代學(xué)武 賈志安 崔東亮 柴天佑

工業(yè)系統(tǒng)通常是任務(wù)關(guān)鍵型時間敏感系統(tǒng),隨著工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,如智能電網(wǎng)、車聯(lián)網(wǎng)、機(jī)器人/無人機(jī)群協(xié)同、分布式工業(yè)控制系統(tǒng)等都需要時間敏感網(wǎng)絡(luò)的支撐.時間同步作為時間敏感網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵技術(shù)之一,對目標(biāo)跟蹤定位、協(xié)同控制、數(shù)據(jù)融合、介質(zhì)訪問控制等起著關(guān)鍵作用.通常的嵌入式物聯(lián)網(wǎng)節(jié)點(diǎn)是以石英晶體振蕩器作為時鐘源,典型石英晶體振蕩器的精度通常在幾十 p pm (Part per million)至 1 00 ppm 左右[1],且由于制造誤差、溫度、壓力、加速度等環(huán)境變化而普遍存在頻率漂移,造成時鐘精度降低[2].因此通常采用時間同步算法,對漂移時鐘進(jìn)行調(diào)控,使得各個漂移時鐘的時間值達(dá)到較高精度的一致性,以滿足應(yīng)用需求.

現(xiàn)有時間同步協(xié)議主要采用帶時間戳的包交換方式來獲取節(jié)點(diǎn)間的時間差值,并基于該時間差對漂移時鐘的相位(即時間值)或者頻率進(jìn)行調(diào)整,以減少時間差值,達(dá)到同步.常見的時間同步算法有,基于單向包交換的“接收者-接收者”同步,如參考廣播同步協(xié)議 (Reference broadcast synchronization,RBS)[3]等,雖然可避免雙向包交換中普遍存在的傳輸延遲不對稱性問題,但是面臨著只能在同級節(jié)點(diǎn)之間同步,不適用于大規(guī)模網(wǎng)絡(luò).為克服擴(kuò)展性差的不足,目前大多數(shù)時間同步協(xié)議采用的是雙向包交換,如IEEE1588 協(xié)議[4]等.

從控制論的角度來看,時間同步的本質(zhì)是一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)和反饋控制問題,即利用時間戳包交換獲取到包含了測量噪聲的時間差測量值,估計(jì)出時間差的準(zhǔn)確值,然后對漂移時鐘的相位或者頻率進(jìn)行調(diào)整.在狀態(tài)估計(jì)方面,采用較多的是線性擬合對時間差進(jìn)行估計(jì)如泛洪時間同步 (Flooding time synchronization protocol,FTSP)[5]、多參考節(jié)點(diǎn)時間同步方法[6],以及Wang 等[7]提出的基于卡爾曼濾波的時鐘頻率漂移的估計(jì)方法,Yang等[8]提出的貝葉斯估計(jì)的時間同步算法等.在時鐘調(diào)控方面,傳統(tǒng)的時間同步算法如FTSP,RBS 等是一種控制增益為1 的比例控制,直接將測量或者估計(jì)得到的時間誤差調(diào)整本地時鐘.新近的研究如Carli 等[9]提出的通過比例積分控制器調(diào)節(jié)時鐘相位和時鐘頻率,其中主要通過積分作用抑制時鐘噪聲和延時抖動的影響.然而其面對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)收斂速度較為緩慢,為了更快收斂,Yildirim[10]提出了一種自適應(yīng)時鐘同步方法,根據(jù)時鐘偏差的大小動態(tài)調(diào)整控制器參數(shù),能更快達(dá)到同步,但其還是局限于比例積分控制器的調(diào)整策略,泛化性有待提高.而后提出的PISync 時間同步算法[11],在自適應(yīng)比例積分控制器的基礎(chǔ)上,結(jié)合泛洪的分布式協(xié)議改善了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和可擴(kuò)展性,使得時間同步算法適用于更加復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).

目前時間同步的研究主要是考慮時鐘相位噪聲以及通信延遲、計(jì)算機(jī)處理延遲等造成的隨機(jī)誤差,取得了較好的效果.但對于工業(yè)環(huán)境中由于往復(fù)運(yùn)動、振動等造成晶振信號中出現(xiàn)特定頻率周期性擾動[12],導(dǎo)致時間同步精度變差的研究還沒有.如旋轉(zhuǎn)機(jī)械、周期性振動、飛行器在飛行過程中機(jī)身出現(xiàn)低頻振動[13],都是一些有限帶寬特定頻率的擾動信號,限制了時間同步精度.因此需要對于特定頻率的擾動進(jìn)行有針對性的處理,實(shí)現(xiàn)高精度的時間同步.

控制理論的研究中,對于特定擾動的處理目前有內(nèi)模抗擾控制(逆模型)[14]、自適應(yīng)評判方法[15]、基于擾動觀測器(Disturbance observer,DOB)[16-17]的抗擾控制等,通常需要預(yù)先知道擾動的動力學(xué)模型,構(gòu)建擾動的狀態(tài)空間模型,并將擾動作為擴(kuò)展的狀態(tài),構(gòu)建增廣的龍伯格觀測器,實(shí)現(xiàn)對擾動的估計(jì),進(jìn)而予以相應(yīng)的反饋補(bǔ)償,消除擾動的影響.針對模型未知的擾動,主要有自抗擾控制 (Active disturbance rejection control,ADRC)[18-19],采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(Extended state observer,ESO)實(shí)現(xiàn)對未知擾動的估計(jì).Gao[20]采用極點(diǎn)配置的思想將ADRC 參數(shù)與頻率聯(lián)系起來,實(shí)現(xiàn)了更為簡化的參數(shù)整定方法.但是值得指出的是這些方法主要通過極點(diǎn)優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)抗擾性能的提高.Dai 等[21]針對故障檢測中的特定頻率擾動,提出了一種擴(kuò)展PI 觀測器和相應(yīng)的零極點(diǎn)聯(lián)合優(yōu)化方法,利用傳遞函數(shù)矩陣(Transfer function matrix,TFM)的傳輸零點(diǎn),使得傳遞函數(shù)矩陣降秩,對于特定頻率的擾動取得了更好的抑制效果.

