李海洲，謝麗軍，周夢(mèng)潔，柏明劍，朱潤平，龐 偉

（1.東莞穩(wěn)控自動(dòng)化技術(shù)有限公司，廣東東莞 523000；2.中國航空工業(yè)集團(tuán)成都飛機(jī)設(shè)計(jì)研究所，成都 610041；3.東莞理工學(xué)院，廣東東莞 523808；4.東莞市東莞理工科技創(chuàng)新研究院，廣東東莞 523808）

0 引言

當(dāng)前，我國現(xiàn)代機(jī)械制造業(yè)正朝著高精度、高速度、高效率的方向發(fā)展[1]。數(shù)控機(jī)床作為工業(yè)母機(jī)，其加工精度決定著工業(yè)制造水平的高低[2]。進(jìn)給系統(tǒng)是數(shù)控機(jī)床的關(guān)鍵部件，該部件的性能對(duì)數(shù)控機(jī)床的精度影響很大[3]。因此，分析機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對(duì)于提高機(jī)床的加工速度和加工精度具有非常重要的意義[4]。

進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性受可動(dòng)結(jié)合面、結(jié)構(gòu)剛性變形、控制系統(tǒng)的響應(yīng)性能等多因素影響，以上影響因素具有強(qiáng)耦合特點(diǎn)[5]，這對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性的精確建模提出了巨大的挑戰(zhàn)。

進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性仿真分析研究方法主要有基于機(jī)電聯(lián)合仿真建模與基于數(shù)學(xué)模型和Simulink 的建模方法。多位研究者用機(jī)電聯(lián)合仿真的建模方法[6-9]考慮了進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行時(shí)的接觸變形、結(jié)合面剛度、阻尼、固有頻率等。孫名佳、方晨曦、羅茹楠等[10–21]考慮了延時(shí)、摩擦等影響因素，用Simulink 進(jìn)行仿真建模，分析其動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中的固有頻率、跟隨誤差等影響。

本文從理論建模與基于Simulink 仿真兩方面出發(fā)，對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制系統(tǒng)與機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)簡化，建立了進(jìn)給系統(tǒng)的Simulink 仿真模型。搭建了單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，并通過理論推導(dǎo)、仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證研究了位置環(huán)增益、位置、速度、加速度、間隙等因素對(duì)跟隨誤差的影響規(guī)律。

1 機(jī)電系統(tǒng)理論建模

1.1 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

本文采用交流永磁同步電機(jī)驅(qū)動(dòng)的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，其機(jī)械部分組成如圖1所示。

圖1 進(jìn)給系統(tǒng)的組成

伺服驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)電機(jī)旋轉(zhuǎn)，電機(jī)軸通過聯(lián)軸器帶動(dòng)絲杠旋轉(zhuǎn)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為工作臺(tái)的直線運(yùn)動(dòng)。進(jìn)給系統(tǒng)的轉(zhuǎn)矩平衡方程為：

式中：Tl為電機(jī)軸輸出轉(zhuǎn)矩；Ta為系統(tǒng)總慣性力矩；Tf為系統(tǒng)總摩擦力矩，包括支撐軸承的滾動(dòng)摩擦、工作臺(tái)承載滑塊與導(dǎo)軌間摩擦、絲杠螺母副的摩擦力等；Tc為切削負(fù)載等效切削力矩。

進(jìn)給系統(tǒng)總慣性力矩為：

式中：ωm為絲杠轉(zhuǎn)速；J為系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，包括絲杠、聯(lián)軸器、軸承等旋轉(zhuǎn)部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及工作臺(tái)、滑塊等直線運(yùn)動(dòng)部件的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

進(jìn)給系統(tǒng)的摩擦力建模常見的有Stribeck模型[22]：

式中：Tfc為庫倫摩擦力矩；Tfs為最大靜摩擦力矩；vs為臨界速度；σ 為黏滯摩擦因數(shù)，v為接觸面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。

