段乾超，李玉東,2，孟娟娟

（1.河南理工大學(xué) a.電氣工程與自動化學(xué)院 b.繼續(xù)教育學(xué)院，河南 焦作 454003；2.河南省煤礦裝備智能檢測與控制重點實驗室，河南 焦作 454003）

0 引言

永 磁 同 步 電 機( Permanent Magnet Synchronous Motor, PMSM )由于響應(yīng)速度快、體積小、效率高以及功率密度高等優(yōu)點，在航空航天、工業(yè)、船舶電力推動器等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-2]。PMSM 作為一個強耦合、非線性、多變量的系統(tǒng)，在受到內(nèi)部以及擾動因素影響時，傳統(tǒng)PI 速度控制無法滿足PMSM 高性能控制要求。因此，國內(nèi)外學(xué)者提出了許多控制策略，例如，模糊滑模速度控制[3]、滑模速度控制[4]、滑模自抗擾速度控制[5]等。其中，滑模速度控制具有強魯棒性，響應(yīng)迅速，對參數(shù)變化及擾動不敏感等優(yōu)點，但是其在穩(wěn)態(tài)運行時存在抖振問題[6-7]。為了削弱抖振現(xiàn)象，文獻[8]提出了模糊滑模速度控制，該方法對于系統(tǒng)被控對象不敏感，但很大程度上依賴于專家控制的經(jīng)驗。文獻[9]引入了非奇異快速終端滑模速度控制，緩解了滑模速度控制的抖振問題，但是當(dāng)系統(tǒng)偏離平衡點時，存在收斂速度較慢的問題。

在實際工程中，PMSM 高性能控制策略的實現(xiàn)依賴于對轉(zhuǎn)子位置和轉(zhuǎn)速的精確測量。隨著電機在不同工作環(huán)境中的應(yīng)用，位置傳感器的使用會降低系統(tǒng)的可靠性，導(dǎo)致無法精確測量電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置[10-11]。因此，無位置傳感器技術(shù)具有重要的研究意義。目前，無位置傳感器控制策略包括：(1)滑模觀測器法[12-13]，這種策略具有高魯棒性和高動態(tài)性，但是其固有的滑模抖振問題會降低估計精度。文獻[14]提出了改進滑模觀測器，利用新型函數(shù)構(gòu)建趨近律，減小了傳統(tǒng)滑模觀測器的抖振現(xiàn)象。(2)擴展卡爾曼濾波法[15-16]，該方法減小了噪聲對觀測器的不利影響，但是其計算過程較為復(fù)雜。文獻[17]提出了降階的擴展卡爾曼濾波器法，減小了運算量，提高了運算速度。(3)模型參考自適應(yīng)算法[18-19]，該方法估計精度高，控制算法簡單，在中高速運行時性能較好，應(yīng)用較為廣泛。文獻[20]利用MRAS 觀測器對同步磁阻電機進行無位置傳感器控制，傳統(tǒng)MRAS 觀測器的自適應(yīng)機構(gòu)可以看作PI 控制器，其魯棒性不強，動態(tài)性能較差，當(dāng)發(fā)生負(fù)載擾動時，其估算精度將會降低。

針對滑模速度控制策略和傳統(tǒng)MRAS 估計策略的不足，本文提出了一種基于全局快速終端滑?？刂破?Global Fast Terminal Sliding Mode Controller，GFTSMC) 和 超 螺旋滑模MRAS(Super-Twisting Sliding Mode MRAS,STSM-MRAS)觀測器的SPMSM 轉(zhuǎn)速估計策略。首先，結(jié)合線性滑動模態(tài)和快速滑動模態(tài)構(gòu)建新型滑模面，設(shè)計全局快速終端滑模控制器，使系統(tǒng)狀態(tài)誤差能在有限時間內(nèi)快速收斂到零。其次，在傳統(tǒng)MRAS 觀測器的基礎(chǔ)上引入超螺旋滑模算法，構(gòu)建超螺旋滑模MRAS 觀測器模型，通過高階符號函數(shù)獲取電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，緩解了滑模控制固有的抖振問題，提高了系統(tǒng)的魯棒性。最后，經(jīng)過仿真實驗對比，驗證了本文所提估計策略的可行性與有效性。

