張 亮, 劉 思, 趙康偉, 胡存明

(1. 中山大學(xué)航空航天學(xué)院, 廣東 深圳 518107; 2. 上海航天控制技術(shù)研究所, 上海 201100)

0 引 言

目前運(yùn)載火箭在飛行過程中存在的不確定因素較多,例如火箭的飛行高度、飛行速度、大氣條件的變化以及火箭內(nèi)部結(jié)構(gòu)干擾等因素,導(dǎo)致箭體姿態(tài)動力學(xué)模型參數(shù)存在很大程度的時變性和不確定性。上述這些不確定因素將使得姿態(tài)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度發(fā)生較大改變。針對運(yùn)載火箭主動段飛行過程中存在的剛-彈-晃-發(fā)動機(jī)諧振等強(qiáng)耦合、參數(shù)不確定性和復(fù)雜干擾條件,如何設(shè)計先進(jìn)的自適應(yīng)控制方法,提高系統(tǒng)的魯棒性,是一項具有挑戰(zhàn)性的研究課題。而基于經(jīng)典頻域理論離線設(shè)計模式的比例-積分-微分(proportional-integral-derivative,PID)控制系統(tǒng)存在保守性較強(qiáng)的缺點。近年來,針對這一問題發(fā)展了一種新的控制方法——自適應(yīng)增廣控制器(adaptive augmenting control,AAC),該方法可與傳統(tǒng)PID控制律結(jié)合構(gòu)成新的火箭控制系統(tǒng),在無干擾情況下不影響傳統(tǒng)PID控制器的工作。而當(dāng)控制系統(tǒng)面臨較大彈性振動、液體晃動、結(jié)構(gòu)誤差和風(fēng)干擾等情況時,AAC可使用傳感器數(shù)據(jù)在線自適應(yīng)調(diào)整增益參數(shù),進(jìn)而提高系統(tǒng)的控制性能與穩(wěn)定性[1]。

在AAC發(fā)展歷程中,最早是Mark對運(yùn)載火箭的自適應(yīng)控制技術(shù)進(jìn)行了初步研究,隨后David提出早期的前向增益自適應(yīng)控制,為AAC技術(shù)的結(jié)構(gòu)形成提供了幫助,而Hanson等[2]則對AAC的技術(shù)成熟邁出了關(guān)鍵一步。Brian在戰(zhàn)神-I火箭的PID控制基礎(chǔ)上加入了混合自適應(yīng)補(bǔ)償控制器,形成混合增廣自適應(yīng)PID控制器[3]。馬歇爾太空中心飛行力學(xué)與分析科為提高運(yùn)載火箭的魯棒性和性能,在星座計劃中基于經(jīng)典自適應(yīng)控制算法,發(fā)展了AAC以適應(yīng)不可預(yù)知的環(huán)境和多種飛行動力學(xué)特性。目前該算法逐漸成熟并且通過了一系列的實際飛行測試,例如SLS火箭、F/A-18、X-15等[4-8]。

隨后,AAC被廣泛應(yīng)用于飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計中。例如Luke等[9]針對四旋翼飛行器,開展了AAC的控制器設(shè)計和應(yīng)用研究,證明了良好的自適應(yīng)性。Diego等[10]針對歐洲的Vega固體運(yùn)載火箭,提出AAC+H∞/線性變參數(shù)系統(tǒng)(linear parameter varying system, LPV)[11]的魯棒控制器,并成功通過了火箭的控制系統(tǒng)測試。美國航空航天局(National Aeronautics and Space Administration, NASA)蘭利研究中心動力學(xué)和控制實驗室的Jing等[12]則在車-桿系統(tǒng)中成功應(yīng)用了AAC控制算法。Brinda等[13]針對一種典型的兩級運(yùn)載火箭單獨(dú)在俯仰通道考慮了彈性振動、液體晃動、發(fā)動機(jī)振動和執(zhí)行器作動等進(jìn)行AAC設(shè)計,并采用了切比雪夫陷波器進(jìn)行高通濾波器設(shè)計(截止頻率為剛體頻率的2倍),同時采用了巴特沃斯型低通濾波器(截止頻率接近剛體頻率)。Tannen等[14]介紹了一個魯棒的自適應(yīng)增廣控制方案,通過實時環(huán)路自適應(yīng)方式增強(qiáng)傳統(tǒng)的控制器,當(dāng)跟蹤誤差較大時,標(biāo)稱設(shè)計的閉環(huán)增益會增大,而當(dāng)激發(fā)的彈性振動和液體晃動信號被檢測到時,可以降低閉環(huán)增益。此外,類似的研究還有文獻(xiàn)[15-19],由此可知,AAC控制方法具有較為廣闊的應(yīng)用場景。