Stribeck 摩擦模型如圖2所示。由Stribeck 摩擦模型可知，高速時(shí)摩擦力與速度基本是線性關(guān)系，但在啟、停、過象限點(diǎn)等低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力與速存在很強(qiáng)的非線性，這對(duì)系統(tǒng)在低速階段的運(yùn)動(dòng)跟蹤精度產(chǎn)生不利影響。

圖2 stribeck摩擦模型

此外，進(jìn)給系統(tǒng)傳動(dòng)過程中，還存在如圖3 所示的各種典型非線性影響因素。

圖3 進(jìn)給系統(tǒng)典型非線性影響因素

因零部件本身尺寸精度、導(dǎo)軌的非線性摩擦，以及反向間隙、裝配精度等因素影響，工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)速度是變化波動(dòng)的，與指令值存在一定偏差，這種偏差經(jīng)伺服反饋調(diào)節(jié)引起伺服電機(jī)電樞電流變化，進(jìn)而改變電機(jī)輸出扭矩。圖4 所示為電機(jī)軸由勻加速到勻速階段的輸出扭矩信號(hào)和速度信號(hào)。

圖4 進(jìn)給系統(tǒng)絲杠輸入扭矩與轉(zhuǎn)速

可以看到，在勻加速階段存在慣性力矩，加速和勻速段均存在明顯的扭矩波動(dòng)，電機(jī)軸的實(shí)際速度也并不穩(wěn)定，說明進(jìn)給系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程存在加大的非線性干擾，這種干擾將對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的跟蹤精度產(chǎn)生一定影響。

1.2 進(jìn)給驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制模型建立

進(jìn)給軸控制系統(tǒng)通常采用串聯(lián)式閉環(huán)的三環(huán)控制結(jié)構(gòu)，如圖5所示。

圖5 進(jìn)給系統(tǒng)三環(huán)控制結(jié)構(gòu)

（1）電流環(huán)：與交流永磁同步電機(jī)直接相連，實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電流大小，限制電機(jī)電樞的電流范圍，提供有穩(wěn)定的加速轉(zhuǎn)矩。其響應(yīng)速度快，能有效抑制內(nèi)部干擾，在工程上常采用負(fù)反饋PI控制。

（2）速度環(huán)：位于中間的是速度環(huán)，利用絲杠末端編碼器監(jiān)測(cè)絲杠軸實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速，與指令速度比較對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行調(diào)整，將整個(gè)電流環(huán)作為被控對(duì)象，抑制負(fù)載變化和外部干擾引起的速度波動(dòng)，常采用負(fù)反饋PI控制。

（3）位置環(huán)：最外環(huán)是位置環(huán)，利用編碼器或光柵尺監(jiān)測(cè)的工作臺(tái)實(shí)際位置，與指令位置進(jìn)行比較，對(duì)工作臺(tái)的位置進(jìn)行調(diào)整，保證系統(tǒng)的位置跟蹤精度和定位精度。根據(jù)三環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)可知，相對(duì)于電流環(huán)和速度環(huán)，位置環(huán)的截止頻率更小，這嚴(yán)重影響了位置控制器的快速性。因此，常采用P 控制來提高位置環(huán)響應(yīng)的快速性。

基于以上三環(huán)結(jié)構(gòu)，建立如圖6 所示的單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)。

圖6 單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)PID控制結(jié)構(gòu)

2 跟隨誤差影響因素理論分析

2.1 穩(wěn)態(tài)誤差分析

根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)將系統(tǒng)分為0 型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)、Ⅱ型系統(tǒng)等，將上節(jié)伺服控制系統(tǒng)模型進(jìn)行簡化，以開環(huán)傳遞函數(shù)表示進(jìn)給系統(tǒng)PID三環(huán)控制模型，則其誤差傳遞函數(shù)如下：