1 SPMSM數(shù)學(xué)模型

在d-q 軸坐標(biāo)系下，忽略系統(tǒng)阻尼的影響，SPMSM 的數(shù)學(xué)模型為：

式中，id、iq和ud、uq為d 軸、q 軸的定子電流和電壓；R、Ls為定子電阻和電感；ω為電機轉(zhuǎn)速；φf為永磁體磁鏈；p為極對數(shù)；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動慣量。

2 控制器設(shè)計

2.1 傳統(tǒng)滑模觀測器

定義PMSM 的狀態(tài)變量：

式中， 為電機給定轉(zhuǎn)速。

結(jié)合SPMSM 的數(shù)學(xué)模型，對式(2)求導(dǎo)可得，

選取滑模面函數(shù)為：

式中，c＞0 為待設(shè)計參數(shù)。

對式(5)求導(dǎo)，可得：

根據(jù)指數(shù)趨近律法，可得滑?？刂破鞅磉_(dá)式為：

式中，ε＞0，q＞0。

從而可得q 軸參考電流為

根據(jù)滑模到達(dá)條件 ＜0，可驗證系統(tǒng)在滑?？刂葡率菨u近穩(wěn)定的。

2.2 GFTSMC控制器

傳統(tǒng)滑?？刂仆ǔ２捎镁€性滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)誤差漸近收斂至零，但收斂時間卻趨于無窮。為此，國內(nèi)外學(xué)者提出了快速終端滑?？刂撇呗裕?fàn)顟B(tài)誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂至零，但是其收斂速度比線性滑模的收斂速度慢。

為保證系統(tǒng)狀態(tài)誤差能夠在有限時間內(nèi)快速收斂到零，結(jié)合線性和快速滑動模態(tài)，設(shè)計了全局快速終端滑動模態(tài)。其滑模面函數(shù)為[21]：

式中，α＞0，β＞0，b＞a＞0 且為奇數(shù)。

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x1偏離平衡點時，收斂時間由決定，反之，則由決定。

全局快速終端滑?？刂破鞅磉_(dá)式為：

其中，α＞0，β＞0 ，ρ＞0，μ＞0，a、b、c、d（a＞b及c＞d）為正奇數(shù)。由于GFTSMC控制律是連續(xù)的，不含切換項，因此可有效削弱抖振現(xiàn)象。

由式(4)和式(10)可得q 軸參考電流：

由式(11)可得，在全局快速終端滑模控制下，電機轉(zhuǎn)速誤差能夠沿著滑模面到達(dá)系統(tǒng)穩(wěn)定點。

為 證 明GFTSMC 的 穩(wěn) 定 性， 構(gòu) 建Lyapunov 函數(shù)

對式(12)求導(dǎo)，整理可得

式(13)中，ρ＞0，μ＞0，且c、d為正奇數(shù)，則 。因此，該控制器滿足Lyapunov 穩(wěn)定性定理[22]的條件，符合滑模存在和全局到達(dá)條件。

3 觀測器設(shè)計

3.1 傳統(tǒng)MRAS觀測器

傳統(tǒng)MRAS 的辨識原理如圖1 所示，包含參考模型、可調(diào)模型和自適應(yīng)律模型。

圖1 MRAS辨識原理圖

從式(1)中分析可知，SPMSM 的數(shù)學(xué)模型中包含待辨識的轉(zhuǎn)速信息參數(shù)，因此可構(gòu)建可調(diào)模型。

將式(1)變換，可得：

式中：

將電流估計值 和轉(zhuǎn)速估計值 代入式(14)，可得可調(diào)模型：

整理上式，可得誤差狀態(tài)方程為：

將上式用狀態(tài)空間方程表示，可得：

式中：

進一步整理，可得：

其中，c為單位矩陣。

式(16)描述的系統(tǒng)是一個非線性時變系統(tǒng)，適用于Popov 超穩(wěn)定性原理。根據(jù)Popov 超穩(wěn)定性原理，非線性時變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為[23]：

對于條件(1)，根據(jù)正實引理[24]可證明該條件成立。

對于條件(2)，需滿足：

對式(19)進行逆向求解可得轉(zhuǎn)速估計的自適應(yīng)律：

結(jié)合式(14)和式(20)，可得估算轉(zhuǎn)速表達(dá)式為：

由式(20)可知，MRAS 的自適應(yīng)律可以看作PI 控制器。結(jié)合圖1 可知，當(dāng)參考模型的輸出電流與可調(diào)模型的輸出電流誤差收斂到零時，此時電機的估計轉(zhuǎn)速將達(dá)到電機的實際轉(zhuǎn)速。