本文針對時間同步中特定頻率擾動的抗擾控制問題,基于零點(diǎn)配置的思想,提出了一種新的擴(kuò)展PI抗擾補(bǔ)償器結(jié)構(gòu),采用零極點(diǎn)聯(lián)合優(yōu)化方法,且不依賴于擾動的精確模型,實(shí)現(xiàn)對本地漂移時鐘的反饋補(bǔ)償控制,提高了周期性擾動下時間同步系統(tǒng)的精度和抗擾性,滿足時間敏感工業(yè)應(yīng)用的需要.本文的主要創(chuàng)新點(diǎn)如下:

1 ) 提出了一種新的基于擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的高精度時間同步系統(tǒng)框架,將擴(kuò)展PI 觀測器和二自由度內(nèi)膜控制的原理相結(jié)合.區(qū)別于內(nèi)膜控制[14]、DOB[16],本文提出的方法不依賴于擾動的具體模型,且較Dai 等[21]提出的擴(kuò)展PI 觀測器而言,原理性區(qū)別在于本文的動態(tài)反饋回路是作用于實(shí)際的被控對象,而不是作用于被控對象的模型,這也是和傳統(tǒng)觀測器的根本區(qū)別.

2 )控制器和補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)采用了二自由度控制的思想,更好地兼顧了抗擾性和控制精度.內(nèi)環(huán)為抗擾補(bǔ)償作用,主要通過所設(shè)計(jì)的抗擾補(bǔ)償器,有效地減少了外部環(huán)境變化引發(fā)周期性擾動的影響,使得帶補(bǔ)償器的有擾時鐘能逼近于理想時鐘,從而提高了時間同步系統(tǒng)的抗擾性和魯棒性.外環(huán)為相位跟蹤作用,主要通過所設(shè)計(jì)的控制器消除時間同步系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差,提高同步精度.在內(nèi)外環(huán)共同作用下,能同時兼顧并維持較好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差.

3 )本文擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的反饋回路設(shè)計(jì)采用零極點(diǎn)優(yōu)化的思想,使得含有該補(bǔ)償回路的帶擾動被控系統(tǒng)逐步逼近于理想無擾動系統(tǒng),從而實(shí)現(xiàn)了對特定頻率擾動的補(bǔ)償和抑制.并采用零點(diǎn)配置方法,利用多變量系統(tǒng)的零點(diǎn),更好地抑制了特定頻率的擾動,并更好地實(shí)現(xiàn)了周期性擾動下的抗擾控制.

本文結(jié)構(gòu)如下: 第1 節(jié)構(gòu)建了工業(yè)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中的節(jié)點(diǎn)時鐘模型;第2 節(jié)提出了帶抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng)框架;第3 節(jié)和第4 節(jié)分別介紹了擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器和控制器的穩(wěn)定性證明及參數(shù)優(yōu)化方法;最后通過與傳統(tǒng)濾波器和擾動觀測器對比,驗(yàn)證了擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的良好的抗擾補(bǔ)償作用.

1 問題描述

現(xiàn)有大多數(shù)通信網(wǎng)絡(luò)是基于包交換的數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò).基于包交換的時鐘同步問題,是多個節(jié)點(diǎn)之間通過帶時間信息的包交換,獲取各個時鐘之間的時間偏差,進(jìn)而對本地時鐘的相位和頻率進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整,以實(shí)現(xiàn)所有節(jié)點(diǎn)的時鐘具有相同的時間值.

1.1 時鐘模型

工業(yè)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中,本地時間信息通常是由本地的以某個特定頻率運(yùn)行的晶體振蕩器提供.精準(zhǔn)時鐘是指晶體振蕩器頻率偏差始終為零的理想時鐘;晶振頻率受晶體自身因素以及外界環(huán)境影響而存在偏差和相位噪聲的時鐘,則為實(shí)際有偏時鐘.

設(shè)時鐘的時鐘值和時鐘速率分別用變量c和γ來表示,采樣間隔為h,則在第k個采樣時刻tk=kh,時鐘的時間值可以表達(dá)為

其中,ωc(k) 是時鐘的相位噪聲,γ(k)h為時鐘經(jīng)過采樣間隔h后的時間值的增量.值得指出的是,對于理想時鐘的速率γ(k)≡1,而實(shí)際工業(yè)網(wǎng)絡(luò)嵌入式系統(tǒng)中廣泛采用的晶體振蕩器時鐘,由于制造容差、環(huán)境溫度、機(jī)械振動以及器件老化等原因,其頻率會發(fā)生漂移,因此對于實(shí)際時鐘有γ(k)1,時鐘速率在1 左右漂移.定義時鐘頻率偏斜χ(k)=γ(k)-1,用于表征實(shí)際時鐘速率相對于理想標(biāo)稱時鐘速率的偏移,單位為 p pm.

