倪榮剛 蔡亞倩 韓思雨 趙 詠

(1.青島大學電氣工程學院 青島 266071；2.大連海事大學船舶電氣工程學院 大連 116026)

1 引言

近年來，隨著高端制造業(yè)的飛速發(fā)展，位置伺服系統(tǒng)已廣泛應用于航空航天、電動汽車、機器人等領域[1]。位置檢測是位置伺服系統(tǒng)最主要的需求之一[2-5]。目前常用的位置傳感器有三種，分別為光學編碼器、霍爾傳感器[6]和旋轉(zhuǎn)變壓器[7]。光學編碼器基于光電原理，具有體積小、精度高等優(yōu)點。然而，光學編碼器由于復雜的光學結(jié)構(gòu)、較高的制造成本以及對應用環(huán)境的苛刻要求等缺點，其廣泛應用受到了限制[8]。相比之下，旋轉(zhuǎn)變壓器性能更加優(yōu)越。在所有的旋轉(zhuǎn)變壓器中，可變磁阻式旋轉(zhuǎn)變壓器(Variable reluctance resolvers，VRRs)憑借其結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高以及經(jīng)久耐用等優(yōu)點脫穎而出[9-11]，并被廣泛應用于高溫、高濕、強振動等工作環(huán)境[12-14]。

解析分析法和有限元法[15-18](Finite element analysis，F(xiàn)EA)都可用于分析VRR 的電磁性能。前者最具代表性的方法是繞組函數(shù)法[19](Winding function approach，WFA)和改進的繞組函數(shù)法[20-22](Modified winding function approach，MWFA)。WFA 于1998年被提出[23]，主要用于分析均勻氣隙電機。為了準確分析非均勻氣隙，在 WFA 的基礎上提出了MWFA。文獻[24]提出了一種基于WFA 建立電機數(shù)學模型的方法，并利用該方法建立了可變磁通磁阻電機的數(shù)學模型。文獻[25]在WFA 的基礎上建立了具有對稱繞組結(jié)構(gòu)的雙三相永磁同步電機解析模型，計算了相間自感和互感，并與FEA 分析結(jié)果進行對比，驗證了計算結(jié)果的準確性。文獻[26]利用MWFA 對三相凸極同步電機進行建模，并考慮了多種非理想因素。

眾所周知，永磁同步電機(Permanent magnet synchronous machines，PMSMs)具有效率高、功率因數(shù)高、起動轉(zhuǎn)矩大等優(yōu)點[27-29]，在功率轉(zhuǎn)換方面具有優(yōu)勢[30-32]。因此，文獻[33]提出了一種將VRR作為內(nèi)電機徑向集成在PMSM 內(nèi)部的混合雙定子電機結(jié)構(gòu)，而后采用MWFA 對其內(nèi)電機進行解析分析。然而，槽開口處的氣隙磁通密度以及勵磁繞組自感波形與FEA 結(jié)果存在拓撲差異。針對上述問題，本文對線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)進行修正，并提出分段繞組函數(shù)法(Segmented winding function method，SWFM)。

本文結(jié)構(gòu)安排如下。首先，介紹電機模型及其主要參數(shù)，并給出MWFA 和漏感的計算公式。然后，闡述線圈匝數(shù)分布函數(shù)的修正過程，并計算氣隙磁通密度。最后，對氣隙函數(shù)進行修正后提出SWFM，并采用該方法對VRR 進行解析分析，將計算結(jié)果與FEA 分析結(jié)果進行對比，驗證其有效性。

2 解析模型與傳統(tǒng)計算方法

2.1 模型及主要參數(shù)

將VRR 集成到PMSM 中，可以減少安裝位置傳感器所占用的軸向空間，提高系統(tǒng)轉(zhuǎn)矩密度。混合雙定子電機的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 混合雙定子電機結(jié)構(gòu)圖

混合雙定子電機的橫截面如圖2 所示。外電機為6極36槽的PMSM，內(nèi)電機為8槽的內(nèi)定子VRR。其中，內(nèi)定子VRR 三維模型如圖3 所示，其中?Ref為靜止坐標系參考點，取為勵磁繞組和余弦繞組的公共軸線；θRef為旋轉(zhuǎn)坐標系參考點，取為最小氣隙與?Ref重合處。S為旋變定子外緣的圓柱面。路徑abcd為在靜止參考系中繪制的一個扇形，其中直線和直線分別沿徑向垂直穿過氣隙，被氣隙截取為直線和直線。

圖2 混合雙定子機器的橫截面圖

圖3 VRR 三維模型及標注

圖3 中，sφ和tφ分別表示一個定子槽和一個定子齒所跨過的角度，二者滿足

式中，Z為定子槽數(shù)，由模型可知其值為8。

VRR 共有三套繞組，分別為勵磁繞組、正弦繞組和余弦繞組，其最大每齒匝數(shù)分別用Nexc、Nsin和Ncos表示。VRR 的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 VRR 的主要參數(shù)