式中：E（s）為系統(tǒng)響應(yīng)誤差；R（s）為指令輸入。

根據(jù)終值定理可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差可由下式計(jì)算：

進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差與進(jìn)給軸速度、加速度等密切相關(guān)，實(shí)際加工作程中系統(tǒng)給定的運(yùn)動(dòng)指令常由多種典型信號(hào)線性組合而成，因此，本文以3 種典型信號(hào)作用下對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差進(jìn)行分析：階躍信號(hào)為r(t)=1(t)，R(s)=1/s；斜坡信號(hào)為r(t)=t?1(t)，R(s)=1/s2；加速度信號(hào)為r(t)=t2/2?1(t)，R(s)=1/s3。將上述3 種典型信號(hào)的R（s）代入，可以計(jì)算得到該信號(hào)輸入下的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差：

式中：C0為位置誤差系數(shù)；C1為速度誤差系數(shù)；C2為加速度誤差系數(shù)。

可知，當(dāng)進(jìn)給系統(tǒng)的控制參數(shù)確定時(shí)，其響應(yīng)的跟隨誤差僅由輸入決定。進(jìn)給系統(tǒng)的指令輸入信號(hào)主要是由上述3 種典型信號(hào)線性組合而成，因此，其跟隨誤差也是輸入指令中位置、速度、加速度分量的組合。

2.2 跟隨誤差的計(jì)算

對(duì)于PID 三環(huán)控制這樣的線性系統(tǒng)，其脈沖輸入響應(yīng)的拉式變換等于其傳遞函數(shù)。線性系統(tǒng)的輸入輸出滿足卷積關(guān)系：

式中：u（t）為系統(tǒng)輸入；h（t）為脈沖響應(yīng)；x（t）為系統(tǒng)輸出。

根據(jù)此關(guān)系計(jì)算任意輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)輸出：

式中：w（k）為單位脈沖響應(yīng)。

根據(jù)脈沖響應(yīng)的特性，脈沖響應(yīng)在時(shí)域上具有一定寬度N，當(dāng)k＜0 及當(dāng)k＞N時(shí)，w（k）=0，因此，系統(tǒng)輸出可以表示為：

可以看到，通過數(shù)值法計(jì)算脈沖響應(yīng)的有限項(xiàng)，可以得到對(duì)應(yīng)的輸出。但這種方法需要事先知道系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，且需要大量繁瑣的求和計(jì)算，過程復(fù)雜。考慮PID 三環(huán)控制模式下的進(jìn)給控制系統(tǒng)可以看做是一個(gè)二階系統(tǒng)，其跟隨誤差可近似如下：

可知，跟隨誤差與位置、速度、加速度存在相關(guān)性，是跟隨誤差的重要影響因素。

3 基于Simulink的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真分析

3.1 進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的設(shè)置

（1）機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)

本文利用KISTLER 扭矩傳感器采集的電機(jī)輸出扭矩信號(hào)，對(duì)進(jìn)給系統(tǒng)的總等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼進(jìn)行辨識(shí)，得到簡化后進(jìn)給系統(tǒng)的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼如表1所示。

表1 進(jìn)給系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)參數(shù)表

（2）交流永磁同步電機(jī)參數(shù)

在本文所搭建的單軸伺服進(jìn)給實(shí)驗(yàn)臺(tái)中，選用的是YASKAWA 公司生產(chǎn)的Σ-7 系列SGM7G 型交流永磁同步電機(jī)。根據(jù)Σ-7系列電機(jī)選型手冊(cè)中所給參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，可以得到相關(guān)的仿真參數(shù)，如表2所示。

表2 進(jìn)給系統(tǒng)伺服電機(jī)參數(shù)表

（3）PID三環(huán)控制參數(shù)

進(jìn)給伺服系統(tǒng)采用的是PID 三環(huán)控制結(jié)構(gòu)，經(jīng)整定過后，可以得到如表3所示的進(jìn)給系統(tǒng)仿真控制參數(shù)。