值得指出的是,時鐘速率γ變化存在一定的隨機(jī)性,如經(jīng)典的Brownian 隨機(jī)運(yùn)動模型[22],同時,工作環(huán)境,如溫度、供電、機(jī)械振動等變化時,晶振頻率也會隨之發(fā)生波動.如晶振受到外力(外界加速度)作用時,會發(fā)生形變,造成頻率偏斜,相當(dāng)于產(chǎn)生了頻率調(diào)制,頻率的變化和加速度成比例關(guān)系[23].周期性的加速度會導(dǎo)致頻率周期性波動,所形成的頻率擾動可以用一個具有特定頻率特征的周期性擾動信號來描述.因此,時鐘速率γ(k) 可建模為

其中,γ0為一個恒定的或者緩慢變化頻率偏差,如常見的無線傳感網(wǎng)節(jié)點(diǎn)平臺Atmel SMART SAM R21,γ0-1 通常在±20 ppm～±50 ppm[1],f(k) 用于表征加速度等環(huán)境變化導(dǎo)致的周期性擾動,可以用一組正弦信號來描述f(k)=∑aisin(ωik),振幅ai和頻率ωi由晶振本身特性和外界加速度擾動等決定[23].ξ(k) 描述熱噪聲的隨機(jī)擾動,通?？捎靡粋€Brownian 隨機(jī)運(yùn)動過程描述[23].

不失一般性,時鐘速率的動態(tài)特性可以用差分方程描述,寫作γ(k+1)=γ(k)+ωγ(k),其中ωγ(k)為時鐘速率噪聲,由擾動f(k) 和噪聲ξ(k) 決定,可定義為

其 中,f′(k)=f(k+1)-f(k) 為周期性信號f(k)的差分形式,對應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)的微分形式,因此,f′(k)同樣可以由一個周期性信號來描述.同理,ξ′(k)可以由一個高斯過程來描述.

引入時鐘狀態(tài)變量x(k)=[c(k)γ(k)]T,定義時鐘擾動信號d(k)=[ωc(k)ωγ(k)]T,則一個無調(diào)控的自由時鐘,其狀態(tài)空間模型可以寫為

1.2 基于時間戳的觀測方程

在實(shí)際工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)硬件系統(tǒng)中,本地時間是通過讀取本地時鐘的寄存器值,獲取時鐘的狀態(tài)值c(k),稱作時間戳.在讀取寄存器獲取時間戳的過程中,不可避免地存在某些操作延遲,如總線占用、函數(shù)調(diào)用、操作系統(tǒng)任務(wù)調(diào)度等,造成所獲得的時間戳與實(shí)際值有偏差.因此,第k次本地時鐘值進(jìn)行觀測時,記有誤差的時間戳為y(k),時鐘觀測過程可以描述為

其中,η(k) 是時間戳獲取過程中隨機(jī)延遲等導(dǎo)致的觀測偏差,通常情況下可用一個高斯過程來描述[1].

綜合式(3)和式(4),并取C=[1 0],則時間同步的本地時鐘模型可以用狀態(tài)方程描述為

值得指出的是,式(5)描述的是自由時鐘,即時鐘按照自身有偏差的頻率進(jìn)行更新,與標(biāo)準(zhǔn)時間的偏差通常會不斷變大,因此要實(shí)現(xiàn)時間同步,則需要設(shè)計(jì)負(fù)反饋控制器對本地的有偏差時鐘進(jìn)行調(diào)控,以使其維持在較小的時間同步誤差范圍內(nèi).時間同步控制器的作用是通過控制輸入量進(jìn)而調(diào)整時鐘的頻率或相位,設(shè)u(k) 為第k時刻的控制輸入量,則受控時鐘模型可以描述為

實(shí)際工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)嵌入式系統(tǒng)中難以直接調(diào)整晶體振蕩頻率,常見的控制策略是相位調(diào)整,取B=[1 0]T.控制輸入u(k) 的取值主要是根據(jù)本地時間測量值y(k) 與參考時鐘的測量值的差值來確定,本文提出的PI 控制器的設(shè)計(jì)將在第2 節(jié)詳細(xì)介紹.

1.3 基于包交換協(xié)議的同步誤差獲取

時間同步的核心技術(shù)之一是如何獲取本地時鐘與參考時鐘的時間差.在工業(yè)網(wǎng)絡(luò)分布式系統(tǒng)中,參考時鐘與本地時鐘分布于不同節(jié)點(diǎn),需要通過特定的網(wǎng)絡(luò)通信協(xié)議來獲取參考時鐘的信息.由于現(xiàn)有大多數(shù)通信網(wǎng)絡(luò)是基于包交換的數(shù)字通信網(wǎng)絡(luò),本節(jié)主要討論工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中如何通過包交換協(xié)議獲取時鐘偏差.在第k時刻,漂移時鐘i和參考時鐘之間的同步誤差的真值,即時間偏差(k),定義為

其中,ci(k) 和c0(k) 分別表示第k時刻漂移時鐘i的值和主參考時鐘的時間值.結(jié)合式(6)和式(7),第i個受控時鐘的偏差模型可以表達(dá)為

其中,(k)表示第i個時鐘節(jié)點(diǎn)在第k時刻與主節(jié)點(diǎn)的時鐘相位偏差,ui(k)為第i個時鐘節(jié)點(diǎn)在k時刻相位補(bǔ)償量,χi(k)h表示第i個時鐘節(jié)點(diǎn)在k時刻由于自身時鐘頻率偏斜帶來的擾動,ωci(k) 為第i個時鐘的相位噪聲.

工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)中的時間同步協(xié)議通常以雙向包交換為主,如 IEEE 1588 PTP (Precision time protocol)協(xié)議.不失一般性,本文以 PTP 機(jī)制為例,通過交換帶有時間戳的同步包完成點(diǎn)對點(diǎn)時鐘偏差θ(k)的獲取.