3.2 超螺旋滑模MRAS觀測器

為解決PI 自適應(yīng)模型魯棒性差以及滑?？刂乒逃械亩墩駟栴}，本文引入超螺旋滑模控制策略替代傳統(tǒng)MRAS 觀測器的PI 自適應(yīng)律[25]。其表達(dá)式如下：

式中，x1和x2是狀態(tài)變量；x˙1 和x˙2 是對應(yīng)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)；k1和k2為滑模增益；sign()為符號函數(shù)。

由式(22)可以看出，sign()是非連續(xù)函數(shù)，這將會引起滑模控制的抖振問題。超螺旋滑模算法是二階滑模控制，在sign()前引入連續(xù)項并將sign()放到高階導(dǎo)數(shù)中，有效緩解了傳統(tǒng)滑模的抖振問題。結(jié)合式(21)，構(gòu)造滑模面：

利用式(1)和式(15)，對式(23)求導(dǎo)，整理可得：

由式(23)和(24)可知，當(dāng)s=s˙=0 時，參考模型的輸出電流id和iq與可調(diào)模型的輸出電流 和 的誤差收斂到零，同時，由觀測器得到的估計轉(zhuǎn)速也收斂于電機的實際轉(zhuǎn)速。

根據(jù)選取的滑模面s和式(24)，基于STSM-MRAS 的估算速度表達(dá)式為：

估算轉(zhuǎn)子位置為：

式中， 為轉(zhuǎn)子位置估計值。

3.3 穩(wěn)定性分析

由Lyapunov 穩(wěn)定性定理可知，狀態(tài)矢量為：

其中，ζ1和ζ2是狀態(tài)變量。由式(27)中可知，當(dāng)狀態(tài)變量ζ1和ζ2在有限時間內(nèi)收斂到零時，那么狀態(tài)變量x1和x2在有限時間內(nèi)也能夠收斂到零。結(jié)合式(22)，可得在有限時間內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)可以到達(dá)滑模面且狀態(tài)誤差收斂到零。

對式(27)進行求導(dǎo)，將式(22)代入，整理可得：

進一步選取Lyapunov 函數(shù)為：

對式(18)求導(dǎo)為：

結(jié)合式(27)，進一步變換，整理可得：

可得：

當(dāng)滑模增益k1、k2＞0 時，可知矩陣A 和B 是正定矩陣，矩陣 為負(fù)定矩陣。因此，當(dāng)滿足滑模增益k1、k2＞0 時，系統(tǒng)在平衡點ζ1=ζ2=0 是漸近穩(wěn)定的。

4 仿真實驗

為驗證基于GFTSMC 和STSM-MRAS 的轉(zhuǎn)速估計策略的可行性與有效性。采用id=0的矢量控制方法，忽略系統(tǒng)阻尼的影響，利用Matlab/Simulink 仿真平臺構(gòu)建SPMSM 無位置傳感器控制系統(tǒng)，系統(tǒng)的框圖如圖2 所示。仿真電機參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真電機參數(shù)

圖2 基于GFTSMC和STSM-MRAS的SPMSM無位置傳感器控制系統(tǒng)框圖

在空載條件下啟動，設(shè)定電機的初始轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，在0.2 s 時，轉(zhuǎn)速突變到2 500 r/min?；贕FTSMC 和STSM-MRAS的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速估計策略與基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS的轉(zhuǎn)速估計策略的仿真結(jié)果如圖3 所示。

圖3 給定轉(zhuǎn)速突變時兩種控制策略的實際轉(zhuǎn)速和估計轉(zhuǎn)速的仿真對比圖

從圖3 中可見，當(dāng)轉(zhuǎn)速到達(dá)1 000 r/min 時，基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 的轉(zhuǎn)速估計策略具有較大的超調(diào)，最大轉(zhuǎn)速誤差為10 r/min，而基于本文所提估計策略能夠消除超調(diào)，最大轉(zhuǎn)速誤差為4 r/min，且達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間比基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 的估計策略達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間縮短了0.02 s。當(dāng)轉(zhuǎn)速突變到2 500 r/min 時，基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 的估計策略的轉(zhuǎn)速誤差波動較大，收斂到零的時間較長，而本文所提估計策略的轉(zhuǎn)速誤差波動較小，經(jīng)過0.1 s 后逐漸收斂到零。