表3 進(jìn)給系統(tǒng)PID三環(huán)控制參數(shù)表

根據(jù)上述參數(shù)，建立了進(jìn)給系統(tǒng)的Simulink 仿真模型，如圖7所示。

圖7 進(jìn)給系統(tǒng)Simulink仿真模型

3.2 伺服控制參數(shù)與絲杠間隙對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)誤差的影響

（1）位置環(huán)增益對(duì)跟隨誤差的影響

以2.2節(jié)建立的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，保持模型其他參數(shù)不變，改變系統(tǒng)位置環(huán)增益，分別取Kp為100、150、200、250、300、350、400 時(shí)，進(jìn)給系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)輸入、斜坡信號(hào)輸入以及正弦信號(hào)輸入的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，其仿真結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同位置環(huán)增益下的系統(tǒng)響應(yīng)

由圖8（a）可知，位置環(huán)增益Kp在由100 逐漸增加到400 的過程中，進(jìn)給系統(tǒng)對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)逐漸產(chǎn)生超調(diào)量，響應(yīng)速度越來越快；由圖8（b）可知，隨著進(jìn)給系統(tǒng)位置環(huán)增益Kp的增大，進(jìn)給系統(tǒng)勻速運(yùn)動(dòng)的跟隨誤差逐漸減小，但減小的幅度在逐漸降低，同時(shí)達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間也逐漸減小，當(dāng)Kp達(dá)到200 后跟隨誤差大小基本不再變化，只是稍微有點(diǎn)下降；由圖8（c）可知，對(duì)于速度時(shí)變的正弦信號(hào)，在反向點(diǎn)處，由于實(shí)際位置響應(yīng)滯后于指令，導(dǎo)致進(jìn)給系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)指令反向后一段時(shí)間參才反向，這將導(dǎo)致實(shí)際加工過程中產(chǎn)生相應(yīng)的輪廓誤差，但這種誤差隨著Kp的增大逐漸減小，并在Kp達(dá)到200后基本趨于穩(wěn)定。

綜上所述，進(jìn)給系統(tǒng)位置環(huán)增益Kp對(duì)載荷突變過程、勻速運(yùn)動(dòng)過程以及周期性變速運(yùn)動(dòng)過程的跟隨誤差均會(huì)產(chǎn)生顯著影響。

（2）絲杠間隙對(duì)跟隨誤差的影響

以建立的進(jìn)給系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型為基礎(chǔ)，改變進(jìn)給系統(tǒng)的進(jìn)給加速度的大小，分別取絲杠間隙Cn為0.00、0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 mm 時(shí)，仿真進(jìn)給系統(tǒng)對(duì)正弦信號(hào)輸入的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，保持勻加速運(yùn)動(dòng)至速度達(dá)到1 200 mm/min。其仿真結(jié)果如圖9所示。

圖9 不同間隙下進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

與無間隙相比，當(dāng)絲杠間隙存在時(shí)，進(jìn)給系統(tǒng)在啟、停點(diǎn)處以及速度反向點(diǎn)處的動(dòng)態(tài)跟蹤精度會(huì)迅速下降，工作臺(tái)在經(jīng)過這些啟、停、反向點(diǎn)處時(shí)，跟隨誤差會(huì)迅速累積絲杠間隙而發(fā)生突然增大，而與進(jìn)給系統(tǒng)的控制參數(shù)無關(guān)。在工作臺(tái)走過間隙區(qū)間后，此時(shí)很大的跟隨誤差值將被PID三環(huán)控制系統(tǒng)逐漸補(bǔ)償，有、無間隙的位移輸出響應(yīng)曲線慢慢重合，但這個(gè)過程將消耗一段時(shí)間，表現(xiàn)為相對(duì)于無間隙的進(jìn)給系統(tǒng)，有間隙的進(jìn)給系統(tǒng)在反向點(diǎn)前后的一個(gè)時(shí)間區(qū)段內(nèi)跟隨誤差會(huì)突變，這個(gè)區(qū)間段的長度與間隙大小呈正相關(guān)，有、無間隙的跟隨誤差差值會(huì)先增大后減小的，且這種差值的變化是非線性的。

4 跟隨誤差影響因素相關(guān)性驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

本文搭建了單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，如圖10所示。

圖10 單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

4.2 誤差影響因素相關(guān)性驗(yàn)證

（1）位置的相關(guān)性驗(yàn)證

如圖11 所示，通過輸入指令的整體平移使運(yùn)動(dòng)軌跡在進(jìn)給臺(tái)上的位置發(fā)生改變，以此進(jìn)行位置相關(guān)性驗(yàn)證。