目前國內(nèi)針對自適應(yīng)增廣控制技術(shù),主要研究了基于增廣變量法的方式進(jìn)行自適應(yīng)控制器設(shè)計,其典型代表主要有陳志勇[20]、陳力[21]、洪昭斌[22]等。而類似國外AAC自適應(yīng)調(diào)節(jié)增益的控制結(jié)構(gòu),國內(nèi)則有高軍禮等[23]基于模型參考自適應(yīng)控制通過李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計了可調(diào)增益控制律。肖冰等[24]針對撓性衛(wèi)星姿態(tài)跟蹤問題提出了自適應(yīng)L2增益控制,并采用李雅普諾夫函數(shù)進(jìn)行了穩(wěn)定性證明。張建明等[25]提出PID自適應(yīng)調(diào)整增益的神經(jīng)元非模型控制方案。韋常柱等[26]則借鑒AAC的思路開展運(yùn)載火箭控制系統(tǒng)設(shè)計,并采用粒子群方法開展了陷波器參數(shù)設(shè)計。Zhang等[27]提出自適應(yīng)增廣容錯控制方法,將AAC與自適應(yīng)振動頻率辨識和容錯控制結(jié)合起來提高了姿控系統(tǒng)的魯棒性和容錯性。此外還有崔乃剛[28]、何飛毅[29]、徐世昊[30]、張晉[31]以及祝大利[32]等也開展了大量的研究,取得了較好的成果。

然而,上述研究中大多數(shù)是基于傳統(tǒng)的AAC控制結(jié)構(gòu)開展控制器設(shè)計,控制參數(shù)需要反復(fù)試湊,尚無合理有效的設(shè)計準(zhǔn)則。Domenico等[33]針對此問題,基于遺傳算法開展了AAC控制參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計,但該方法依賴于合適的性能指標(biāo)以及優(yōu)化參數(shù)數(shù)量選取等,可能存在算法不收斂的問題。因此,有必要給出一種簡潔且具有實際工程指導(dǎo)價值的AAC控制參數(shù)調(diào)節(jié)方法和準(zhǔn)則。

此外,對AAC控制器開展穩(wěn)定性分析也是一項極為重要的工作。為此,NASA專門組織了大量研究人員開展了AAC控制器的穩(wěn)定性評估工作[34](歷時兩年時間),主要研究了非線性的李雅普諾夫穩(wěn)定性方法、經(jīng)典的靜態(tài)AAC增益變化穩(wěn)定性分析、基于圓判據(jù)的廣義增益裕度分析方法(generalized gain margins,GGMs)、時域穩(wěn)定裕度方法(time domain stability margins,TDSMs)、增強(qiáng)型蒙特卡羅打靶仿真分析方法、極限拉偏條件評估方法以及基于描述函數(shù)的分析方法等。其中較為重要的工作是Mark等[35]基于李雅譜諾夫方法證明了AAC中除了彈性振動項的其他兩項自適應(yīng)律的穩(wěn)定性。而Angelov等[36]基于描述函數(shù)法給出了等效的開環(huán)增益值,同時也給出了增益參數(shù)的設(shè)計依據(jù),但由于采用了簡化模型,其高低通濾波器參數(shù)設(shè)計結(jié)果與實際并不一致。因此,這些研究結(jié)果表明,尚缺少比較完整、嚴(yán)格的理論證明結(jié)果,需要進(jìn)一步深入研究。

