魯 潤(rùn)

(永寧縣第二中學(xué) 寧夏 銀川 750100)

在電感、電容和電阻三者串聯(lián)或并聯(lián)組成的簡(jiǎn)單電學(xué)振動(dòng)系統(tǒng)中,當(dāng)正弦波信號(hào)源的輸出達(dá)到某一頻率時(shí),RLC電路的電流達(dá)到最大值,即產(chǎn)生諧振現(xiàn)象．發(fā)生諧振現(xiàn)象時(shí),電路中的電流、電壓、阻抗、容抗、感抗等相關(guān)參數(shù)均處于某種特殊狀態(tài),因而在實(shí)際中有著重要的應(yīng)用,如在放大器、振蕩器、濾波器電路中常用作選頻電路．那么能不能利用諧振電路的這一特性測(cè)量電容和電感呢?筆者利用RLC電路諧振時(shí)電路參數(shù)之間關(guān)系,采用控制變量法,推導(dǎo)出測(cè)量電容和電感的理論基礎(chǔ);通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn),多次測(cè)量探究,并對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)深入分析,發(fā)現(xiàn)利用RLC串聯(lián)諧振電路測(cè)量電容和電感是切實(shí)可行的,但要想準(zhǔn)確測(cè)量電容或電感是有條件的;最后還探究了電阻的改變對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響．

1 實(shí)驗(yàn)原理

1.1 利用RLC串聯(lián)諧振電路測(cè)量電容和電感

在RLC串聯(lián)電路中,若接入一個(gè)電壓幅度一定,頻率f連續(xù)可調(diào)的正弦交流信號(hào)源(圖1),則電路參數(shù)都將隨著信號(hào)源頻率的變化而變化．

圖1 RLC串聯(lián)諧振電路

電路總阻抗

圖2 RLC串聯(lián)諧振電路I隨ω的變化曲線

諧振時(shí),通常用品質(zhì)因數(shù)Q來(lái)反映諧振電路的固有性質(zhì),有

圖3 I-f關(guān)系圖

在諧振時(shí),UR=Ui,UL=UC=QUi,所以電感和電容上的電壓達(dá)到信號(hào)源電壓的Q倍,故串聯(lián)諧振電路又稱為電壓諧振電路．

在RLC串聯(lián)電路中,當(dāng)調(diào)節(jié)電源頻率,使其滿足XC=XL時(shí),則電路中的電流和電源電壓同相位,電路的阻抗Z0為最小,Z0為諧振阻抗,且Z0=R,而電路中的電流為最大,也就是R兩端的電壓最大,所以調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的輸出頻率與毫伏電壓表上的讀數(shù)變化趨勢(shì)如圖4所示．

圖4 電壓表讀數(shù)變化趨勢(shì)圖

根據(jù)諧振特點(diǎn),當(dāng)信號(hào)源端輸出電壓相同的情況下,觀察電阻R兩端電壓U是否達(dá)最大值來(lái)判斷電路何時(shí)發(fā)生諧振[1]．只要記下電路在最大電壓UR時(shí)對(duì)應(yīng)的輸出頻率,即為諧振頻率f0,就可以計(jì)算出電感L,因?yàn)榇藭r(shí)諧振頻率為

則線圈電感

所以在RLC串聯(lián)電路中,如果已知電容,就可以求出電感．

反之,已知電感,就可以求出電容．

1.2 利用RLC并聯(lián)諧振電路測(cè)量電容和電感

并聯(lián)諧振是指在電阻、電容、電感并聯(lián)電路中,出現(xiàn)電路端電壓和總電流同相位的現(xiàn)象．

我們知道,電路在并聯(lián)諧振時(shí)的諧振頻率為

一般情況下,線圈的電阻遠(yuǎn)小于線圈感抗,即RL=XL,若忽略線圈電阻RL,則有

確定諧振頻率后,由公式即可計(jì)算出線圈電感L的大小,反之,若已知電感,就可以求出電容．在并聯(lián)諧振電路中,回路的總電流I為最小,諧振回路的總阻抗為最大,所以U的波形幅值為最大．因此,并聯(lián)諧振也叫電流諧振．

2 實(shí)驗(yàn)儀器與裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示．YB2172型交流毫伏表, DH4503型RLC電路實(shí)驗(yàn)儀．

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

3 實(shí)驗(yàn)方法

檢查實(shí)驗(yàn)儀器,按照?qǐng)D6所示實(shí)驗(yàn)線路圖連接線路．L和C之值為實(shí)驗(yàn)儀器的標(biāo)稱值,根據(jù)電感和電容的選取,選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)腞值,本實(shí)驗(yàn)中R=30 Ω．當(dāng)S與“2”接通,調(diào)節(jié)US的電壓輸出幅度,保證各種頻率測(cè)量時(shí)的有效輸出電壓值都是1.0 V．

圖6 實(shí)驗(yàn)線路圖

3.1 利用諧振電路測(cè)量電感

(1)當(dāng)開關(guān)S撥向“1”時(shí),交流毫伏表測(cè)量的是電阻R兩端電壓UR．假定已知電容C,保持信號(hào)源的輸出幅度恒定為1.0 V．