圖11 單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)直線軌跡

同一軌跡在不同位置下的響應(yīng)特性誤差對(duì)比如圖12所示。由圖可知，在第二個(gè)位置下的跟隨誤差與第一個(gè)位置下的跟隨誤差之差在±0.003 mm范圍內(nèi)波動(dòng)，而此實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的的重復(fù)度誤差也在0.004 mm 左右，其跟隨誤差的大小和變化趨勢(shì)并不會(huì)改變，即跟隨誤差與位置并不相關(guān)。

圖12 不同位置下的跟隨誤差對(duì)比

（2）速度的相關(guān)性驗(yàn)證

以梯形加減速的直線運(yùn)動(dòng)軌跡來進(jìn)行速度相關(guān)性實(shí)驗(yàn)，分別進(jìn)行進(jìn)給速度為4 000、6 000 mm/min 兩組不同速度下的直線軌跡運(yùn)動(dòng)，比較不同速度下跟隨誤差的大小和變化趨勢(shì)。不同速度下的跟隨誤差按軌跡展開后的曲線如圖13所示。

圖13 不同速度下的跟隨誤差對(duì)比

可以看到，進(jìn)給速度由4 000 mm/min 變化到6 000 mm/min的后，跟隨誤差的變化趨勢(shì)基本一致，但跟隨誤差的大小明顯不同。在4 000 mm/min 時(shí)，勻速段的跟隨誤差穩(wěn)態(tài)值在2.2 mm 左右，而當(dāng)進(jìn)給速度變?yōu)? 000 mm/min 時(shí)，勻速段的跟隨誤差穩(wěn)態(tài)值增大到了3.4 mm左右。而且可以發(fā)現(xiàn)，隨著速度的增大，跟隨誤差也相應(yīng)增大。由此，跟隨誤差和進(jìn)給速度有較強(qiáng)關(guān)聯(lián)性。

（3）加速度的相關(guān)性驗(yàn)證

以重復(fù)的梯形加減速運(yùn)動(dòng)軌跡來進(jìn)行跟隨誤差加速度相關(guān)性實(shí)驗(yàn)，分別進(jìn)行加減速時(shí)間常數(shù)為200、300 ms 時(shí)的軌跡運(yùn)動(dòng)，所對(duì)應(yīng)加減速段的加速度分別為500 mm/s2和333 mm/s2。去除速度相關(guān)部分跟隨誤差后的跟隨誤差曲線如圖14所示。

圖14 不同加速度下的跟隨誤差對(duì)比

可以看到，當(dāng)加速度由333 mm/s2變化到500 mm/s2后，跟隨誤差的變化趨勢(shì)保持一致，但跟隨誤差的大小發(fā)生了顯著變化。加速度為333 mm/s2時(shí)，加速度段跟隨誤差最大值約為0.29 mm，當(dāng)加速度增加至333 mm/s2后，加速度段跟隨誤差最大值增加到了約0.42 mm。由此，跟隨誤差和進(jìn)給加速度具有一定的相關(guān)性。

綜上所述，速度、加速度是跟隨誤差的重要影響因素，而位置基本對(duì)跟隨誤差無影響。

5 結(jié)束語

本文對(duì)滾珠絲杠伺服進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行簡化，利用Simulink 仿真工具建立進(jìn)給系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)仿真模型，從理論上分析了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程中的穩(wěn)態(tài)誤差，利用仿真模型分析了位置環(huán)增益以及速度、加速度、間隙等對(duì)跟隨誤差的影響。同時(shí)，在單軸伺服進(jìn)給系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了跟隨誤差影響因素的相關(guān)性驗(yàn)證，明確了速度、加速度與跟隨誤差的相關(guān)性，為進(jìn)給系統(tǒng)非穩(wěn)態(tài)跟隨誤差的精確建模和預(yù)測(cè)奠定了基礎(chǔ)。