謝佳杰, 宋公飛, 杜 鵬

(1.南京信息工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,江蘇 南京 210044; 2.南京信息工程大學(xué) 江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,江蘇 南京 210044)

量化控制作為控制工程領(lǐng)域的前沿?zé)狳c(diǎn)問(wèn)題,受到廣大科研工作者的關(guān)注。在網(wǎng)絡(luò)控制的應(yīng)用中,系統(tǒng)設(shè)備之間的信息通過(guò)通信網(wǎng)絡(luò)在離散時(shí)間使用數(shù)據(jù)包傳輸,這個(gè)過(guò)程通常占用大量的網(wǎng)絡(luò)資源,例如網(wǎng)絡(luò)帶寬、計(jì)算能力等[1]。因此量化控制在網(wǎng)絡(luò)控制中扮演著舉足輕重的角色,其作用是通過(guò)量化器將接收到的連續(xù)信號(hào)近似為有限多個(gè)離散值,從而減少控制器接收信號(hào)所包含的信息,但是又不使輸入信號(hào)失真[2]。因此將量化控制應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的想法順其自然地產(chǎn)生了。然而隨著網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的應(yīng)用與發(fā)展,單獨(dú)的量化控制并不能完全滿足信息傳輸?shù)囊?因此,考慮在量化控制的基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行離散化處理,進(jìn)一步減少網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中傳輸信號(hào)所包含的非必要信息,從而降低網(wǎng)絡(luò)通信壓力。

近年來(lái)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)抵抗網(wǎng)絡(luò)攻擊的能力,即網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性成為研究的熱點(diǎn)[3]。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定并且盡可能降低網(wǎng)絡(luò)通信壓力,許多學(xué)者選擇設(shè)計(jì)量化反饋控制器,取得了很多有意義的成果。例如文獻(xiàn)[4]研究了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)遭到欺騙攻擊時(shí)系統(tǒng)的預(yù)測(cè)控制并且給出了系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[5]研究了隨機(jī)非線性系統(tǒng)在遭到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí)基于離散觀測(cè)的安全控制問(wèn)題,建立了矩陣不等式形式的充分條件,保證了預(yù)先確定的概率安全性。文獻(xiàn)[6]提出了一種對(duì)數(shù)量化反饋控制器的幾何設(shè)計(jì)方法,此方法適用于處理一類非線性系統(tǒng)。文獻(xiàn)[7]在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中應(yīng)用對(duì)數(shù)量化器對(duì)傳輸信號(hào)進(jìn)行量化并且考慮了系統(tǒng)受到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí)是否能夠保證穩(wěn)定的問(wèn)題。對(duì)數(shù)量化器易產(chǎn)生抖震現(xiàn)象,不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定,因此文獻(xiàn)[7]給出了一個(gè)新的遲滯量化器,利用自適應(yīng)控制反步法研究一類具有量化輸入的非線性不確定系統(tǒng)。文獻(xiàn)[8]同樣運(yùn)用反步法設(shè)計(jì)了控制器,但是其提出文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)的穩(wěn)定條件具有特殊性。因此,為了解決這一問(wèn)題,文獻(xiàn)[9]針對(duì)具有遲滯量化輸入的嚴(yán)格反饋系統(tǒng),研究了一種基于反推的自適應(yīng)穩(wěn)定方法。但是文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]都是基于不確定的非線性是已知函數(shù),其參數(shù)未知并且對(duì)于這些已知函數(shù)是線性的,同時(shí)非線性函數(shù)滿足全局Lipschitz條件。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]提出了一種具有量化輸入信號(hào)的隨機(jī)嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)方法,文獻(xiàn)[11]同時(shí)考慮了不確定非線性和未知的隨機(jī)擾動(dòng),并且對(duì)量化輸入提出一種新的非線性分解,建立了控制信號(hào)與量化信號(hào)之間的關(guān)系。隨著對(duì)遲滯量化器的深入研究,在網(wǎng)絡(luò)控制以及非線性自適應(yīng)控制方面取得了顯著進(jìn)步,其中利用反步控制算法設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器的策略更是成為解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的一個(gè)突出方向[11-13]。此外,文獻(xiàn)[14]研究了受多面體類型不確定性影響的離散時(shí)間馬爾可夫鏈驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)和受時(shí)滯影響的非線性隨機(jī)系統(tǒng),同時(shí)提出了線性矩陣不等式理論來(lái)設(shè)計(jì)反饋控制器。文獻(xiàn)[15]提出了基于離散狀態(tài)和模式觀測(cè)的混合隨機(jī)系統(tǒng)加以魯棒量化控制的方法,從而減少網(wǎng)絡(luò)通信的負(fù)擔(dān),降低信號(hào)傳輸?shù)膩G包率。結(jié)合以上文獻(xiàn),在網(wǎng)絡(luò)混雜隨機(jī)系統(tǒng)中,采用基于狀態(tài)和模態(tài)離散觀測(cè)的遲滯量化反饋控制,能夠進(jìn)一步提高網(wǎng)絡(luò)通信效率并保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由于電力系統(tǒng)十分重要并且具有實(shí)際意義,因此針對(duì)電力系統(tǒng)研究出了許多控制方法。例如文獻(xiàn)[16]針對(duì)艦船綜合電力系統(tǒng),利用改進(jìn)蝙蝠算法優(yōu)化控制器的模糊規(guī)則,加快自適應(yīng)控制速度。文獻(xiàn)[17] 設(shè)計(jì)了一種基于邏輯開(kāi)關(guān)控制的切換控制器并從理論上證明了切換控制器與被控系統(tǒng)組成的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以上控制并不能有效解決網(wǎng)絡(luò)通信過(guò)程中數(shù)據(jù)過(guò)多的問(wèn)題,因此,本文設(shè)計(jì)的離散遲滯量化器能夠降低網(wǎng)絡(luò)通信壓力。