如圖1 所示,通過包交換過程[24],最終得到其時鐘偏差值θi(k) 為

圖1 時間戳包交換獲取時鐘偏差示意圖Fig.1 Time offset measurement by time-stamped packet switching

由于存在時間戳的不確定性,時間戳t1,t2,t3和t4中包含有觀測噪聲η(k),更重要的是包交換通信中普遍存在的傳輸延遲抖動導(dǎo)致雙向包交換不對稱,由 PTP 等時間同步協(xié)議獲得的θ(k) 是一個真值θ*(k) 帶偏差的觀測值,由此可得第i個時鐘的偏差觀測值為

其中,τi(k) 為第i個時鐘節(jié)點(diǎn)在k時刻包交換通信中雙向包交換不對稱、時間戳不確定性等帶來的擾動誤差.

由于這些誤差的影響,從而會導(dǎo)致同步精度的惡化.為進(jìn)一步提高系統(tǒng)精度,本文提出了帶抗擾補(bǔ)償?shù)臅r間同步系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案.

2 基于抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng)

對于一個點(diǎn)對點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的時間同步,最終目標(biāo)就是兩個時鐘的時間值ci(k) 和c0(k) 相等,亦即時鐘同步誤差 l imk→∞(k)=0.但由于漂移時鐘存在頻率偏斜、相位噪聲等,影響了時間同步的精度.為了進(jìn)一步提高時間同步系統(tǒng)的精度和抗擾性,滿足時間敏感工業(yè)應(yīng)用的需要,本文提出了擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器,主要用于減少擾動信號d(k) 對時間同步的影響,尤其是針對γ(k) 中的周期性擾動f(k) 設(shè)計(jì)了一種新型的擴(kuò)展PI 補(bǔ)償器,提出了零點(diǎn)配置的補(bǔ)償器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.針對γ(k) 中緩慢變化的擾動γ0和延時均值導(dǎo)致的相位測量擾動,采用了PI控制器消除穩(wěn)態(tài)誤差,并證明了帶補(bǔ)償器的PI 控制閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.

本文提出的帶抗擾補(bǔ)償?shù)臅r間同步的系統(tǒng)如圖2 所示,通過設(shè)計(jì)虛線框中的抗擾補(bǔ)償器,并選取合適的參數(shù),將殘差信號通過傳遞函數(shù)矩陣Q(z)疊加到被控時鐘模型的輸入上,以此實(shí)現(xiàn)對于被控時鐘中周期性擾動信號f(k) 的抑制作用;補(bǔ)償后的漂移時鐘可以近似看作一個無擾動的理想時鐘,然后基于理想時鐘模型設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對點(diǎn)的時間同步,并通過積分控制消除緩慢頻率漂移γ0、時間戳不確定性、包傳輸延時不對稱等形成的偏差.

圖2 基于抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng)框圖Fig.2 Block diagram of the time synchronization system with the disturbance compensator

所提出的抗擾時間同步系統(tǒng)可以看作是一個內(nèi)外環(huán)控制的雙閉環(huán)系統(tǒng).外環(huán)考慮主從兩個時鐘,通過第k次包交換過程得到從時鐘i和主時鐘的偏差θi(k),偏差信號作為外環(huán)控制器的輸入,通過控制器的作用輸出(k)調(diào)節(jié)時鐘的相位,以此達(dá)到主從時鐘的同步;內(nèi)環(huán)抗擾補(bǔ)償器則主要是對于時鐘模型中的擾動和噪聲進(jìn)行一定的補(bǔ)償作用,由兩部分構(gòu)成,包含一個無相位噪聲、無頻率偏斜和測量擾動的理想時鐘,用于描述在控制輸入(k)的作用下,一個無噪聲無擾動的理想時鐘的動態(tài)響應(yīng),可表達(dá)為

由于實(shí)際時鐘χi(0)0,與理想時鐘具有不同頻率偏斜,實(shí)際時鐘還存在噪聲和擾動的影響,在(k)的作用下,實(shí)際時鐘的輸出yi(k)與理想時鐘模型的輸出(k)并不一致.定義殘差信號ri(k)用來描述實(shí)際時鐘與理想時鐘的偏差.

內(nèi)環(huán)抗擾補(bǔ)償器的第二個部分是一個動態(tài)系統(tǒng),其動態(tài)響應(yīng)特性可以用一個離散域的傳遞函數(shù)矩陣 (Tranfer function matrix,TFM)Q(z) 來描述.動態(tài)系統(tǒng)Q(z) 以殘差信號ri(k) 作為輸入,生成一個補(bǔ)償信號(k),與原有的控制信號(k) 相加后,共同作用于有擾動的實(shí)際時鐘系統(tǒng).補(bǔ)償信號(k)的主要目的是抵消擾動d(k) 導(dǎo)致時鐘偏離理想時鐘的作用,使得在擾動不為零時,實(shí)際時鐘狀態(tài)xi(k) 與理想時鐘模型(k) 仍然保持一致,從而反向“補(bǔ)償”了擾動的作用.本文將Q(z) 稱作補(bǔ)償器反饋回路,與傳統(tǒng)的擾動觀測器不同,本文針對時鐘頻率偏斜中存在的擾動,提出了一種擴(kuò)展PI 補(bǔ)償回路和零極點(diǎn)聯(lián)合配置方法,可以在擾動的結(jié)構(gòu)不清楚的情況下,根據(jù)擾動頻率即可完成設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)對特定頻率擾動信號的補(bǔ)償消減作用,達(dá)到更高精度的時間同步.

