刁宇軒,鄒宸鈺,王嘉睿,謝曉梅,熊水兵,楊利建

(華中師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,湖北 武漢 430079)

電表改裝與校準(zhǔn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中常見的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)[1,2],該實(shí)驗(yàn)將量程較小的微安表擴(kuò)程為量程較大的電流表或電壓表,并且進(jìn)行校準(zhǔn)[3]。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中,擴(kuò)程電阻的大小與表頭內(nèi)阻大小直接相關(guān)。因而測(cè)量表頭內(nèi)阻至關(guān)重要,這一步驟對(duì)改裝電表的精確程度有著巨大的影響。在實(shí)驗(yàn)中,測(cè)量表頭內(nèi)阻一般采用半偏法和替代法兩種方法。半偏法需要考慮在并聯(lián)了改裝表之后,系統(tǒng)總電阻的變化引入的系統(tǒng)誤差,是很多文獻(xiàn)探討較多的一種[4]。而替代法簡(jiǎn)單直觀,普遍認(rèn)為測(cè)量精度較高,討論較少[5]。

但是,在替代法測(cè)量?jī)?nèi)阻實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn),在一定范圍內(nèi)改變替代的電阻阻值,干路中標(biāo)準(zhǔn)表的讀數(shù)基本不變。這個(gè)替代電阻不可確定的范圍可以達(dá)到100 Ω這樣大的值。微安表的內(nèi)阻在2 000 Ω左右,這樣用替代法測(cè)量誤差接近5%。有研究指出,電源電壓的大小對(duì)測(cè)量誤差產(chǎn)生了影響,并得出了電源電壓越大,會(huì)導(dǎo)致內(nèi)阻測(cè)量誤差越大的結(jié)論[6]。該方法可以有效的提高替代法測(cè)量?jī)?nèi)阻的精度,但是沒有指出測(cè)量誤差減小的原因。本文根據(jù)替代法電路中所使用的各個(gè)儀器精度,計(jì)算了標(biāo)準(zhǔn)表、電阻箱等實(shí)驗(yàn)中所用儀器引入的不確定度。在理論分析的同時(shí),對(duì)結(jié)果也進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 替代法測(cè)量表頭內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的分析

1.1 實(shí)驗(yàn)思路

替代法測(cè)內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中,被改裝的微安表(表頭G)的量程為100 μA,精度2.5級(jí)。標(biāo)準(zhǔn)微安表有100 μA,200 μA,500 μA,1000 μA四個(gè)量程,實(shí)驗(yàn)中用100 μA量程,精度0.5級(jí)。電路如圖1所示,其中E是電壓可調(diào)的直流電源,R為電源內(nèi)阻。Rw是保護(hù)電阻,R1是替代電阻,保護(hù)電阻和替代電阻我們都采用電阻箱。實(shí)驗(yàn)中我們采用了ZX38A/11型交直流電阻箱。Rg和R0分別是待測(cè)被改裝表和標(biāo)準(zhǔn)微安表的內(nèi)阻。

圖1 替代法測(cè)量表頭內(nèi)阻電路圖

實(shí)驗(yàn)時(shí),將雙向開關(guān)調(diào)到“a”,調(diào)整保護(hù)電阻Rw阻值,記錄標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)I;將雙向開關(guān)調(diào)到“b”,保持電源電壓E和保護(hù)電阻Rw不變,調(diào)整替代電阻R1的阻值,當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)為I時(shí),替代電阻的阻值即為電流計(jì)內(nèi)阻[3],即:

Rg=R1。

(1)

1.2 測(cè)量方法改進(jìn)分析

理想情況下,替代電阻的阻值與表頭內(nèi)阻相同。但是,若標(biāo)準(zhǔn)表靈敏度不高,可能出現(xiàn)這樣的情況:調(diào)整替代電阻阻值,電路中的電流大小也確實(shí)發(fā)生微小改變,但標(biāo)準(zhǔn)表的指針卻沒有偏轉(zhuǎn)或者偏轉(zhuǎn)程度無(wú)法用肉眼判斷[5]。下面討論如何減少這一誤差。

當(dāng)開關(guān)K置于“b”時(shí),有:

(2)

當(dāng)替代電阻R1的改變量為dR1時(shí),I的改變量為

(3)

聯(lián)立(2)式和(3)式,得:

即:

(4)