為驗證本文所提估計策略的抗干擾性能。設(shè)定電機的初始轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，在0.2 s時加入10 N·m 負(fù)載。兩種轉(zhuǎn)速估計策略的仿真結(jié)果如圖4 所示。

圖4 負(fù)載擾動時兩種控制策略的實際轉(zhuǎn)速和估計轉(zhuǎn)速的仿真對比圖

從圖4 的仿真結(jié)果來看，在前0.2 s 時，基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 觀測器的轉(zhuǎn)速估計策略的轉(zhuǎn)速波動較大，最大轉(zhuǎn)速誤差為10 r/min，達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間為0.07 s，而基于本文所提轉(zhuǎn)速估計策略的轉(zhuǎn)速波動較小，最大轉(zhuǎn)速誤差為3 r/min，達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間為0.055 s。當(dāng)0.2 s 加入10 N·m 負(fù)載時，基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 的轉(zhuǎn)速估計策略的最大轉(zhuǎn)速誤差為4 r/min，達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間為0.045 s，而基于本文所提轉(zhuǎn)速估計策略的轉(zhuǎn)速誤差小于4 r/min，達(dá)到穩(wěn)定運行狀態(tài)的時間為0.025 s。

從上述兩組仿真結(jié)果來看，相比于基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 觀測器的轉(zhuǎn)速估計策略，本文所提基于GFTSMC 和STSM-MRAS 的轉(zhuǎn)速估計策略能快速準(zhǔn)確地收斂到實際值，轉(zhuǎn)速誤差更小，具有更好的動靜態(tài)性能和抗干擾性。

為驗證STSM-MRAS 觀測器的估算轉(zhuǎn)子位置性能。設(shè)定電機初始轉(zhuǎn)速為1 000 r/min，在0.2 s 時加入10 N·m 的負(fù)載，仿真時間0.4 s。兩種估計策略的轉(zhuǎn)子位置估計結(jié)果如圖5(a)和(b)所示，仿真圖選取的時間0.15 s ～0.25 s 內(nèi)的轉(zhuǎn)子位置。兩種估計策略的轉(zhuǎn)子位置誤差如圖5(c)和(d)所示，選取的時間為0 s ～0.4 s。

圖5 負(fù)載擾動時兩種控制策略下的轉(zhuǎn)子位置估計情況

從圖5 中可見，基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS的轉(zhuǎn)速估計策略的最大轉(zhuǎn)子位置誤差為0.04 rad，而本文所提轉(zhuǎn)速估計策略的最大轉(zhuǎn)子位置誤差為0.01 rad，收斂到零的時間為0.07 s。當(dāng)0.2 s 時加入負(fù)載擾動時，本文所提轉(zhuǎn)速估計策略仍能準(zhǔn)確跟蹤轉(zhuǎn)子位置，轉(zhuǎn)子位置誤差較小。

5 結(jié)語

本文提出基于GFTSMC 控制器和超螺旋滑模MRAS 觀測器的SPMSM 轉(zhuǎn)速估計策略?？刂破鹘Y(jié)合線性滑動模態(tài)和快速滑動模態(tài)構(gòu)建新型滑模面，提高了滑模收斂速度，使?fàn)顟B(tài)誤差能夠在有限時間內(nèi)收斂到零，有效地緩解了傳統(tǒng)SMC 的相位延遲以及抖振問題。STSMMRAS 觀測器引入了超螺旋滑模算法，削弱了滑模固有的抖振問題，提高了觀測器的動態(tài)性能和魯棒性，在負(fù)載擾動或轉(zhuǎn)速變化的影響下，相比于基于傳統(tǒng)SMC 和MRAS 觀測器的轉(zhuǎn)速估計策略，本文所提基于GFTSMC 和STSMMRAS 觀測器的轉(zhuǎn)速估計策略能夠快速準(zhǔn)確地估算電機的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)子位置，收斂速度快，估算精度高。通過對比仿真實驗，驗證了本文所提轉(zhuǎn)速估計策略的可行性和有效性。