該VRR 的氣隙長度隨機械角度的變化而變化，即氣隙長度是不均勻的。氣隙長度與機械角度的關系定義為氣隙函數(shù)，用g(?,θ)表示為

式中，θ和?分別表示從θRef和?Ref開始的角度；K代表調(diào)整因子，綜合考慮各種因素，K取值為1.6。

圖3 中提出的模型是基于MWFA 的。在分析之前，作出如下假設：① 磁性材料的磁導率無窮大；② 端部漏感忽略不計；③ 線圈匝數(shù)分布函數(shù)為階躍函數(shù)；④ 氣隙函數(shù)不計槽開口。

2.2 常規(guī)計算方法

由于正弦繞組和余弦繞組電流幾乎為零，因此只考慮勵磁電流。由安培定律可知，沿閉合路徑abcd的磁場強度H滿足

式中，iexc代表勵磁繞組電流；nexc是勵磁繞組的線圈匝數(shù)分布函數(shù)；F為磁動勢。

對于圖3 中的S，根據(jù)高斯定律可得

式中，B為磁通密度；H(?,θ)為氣隙磁場強度的徑向分量；μ0為空氣磁導率。Rso和Lef的取值參考表1。

經(jīng)分析計算，可得改進繞組函數(shù)為

這里有

其中

因此，氣隙磁通密度為

勵磁繞組中的磁鏈為

勵磁繞組的電樞自感為

同理可得，勵磁繞組和正余弦繞組磁鏈為

勵磁繞組和正余弦繞組之間的電樞互感為

2.3 漏感的計算

漏感主要由槽漏感、齒頂漏感和端部漏感組成。根據(jù)假設②可知端部漏感忽略不計。由于漏感的計算不是本文重點，因此只給出了槽漏感和齒頂漏感的基本計算公式，不再詳細分析。

槽漏感為

式中，λσs為槽比漏磁導。

齒頂漏感為

式中，λσt為齒頂比漏磁導，可以表示為

式中，gavg為VRR 的平均氣隙長度，可以表示為

3 修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)

根據(jù)假設③，線圈匝數(shù)分布函數(shù)被視為階躍函數(shù)。MWFA 計算得到的氣隙磁通密度曲線在定子槽開口處與FEA 擬合結(jié)果較差，為解決此問題，需要對線圈匝數(shù)分布函數(shù)進行修正。

勵磁繞組線圈匝數(shù)與機械角度之間的關系定義為線圈匝數(shù)分布函數(shù)，用nexc(?)表示。正弦繞組和余弦繞組的線圈匝數(shù)函數(shù)分別用nsin(?)和ncos(?)表示。本節(jié)主要描述勵磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)的修正過程。為便于表述，修正勵磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)時，將不展示正弦繞組和余弦繞組。

未經(jīng)修正的勵磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)如圖4中 的nexc(Con)所 示， 當?的 取 值 范 圍 為[(2i–3)?t/2+(i–1)?s]～[(2i–1)?t/2+(i–1)?s]，且定子齒標號i取奇數(shù)時，nexc(Con)(?)為

圖4 定子展開圖及修正前后的線圈匝數(shù)分布函數(shù)

當定子齒標號i取偶數(shù)時，nexc(Con)(?)為

當?的取值范圍為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)·?t/2+j?s]時，其中j為定子槽標號，nexc(Con)(?)為

定子展開圖以及修正前后的勵磁繞組線圈匝數(shù)分布函數(shù)如圖4 所示，其中繞組函數(shù)過渡區(qū)域為?s。

從圖4 可以看出，定子槽中兩個勵磁繞組的極性相同，而相鄰兩個槽中繞組的極性則不同。以第1、2 號兩個定子槽為例，分析線圈匝數(shù)分布函數(shù)的表達式。線圈匝數(shù)在第一個定子槽的位置開始逐漸增加，雖然第二個槽中的線圈匝數(shù)也增加了，但由于極性不同，表現(xiàn)在線圈匝數(shù)分布函數(shù)中便是匝數(shù)逐漸減少。其他六個槽也以這種方式依次分析?？紤]到這些因素，將圖4 中的線圈匝數(shù)分布函數(shù)nexc(Con)(?)修改為nexc(Seg)(?)。

只有當?的取值范圍為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)?t/2+j?s]時，nexc(Seg)(?)的表達式與nexc(Con)(?)不同，其余范圍均相同。

