高金澤 王愛記

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系 北京 100875)

自然界中相互作用的振動系統(tǒng)非常普遍,如電學(xué)中電容和電感耦合的振蕩回路[1]、固體晶格中相鄰原子的振動模式[2]以及光子和聲子耦合產(chǎn)生的電磁耦合場[3]等.相互作用將使振動系統(tǒng)呈現(xiàn)豐富的運動學(xué)行為,因此對其研究十分必要.在力學(xué)中,彈簧耦合擺也屬于此類系統(tǒng).由兩個單擺懸掛于同一水平線上,兩擺球以彈簧連接,實現(xiàn)振動的相互耦合.

目前關(guān)于彈簧擺的研究文章中,大多針對兩擺懸掛點間距離恰好等于彈簧原長的情況進行研究[4-6],具有一定局限性.當兩單擺懸掛點間的距離略大于或小于彈簧原長時,平衡狀態(tài)下單擺在豎直方向的角度偏移使動能和勢能的表達式更為復(fù)雜,呈現(xiàn)的拍現(xiàn)象也受更多因素的影響.本文從兩擺間距離略大于彈簧原長的情況入手,在小角度近似的情況下從分析力學(xué)的角度進行求解.筆者利用MATLAB計算了非小角度近似下的數(shù)值解,對其運動產(chǎn)生的拍進行探究,與兩擺間距離等于彈簧原長的情況對比.對于兩擺間距離略小于彈簧原長也可以用類似的求解方法.

1 模型構(gòu)建

圖1為彈簧擺在靜止狀態(tài)下的示意圖.輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)均勻為κ,輕質(zhì)擺線長l,小球A,B均視為質(zhì)點,質(zhì)量均為m,初始偏角均為θ0,兩擺懸掛點間距離為L,彈簧自然長度L0,L0略小于L,所需物理量均在圖中標出.

假設(shè)不考慮外界空氣阻力等耗散影響,彈簧與小球在豎直平面內(nèi)運動.兩擺的角度取逆時針為正方向,處于平衡狀態(tài)時,設(shè)彈簧壓縮量為Δx0,小球A的平衡角度為+θ0,小球B的平衡角度為-θ0.

圖1 靜止狀態(tài)下系統(tǒng)示意圖

由虛功原理得

mgδy+κΔx0δx=0

(1)

又有

δy=lδcosθ0

Δx0=L-2lsinθ0-L0

δx=lδsinθ0

(2)

聯(lián)立式(1)、(2),設(shè)l0=L-L0,則有

mgtanθ0=κ(l0-2lsinθ0)=κΔx0

(3)

如圖2所示設(shè)擺線偏離平衡位置的角度為θ1、θ2.

圖2 運動過程中系統(tǒng)示意圖(圖中兩小球偏離豎直

則小球A的位置坐標為

y1=-lcos(θ0+θ1)

B的位置坐標為

設(shè)懸掛點所在的水平線為重力勢能零點,系統(tǒng)平衡狀態(tài)下的彈簧彈性勢能為彈性勢能零點,則系統(tǒng)的動能T、重力勢能Vg和彈性勢能Vk滿足

(4)

Vg=mg(y1+y2)

(5)

(6)

(7)

Δx,Δy可表示為

(8*)

即

(8)

對式(5)小量展開可得

式(3)、(8)代入式(7)可得

(10)

聯(lián)立式(9)、(10),令V=Vg+Vk,則可得

(11)

其中

(12)

(13)

2 簡正分析

2.1 求解簡正頻率

拉格朗日量L中含有關(guān)于坐標θ1、θ2的耦合項,在求解問題時,往往通過構(gòu)造矩陣V和T求解簡正頻率進而求解簡正坐標.

由式(4)、(11),列出勢能、動能對應(yīng)的矩陣[7]

(14)

并記P=V-ω2T,令det(P)=0,得

解得系統(tǒng)的簡正頻率

(15)

由于

又C<0,故ω1、ω2均為實數(shù),且ω1<ω2.

2.2 構(gòu)造簡正坐標

代入簡正頻率ω后,矩陣P的本征矢量即為原廣義坐標線性組合的系數(shù),如此可得到各簡正頻率ω對應(yīng)的簡正坐標.

當ω=ω1時,代入矩陣P得

其特征向量n1=(1,1).

當ω=ω2時,代入矩陣P得

其特征向量n2=(1,-1).

所以對應(yīng)ω1的簡正坐標為ξ1=θ1+θ2,對應(yīng)ω2的簡正坐標為ξ2=θ1-θ2.

將ξ1、ξ2代入拉格朗日量得

(16)

得到拉格朗日運動方程

(17-1)

(17-2)

可以通過求解式(17-1)、(17-2),驗證其對應(yīng)的簡正頻率正是式(15)中的ω1、ω2.

2.3 近似解與非近似解的對比

非近似解對動能T、勢能V中的小量θ1、θ2不做近似處理.

根據(jù)

Vg=mg(y1+y2)

得到拉格朗日量

L=T-(Vg+Vk)

通過MATLAB中的ode45解拉格朗日運動方程得到數(shù)值解.

圖3 取時θ1、θ2的近似解與非近似解

圖4 取時,非小角度情況下近似解與非近似解對比

3 與擺懸掛點間距等于彈簧原長情況的對比

當兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長時,彈簧耦合擺的運動依舊形成拍.擺懸掛點間距等于彈簧原長時,簡正頻率[6]為

(18)

由式(21),可以得到拍頻ω0

(19)

當2κl?mg時,對ω0進行小量展開得到

圖5 取ωp=10 rad/s時,ω0小量展開的近似解與標準解對比

當ωs逐漸增大,2κl?mg的條件不再滿足,小量展開的近似解與標準解曲線出現(xiàn)偏差.

擺懸掛點間距大于彈簧原長時,由式(18)得拍頻ω>為

(21)

當2κl?mg時,對ω>進行小量展開

(22)

故拍頻ω除正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp外,還與平衡狀態(tài)時的偏移角度θ0有關(guān).

圖6 2κl?mg情況下拍頻對比圖

圖6驗證了上述結(jié)論,即在其他條件相同情況下,兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長的情況下,拍頻恒大于懸掛點距離大于彈簧原長的情況.

4 總結(jié)

在非小角度情況下,將近似解和非近似解的運動圖像進行對比,發(fā)現(xiàn)近似解的拍頻稍大于非近似解,近似計算不再合理.

在2κl?mg的條件下,耦合擺運動的拍頻滿足式(25),即拍頻正比于彈簧的固有頻率ωs的二次方,反比于單擺固有頻率ωp,且與平衡狀態(tài)時偏移角度θ0有關(guān).兩單擺懸掛點間距等于彈簧原長系統(tǒng)的拍頻恒大于懸掛點距離大于彈簧原長的系統(tǒng).