綜上所述,本文針對AAC實際應(yīng)用過程中具有重要研究價值的參數(shù)設(shè)計方法準(zhǔn)則和穩(wěn)定性分析方法開展系統(tǒng)的研究,給出一種較為合理可行的分析方法,以指導(dǎo)火箭的控制系統(tǒng)設(shè)計,從而提高火箭的控制性能。

1 火箭的動力學(xué)及比例-微分控制器設(shè)計

針對常見的運(yùn)載火箭動力學(xué)模型,以俯仰通道為例,可基于文獻(xiàn)[26]推導(dǎo)如下所示的小擾動線性化方程:

(1)

(2)

式中:W為風(fēng)速;Wi(XXT)為振型斜率;A是風(fēng)向角;ST為速率陀螺;XST是速率陀螺的安裝位置。慣組WJL(s)、速率陀螺WST(s)和伺服機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)WSF(s)分別為

(3)

式中:ωJL,ωST1,ωST2,ωSF1,ωSF2,ωSF3,ωSF4,ωSF5,ωSF6是慣組、速率陀螺和伺服機(jī)構(gòu)傳遞函數(shù)的頻率;ξJL,ξST1,ξST2,ξSF3,ξSF4,ξSF5,ξSF6是阻尼系數(shù)。

假設(shè)比例-微分控制系統(tǒng)中的靜態(tài)增益為a0,動態(tài)增益系數(shù)為a1。利用克萊姆法則對式(1)和式(2)進(jìn)行拉普拉斯變換,然后計算開環(huán)傳遞函數(shù)有:

(4)

圖1 第50 s特征點的開環(huán)傳遞函數(shù)Nichols圖Fig.1 Nichols of open loop transfer function at 50 s

(5)

則開環(huán)傳遞函數(shù)校正后的曲線如圖1紅線所示。

由圖1可知,經(jīng)過校正網(wǎng)絡(luò)后,系統(tǒng)的幅值曲線在高頻段均被壓制在0 dB以下,保證了高階的幅值穩(wěn)定特性,且幅值裕度為18.3 dB,截止頻率為3.42 rad/s,相位裕度44°,能夠滿足實際控制需求。

2 AAC參數(shù)設(shè)計

傳統(tǒng)的AAC使用的是前向增益自適應(yīng)控制系統(tǒng),主要包含3部分[29]:自適應(yīng)律、參考模型和譜阻尼器。即有如下形式:

(6)

圖2 ACC框圖Fig.2 ACC block diagram

AAC的設(shè)計過程主要是如何確定參考模型參數(shù)、高/低通濾波器參數(shù)、調(diào)節(jié)參數(shù)k0,kmax,a,α,β。下面給出具體的設(shè)計方法和準(zhǔn)則。

(1) 上下限k0和kmax的設(shè)計

在傳統(tǒng)飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計中,一般要求幅值裕度Gmin>6 dB,則比例-微分控制系統(tǒng)的幅值裕度的可變化范圍為±6 dB,根據(jù)常值開環(huán)系數(shù)的bode圖繪制依據(jù),可反求得增益的上下限為

20lg(kT,min)=-Gmin
20lg(kT,max)=Gmin

(7)

即可得k0=1-kT,min,kmax=kT,max-k0。另外一種方法是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)Nichols圖[33],獲得空氣動力的幅值裕度點GMaero,剛體的幅值裕度點GMrigid,則可利用等式20lg(k0)=-GMaero,求得:

(8)