(2)改變信號(hào)源頻率,用交流毫伏表測(cè)出相應(yīng)頻率下UR的大小．

(3)找出電阻R兩端電壓UR最大值,對(duì)應(yīng)的頻率f0即為諧振頻率[2]．

注意：因?yàn)樾盘?hào)源不是恒壓源,它有固定的內(nèi)阻,而外電路是隨頻率變化而變化的阻抗,因而信號(hào)源的輸出幅度也必然隨頻率改變而變化．這就給測(cè)量UR的最大值帶來(lái)了麻煩,必須反復(fù)多次調(diào)節(jié)輸出電壓US,保證各種頻率測(cè)量時(shí)的有效輸出電壓值都是1.0 V,以提高實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)確性．

(4)改變電容C,重復(fù)以上三步,進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)．

(5)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入,計(jì)算可得電路中的電感．

3.2 利用諧振電路測(cè)量電容

(1)當(dāng)開關(guān)S撥向“1”時(shí),交流毫伏表測(cè)量的是電阻R兩端電壓UR．假定已知電感L,改變信號(hào)發(fā)生器的頻率,觀察記錄各次頻率變化和交流毫伏表變化情況(幅頻特性),確定UR的最大值以及此時(shí)的諧振頻率f0．

(2)按照以上3.1(1)到3.1(3)實(shí)驗(yàn)操作方法,確定電容變化時(shí),對(duì)應(yīng)的諧振頻率f0．

(3)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)代入,計(jì)算可得電路中的電容．

3.3 電阻對(duì)電路的影響

(1)調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器使U=1.0 V,C=0.04 μF,L=110 mH,改變信號(hào)發(fā)生器的輸出頻率f,分別記錄當(dāng)電阻R=30 Ω時(shí)和R=300 Ω時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．

(2)按照上述步驟,可再次調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器使U=1.0 V,R=30 Ω,C=0.5 μF,L=10 mH,改變信號(hào)發(fā)生器的輸出頻率f,分別記錄當(dāng)電阻R=30 Ω時(shí)和R=5 kΩ時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．

(3)多次測(cè)量,對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理,得出結(jié)論．

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

4.1 利用串聯(lián)諧振電路測(cè)量電感可行性研究

實(shí)驗(yàn)中U=1.0 V,R=30 Ω,改變信號(hào)發(fā)生器的頻率f,其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1～4.

表1 C=0.5 μF時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)表1數(shù)據(jù)進(jìn)行處理:標(biāo)準(zhǔn)電感L=10 mH,將數(shù)據(jù)代入,則有

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

表2 C=0.6 μF時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

同理對(duì)表2數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電感L=10 mH,則有

L′=1.018 4×10-2H

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

ε=1.84%

表3 C=0.05 μF時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

同理對(duì)表3數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電感L=10 mH,則有

L′=1.010 1×10-2H

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

ε=1.01%

表4 C=0.06 μF時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

同理對(duì)表4數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電感L=10 mH,則有

L′=1.004 8×10-2H

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差ε=0.48%

由表1到表4數(shù)據(jù)分析、處理,可以看出:利用RLC串聯(lián)諧振電路測(cè)量電感是切實(shí)可行且誤差較小的．

4.2 利用諧振電路測(cè)量電容可行性研究

實(shí)驗(yàn)中U=1.0 V,R=30 Ω,其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表5～8．

表5 L=50 mH時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)表5數(shù)據(jù)處理:

標(biāo)準(zhǔn)電容C=0.5 μF,將數(shù)據(jù)代入,則有

5.015 8×10-7F

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

表6 L=60 mH時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

同理對(duì)表6數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電容C=0.5 μF,則有

C′=5.098 1×10-7F

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

ε=1.96%

同理對(duì)表7數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電容C=0.5 μF,則有

C′=4.991 1×10-7F

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差

ε=0.18%

表8 L=3 mH時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

同理對(duì)表8數(shù)據(jù)處理,標(biāo)準(zhǔn)電容C=0.5 μF,則有

C′=5.000 9×10-7F

實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差ε=0.018%

由表5到表8數(shù)據(jù)分析,可以看出:利用RLC串聯(lián)諧振電路測(cè)量電容是可行且誤差較小的．

4.3 利用RLC串聯(lián)諧振電路準(zhǔn)確測(cè)量電感的研究

實(shí)驗(yàn)時(shí)U=1.0 V,R=30 Ω,標(biāo)準(zhǔn)電感為110 mH,其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表9.