值得指出的是,本文提出的如圖2 所示的抗擾時間同步系統(tǒng),屬于一種抗擾性能和跟蹤性能二自由度控制的思想[13],即內(nèi)環(huán)為抗擾補(bǔ)償作用,用于提高時間同步系統(tǒng)的魯棒性;外環(huán)為相位跟蹤作用,用于提供系統(tǒng)的時鐘相位同步性能.如后文所證明,在k→∞時,所提出的帶抗擾補(bǔ)償器的時鐘系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)收斂的,在穩(wěn)態(tài)下能很好地消除擾動的影響,其動態(tài)特性與無擾動理想時鐘模型一致.因此,在穩(wěn)態(tài)下,控制器和補(bǔ)償器可以分開獨(dú)立設(shè)計(jì),設(shè)計(jì)控制器時,將抗擾補(bǔ)償器補(bǔ)償后的時鐘系統(tǒng)作為一個擾動為零的理想時鐘系統(tǒng)即可.但是考慮系統(tǒng)的動態(tài)特性,抗擾補(bǔ)償器和控制器的參數(shù)會存在一定的約束關(guān)系,因此在設(shè)計(jì)控制器時,通過綜合考慮抗擾補(bǔ)償器的動態(tài)特性,對控制器參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),可以在保證穩(wěn)態(tài)下抗擾性能和追蹤性能的基礎(chǔ)上,提高整個時間同步系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性.

3 基于擴(kuò)展PI 的抗擾補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

基于前述抗擾補(bǔ)償器的時間同步方案,本文提出的采用擴(kuò)展PI 觀測器的新型抗擾補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)如圖3 所示.

圖3 擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure of the proposed extended PI disturbance compensators

對于某個帶擾動不精確的漂移時鐘i,所提出的擾動補(bǔ)償器的無擾動的理想時鐘模型如式(11)所示,反饋回路Q(z) 是具有積分環(huán)節(jié)的動態(tài)系統(tǒng).整個抗擾補(bǔ)償器可以視作一個(k)和yi(k)為輸入、vi(k)為輸出的動態(tài)系統(tǒng).設(shè)ri(k) 為理想時鐘模型的輸出值(k) 與實(shí)際時間戳測量值yi(k) 的殘差信號,表示為

反饋回路Q(z) 是由K1,K2,K3,K4參數(shù)矩陣所構(gòu)成的一個動態(tài)系統(tǒng),可表示為

其中,zi(k) 為抗擾補(bǔ)償器反饋回路的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)變量.該動態(tài)反饋回路是以殘差信號ri(k) 為輸入、以vi(k) 為輸出的動態(tài)系統(tǒng),vi(k) 通過一個Bc矩陣作為輸入信號,調(diào)節(jié)系統(tǒng)狀態(tài)值x(k),使得系統(tǒng)輸出值yi(k) 與理想輸出(k) 之間的殘差ri(k) 最小,系統(tǒng)輸出接近理想輸出.因?yàn)锽和v都為m×n的矩陣,且B為列滿秩,因此存在n×m的偽逆矩陣Bc使得BBc=Im×m.

在補(bǔ)償器輸出的補(bǔ)償量Bcvi(k) 的作用下,實(shí)際作用于有擾漂移時鐘上的控制輸入為(k)+Bcvi(k),因?yàn)锽Bc為單位陣,代入時鐘模型(6),可得增加擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器后的被控對象的狀態(tài)空間方程為

抗擾補(bǔ)償器反饋?zhàn)饔醚a(bǔ)償值vi(k) 主要是受待設(shè)計(jì)的擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的4 個反饋參數(shù)矩陣K1,K2,K3,K4決定,是影響擾動補(bǔ)償和同步精度的關(guān)鍵矩陣.下面重點(diǎn)討論所提出的擴(kuò)展PI 補(bǔ)償器的收斂性和參數(shù)矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.

3.1 抗擾補(bǔ)償器穩(wěn)定性分析

對時間同步系統(tǒng),本文提出的如式(13)和式(14)所示的擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器具有如下的穩(wěn)定性定理.

證明.令帶補(bǔ)償?shù)膶?shí)際時鐘與理想時鐘模型狀態(tài)誤差ei(k)=(k)-xi(k),將系統(tǒng)理想模型(11)和實(shí)際系統(tǒng)(14)代入定義式 (12) 中,可得

將式 (13) 和式 (15) 代入式 (14),可得

將式 (15) 代入式 (13),可得

由于ei(k)=(k)-xi(k),結(jié)合式 (16) 和理想模型 (11),可得

聯(lián)立式 (15),(17)和(18),由實(shí)際時鐘和擴(kuò)展PI 補(bǔ)償器構(gòu)成的整體系統(tǒng)可以用增廣狀態(tài)空間方程描述

不難看出,對于補(bǔ)償器狀態(tài)zi(k) 和估計(jì)誤差ei(k) 所構(gòu)成的閉環(huán)動態(tài)系統(tǒng) (19),當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根在單位圓內(nèi),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即無擾動di(k)=0 時 l imk→∞ei(k)=0.當(dāng)存在隨機(jī)噪聲時,即di(k)0,因?yàn)殡S機(jī)噪聲的數(shù)學(xué)期望為0 且相互獨(dú)立,故系統(tǒng)誤差ei(k) 在統(tǒng)計(jì)平均的意義下是收斂的,即

上述結(jié)論在不考慮噪聲和擾動時是正確的,當(dāng)僅考慮隨機(jī)噪聲在統(tǒng)計(jì)平均的意義下是一致的情況時,如果存在非零均值擾動,則理論上還不完善.

對于一個存在特定頻率擾動的工業(yè)網(wǎng)絡(luò)時間同步系統(tǒng),可以構(gòu)造一個擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器,該抗擾補(bǔ)償器的零點(diǎn)由開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和矩陣K1的特征值組成.即通過配置參數(shù)矩陣K1便可以配置相應(yīng)的零點(diǎn)到擾動信號的特征頻率附近,利用零極點(diǎn)對消的原理使傳遞函數(shù)矩陣降秩[21],從而衰減擾動信號的影響.