(2) 參考模型參數(shù)設(shè)計

參考模型的設(shè)計一般是希望獲得理想的剛體控制信號,則可建立與靜態(tài)增益和動態(tài)增益相關(guān)的參考模型,即有:

(9)

(3) 高低通濾波器參數(shù)設(shè)計

傳統(tǒng)的火箭控制系統(tǒng)設(shè)計中,大多數(shù)只用到低通濾波器,而為了獲取火箭飛行中的彈性振動信息,可設(shè)計高通濾波器在線處理。具體而言,就是通過采集發(fā)動機(jī)擺角指令,使其通過高通濾波器去除低頻信號(一般是剛體或晃動的耦合信號),而剩下的信號主要是彈性信號加噪聲。為了評估剩余信號的幅值大小,可對信號進(jìn)行取正處理(例如平方或絕對值)。針對高通+取正處理之后剩余信號依然抖振較為嚴(yán)重的問題,此時再通過低通濾波器可將信號進(jìn)行平滑處理,從而得到合適的ys信號以供增益的自適應(yīng)調(diào)整。

高低通濾波器參數(shù)設(shè)計應(yīng)依據(jù)系統(tǒng)截止頻率,一階或二階彈性振動頻率等參數(shù),選擇合適的頻率值和阻尼比,使得高通濾波器濾除剛體信號。一般可設(shè)計二階的高/低通濾波器。

(10)

(11)

(4) 調(diào)節(jié)參數(shù)a,α和β的設(shè)計方法

AAC核心是自適應(yīng)律,其包含了多個控制參數(shù),但其參數(shù)調(diào)整是一個難點,為此本文提出了解析法的設(shè)計思路。首先,確定自適應(yīng)律中誤差er的最大值ermax和彈性振動影響項的最大值ysmax。一般可有兩種估算方法:工程經(jīng)驗法和直接數(shù)值打靶仿真法。比如在前者工程設(shè)計中一般要求ermax≤3°和ysmax≤0.000 3。而在打靶仿真中則將火箭飛行過程中的內(nèi)外干擾全部加上,然后只需要高通濾波器、低通濾波器和參考模型介入,通過觀察er和ys的輸出曲線,獲得最大值。最后,根據(jù)AAC控制律的形式(如式6所示),從開環(huán)增益kT的時域響應(yīng)中得到如下解析表達(dá)式:

(12)

式中:Δter為誤差響應(yīng)時間;Δtys為彈性振動位移響應(yīng)時間,分別表示了開環(huán)增益kT從1到最大值kTmax和最小值kTmin的時間。通過選擇期望的增益響應(yīng)時間Δter和Δtys,最后反求增益a和α,表達(dá)式為

(13)

而β一項主要保證開環(huán)增益趨近于1,其值越大表明其收斂時間越快,通常其取值范圍為β∈[0.001,0.3]。另外,也可將式(6)進(jìn)行簡化處理后拉普拉斯變換[36]可得

(14)

基于文獻(xiàn)[36]中描述函數(shù)的設(shè)計思路,將式(11)中uG采用誤差er代替,代入高低通濾波器后可得:

(15)

最后為檢驗AAC中設(shè)計參數(shù)的有效性,特別是a、α和β的值,可采用標(biāo)稱狀態(tài)下的火箭參數(shù)開展全程的六自由度仿真驗證,基于設(shè)計的比例-微分+校正網(wǎng)絡(luò)+AAC,最終保證火箭主動段飛行過程中的開環(huán)增益kT趨近于1。

3 ACC穩(wěn)定裕度分析

本文將結(jié)合正弦輸入信號法開展AAC的穩(wěn)定裕度分析,推導(dǎo)開環(huán)增益kT的時域響應(yīng)結(jié)果。首先,假設(shè)誤差er滿足正弦輸入條件[36]er=γsin(ωt),則根據(jù)式(11)有:

yHP(t)=γ|GHP(jω)|sin(ωt+φHP(jω))

(16)