由式(4)可知,當(dāng)dI為標(biāo)準(zhǔn)表可分辨的最小電流變化,dR1即為替代電阻不可確定的范圍。要使dR1減小,有以下三種方法:

①減小R0和r,也就是選擇內(nèi)阻小的標(biāo)準(zhǔn)表和電源;

③減小保護(hù)電阻Rw的阻值。

1.3 不確定度計(jì)算

下面我們計(jì)算替代法測(cè)量中的不確定度。替代法的公式(1)很簡(jiǎn)單,按照此公式B類不確定度只需計(jì)算由替代電阻R1引入的不確定度。但是,在實(shí)際調(diào)節(jié)中,我們是需要判斷開關(guān)打到“b”的位置時(shí),標(biāo)準(zhǔn)電流表讀數(shù)是否完全相同。所以,標(biāo)準(zhǔn)電流表讀數(shù)的不確定性也會(huì)引入誤差[8]。標(biāo)準(zhǔn)表的作用類似于惠斯通電橋?qū)嶒?yàn)中檢流計(jì)的作用,所以標(biāo)準(zhǔn)表引入的不確定度我們借鑒了電橋靈敏度[9],計(jì)入電阻的不確定度中。電流表靈敏度可按下述方法計(jì)算:測(cè)得電流改變1 μA時(shí),標(biāo)準(zhǔn)表指針偏轉(zhuǎn)格數(shù)Δd,電路的電阻Rw的變化量ΔRw,則S定義為

(5)

在實(shí)驗(yàn)中由于標(biāo)準(zhǔn)表靈敏度而引入的不確定度ΔRs可用下述公式估算:

(6)

其中,0.1的取值是表示對(duì)最小刻度進(jìn)行1/10估算。實(shí)驗(yàn)中所用標(biāo)準(zhǔn)表的指針與刻度線都比較細(xì),偏轉(zhuǎn)較明顯,所以可以進(jìn)行十分之一估讀。計(jì)算聯(lián)立(5)(6),得:

(7)

因此,該實(shí)驗(yàn)B類不確定度可表示為

(8)

2 實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)步驟

2.1 實(shí)驗(yàn)裝置

表頭一個(gè),直流穩(wěn)壓電源一臺(tái),標(biāo)準(zhǔn)電流表一只,電阻箱兩只,單刀雙擲開關(guān)一個(gè),連接導(dǎo)線若干,實(shí)驗(yàn)用9孔插件方板一塊。(下方圖2為實(shí)驗(yàn)電路,圖3展示了電阻箱型號(hào)等細(xì)節(jié))

圖2 替代法測(cè)量表頭內(nèi)阻實(shí)物圖

圖3 實(shí)驗(yàn)用電阻箱型號(hào)與準(zhǔn)確度等級(jí)

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

2.2.1 改裝表內(nèi)阻的測(cè)量

① 按圖1所示連接電路;

② 將開關(guān)擲向“a”,調(diào)節(jié)Rw使標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)為100 μA,記錄此時(shí)E,Rw的值;

③ 將開關(guān)擲向“b”,保持Rw的值不變,調(diào)節(jié)R1的值,使標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)仍為100 μA,記錄此時(shí)R1的值;

④ 稍稍改變R1的值,保證標(biāo)準(zhǔn)表未發(fā)生肉眼可見的偏轉(zhuǎn),并記錄阻值范圍R1 min和R1 max;

2.2.2 用于評(píng)定不確定度的相關(guān)測(cè)量

⑤ 改變電阻Rw使電流變?yōu)?9 μA,并記錄電阻改變量ΔRw;

⑥ 改變電源電壓,重復(fù)步驟②～⑤。

3 數(shù)據(jù)處理

3.1 數(shù)據(jù)測(cè)量及不確定度計(jì)算

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表1,其中E為路端電壓,R1 min和R1 max為替代電阻R1在保持標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)不變情況下的最小值和最大值,Rw為保護(hù)電阻阻值。ΔRw表示的是在該電路下使標(biāo)準(zhǔn)表指針偏轉(zhuǎn)最小刻度一格(1 μA),電阻Rw的改變量。

表1 替代法測(cè)量電阻原始數(shù)據(jù)表格(電壓?jiǎn)挝粸榉?電阻單位為歐姆)

實(shí)驗(yàn)測(cè)得改裝表內(nèi)阻的不確定值表示如下:

ΔRg測(cè)=R1 max-R1 min,

(9)