3.2 抗擾補(bǔ)償器零極點(diǎn)優(yōu)化設(shè)計(jì)

抗擾補(bǔ)償器的目的是為了使被控系統(tǒng)中即使存在擾動d時,其實(shí)際輸出y與期望的無擾動系統(tǒng)的輸出仍保持一致.即在d0 時,仍然具有y(t)=(t),也就是使得受擾系統(tǒng)的輸入-輸出的動力學(xué)特性符合理想的無擾動的動力學(xué)模型,從而使得針對無擾動模型所設(shè)計(jì)的控制器保持良好的跟蹤性能.因此,抗擾補(bǔ)償器優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是通過選擇合適的參數(shù)矩陣K1,K2,K3,K4,使得在d0 時,殘差信號ri(k) 最小.

針對上述優(yōu)化問題,結(jié)合時間同步中存在特定頻率的頻率擾動,本文提出了一種零點(diǎn)和極點(diǎn)聯(lián)合配置的方法,優(yōu)化系統(tǒng)性能,達(dá)到消除擾動的干擾,使得添加了補(bǔ)償器的動態(tài)系統(tǒng)(11),(13)和(14)盡可能接近無擾動系統(tǒng)的理想輸出.

對于如式 (19) 的系統(tǒng)方程,Gd1(z) 定義為擾動信號ηi(k) 到殘差輸出ri(k) 的傳遞函數(shù)矩陣

定義Gd2(z) 為擾動信號d(k) 到殘差輸出ri(k)的傳遞函數(shù)矩陣

考慮被控系統(tǒng)所有的擾動信號對殘差的影響,取擾動傳遞函數(shù)矩陣Gd(z)=Gd1(z)+Gd2(z).

1 ) 零點(diǎn)配置: 考慮測量擾動主要集中在有限頻率的周期信號,如果將零點(diǎn)配置在擾動頻率處,那么就可以有效地使得擾動信號進(jìn)行衰減,使得系統(tǒng)輸出更接近無擾動系統(tǒng)的理想輸出.對于采樣周期為T的離散系統(tǒng),如果存在一個干擾頻率為ωi的時鐘頻率干擾信號,則矩陣可以構(gòu)造為

不難求出,該矩陣的特征根為ρi=e±jωiT.如果時鐘系統(tǒng)中存在n個不同頻率的擾動信號,則K1可以構(gòu)造成一個 2n×2n的分塊矩陣

因此,矩陣K1的特征根是各分塊矩陣特征根的集合{ρi}.根據(jù)系統(tǒng)零點(diǎn)使得閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣(TFM)降秩的原理[21],通過上述設(shè)計(jì),將補(bǔ)償器閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)配置在擾動頻率{ωi}處,利用在{ωi}處由擾動信號到殘差信號的TFM 發(fā)生降秩,從而可以有效削弱擾動信號對殘差信號的影響,有助于更好地達(dá)到實(shí)際系統(tǒng)的輸出與無擾動系統(tǒng)的輸出一致的目標(biāo).

2 ) 極點(diǎn)配置: 在利用零點(diǎn)配置確定反饋矩陣K1后,下一步通過極點(diǎn)配置和函數(shù)優(yōu)化方法,選擇合適的K2,K3,K4取值,達(dá)到保證補(bǔ)償器系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并同時優(yōu)化系統(tǒng)性能的目的,即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根在單位圓內(nèi),并同時優(yōu)化參數(shù)選擇K2,K3,K4,使得擾動信號對殘差信號ri(k) 的影響最小化.

綜合考慮在系統(tǒng)穩(wěn)定和相應(yīng)參數(shù)矩陣關(guān)系約束的條件下,可以得到測量擾動頻率ωi信號對ri(k)的影響,并使得其對殘差ri(k) 的影響最小化,可以得到ri(k) 對于擾動信號的魯棒性目標(biāo)函數(shù)為

其中,mi為權(quán)重,其參數(shù)取值是通過頻譜分析得到的相應(yīng)頻率擾動的幅值大小來選擇.幅值越大,對應(yīng)的mi權(quán)重分量也越大,從而使得相應(yīng)頻率的擾動信號對輸出的影響越小.同時考慮約束條件使得系統(tǒng)穩(wěn)定,即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的特征根在單位圓內(nèi),=0 為K2,K3矩陣的參數(shù)約束,參數(shù)矩陣的具體參數(shù)約束設(shè)定詳見定理2 的時間同步控制器參數(shù)設(shè)計(jì).

4 時間同步控制器設(shè)計(jì)

由于點(diǎn)對點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)時間同步最終的控制目標(biāo)是時鐘偏差真值 l imk→∞(k)=0,且實(shí)際包交換獲取時鐘偏差的過程中會受到包交換通訊不對稱影響,從而帶來時鐘擾動偏差,因此要實(shí)現(xiàn)點(diǎn)對點(diǎn)時鐘同步必須要設(shè)計(jì)合理的控制器,起到相位調(diào)節(jié)作用,實(shí)現(xiàn)時鐘相位跟蹤效果,達(dá)到時鐘同步.

為更好地消除穩(wěn)態(tài)下由于包交換延時不對稱導(dǎo)致的穩(wěn)態(tài)誤差,本文選取PI 控制器作為同步系統(tǒng)的外環(huán)控制器,以提高系統(tǒng)的跟蹤性能.PI 控制器以包交換獲得的時鐘偏差θi(k) 作為輸入信號,其控制方程可以描述為

其中,ωi(k) 為PI 控制器的內(nèi)部狀態(tài)變量,體現(xiàn)積分控制器的作用.