本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下:

① 在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中首次采用遲滯量化反饋控制,建立了網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊下隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,其中發(fā)生與未發(fā)生網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊的數(shù)學(xué)模型通過(guò)伯努利隨機(jī)變量組合在一起。

② 將遲滯量化反饋控制器應(yīng)用于離散觀測(cè)系統(tǒng)中,進(jìn)一步降低了控制成本,節(jié)約了通信資源,并且通過(guò)應(yīng)用遲滯量化器,消除了對(duì)數(shù)量化器帶來(lái)的抖震現(xiàn)象。

③ 將離散觀測(cè)應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,減少了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)接收的信號(hào),同時(shí)又保證接收到的信號(hào)不失真,從而提高了網(wǎng)絡(luò)資源的利用率、減輕了網(wǎng)絡(luò)信號(hào)傳輸時(shí)的通信壓力。

1 系統(tǒng)描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 系統(tǒng)描述

考慮如下具有不確定結(jié)構(gòu)的電力系統(tǒng)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制模型:

dx(t)=[(A(r(t))+ΔA(t,r(t)))x(t)+u(x([t/τ]τ),

r([t/τ]τ))+C(r(t))g(x(t),r(t))]dt+

(1)

式中:x(t)為狀態(tài)變量;r(t),t≥0為概率空間上的右連續(xù)馬爾可夫鏈,取有限狀態(tài)空間S={1,2,…,N}中的值;ω(t)=[ω1(t)ω2(t) …ωn(t)]為m維布朗運(yùn)動(dòng);u(x([t/τ]τ),r([t/τ]τ))為控制輸入,控制輸入以如下形式表現(xiàn):

u(x([t/τ]τ),r([t/τ]τ))=
E(r(t))qr(t)(K(r([t/τ]τ))x([t/τ]τ))

式中:E(·),K(·)為給定的具有適當(dāng)維數(shù)的參數(shù)矩陣;qr(t)為模態(tài)相關(guān)的遲滯量化器;生成元Γ=(γij)N×N由下式得:

ΔA(t,i)=LaFa(t)NAi, ΔBk(t,i)=LbFb(t)NBki

(2)

式中:La,Lb,NAi,NBki為已知實(shí)常數(shù)矩陣并且Fa(t),Fb(t):R+→Rs×t為實(shí)值時(shí)變矩陣滿足:

Fa(t)TFa(t)≤I,Fb(t)TFb(t)≤I

(3)

式中:I為單位矩陣。

通過(guò)文獻(xiàn)[1]的啟示,考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊模型為

(4)

式中:φ(t)=[t/τ]τ,[t/τ]τ是t/τ的整數(shù)部分;0≤ψ(t)≤1是隨機(jī)分布的伯努利變量;fi(x(φ(t)))為網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊信號(hào),滿足[18]:

‖fi(x(t))‖≤‖Yx(t)‖

(5)

式中:Y為一個(gè)已知正定矩陣。

因此,可以得到控制輸入為

(6)

系統(tǒng)中的g(x(t),r(t))gi(x(t)):Rn×S→Rn為可微非線性函數(shù),并有如下假設(shè)。

假設(shè)1[18]:假設(shè)gi(x(t))是關(guān)于x(t)的全局Lipschitz函數(shù),如果|gi(0)|=0并且:

|gi(x1(t))-gi(x2(t))|≤ζ|x1(t)-x2(t)|

(7)

