王 琪,傅 霞,高汝林

(陜西工業(yè)職業(yè)技術學院,陜西 咸陽 712000)

經(jīng)典的SIR、SIS傳染病模型通常根據(jù)康復類人群分為不同研究方向[1-2],而文獻[3]基于實際情形中疫苗具有接種效率,在傳統(tǒng)SIS模型三類人群基礎上考慮加入一類暫時免疫的接種者倉室V。學者對這類模型進行研究發(fā)現(xiàn),當考慮疫苗接種效率時,模型可能發(fā)生后向分支[4-7]。本研究主要基于乙型肝炎病毒傳播機制在文獻[8]的基礎上研究易感者、接種者新生兒及未發(fā)生垂直傳播新生兒的預防接種及存在一定疫苗接種效率時對乙肝病毒傳播的影響。模型考慮引入文獻[9]定義的飽和治療函數(shù),該函數(shù)與醫(yī)療資源人均病床數(shù)有關:

其中,μ0,μ1分別為最小和最大的疾病恢復率,此時疾病會發(fā)生各類分支,可有效調(diào)節(jié)醫(yī)療資源數(shù)量,控制疾病流行。

基于乙肝病毒傳播機制建立一類考慮新生兒的預防接種、接種效率及人均病床數(shù)量的SIVS傳染病模型,在文獻[8]的基礎上對加入未垂直傳播新生兒預防接種因素的乙肝傳染病模型進行研究。

1 模型建立

若某一地區(qū)共具有三類人群倉室,即易感者、染病者及接種者倉室,作出如下假設:

①該地區(qū)不發(fā)生人口遷入、遷出及因病死亡。②該傳染病的發(fā)生采用雙線性發(fā)生率。③該地區(qū)人口的出生率相等自然死亡率。

由于該地區(qū)總?cè)丝诤愣?設S(t)、I(t)、V(t)分別表示在t時刻該地區(qū)易感者、染病者及接種者占總?cè)丝诘谋壤Ｓ捎谝腋稳静「怕逝c年齡結構有關,將疫苗接種分為對易感者、接種者、未發(fā)生垂直傳播新生兒的疫苗接種及對易感者的接種,相應接種比例分別表示為m、m′。由于疫苗接種具有一定效率,接種后的人群與染病者接觸后仍可能染病,將疫苗接種效率記為σ,σ∈(0,1),當σ=0時,疫苗接種完全有效,當σ=1時,疫苗接種完全失效。將疾病垂直傳播率記為q,染病者與易感者及接種者的有效接觸率記為β,該地區(qū)人口的出生率及死亡率分別記為b、d,則b=d。μ為治療函數(shù),與人均病床數(shù)量δ有關。θ表示疫苗接種的失效比例。

傳播流程機制如圖1。

圖1 傳染病傳播機制Fig.1 Infectious disease transmission mechanism

根據(jù)乙肝病毒傳播過程,建立如下模型:

(1)

由于S=1-I-V,對上述模型(1)進行降維,得到模型(2):

(2)

2 主要結果

2.1 基本再生數(shù)

現(xiàn)將根據(jù)第二代生成矩陣法計算基本再生數(shù)R0,則:

通過矩陣F,V在無病平衡點E0處的Jacobi矩陣,計算得出疾病的基本再生數(shù)表達式:

(3)

由于上述模型中各參數(shù)均取值(0,1),則有b>(1-σ)mb,則R0>0一定成立。

2.2 平衡點的存在性

根據(jù)無病平衡點計算結果,無病平衡點E0始終存在。對于地方病平衡點的存在性展開討論:

H(I)=β2σI3+h1I2+h2I+h3=0

(4)

其中:

h1=β[m′+θ+b+(σ-1)(mb+m′)+(σ-1)(1-q)mb]+βσ[μ0+(1-q)b]+β2σ(δ-1)

h2=β(1-σ)(1-δ)(mb+m′)-β(1-δ)(m′+θ+b)-β2σδ+[μ0+(1-q)b](m′+θ+b)+βσδμ1+β(1-q)bδ[m+σ(1-m)]

h3=δ(m′+θ+b)[μ1+(1-q)b](1-R0)

由于上述三次方程求根過程較為復雜,利用幾何法探究地方病平衡點的存在性。

學術論文摘要是一種獨立的語篇，用詞規(guī)范，描述客觀，使用語法和詞匯銜接手段構成連貫的語篇。但由于英漢民族的思維方式的不同，由此導致了兩種語言在摘要語篇銜接使用上的差異。英文摘要多用顯性連接，使用照應和連接銜接方式；而中文摘要多用名詞隱性連接，利用重復來表示照應關系。翻譯時，需先分析句子的功能意義，才能確定句子的結構形式。

證明:由于V關于I的函數(shù)滿足V1(I)=V2(I),其中:

探究V1(I)與V2(I)的單調(diào)性及凹凸性。

由上述判斷可知,V1(I)在[0,1]上單調(diào)遞減且為凹函數(shù),V2(I)是在[0,1]的凸函數(shù)。又由于:

則V1(0)>V2(0)?R0<1;V1(0)=V2(0)?R0=1;V1(0)1。

綜上,得到地方病平衡點存在3種情形:

情形①:若R0>1,且V1(0)0,V2(1)<0成立,則V1(I)與V1(I)在[0,1]內(nèi)有且僅有一個交點[如圖2(a)]。

圖2 V1(I)和V2(I)的函數(shù)關系Fig.2 Functional relationship of V1(I)和V2(I)

成立時,V1(I)與V2(I)在[0,1]內(nèi)有且僅有一個交點,否則不存在交點[如圖2(b)]。

2.3 平衡點穩(wěn)定性

定理2:模型(2)無病平衡點穩(wěn)定性結論如下:

當R0<1時,模型(2)的無病平衡點E0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定;當R0>1時,E0不穩(wěn)定;當R0=1時,E0為鞍結點,其中當C>0時,E0為右鞍左結點,當C<0時,E0為左鞍右結點。

證明:模型(2)的Jacobi矩陣為:

則在E0點處的Jacobi矩陣為:

若R0-1<0,即R0<1時,J(E0)存在兩個負實部特征根,此時E0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定;若R0-1>0,即R0>1時,J(E0)存在兩個異號特征根,此時E0為鞍點不穩(wěn)定。若R0-1=0,J(E0)分別存在一個零實部和負實部特征根,屬于臨界情形下無病平衡點穩(wěn)定性分析。現(xiàn)根據(jù)Liapunov-Schmidt更替法,按照文獻[10]思路展開分析。

(5)

2)利用二元函數(shù)麥克勞林展式將方程右端函數(shù)展開,得到模型(6):

(6)

3)令模型(6)右端函數(shù)為0,當|x|?1時,可通過待定系數(shù)得到V′關于I′的函數(shù)。令V′(I′)=a1I′+a2I′2+O(I′3),則:

得到:

則V′與I′的關系可表示為:

代回模型(6)第一式中,得到一個一維系統(tǒng):

+O(I′3)

它的一個普適開折拓撲等價于:

根據(jù)其軌線的拓撲分類,在R0=1時,無病平衡點E0為鞍結點。

令:

具體地,當C>0時,E0為右鞍左結點;當C<0時,E0為左鞍右結點。

2)若R0<1,在定理2[3)]條件下模型存在兩個地方病平衡點,其中E1=(I1,V1)為鞍點始終不穩(wěn)定,E2=(I2,V2)是非鞍點,在D>0時局部漸近穩(wěn)定。

該矩陣特征方程為:

其中:

2.4 后向分支

根據(jù)文獻[11]中定理計算A,B,將模型(6)線性部分構成的矩陣記為Y,設其在零特征根處的非負左、右特征向量分別為υ,ω。

其中:

得到相應的左右特征向量分別為:

其余分量的二階求導均為0。則:

在R0=1時,若A>0,B>0,系統(tǒng)會出現(xiàn)后向分支。由于B>0恒成立,只需尋找A>0條件。即:

則有:

β(1-σ)δ(mbq+m′)(m′+θ+b)+β2σ(1-σ)δ(mb+m′)-βδ(m′+θ+b)2>(μ0-μ1)(m′+θ+b)2

(7)

由式(7)看出,若滿足:

(1-σ)(m′+θ+b)(mbq+m′)+βσ(1-σ)(mb+m′)>(m′+θ+b)2

β(m′+θ+b)2-β(1-σ)(mbq+m′)(m′+θ

即:

3 數(shù)值模擬

3.1 平衡點存在性及穩(wěn)定性數(shù)值模擬結果

圖3 模型在δ=0.1恒定時軌跡Fig.3 Constant trajectories of the model at δ=0.1

固定參數(shù)μ0=0.1,μ1=0.6,θ=0.1,m′=0.4,m=0.6,σ=0.2,b=0.06,q=0.06,保持β=0.7恒定,繪制δ不同取值時模型(2)軌跡。取δ=0.05,模型具有一個局部穩(wěn)定的無病平衡點E0,見圖4(a);取δ=0.002,模型具有一個鞍點E1、一個穩(wěn)定結點E2及一個穩(wěn)定的無病平衡點E0,見圖4(b)。

圖4 模型在β=0.7恒定時軌跡Fig.4 Constant trajectories of the model at β=0.7

3.2 后向分支數(shù)值模擬結果

固定參數(shù)σ=0.65,m′=0.4,θ=0.7,m=0.6,b=0.2,q=0.2,μ0=0.2,μ1=0.6。取β=1.2,δ=0.3,模型(2)產(chǎn)生后向分支,見圖5(a),當R0<1時,模型同時具有局部穩(wěn)定的無病平衡點和兩個地方病平衡點,其中不穩(wěn)定的鞍點會隨R0的增大而逐漸消無,穩(wěn)定的平衡點始終存在。取β=0.3,δ=0.3,模型產(chǎn)生前向分支,見圖5(b),當R0<1時,只存在一個穩(wěn)定的無病平衡點,R0>1時,存在唯一穩(wěn)定的地方病平衡點。

圖5 模型后向分支和前向分支Fig.5 Models backward and forward branch

4 結論

基于文獻[8]建立的模型,本研究基于乙型肝炎傳染病傳播機制考慮加入對未垂直傳播新生兒進行預防接種因素,在具有一定疫苗接種效率的實際情況下建立了一類對兩類新生兒接種、易感者接種及人均病床數(shù)的SIVS乙肝傳染病模型。通過分析模型得到了對乙肝傳染病防治工作有效的理論指導,包括以下結論:

當R0>1時,染病者比例隨時間變化逐漸保持穩(wěn)定;當R0<1且人均病床數(shù)大于某一定值時,染病者比例隨時間變化逐漸消亡。

通過比較文獻[8]與本模型后向分支產(chǎn)生條件:

文獻[8]中發(fā)生后向分支的范圍為:

本模型發(fā)生后向分支的范圍為:

通過盡可能減少染病者與易感者、接種者之間的有效接觸,合理增加醫(yī)療資源,可以避免模型發(fā)生后向分支,達到有效防治疾病的效果。提高對易感者與接種者新生兒及對未發(fā)生垂直傳播新生兒的疫苗接種比例及持續(xù)研究疫苗增加接種效率可有效控制乙肝流行。