陳 佳

(四川文理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,四川 達(dá)州 635000)

0 引言

設(shè){(Xi,Yi),i=1,2,…,n}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的同分布隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為:

(1)

x∈[0,1]d

(2)

1 各向異性小波理論和Besov空間

tτx=(tτ1x1,…,tτdxd);tτc=(tc)τ

定義指標(biāo)集:

定義:

(3)

(4)

構(gòu)成L2(Rd)的一組標(biāo)準(zhǔn)各向異性小波正交基,因此對(duì)任意的f∈L2(Rd)

(5)

(i)f∈Lp(Rd),

備注1:此定理蘊(yùn)含著

(6)

假設(shè)回歸函數(shù)r(x)屬于H>0的Besov球,即

2 各向異性小波估計(jì)量

對(duì)模型給出一些假設(shè),構(gòu)造小波估計(jì)器,給出樣本強(qiáng)混的定義。

定義2[12]:設(shè){Xi,i∈Z}是嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)向量序列

對(duì)模型給出一些假設(shè):

H1:存在常數(shù)c1>0,使得infh(x)≥c1,x∈[0,1]d

H2:ρ滿(mǎn)足ρ∈L(Rd)∩L∞(Rd)。

H3:對(duì)任意(x,y)∈[0,1]d×R,存在常數(shù)0

H4:序列{(Xi,Yi),i=1,…,n}的強(qiáng)混系數(shù)滿(mǎn)足α(k)≤λe-c4k,其中λ>0,c4>0。

H5:設(shè)f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)為(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(k≥1)的密度函數(shù),f(X1,Y1)為(X1,Y1)的密度函數(shù),存在常數(shù)c5>0,使得?(x,y,x′,y′)∈[0,1]d×R×[0,1]d×R。

其中,hk(x,y,x′,y′)=f(X1,Y1,Xk+1,Yk+1)(x,y,x′,y′)-f(X1,Y1)(x,y)f(X1,Y1)(x′,y′)。

給出回歸函數(shù)r(x)的小波估計(jì)量:

(7)

其中:

(8)

(9)

由H1～H3可知定義是明確的,此估計(jì)量是r(x)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì),從引理2可得到證實(shí)。

=αjτ;k

另一方面:

Φjτ;k(x)f(x,y)dxdy=αjτ;k

為證明主要結(jié)論,還需引用以下引理,其詳細(xì)證明可參考文獻(xiàn)[10]。

3 主要結(jié)果

主要結(jié)果及相應(yīng)證明如下:

證明:易知

(10)

只需估計(jì)式右側(cè)的隨機(jī)項(xiàng)和偏差項(xiàng),先估計(jì)偏差項(xiàng),利用Holder不等式和(θ)條:

根據(jù)式(6),當(dāng)n→∞時(shí),j→∞,則:

(11)

根據(jù)Φjτ;k的緊支性和(θ)條件可得:

注意到|Λjτ|～2|jτ|,利用引理5可得:

(12)

結(jié)合定理得證。

備注2:從定理的結(jié)論可以看到,當(dāng)1≤p≤2空間為各向同性時(shí)(即s1=s2=…=sd=s),則s(d)=s與各向同性空間中的結(jié)果一致[7]。

4 結(jié)束語(yǔ)

小波獨(dú)特的局部時(shí)頻分析功能能夠描述各向異性的Besov空間。小波方法被廣泛應(yīng)用于回歸函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題,針對(duì)強(qiáng)混條件下帶噪聲各向異性回歸估計(jì)模型,在各向異性Besov空間中構(gòu)造了線(xiàn)性小波估計(jì)器,討論估計(jì)器在Lp(1≤p<∞)風(fēng)險(xiǎn)意義下的相合性,為各向異性Besov空間研究回歸函數(shù)的估計(jì)提供了理論指導(dǎo)。