式中:ζ>0稱為L(zhǎng)ipschitz條件,則具有離散控制器的系統(tǒng)(1)可以表示為

dx(t)=[(A(r(t))+ΔA(t,r(t)))x(t)+

E(r(t))qr(t)(K(r([t/τ]τ))×

(ψ(t)fi(x(φ(t)))+(1-ψ(t))x(φ(t))))+

ΔBk(t,r(t))]x(t)dωk(t)

(8)

式中[19]:

(9)

(10)

式中:Di、Mi、Tgi、Tchi、σi、Ri分別為區(qū)域i內(nèi)的阻尼系數(shù)、慣性常數(shù)、調(diào)速器的時(shí)間常數(shù)、渦輪常數(shù)、頻率偏置常數(shù)、跌落特性。

1.2 遲滯量化器

本文中采用遲滯量化器來(lái)避免抖震現(xiàn)象。抖震是一種高頻振蕩,在對(duì)數(shù)量化器中,假設(shè)控制信號(hào)u在量化邊沿Q附近發(fā)生振蕩(以先減小后增大再減小為例),如圖1所示,q(u)將在量化級(jí)別RM和PQ之間高頻振蕩,即R→Q→R,從而引發(fā)了抖振現(xiàn)象。

圖1 對(duì)數(shù)量化局部曲線

為了避免抖振現(xiàn)象,采用遲滯量化器的量化方法。遲滯量化器采用2個(gè)量化密度相同但量化值不同的量化器,分別為量化器1和量化器2。同一時(shí)間只有一個(gè)量化器在工作,當(dāng)量化器切換時(shí),量化值變化。

在遲滯量化器中,假設(shè)控制信號(hào)u在量化邊沿R附近發(fā)生振蕩(以先減小后增大再減小為例),如圖2所示,開(kāi)始時(shí)量化信號(hào)q(u)位于量化器1的量化級(jí)別RM的Rc上,當(dāng)u減小到小于量化邊沿R時(shí),q(u)從量化器1的量化級(jí)別RM上切換到量化器2的量化級(jí)別NJ并處在Nb上;當(dāng)u增大時(shí),q(u)從量化器2的量化級(jí)別NJ切換到量化器1的量化級(jí)別PQ并處在aQ上;當(dāng)u增大到大于量化邊沿Q時(shí),q(u)從量化器1的量化級(jí)別PQ切換到量化器2的量化級(jí)別NJ并處在bJ上;當(dāng)u再次減小時(shí),q(u)從量化器2的量化級(jí)別NJ切換到量化器1的量化級(jí)別RM并處在Rc上,回到量化邊沿R處。整個(gè)過(guò)程即Rc→Nb→aQ→bJ→Rc。

圖2 遲滯量化局部曲線

對(duì)比對(duì)數(shù)量化器和遲滯量化器在u發(fā)生振蕩時(shí),對(duì)數(shù)量化器的量化值是2個(gè)值直接變化,而遲滯量化器的量化值歷經(jīng)多個(gè)值的變化,這種變化為量化值q(u)的變化提供了停留時(shí)間,可以看作是為量化器添加滯后的方法,避免了抖振現(xiàn)象。

遲滯量化器在文獻(xiàn)[20]中被首次提出。模態(tài)相關(guān)的遲滯量化器形式如下:

(11)

量化器qi(u(t))以類似于文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[21]的形式表示遲滯量化器:

(12)

引理1[22]:為了達(dá)到應(yīng)用遲滯量化器控制的目的,將遲滯量化器分為線性部分與非線性部分,表達(dá)形式如下:

q(u)=u(t)+D(t)

(13)

式中:D(t)=qi(u(t))-u(t)∈?1。

非線性部分D(t)滿足以下不等式:

(14)

(15)

2 控制器設(shè)計(jì)

在繼續(xù)推導(dǎo)之前,給出如下引理,這些引理將用于證明系統(tǒng)(1)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

引理2[15]:對(duì)任意的t≥0,v>0和i∈S,滿足:

(16)

引理3:設(shè)x(t)為系統(tǒng)(1)的解。

并且定義:

h(τ)=(8τ2Ma+8τ2ζ2+8τMb+4τ2Y2MK)×

e8τ2Ma+8τ2ζ2+8τMb,τ>0

(17)

H(τ)=(8τ2Ma+8τ2ζ2+8τMb+4τ2MK)×

e8τ2Ma+8τ2ζ2+8τMb,τ>0

(18)

F(τ)=64τ2Mu(τ2Ma+τ2ζ2+τMb)

e8τ2Ma+8τ2ζ2+8τMb,τ>0

(19)

(20)

(21)

(22)

下文繼續(xù)討論基于離散時(shí)間狀態(tài)和模式觀測(cè)的遲滯量化反饋控制器位于控制器到執(zhí)行器側(cè)時(shí),系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性問(wèn)題。