考慮包交換過程的噪聲,則PI 控制器的方程可以改寫為

且由于ri(k)=-θi(k),為便于分析,將抗擾補(bǔ)償器反饋回路 (13) 中的ri(k) 替換為-θi(k),即

受控時鐘偏差模型(8)代入PI 控制器方程,得

定義狀態(tài)變量,得到狀態(tài)空間模型為

其中,zi(k) 為2 × 1 狀態(tài)變量;K2、K4為2 × 1矩陣;K1、K3為2 × 2 矩陣.

取狀態(tài)變量pi(k)=[θi(k)ωi(k)zi(k)]T,那么式(29)可以化簡為

為分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性,先給出引理1.

引理 1[2 5].若A,B,C,D是n×n矩陣,且CD=DC,則有分塊矩陣的行列式,可計(jì)算為

為了更好地說明抗擾補(bǔ)償器參數(shù)矩陣K1,K2,K3,K4的參數(shù)設(shè)定,特別地,對于單頻擾動即K1為2×2 的矩陣,定義

對于本文提出的帶擾動補(bǔ)償?shù)腜I 控制器,有充分條件如下.

定理 2.對于如圖3 所示帶PI 抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng),采用如式(22)和式(24)的零極點(diǎn)優(yōu)化的方法設(shè)計(jì)補(bǔ)償器增益,當(dāng)滿足以下兩個條件時

2 )控制器增益α和β的取值范圍為

則所設(shè)計(jì)的時間同步系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的.

證明.對于如式(30)所示的狀態(tài)空間方程,其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣G可以設(shè)定為分塊矩陣,即

展開式(32)并整理,可得特征多項(xiàng)式方程為

對于式(30)所示的系統(tǒng),其脈沖傳遞函數(shù)可以表達(dá)為

由終值定理可以求得

由此可得,其時鐘偏差最終可以收斂為0,且抗擾補(bǔ)償器和外部控制器的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)最終都可以穩(wěn)定到0.

定理2 中,K2,K3滿足=0,是穩(wěn)定性的一個充分條件,可以在設(shè)計(jì)抗擾補(bǔ)償器時予以考慮,詳細(xì)可參考第3.2 節(jié)抗擾補(bǔ)償器的極點(diǎn)配置(式(24)),以此實(shí)現(xiàn)基于抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng)設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析.

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的帶抗擾補(bǔ)償?shù)臅r間同步系統(tǒng)的性能,本節(jié)的實(shí)驗(yàn)基于硬件實(shí)驗(yàn)平臺獲取的晶振時鐘參數(shù),搭建仿真系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)證.所選硬件平臺為Atmel SMART SAM R21[1],根據(jù)硬件實(shí)測數(shù)據(jù),包交換過程存在過程延時約為500 μs,過程噪聲τ(k) 標(biāo)準(zhǔn)差為στ=0.29×10-6,設(shè)定初始相位偏差θ0=500 μs,初始時鐘偏斜γ0=20 ppm,并考慮相位噪聲ωc(k) 和測量噪聲η(k) 標(biāo)準(zhǔn)差為σc=ση=1×10-6.根據(jù)Schriegel 等[26]基于晶振振動實(shí)驗(yàn),在5 g 重力加速度下時鐘晶振的頻率漂移約為3 p pm,且考慮工業(yè)現(xiàn)場振動多為低頻振動,式(2b)中頻率漂移噪聲f′(k) 設(shè)定為f=0.1 Hz、幅值為3 ppm 的正弦周期信號,并考慮熱噪聲ξ′(k) 為σγ=0.29×10-6的隨機(jī)噪聲,因此,式 (2b) 可以表達(dá)為

其中,ω為σγ=0.29×10-6的白噪聲,T為采樣周期,本文中仿真設(shè)定同步周期T=1 s.

主時鐘考慮采用由衛(wèi)星信號為基準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)時鐘信號,即為理想時鐘,通過設(shè)定各個噪聲和擾動的值,對實(shí)際模型與主時鐘進(jìn)行對比,得到開環(huán)時鐘偏差信號,如圖4 所示為自由時鐘偏差θ的變化曲線.在不加控制作用的情況下,時鐘偏差逐漸變大,且自由時鐘頻率偏斜χ(k) 如圖5 所示為一個正弦趨勢變化的曲線.

圖4 自由時鐘偏差 θ 的變化曲線Fig.4 Clock offset θ of a free clock

圖5 自由時鐘頻率偏斜 χ (k) 的變化曲線Fig.5 A free drifting clock's frequency skew χ(k)

利用參考時鐘獲取自由時鐘偏差信號,并進(jìn)行快速傅里葉變換 (Fast Fourier transform,FFT),得到時鐘偏差信號的頻譜圖,如圖6 所示.從圖6中可以看出,其主頻是頻率f=0.1 Hz 的擾動信號且幅值約為 3.5×10-6,其他頻點(diǎn)的信號較小,主要是白噪聲的影響,與仿真設(shè)定噪聲信號相符.

圖6 時鐘偏差的FFTFig.6 FFT of the clock offsets

5.1 抗擾補(bǔ)償器參數(shù)設(shè)計(jì)

基于擴(kuò)展PI 的抗擾補(bǔ)償器的參數(shù)設(shè)計(jì)主要是對于4 個參數(shù)矩陣K1,K2,K3,K4的參數(shù)選擇,通過擾動頻率頻譜分析得到其主頻f=0.1 Hz,通過式 (22) 即可求出K1的值.求解出K1之后,通過式(24)在系統(tǒng)穩(wěn)定性和矩陣參數(shù)的約束條件下,求得最優(yōu)解K2,K3,K4.