替代法測(cè)量改裝表內(nèi)阻的值取測(cè)量最大值和最小值的均值,即

Rg=R1=(R1 min+R1 max)/2 ,

(10)

因?yàn)殡娏鞅硪氲牟淮_定度為

由電阻箱各旋鈕不確定度計(jì)算得R1電阻箱引入的不確定度ΔR1為

ΔR1=2090×0.1%+9×0.5%+0.5×2%≈2.14 Ω

則可推算出該組實(shí)驗(yàn)測(cè)量改裝表內(nèi)阻Rg的B類不確定度為

計(jì)算出該電路下測(cè)量表頭內(nèi)阻的范圍大小應(yīng)為

|2ΔRg|=45.2 Ω ,

測(cè)量表頭內(nèi)阻R1 max讀數(shù)為2 122.0 Ω,R1 min讀數(shù)為2 077.0 Ω,表頭內(nèi)阻實(shí)際測(cè)量值的范圍為

ΔRg測(cè)=2122.0-2077.0=45.0 Ω 。

理論值與實(shí)際值之差為

|2ΔRg|-ΔRg測(cè)=0.2 Ω 。

按上述方法所得數(shù)據(jù)列如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)處理表格(電阻單位為歐姆)

以路端電壓E為橫坐標(biāo),以ΔRg測(cè)和|2ΔRg|為縱坐標(biāo),繪制實(shí)驗(yàn)值與計(jì)算值如圖4。

E/V

從圖4可以看出,隨著電源電壓的增加,替代法測(cè)量?jī)?nèi)阻的不確定度會(huì)單調(diào)增加。另外,由表格2中數(shù)據(jù)可見,不確定度的理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值之差|2ΔRg|-ΔRg測(cè)都是比較小的,理論分析和實(shí)驗(yàn)測(cè)量吻合較好,也說(shuō)明引入電表的靈敏度來(lái)計(jì)算電阻的合成不確定度是合理的。

在第一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中,通過(guò)直接調(diào)節(jié)電源電壓來(lái)控制標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)基本處于100.0 μA附近,并沒有用到保護(hù)電阻。在誤差允許的范圍內(nèi),可以認(rèn)為此時(shí)測(cè)量電阻的誤差達(dá)到了最小。

后六組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中,控制標(biāo)準(zhǔn)表示數(shù)保持在100.0 μA,調(diào)節(jié)替代電阻阻值R1,測(cè)量不同電壓下表頭內(nèi)阻的阻值。實(shí)驗(yàn)中可以明顯看出,電源電壓增大導(dǎo)致我們不得不增大保護(hù)電阻阻值Rw,最終導(dǎo)致不確定度ΔRg增大,使得測(cè)量誤差增大了。

3.2 實(shí)驗(yàn)中存在的其他誤差分析

本實(shí)驗(yàn)誤差主要來(lái)自于所用的電阻箱產(chǎn)生的誤差,實(shí)驗(yàn)過(guò)程中調(diào)節(jié)0.1 Ω旋鈕指針偏轉(zhuǎn)不明顯,導(dǎo)致難以將測(cè)量結(jié)果進(jìn)一步精確。

另外標(biāo)準(zhǔn)表讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差也不可被忽略,由于標(biāo)準(zhǔn)表指針和刻度的構(gòu)造,在替代前后,難以將標(biāo)準(zhǔn)表刻度準(zhǔn)確無(wú)誤地始終控制在同一位置,因而產(chǎn)生了部分誤差,而這部分誤差又難以通過(guò)不確定度公式計(jì)入,因而最終測(cè)量結(jié)果誤差大于了理論計(jì)算出的誤差。

本實(shí)驗(yàn)最后一組采用直接控制電源電壓的方式,而電源電壓本身難以調(diào)節(jié),其精度無(wú)法精確到0.1 V以下,因而導(dǎo)致了誤差。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,得出了替代法測(cè)量表頭內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)中,若電源電壓越大,保護(hù)電阻就要增大,進(jìn)而導(dǎo)致測(cè)得的表頭內(nèi)阻誤差增大。其中保護(hù)電阻是產(chǎn)生測(cè)得表頭誤差的本質(zhì)原因。所以,在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中,在保護(hù)各個(gè)實(shí)驗(yàn)元件安全條件下,應(yīng)盡量選擇較小的電源電壓,使待測(cè)表頭剛好滿偏為宜,這樣就盡可能地減小了保護(hù)電阻阻值,達(dá)到了減小測(cè)量誤差的目的。