定理1:當(dāng)發(fā)生網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí),假設(shè)存在矩陣Ki>0、Qi>0以及正定標(biāo)量βi,ε,ζ,β2i,ηi(i∈s)使下列式子

(23)

如果τ足夠小,滿足:

(24)

那么系統(tǒng)(1)滿足:當(dāng)u(s)≥umin,ψ(t)=1時(shí),

(25)

即被控系統(tǒng)(1)在受到網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

dV(x(t),r(t))=LV(x(t),r(t))dt+dM1(t)

式中:M1(t)為滿足M1(0)=0的鞅并且:

LV(x(t),i)=2x(t)TQi[(Ai+ΔAi(t))x(t)+

通過(guò)假設(shè)1可得:

2x(t)TQi[(Ai+ΔAi(t))x(t)+

2x(t)TQiEiD(t)

(26)

推論1:當(dāng)系統(tǒng)(1)遭遇網(wǎng)絡(luò)攻擊并且輸入信號(hào)大于死區(qū),即當(dāng)u(s)≥umin,ψ(t)=1時(shí),

(27)

(28)

同式(27),可將2x(t)TQiEiD(t)項(xiàng)放縮為

(29)

(30)

通過(guò)計(jì)算可得:

我們發(fā)現(xiàn)，為加強(qiáng)與離院后病人的溝通聯(lián)系，朋友和直系親屬的姓名、地址，而非目前家庭的信息，對(duì)于保持與病人的聯(lián)系是十分有價(jià)值的。

(31)

(32)

=λME|x(0)|2

(33)

定理2:當(dāng)沒(méi)有發(fā)生網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí),假設(shè)存在矩陣Ki,Qi>0以及正定標(biāo)量βi,ε,ζ,β2i,ηi(i∈s)使下列兩式:

(34)

(35)

(36)

(37)

那么系統(tǒng)(1)滿足:當(dāng)u(s)≥umin,ψ(t)=0時(shí),

(38)

當(dāng)u(s)≤umin時(shí),

(39)

即被控系統(tǒng)(1)在未受到網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

2x(t)TQiEiK(r(φ(t)))x(φ(t))
≤x(t)T(Sym{QiEiKi})x(t)+
2GQEK|x(t)|×|x(t)-x(φ(t))|-
2x(t)TQiEi(Ki-K(r(φ(t))))x(φ(t))

(40)

(41)

-2E[x(t)TQiEi(Ki-K(r(φ(t))))x(φ(t))]
≤2π1λME|x(t)|2

(42)

(43)

同定理1可得:

d[eαtx(t)TQ(r(t))x(t)]=eαt(αx(t)TQ(r(t))x(t)+

LV(x(t),r(t)))dt+dM3(t)

(44)

eαtE[x(t)TQ(r(t))x(t)]≤λME|x(0)|2

(45)

同樣的方法可以推導(dǎo)得出式(39)成立。因此,綜合定理1與定理2可得,被控系統(tǒng)(1)無(wú)論是否遭遇網(wǎng)絡(luò)攻擊都是均方指數(shù)穩(wěn)定的。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮網(wǎng)絡(luò)攻擊下電力系統(tǒng)(8)具有以下參數(shù)[24]:

圖3 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的軌跡

當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)(1)遇到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡如圖4所示。

圖4 欺騙攻擊發(fā)生時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡

由圖4可以看出當(dāng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)遭到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí),基于離散觀測(cè)狀態(tài)和模態(tài)的遲滯量化控制器仍然能夠保證隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

閉環(huán)系統(tǒng)(1)未受到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí)的仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 狀態(tài)反饋:閉環(huán)系統(tǒng)的軌跡

由圖5可以看出無(wú)網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)在遭到隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)波動(dòng)時(shí),仍然能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),研究了狀態(tài)和模態(tài)離散的遲滯量化反饋控制問(wèn)題。設(shè)計(jì)的控制器能夠保證被控系統(tǒng)無(wú)論是否受到網(wǎng)絡(luò)欺騙攻擊都是均方指數(shù)穩(wěn)定的。仿真結(jié)果也表明本文提出的控制方案是有效的。接下來(lái)的工作主要有兩個(gè)方向:首先網(wǎng)絡(luò)攻擊是隨機(jī)發(fā)生的,在保證無(wú)網(wǎng)絡(luò)攻擊時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下,可以考慮將事件觸發(fā)機(jī)制加入,研究網(wǎng)絡(luò)攻擊下離散狀態(tài)的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制,通過(guò)該方法進(jìn)一步節(jié)約隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制資源;其次考慮網(wǎng)絡(luò)受到欺騙攻擊與拒絕服務(wù)攻擊時(shí),如何增加系統(tǒng)的普適性。