鄭偉珊

韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 廣東 潮州521041

我們研究的分?jǐn)?shù)階時滯Volterra微積分方程組形式如下：

這里τ∈[0，T]，0 <γ< 1，Dγ和Γ 分別表示Caputo 分?jǐn)?shù)階求導(dǎo)算子和Gamma 函數(shù)，并已知核函數(shù)K?和源函數(shù)G是給定的函數(shù).假定這些函數(shù)都在對應(yīng)的定義域上充分光滑.延遲項(xiàng)是ψ(τ)并滿足：

Volterra 型方程常用于描述捕食系統(tǒng)中掠食者與獵物進(jìn)行互動時的動力學(xué)行為，一直備受廣泛關(guān)注.關(guān)于譜配置方法研究Volterra 積分方程，湯濤院士首次采用Legendre 譜配置方法研究Volterr 積分方程（Tang et al.，2008），隨后與陳艷萍教授合作探討解充分光滑條件下的弱奇異Volterra 積分方程（Chen et al.，2009）和解非充分光滑的弱奇異Volterra積分方程（Chen et al.，2010），提出并分析了一種高精度的Jacobi譜配置方法，并引起了大量相關(guān)后續(xù)研究（Wei et al.，2012；Zhang et al.，2013；Tohidi et al.，2014；Yang et al.，2014；Gu，2016；Cai et al.，2018；Gu，2020；Zheng，2021），這些研究皆基于譜分析具有顯著的誤差指數(shù)收斂性.近年分?jǐn)?shù)階方程發(fā)展迅速，由于其具有廣泛的應(yīng)用背景，諸如反應(yīng)擴(kuò)散問題、吸煙模型、疾病傳播等（Zeng et al.，2014；Khan et al.，2019；Shah et al.，2020），Volterra 型方程的研究也逐步邁向分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域（Yang et al.，2014；Cai et al.，2018），然而發(fā)展緩慢，特別是考慮時滯因素的成果幾乎沒有，事實(shí)上時滯因素普遍存在，故本文將對一般時滯分?jǐn)?shù)階Volterra 微積分方程組進(jìn)行嚴(yán)格的誤差分析，為此需要進(jìn)行如下變量變換，令

下面介紹下文的組織結(jié)構(gòu)，第1節(jié)中給出一些有用的引理，這些引理對第2節(jié)的收斂性分析起著關(guān)鍵的作用，最后一節(jié)以一個數(shù)值例子驗(yàn)證理論分析的正確性.需要指出的是通篇文章中C表示一個獨(dú)立于N的正的常數(shù)，但它依賴于給定的函數(shù).

1 重要引理

2 誤差估計(jì)

解，當(dāng)ρ∈(0，1)時為近似分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).定義eρ(t) =Dρ f(t) -Uρ(t)為誤差函數(shù)，其中e0(t) =e(t).若N充分大，則有如下結(jié)論

下面逐項(xiàng)估計(jì)Ij(t)，j= 0，1，2，3，4.利用式（19）和引理2可得

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

表1 f - U的L∞誤差和L2?-r，- r誤差Table 1 The errors of f - U in L∞ and L2?-r，- r norms

表2Dγ f -Uγ的L∞誤差和L2?-r，- r誤差Table 2The errorsofDγ f-Uγ in L∞andL2?-r，-r norms

為了可視化展示誤差的指數(shù)衰減性，借助圖形進(jìn)行描述.圖1是數(shù)值誤差Dρ f-Uρ的L∞誤差和L誤差，這里2 ≤N≤20，從圖形上可以一目了然發(fā)現(xiàn)誤差呈指數(shù)衰減.同時將精確解與近似解、精確分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與近似分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行繪圖（見圖2），從中發(fā)現(xiàn)它們分別高度一致，這更進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的結(jié)論.

圖1 Dρ f-Uρ在不同配置點(diǎn)下的L∞誤差和L2?-r，-r誤差比Fig.1theerrorsofDρ f-Uρversusdifferentcollocation points in L∞ and L2?-r， - r norms

圖2 精確解/精確分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與近似解/近似分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的對比Fig.2 Comparison between exact solution/exact fractional derivative and approximate solution/approximate fractional derivative