張睿桐， 曹連英

（東北林業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150040）

傳染病嚴重影響人類的健康和生活質(zhì)量，給身心造成傷害，如新冠肺炎、猴痘、霍亂、登革熱等。隨著傳染病模型的提出，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)成為研究傳染病傳播、控制的重要工具。近年來，有大量文獻對傳染病進行了研究，例如分析傳染病的動力學(xué)性質(zhì)、疫情變化趨勢、傳染病預(yù)防、控制等。目前對傳染病的防控措施主要是疫苗接種、隔離等[1]，研究表明疫苗接種和隔離可以有效地阻斷傳染病的傳播[2-3]。

在疾病傳播的過程中，周期性的波動是十分常見的[4]。例如，預(yù)防某些傳染病的疫苗接種計劃就是周期性的，氣候的變化以及周而復(fù)始的日常生活（如學(xué)校的開學(xué)和放假，法定節(jié)假日等）也具有典型的周期性特征，從而導(dǎo)致一些傳染病也具有周期性。在一個周期內(nèi)傳染病傳播特性隨時間的變化而變化，有時亦呈現(xiàn)不連續(xù)性。

基本再生數(shù)是傳染病一個非常重要的指標(biāo)。對于傳統(tǒng)的傳染病模型如非周期系統(tǒng)，已經(jīng)有一些成熟方法能計算出基本再生數(shù)。例如，Guo等[5]給出了具有不連續(xù)治療策略的SIR傳染病模型的基本再生數(shù)。對于周期連續(xù)系統(tǒng)，Wang等[6]討論了計算周期連續(xù)系統(tǒng)基本再生數(shù)的方法。Tang等[7]討論了一種周期不連續(xù)系統(tǒng)及基本再生數(shù)的閾值動力學(xué)行為?；谏鲜鲅芯績?nèi)容，本文研究一種輕、重癥狀感染者的六倉室周期不連續(xù)傳染病模型，主要研究該周期不連續(xù)系統(tǒng)解的存在性和唯一性以及系統(tǒng)的基本再生數(shù)。

1 模型建立

依據(jù)一些傳染病傳播強弱與患病嚴重程度的特點，本文將人群分為6類人群：易感人群S、未確診具有感染性且癥狀較輕人群Ia（包括無癥狀感染人群）、未確診具有感染性且癥狀較重的人群Ib、確診為輕癥狀感染者自主居家隔離的人群Qh、確診為重癥狀感染者并被醫(yī)院隔離治療的人群QH、被治愈的感染人群R，Λ為總?cè)丝?。考慮到疫苗接種、氣候變化、學(xué)校的開學(xué)和放假等典型的周期性特征以及不連續(xù)特征，建立了一種不連續(xù)的周期傳染病模型。設(shè)ω> 0為疾病的傳播周期，模型假設(shè)如下：

1）感染者分為輕癥狀感染者和重癥狀感染者2類，且這2類感染者都能通過接觸感染易感人群。假設(shè)易感人群接觸重癥狀感染者會被感染為輕癥狀或重癥狀感染者，而易感人群接觸輕癥狀感染者會被感染為輕癥狀感染者。

2）傳染病具有周期特征且疾病的傳播是不連續(xù)的。為便于研究，我們將疾病傳播周期劃分為2個階段：疾病傳染率低的階段稱為淡季，用J1來表示；疾病傳染率高的階段稱為旺季，用J2來表示。假設(shè)疾病傳播初期傳染率低。其中，

記βa(t)為易感者與輕癥狀感染者接觸感染為輕癥狀感染者的感染率，βb(t)為易感者與重癥狀感染者接觸感染為輕癥狀感染者的感染率，β(t)為易感者與重癥狀感染者接觸感染為重癥狀感染者的感染率。并假設(shè)每一階段感染率為常數(shù)，如下所示：

基于以上假設(shè)，建立如下周期不連續(xù)傳染病模型：

易得無病平衡點E0為

記系統(tǒng)初值P0=(S0,Ia0,Ib0,Qho,QH0)，記總?cè)藬?shù)Λ(t)=S(t)+Ia(t)+Ib(t)+Qh(t)+QH(t)+R(t)，模型參數(shù)如表1所示，疾病傳播如圖1所示。

圖1 疾病的傳播過程示意圖Figure 1 Diagram of how a disease spreads

表1 模型的參數(shù)定義Table 1 Parameter definition of the model

這里參數(shù)A、μ、d、βa、βb、β、ra、rb、δh、δH均為非負?？紤]重癥狀感染者到醫(yī)院隔離治療比相較于輕癥狀感染者自主居家隔離比要大，故假設(shè)rb>ra。