表9 改變電容實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

續(xù)表9

說(shuō)明：σL為實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差．

通過(guò)表9實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,可以看出:利用RLC串聯(lián)諧振電路準(zhǔn)確測(cè)量電容,是有條件的．當(dāng)電感一定,電容比較小時(shí),測(cè)得的電感相對(duì)誤差比較大．經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn),得出若電容C大于3.9×10-9F時(shí),利用DH4503型RLC電路實(shí)驗(yàn)儀能夠較準(zhǔn)確地測(cè)量電感,可以將相對(duì)誤差控制在5%以內(nèi)．

綜上所述,在電容已知的情況下,如果電容較大,可以利用RLC串聯(lián)諧振電路較準(zhǔn)確測(cè)量電感．

4.4 利用RLC串聯(lián)諧振電路準(zhǔn)確測(cè)量電容的研究

實(shí)驗(yàn)中U=1.0 V,R=30 Ω,標(biāo)準(zhǔn)電容為1.1 μF,其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表10．

表10 改變電感實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及處理

說(shuō)明：在使用的DH4503型RLC電路實(shí)驗(yàn)儀中,電感的變化范圍是有限的．只能在1～110 mH之間變化,所以本實(shí)驗(yàn)所得出的結(jié)論可能具有局限性．σC為實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差．

通過(guò)表10實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析,可以得出:在實(shí)驗(yàn)的誤差范圍內(nèi),無(wú)論電感值是大是小,都可以利用RLC串聯(lián)諧振電路較準(zhǔn)確地測(cè)量出電路中的電容．

綜上,在電感已知的情況下,可以利用該儀器較準(zhǔn)確地測(cè)量電容,而不受電感值大小的影響．

4.5 探究電路中電阻對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響

(1)實(shí)驗(yàn)中U=1.0 V,C=0.04 μF,L=110 mH,改變電阻,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表11和表12．

表11 R=30 Ω時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表12 R=300 Ω時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

對(duì)表11和表12數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析,可以看出:改變電阻,在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi),對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本沒(méi)有影響．

(2)實(shí)驗(yàn)中U=1.0 V,C=0.5 μF,L=10 mH,改變電阻,實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見(jiàn)表13和表14．

表13 R=30 Ω時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

表14 R=5 kΩ時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

從表13和表14可以看出,當(dāng)電阻較大(實(shí)驗(yàn)中R=5 kΩ)時(shí),調(diào)節(jié)信號(hào)發(fā)生器的頻率f,發(fā)現(xiàn)R兩端的電壓只在0.980～1.00 V之間變化,變化幅度非常小,難以準(zhǔn)確讀數(shù),這給確定RLC串聯(lián)諧振電路的諧振頻率f0帶來(lái)很大困難,所以在這種情況下,利用諧振電路是無(wú)法準(zhǔn)確測(cè)量電感和電容的．

這種現(xiàn)象的本質(zhì)原因分析:

(1)由于實(shí)驗(yàn)采用通過(guò)改變輸入信號(hào)的頻率,觀察電阻R上的最大輸出電壓,來(lái)獲取諧振頻率f0的方法,如果電阻R比較大,就會(huì)造成諧振品質(zhì)因數(shù)Q值太低,諧振強(qiáng)度不夠,諧振頻率附近電阻R兩端電壓變化不靈敏,所以電壓的變化范圍必定很?。?/p>

(2)在串聯(lián)諧振時(shí)由于電感與電容兩端的電壓降大小相等方向相反,在電路中他們的作用是彼此抵消的,所以外加電壓相當(dāng)于完全被電阻R所消耗,即U=UR=IR,顯然此時(shí)電路中的電流值就只取決于電阻R,而與電感L和電容C無(wú)關(guān),也就是說(shuō)無(wú)法進(jìn)行測(cè)量．

綜上所述,雖然理論上電阻的改變并不影響結(jié)果,但是為了提高測(cè)量的準(zhǔn)確度,在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中,建議應(yīng)選取阻值較小的電阻進(jìn)行實(shí)驗(yàn)．

5 討論

通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)探究,發(fā)現(xiàn)利用RLC串聯(lián)諧振電路測(cè)量電容和電感是切實(shí)可行的,但要想準(zhǔn)確測(cè)量電容或電感是有條件的．

(1)在電容已知的情況下,當(dāng)電感一定,電容比較小時(shí),測(cè)得的電感相對(duì)誤差比較大．當(dāng)電容C大于3.9×10-9F時(shí),利用DH4503型RLC電路實(shí)驗(yàn)儀能夠較準(zhǔn)確地測(cè)量電感,可以將相對(duì)誤差控制在5%以內(nèi).

(2)在電感已知的情況下(電感量只能在1～110 mH之間變化),可以利用RLC串聯(lián)諧振電路較準(zhǔn)確地測(cè)量電容,但應(yīng)注意控制電阻R為較小值．

注意在本實(shí)驗(yàn)中筆者使用的是毫伏電壓表判斷電路何時(shí)發(fā)生諧振,所以必須保證在端電壓輸出相同的前提下比較測(cè)量值UR,至于我們能否在確定諧振頻率時(shí)引入示波器?示波器是不是測(cè)量更為直觀、準(zhǔn)確?可以作為另一個(gè)設(shè)計(jì)性實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究．實(shí)驗(yàn)過(guò)程中還應(yīng)注意不能長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)實(shí)驗(yàn),不然會(huì)造成諧振電路的LC總內(nèi)阻發(fā)生變化、諧振頻率不穩(wěn)定、諧振品質(zhì)因數(shù)低、電路損耗較大、一些特性不穩(wěn)定等等[3]．