式中:φHP(jω)為高通濾波器GHP(s)的相位。此外,利用三角函數(shù)式(sinω)2=0.5(1-cos(2ω)),同理可得ys:

(17)

(18)

進(jìn)一步可得:

kT(t)=R+A1γ2cos(2ωt+φβ(2ω))+
A2γ2cos(2ωt+2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω))

(19)

式中:φβ(2ω)為Gβ(s)相位,頻率為2倍Gβ(s)中心頻率;A2=0.5α|GHP(jω)|2|GLP(2jω)||Gβ(2jω)|;R=1+(γ2/2β)(a-α|GHP(jω)|2|GLP(0)|);A1=-0.5a|Gβ(2jω)|。此外,再將開環(huán)增益進(jìn)行處理為y=kTer,則代入式(19)可得:

y(t)=Rγsin(ωt)+A1γ3sin(ωt)cos(2ωt+φβ(2ω))+
A2γ3sin(ωt)cos(2ωt+2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω))

(20)

再次根據(jù)三角不等式:

(21)

可得:

(22)

由此可知,式(22)的第1、2行為信號y(t)的基波信號,而第3、4行為三階諧波信號,一般可忽略不計,因此整理可得:

(23)

式中:φ1=φβ(2ω),φ2=2φHP(ω)+φLP(2ω)+φβ(2ω)。將-A1·sin(ωt+φ1)-A2sin(ωt+φ2)進(jìn)行整理為ARsin(ωt+φr),則有:

y1(t)=Rγsin(ωt)+(γ3/2)ARsin(ωt+φr)

(24)

式中:

(25)

再次將式(24)進(jìn)行整合,最終有

y1(t)=Ayγsin(ωt+φy)

(26)

(27)

4 仿真校驗

(1) 無干擾仿真

當(dāng)外界無干擾,火箭參數(shù)無偏差時,開環(huán)增益響應(yīng)曲線如圖3所示。由圖3可知,本文所設(shè)計的AAC控制參數(shù)可以保證在無外界干擾時只需要比例-微分控制器即可保證穩(wěn)定,且開環(huán)增益將穩(wěn)定在1附近,滿足AAC控制參數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則。

圖3 無干擾時開環(huán)增益Fig.3 Open-loop gain without disturbances

(2) 大頻率偏差干擾仿真

當(dāng)考慮到一階彈性振動頻率是初值的0.35倍時,由于振動頻率與晃動頻率和剛體頻率接近,此時將導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)彈性不穩(wěn)定現(xiàn)象,如圖4所示。

圖4 大頻率偏差的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result with large frequency error

由圖4可知,當(dāng)加入AAC控制律之后,系統(tǒng)不穩(wěn)定發(fā)散的趨勢很快就衰減,并趨于穩(wěn)定,且開環(huán)增益在快速下降至0.6左右,從而拉開了頻率間隔,保證了彈性穩(wěn)定,但同時也將導(dǎo)致姿態(tài)誤差變大。

(3) 大干擾條件

當(dāng)動力系數(shù)b2發(fā)生較大偏差,真實值為理論值的3倍時,即遭遇了大干擾飛行環(huán)境,則將導(dǎo)致姿態(tài)誤差變大,通過采用AAC控制律,得到如圖5所示的仿真結(jié)果。

圖5 大干擾條件的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result with large disturbances

由圖5可知,當(dāng)突發(fā)環(huán)境大干擾時,開環(huán)增益將逐漸增大,從而降低火箭飛行過程中的姿態(tài)誤差,同時也盡可能的保證了彈性振動和液體晃動的穩(wěn)定,證明了AAC可以適應(yīng)突發(fā)大干擾的飛行環(huán)境。

(4) 轉(zhuǎn)動慣量大不確定性

假設(shè)火箭的總體參數(shù)存在不確定性,如轉(zhuǎn)動慣量或者發(fā)動機(jī)推力的不確定,將導(dǎo)致動力系數(shù)b3和c3發(fā)生變化,假設(shè)火箭轉(zhuǎn)動慣量偏差為-45%,則有如圖6所示的仿真結(jié)果。

