)件預(yù)應(yīng)力水平變化的情況下結(jié)構(gòu)剛度隨外載荷的變化趨勢(shì)。全約束方式下2 種伸展臂載荷-位移曲線(xiàn)和載荷-剛度曲線(xiàn)如圖18～圖21 所示。

圖18 SN 伸展臂載荷-位移變化曲線(xiàn)Fig.18 Load-displacement curves of SN deployable mast

分析圖19 和圖21 可知，在相同外載荷作用下2 種伸展臂彎曲剛度值均隨索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變的提高而增加，但是在索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變值為其初始值的2 倍及以上時(shí)增加幅度較小。同樣，分析了在相同預(yù)應(yīng)變的情況下，外載荷的增加對(duì)2 種伸展臂剛度的影響。當(dāng)預(yù)應(yīng)變?yōu)槌跏贾档? 倍及以上時(shí)，外載荷在合理范圍內(nèi)變化對(duì)伸展臂彎曲剛度無(wú)影響。而索構(gòu)件在初始預(yù)應(yīng)變時(shí)，2 種伸展臂彎曲剛度均隨著外載荷的增加先保持恒定而后下降，且當(dāng)SN 伸展臂所受外載荷為500 N 和SS伸展臂所受外載荷為400 N 以上時(shí)，由于部分索構(gòu)件內(nèi)力小于該工況下的外載荷出現(xiàn)伸展臂彎曲剛度大幅下降的趨勢(shì)。這一變化趨勢(shì)與非多余約束方式下的情況相似。

圖19 SN 伸展臂彎曲剛度變化曲線(xiàn)Fig.19 Bending stiffness curves of SN deployable mast

圖20 SS 伸展臂載荷-位移變化曲線(xiàn)Fig.20 Load-displacement curves of SS deployable mast

圖21 SS 伸展臂彎曲剛度變化曲線(xiàn)Fig.21 Bending stiffness curves of SS deployable mast

對(duì)比圖19 和圖21，2 種伸展臂分別承受1 kN外載荷時(shí)，SN 伸展臂桿構(gòu)件最大等效應(yīng)力為132.63 MPa，索構(gòu)件為1 111.9 MPa，而SS 伸展臂桿構(gòu)件最大等效應(yīng)力為133.81 MPa，索構(gòu)件為1 112.6 MPa，均在構(gòu)件設(shè)計(jì)強(qiáng)度許用范圍之內(nèi)。該載荷工況下，2 種伸展臂彎曲剛度隨索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變大小變化的情況見(jiàn)表5。

表5 全約束下彎曲剛度數(shù)值變化Table 5 Numerical variation of bending stiffnes under full constraint

由表5 可知，同樣是在最大彎曲外載荷作用下，2 種伸展臂之間剛度大小關(guān)系與非多余約束方式類(lèi)似，所得結(jié)論相同。

分別對(duì)比圖15 和圖19、圖17 和圖21、表4 和表5 可知，對(duì)于SN 伸展臂，在索桿構(gòu)件的應(yīng)力臨界值范圍內(nèi)，在索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變水平越高，所受外載荷越大的情況下，非多余約束方式下伸展臂彎曲剛度大于全約束方式時(shí)的剛度，反之，則全約束方式下彎曲剛度較大；對(duì)于SS 伸展臂，不同約束方式的剛度大小關(guān)系與SN 伸展臂相同。同時(shí)，全約束方式會(huì)削弱索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變變化以及水平外載荷變化對(duì)2 種伸展臂彎曲剛度的影響。

4.3 不同構(gòu)件截面尺寸下伸展臂剛度分析

本節(jié)研究2 種張拉整體式伸展臂在全約束方式、索構(gòu)件預(yù)應(yīng)變?yōu)?.5%、承受1 kN 外載荷的工況下，伸展臂彎曲剛度質(zhì)量比隨構(gòu)件橫截面積變化的情況。詳細(xì)彎曲剛度質(zhì)量比變化情況見(jiàn)表6。

表6 彎曲剛度質(zhì)量比數(shù)值變化情況Table 6 Numerical variation of bending stiffness mass ratio

由表6 可知，隨著索桿構(gòu)件橫截面積成倍數(shù)地增加，2 種伸展臂的剛度質(zhì)量比均維持在一個(gè)恒定值，且相同情況下2 種伸展臂之間的彎曲剛度大小關(guān)系不會(huì)改變。因此，在構(gòu)件設(shè)計(jì)強(qiáng)度范圍之內(nèi)，通過(guò)增大張拉整體式伸展臂各構(gòu)件截面尺寸的方式來(lái)增加結(jié)構(gòu)整體剛度的收益將不再明顯。

5 結(jié)論

1）根據(jù)工程實(shí)際要求，基于基結(jié)構(gòu)法提出了一種形狀確定的張拉整體式伸展臂單元基結(jié)構(gòu)，并在混合整數(shù)線(xiàn)性規(guī)劃框架下通過(guò)改變控制參數(shù)，拓?fù)湔倚蔚玫蕉喾N單元構(gòu)型。

2）依據(jù)空間鉸接結(jié)構(gòu)體系的改進(jìn)型麥克斯韋爾準(zhǔn)則與平衡矩陣奇異值分解法對(duì)拓?fù)渌脝卧獦?gòu)型以及經(jīng)典單元構(gòu)型做穩(wěn)定性判定與剛度比較，優(yōu)選得到僅旋向不同的2 種張拉整體式結(jié)構(gòu)單元構(gòu)型。

3）基于模塊化設(shè)計(jì)思想，對(duì)優(yōu)選所得單元構(gòu)型進(jìn)行軸向拓?fù)洌瑥亩岢? 種伸展臂構(gòu)造方法，并分別構(gòu)造出2 種張拉整體式伸展臂。

4）建立了2 種伸展臂的有限元模型，分別探究了不同索構(gòu)件預(yù)應(yīng)力水平、約束方式和構(gòu)件截面尺寸等因素對(duì)伸展臂結(jié)構(gòu)彎曲剛度的影響規(guī)律以及2 種伸展臂剛度之間的大小關(guān)系?？芍饔绊懸蛩貙?duì)伸展臂彎曲剛度的影響程度，由大到小依次為：構(gòu)件預(yù)應(yīng)力大小、約束方式、構(gòu)件截面積。