本文中,對于特定頻率f=0.1 Hz 的擾動信號,ω=2πf,通過式 (22) 可知,存在K1為 2×2 的矩陣,使得K1矩陣的特征根為 e±0.2πj.

通過極點(diǎn)配置,配置K2,K3,K4矩陣的參數(shù)使得系統(tǒng)穩(wěn)定,最終求得擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的極點(diǎn),分別是 0.8458±0.5155j、0.6891±0.5874j,都在單位圓內(nèi),滿足系統(tǒng)穩(wěn)定條件.

為了對比性能,搭建兩個參考系統(tǒng).第1 個參考系統(tǒng)采用卡爾曼濾波替換本文提出的擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器,PI 控制器不變;第2 個參考系統(tǒng)僅包含PI 控制器,擾動補(bǔ)償器部分采用傳統(tǒng)擾動觀測器-比例積分?jǐn)_動觀測器,值得指出的是,其為擴(kuò)展PI抗擾補(bǔ)償器的一種特例,即當(dāng)式(13) 中K1=K3=I為單位陣時,擾動補(bǔ)償器部分即為比例積分?jǐn)_動觀測器.

5.2 同步精度對比

同步誤差的收斂曲線如圖7 所示.從圖7 中可以看出,傳統(tǒng)擾動觀測器的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間明顯大于擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器和卡爾曼濾波的結(jié)果.而添加卡爾曼濾波和擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間等動態(tài)參數(shù)都比較接近,因此從時間同步系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤特性來看,擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器和卡爾曼濾波可以使得系統(tǒng)以較小的超調(diào)量更快地達(dá)到收斂.

圖7 不同同步方法下的時鐘偏差 θ 收斂曲線Fig.7 Convergence of clock offset θ of different synchronization methods

穩(wěn)態(tài)下的時間同步誤差如圖8 所示,工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)要求的高精度時間同步通常是指系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在要求的精度范圍內(nèi),即考慮的是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo).圖8 所示的是3 種時間同步方案下,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定后,穩(wěn)態(tài)誤差波動范圍.

圖8 穩(wěn)態(tài)同步誤差的對比圖Fig.8 Comparison of the steady-state synchronization errors

從圖8 中可以看出,傳統(tǒng)擾動觀測器和添加卡爾曼濾波后的時鐘偏差都是正弦波形式振蕩,其主要是由于特定頻率的擾動信號并沒有被濾除,其中傳統(tǒng)擾動觀測器相比于卡爾曼濾波周期性擾動信號表現(xiàn)不很明顯的原因是卡爾曼濾波器對于白噪聲的抑制作用較為明顯,凸顯出較為規(guī)律的正弦擾動信號.而擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的時鐘偏差波動曲線明顯可以看出主要是隨機(jī)擾動造成,周期性擾動的影響已經(jīng)基本被消除,且其時間同步精度可以達(dá)到4 μs以內(nèi),相比于傳統(tǒng)方法精度提高了兩倍.

5.3 同步誤差頻譜分析

為了更好地說明本文所提時間同步方法對于特定頻譜擾動的抑制作用,我們對時鐘同步誤差θ進(jìn)行FFT,得到時鐘同步誤差θ幅頻特性對比圖,如圖9 所示.

圖9 不同同步方法下的同步誤差 θ 幅頻特性對比圖Fig.9 Specturm comparison of the synchronization error θ in different synchronization methods

從圖9 所示的同步誤差的頻譜分析可以看出,傳統(tǒng)擾動觀測器和卡爾曼濾波后f=0.1 Hz 處的擾動仍然是主頻,說明其對特定頻率的信號并沒有明顯的衰減作用,只是對所有噪聲有一定的衰減作用.且從圖9 中可以看出,卡爾曼濾波對于白噪聲的抑制效果更好,因此圖8 中卡爾曼濾波的穩(wěn)態(tài)同步誤差表現(xiàn)出較為規(guī)律的正弦擾動信號.而針對本文考慮的低頻噪聲,傳統(tǒng)擾動觀測器和卡爾曼濾波的效果不是很理想.通過擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器輸出的時鐘偏差幅頻圖可以看出,其對于特定頻率的擾動具有很好的抑制作用,這也進(jìn)一步說明了圖8 中擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器穩(wěn)態(tài)誤差較小的原因.

綜上分析,擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器相比于卡爾曼濾波器和傳統(tǒng)擾動觀測器具有更好的抗干擾特性,特別是對于特定頻率的周期信號,可以達(dá)到很好的抑制效果.由此也進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出的擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器具有良好的擾動抑制特性.

6 結(jié)束語

考慮點(diǎn)對點(diǎn)時鐘同步系統(tǒng)存在周期性的頻率漂移、測量擾動和包交換隨機(jī)延遲等情況,本文構(gòu)建了一種帶擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的時間同步系統(tǒng),通過零極點(diǎn)優(yōu)化配置實(shí)現(xiàn)對特定頻率的擾動信號的抑制作用,克服了傳統(tǒng)擾動觀測器的零點(diǎn)固定的局限性,并給出了外部控制器的參數(shù)取值范圍.實(shí)驗(yàn)仿真采用點(diǎn)對點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行分析,通過與傳統(tǒng)擾動觀測器和卡爾曼濾波等傳統(tǒng)方法的補(bǔ)償效果對比,凸顯了擴(kuò)展PI 抗擾補(bǔ)償器的優(yōu)越性,且本文提出的方案驗(yàn)證了最終達(dá)到時鐘同步精度為4 μs,實(shí)現(xiàn)了高精度時間同步.