考慮如下系統(tǒng):

記D0={P=(S,Ia,Ib,Qh,QH)|P≥0,0≤S+Ia+Ib+Qh+QH≤Λ( 0 )}，顯然D0?。

定理1.1 對于任意P0∈D0，在初值下的系統(tǒng)(2)在R+中有唯一全局解，

證明 仿照文獻[7]證明，可知定理1.1 成立，并且φ(t,P0)對于t和系統(tǒng)(2)所有參數(shù)都連續(xù)，且對于任意t∈R+，有φ(t,P0)?D0，解φ(t,P0)在P0處是可微的。

2 基本再生數(shù)

設(shè)x=(Ia,Ib,Qh,QH)T。首先，將系統(tǒng)(2)的感染倉室線性化，

E0處對應(yīng)的Jacobi矩陣F、V如下：

不連續(xù)系統(tǒng)感染倉室線性化系統(tǒng)如下：

在計算基本再生數(shù)之前，定義一個線性算子L。

考慮線性系統(tǒng)：

并設(shè)Y(t,s)(t≥s)為線性系統(tǒng)(4)的演化算子，滿足

其中E4是一個4 × 4單位矩陣，易得Y(t,s) =e-V(t-s)。

該積分的意義為到時間t之前所有新增感染者的分布。

設(shè)Cω=C(R,R4)為巴拿赫空間中以ω為周期的連續(xù)函數(shù)，定義其最大范數(shù)的表示為‖ ?‖c。故有‖I(s)‖c=

定義L(Cω→Cω)為下一個感染算子，

L的譜半徑定義為基本再生數(shù)，即

下面給出算子L的一些性質(zhì)。

定理2.1 算子L是正的、連續(xù)的、緊的。

廣義質(zhì)點濾波方法與質(zhì)點濾波方法的不同僅僅在于重采樣階段。常規(guī)質(zhì)點濾波方法是根據(jù)后驗密度P（·｜z）（公式6）的離散近似進行采樣（Musso et al，2001），而廣義質(zhì)點濾波方法是從連續(xù)近似中進行采樣，

證明 易得算子L在Cω上是正的。注意到Y(jié)(t+ω,t+ω-a) =e-Va和I(t)的周期性，顯然L為Cω→Cω上的算子。

用符號‖ ? ‖1來表示向量和矩陣的1范數(shù)。?K> 0、k> 0使得

?K1> 0，使

故

下證在Cω的任意有界集Φ上{L(I)}等度連續(xù)。

注意到V可相似對角化，即存在可逆矩陣T使V=T-1υT，其中，υ= diag(V)，則有eVt=T-1eυtT。

對I(t)∈Φ，?t1,t2∈[0,ω] (t1

考慮如下周期線性系統(tǒng)：

設(shè)Wλ(t,s)(t≥s)為周期線性系統(tǒng)(8)的基解矩陣，其中λ∈(0, + ∞)。

考慮λ方程：

引理2.1 (1)若λ0> 0是方程(9)的一個正解，那么λ0是算子L的特征值且R0> 0。(2)如果R0> 0，則λ=R0是方程(9)唯一的解。

由文獻[6]定理2.1類似的證明方法可證引理2.1成立。

下面給出本系統(tǒng)的基本再生數(shù)。

定理2.2 系統(tǒng)(1)的基本再生數(shù)為

其中，

證明 首先計算系統(tǒng)(8)的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣。

當(dāng)t∈Ji,i= 1,2時，

其中，

其次，易得矩陣Wλ(ω,0)的特征值為

則有ρ(Wλ(ω,0)) = max{λ1,λ2,λ3,λ4}，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增的性質(zhì)可知

最后，利用引理2.1可知，定理2.2成立。

本文也適用于多階段的不連續(xù)周期系統(tǒng)的基本再生數(shù)計算。

3 結(jié)論

本文利用積分算子和譜半徑等方法計算出周期不連續(xù)傳染病模型的基本再生數(shù)。由于該模型是在采取隔離措施的基礎(chǔ)上進行研究，故后續(xù)將移除隔離倉室對其進行討論，并結(jié)合實際數(shù)據(jù)對模型進行數(shù)值模擬，為預(yù)測相關(guān)傳染病發(fā)展趨勢提供思路。