圖6 轉(zhuǎn)動慣量不確定的仿真結(jié)果Fig.6 Simulation result with inertia uncertainty

由圖6可知,當(dāng)轉(zhuǎn)動慣量不確定性較大時,將導(dǎo)致姿態(tài)發(fā)散,進(jìn)而使得飛行任務(wù)失敗。而當(dāng)采用AAC后,可以通過降低開環(huán)增益從而保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,證明了AAC具有良好的魯棒性能。

最后,為了評估AAC的穩(wěn)定裕度,采用第3節(jié)中介紹的裕度分析方法,假設(shè)γ=0.5/57.3,其他參數(shù)同前述無干擾的仿真條件設(shè)計一致,取第50 s特征點的參數(shù),則有圖7所示仿真結(jié)果。

圖7 AAC的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curve of AAC

AAC疊加火箭的開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)之后的bode圖如圖8所示。

圖8 AAC+比例-微分系統(tǒng)的bode圖Fig.8 Bode diagram of AAC+proportional-derivative

由以上仿真結(jié)果可知,單獨(dú)的AAC幅值響應(yīng)在1 dB左右,疊加進(jìn)入控制系統(tǒng)中后,幅值裕度變?yōu)?7.08 dB,與標(biāo)稱狀態(tài)(18.3 dB)變化不大,從而結(jié)合圖3的結(jié)果表明了所設(shè)計的AAC參數(shù)在時域和頻域上都是穩(wěn)定的,且不影響基本比例-微分控制器的使用。

當(dāng)單獨(dú)提高參數(shù)a=180,α=8 160,γ=2/57.3或β=0.1時,可得到結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同參數(shù)變化的AAC幅值響應(yīng)Fig.9 Amplitude response of AAC with different parameters

由圖9可知,通過增加參數(shù)a或γ將降低系統(tǒng)的幅值裕度,而這兩項參數(shù)均是提高開環(huán)增益的關(guān)鍵因素。因此,開環(huán)增益增大之后,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將降低,但同時也將導(dǎo)致穩(wěn)定裕度下降,這與實際比例-微分控制系統(tǒng)中提高靜態(tài)增益后的幅值裕度結(jié)果趨勢是一致的。同時,當(dāng)增加α或β值之后,則會提高系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度,這與自適應(yīng)律式(6)中的結(jié)果是一致的,即β提高漸進(jìn)穩(wěn)定性,而α將降低開環(huán)增益kT從而提高幅值裕度。因此,該穩(wěn)定性評估方法能夠反映實際調(diào)節(jié)參數(shù)變化規(guī)律引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性變化,從而證明了該方法是實際可行的。

5 結(jié) 論

本文針對運(yùn)載火箭應(yīng)用AAC過程中亟待解決的參數(shù)設(shè)計準(zhǔn)則和穩(wěn)定性分析方法開展了系統(tǒng)的研究,給出了一種較為合理可行的分析方法。針對某型火箭的總體參數(shù),基于給出的準(zhǔn)則設(shè)計AAC控制參數(shù)能夠適應(yīng)大頻率偏差、突發(fā)大干擾和火箭慣量參數(shù)的不確定性。本文提出的穩(wěn)定性評估方法能夠證明在無干擾條件下AAC的時域響應(yīng)趨近于1,而頻域中的幅值裕度響應(yīng)也將在1 dB左右,表明了AAC在無干擾時不影響正常比例-微分控制器的使用。同時,仿真結(jié)果也表明了a,γ,α和β參數(shù)的裕度變化與實際參數(shù)變化響應(yīng)一致。因此,研究結(jié)果表明了本文所設(shè)計的方法能夠指導(dǎo)自適應(yīng)增廣控制在實際工程中的應(yīng)用。