由MWFA 計算得到的氣隙磁通密度為

式中，M(Con)(?,θ)為線圈匝數(shù)分布函數(shù)未修正分段時的改進繞組函數(shù)。

僅修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)之后的氣隙磁通密度為

式中，M(SegO)(?,θ)為只修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)時的改進繞組函數(shù)。

當轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵磁電流iexc=0.05 A 時，氣隙磁通密度計算結(jié)果如圖5 所示。在槽開口處，通過MWFA 計算的氣隙磁鏈密度為恒定值，顯然與FEA 的計算結(jié)果不符。而修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)后的計算結(jié)果Br(SegO)與Br(FEA)非常接近，充分證明對線圈匝數(shù)分布函數(shù)進行修正的有效性。

圖5 轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵磁電流iexc=0.05 A 時，氣隙磁通密度波形計算對比

4 修正氣隙函數(shù)

在之前的工作中，通過MWFA 計算得到的勵磁繞組自感在完整機械周期中為恒定值，雖然其平均值與FEA 計算結(jié)果較為吻合，但波形仍有出入。為解決此問題，本節(jié)將考慮假設④中提到的槽開口影響，并修正氣隙函數(shù)。

未修正時的氣隙函數(shù)用g(Con)(?,θ)表示為

定子槽內(nèi)及其附近氣隙處的磁通分布如圖6 所示。由圖6 可以看出，在槽開口處仍有部分磁通通過氣隙，因此應考慮槽開口的影響。定子槽的尺寸如表2 所示。

表2 定子槽尺寸

圖6 定子槽內(nèi)以及槽開口附近的磁場分布

為了使計算結(jié)果更加準確，槽開口處氣隙長度應充分考慮磁場分布和定子槽開口的影響，而定子齒處的氣隙長度則應保持不變。因此，修正后的氣隙函數(shù)為分段函數(shù)。分段的氣隙函數(shù)用g(Seg)(?,θ)表示

式 中，?的 取 值 范 圍 為[(2j–1)?t/2+(j–1)?s]～[(2j–1)?t/2+j?s]，j為定子槽標號。

當轉(zhuǎn)子位置θ=0 時，氣隙函數(shù)如圖7 所示，其中g(Con)和g(Seg)分別表示修正前后的氣隙函數(shù)。

圖7 當轉(zhuǎn)子位置θ=0 時，修正前后的氣隙函數(shù)

可見，所提方法是在常規(guī)計算方法的基礎上，對線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)進行了分段修正，因此將所提方法定義為分段繞組函數(shù)法(Segmented winding function method，SWFM)。

由SWFM 計算出的氣隙通量密度為

式中，M(SegA)(?,θ)為將線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)同時分段時的修正繞組函數(shù)。

當轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵磁電流iexc=0.05 A 時，采用SWFM計算得到的氣隙磁通密度波形Br(SegA)如圖8 所示。由圖8 可以發(fā)現(xiàn)，解析得到的氣隙磁通密度在定子槽開口處與FEA 結(jié)果的吻合程度明顯改善，且Br(SegA)與Br(FEA)曲線在整體上吻合良好，充分驗證了所提出方法的有效性。

圖8 轉(zhuǎn)子位置θ=0、勵磁電流iexc=0.05 A 時，所提SWFM 方法有效性驗證

采用MWFA 計算的勵磁繞組電樞自感為

采用SWFM 計算的勵磁繞組電樞自感為

在此基礎上，進一步考慮漏感，可以得到勵磁繞組自感。由之前工作可知，解析計算得到的勵磁繞組自感直流分量與FEA 非常接近，相對誤差約為1%；而交流分量則誤差較大。因此，提取MWFA和SWFM 計算得到的勵磁繞組自感交流分量，對比如圖9 所示。從圖9 可以看出，修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)后，勵磁繞組自感交流分量幅值相較于常規(guī)MWFA 更為準確，且其相位與FEA 結(jié)果一致，進一步驗證了所提方法的有效性。

圖9 勵磁繞組自感交流分量對比

5 結(jié)論

在MWFA 基礎上，通過修正線圈匝數(shù)分布函數(shù)和氣隙函數(shù)，本文提出了分段繞組函數(shù)法，用于分析VRR 的氣隙磁通密度和勵磁繞組自感，并將SWFM、傳統(tǒng)MWFA 方法的計算結(jié)果與FEA 結(jié)果進行對比，得到如下結(jié)論。

(1) MWFA 未能較好考慮槽開口對氣隙磁密的影響，導致解析計算的氣隙磁密在槽開口處存在突變。

(2) 受槽內(nèi)導體分布和槽開口影響，勵磁繞組自感存在周期性脈動，MWFA 亦無法體現(xiàn)。

(3) 采用SWFM 計算得到的氣隙磁密和電感波形更為精確豐富，與FEA 計算得到的波形拓撲更為吻合。