景博 焦曉璇 胡家興 黃以鋒 孟向臻

（1 空軍工程大學(xué)航空工程學(xué)院，西安 710038；2 空軍航空大學(xué)，長春 130000）

0 引言

器件作為部件及設(shè)備的主要組成部分，特別是關(guān)鍵核心器件，例如CPU、電源模塊等，其可靠性及健康狀態(tài)對設(shè)備功能完好性及任務(wù)可靠性具有重大影響[1-3]。一些器件在服役過程中，受到復(fù)雜應(yīng)力的影響，通常表現(xiàn)出多方面的退化，例如結(jié)構(gòu)裂紋擴(kuò)展、電流增大、接觸溫度升高等[4-6]。不同性能參數(shù)之間相互影響、相互關(guān)聯(lián)，基于單一性能退化的可靠性建?；蚝雎孕阅軈?shù)之間的相關(guān)關(guān)系，通常具有片面性，不能全面地評估器件的狀態(tài)和退化。

當(dāng)前，針對二元性能退化參數(shù)的聯(lián)合建模方法主要有共同因子、相關(guān)系數(shù)和Copula 函數(shù)三種。其中共同因子和相關(guān)系數(shù)主要針對兩性能參數(shù)之間的線性相關(guān)關(guān)系，能夠推導(dǎo)出聯(lián)合模型的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式。而Copula 函數(shù)可以描述兩性能參數(shù)之間的非線性相關(guān)性，并且對性能參數(shù)的邊緣分布沒有具體的要求，因此得到了大量的應(yīng)用與研究[7-9]。Wang 等[10,11]提出了兩元Wiener 過程退化模型，通過時間尺度轉(zhuǎn)換將退化過程線性化，并利用FrankCopula 函數(shù)描述兩性能參數(shù)之間的相關(guān)性。Zhang 等[12]利用FrankCopula 函數(shù)聯(lián)合退化數(shù)據(jù)和壽命數(shù)據(jù)對衛(wèi)星鋰電池的壽命進(jìn)行了評估。Chen 等[13]提出了利用FrankCopula 函數(shù)描述Wiener 過程和IG 過程作為邊緣分布的模型。Peng等[14]提出了利用高斯Copula 函數(shù)連接兩IG 過程的二元模型，并應(yīng)用于重型機床。周源等[15]利用多個Copula 函數(shù)描述了繼電器接觸電阻和釋放電壓之間的關(guān)聯(lián)，比較了不同Copula 函數(shù)的效果。目前，大部分的研究主要集中在特定類型的二元模型，例如Wiener 過程與Frank Copula 函數(shù)，應(yīng)用具有局限性。

本文在分析了眾多研究后，綜合各自的特點和優(yōu)點，提出基于Copula 函數(shù)的二元性能退化聯(lián)合建模的流程和方法，將聯(lián)合建模分解為邊緣退化模型選擇與確定和性能參數(shù)之間關(guān)聯(lián)性的構(gòu)建兩部分。同時，基于卡爾曼濾波方法，提出二元性能退化的剩余壽命預(yù)測方法，并結(jié)合焊點失效試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性建模和剩余壽命預(yù)測。

1 模型的建立與推導(dǎo)

1.1 基于Copula 函數(shù)的多性能參數(shù)可靠性建模

由于性能參數(shù)特點的不同，性能參數(shù)可能服從不同的隨機過程。當(dāng)前隨機過程的主要形式有Wiener 過程、Gamma 過程和IG 過程。根據(jù)是否考慮隨機效應(yīng)和測量誤差又可分為固定效應(yīng)、考慮隨機效應(yīng)和考慮隨機效應(yīng)與誤差的模型。假定y ij(t)表示第i個樣本的第j個性能參數(shù)在t時刻的測量值，i=1,2,…N，j=1,2,…M，每個樣本的測量點數(shù)為K。令

根據(jù)隨機過程的定義可知，可通過增量Δy ij(t k)=t ij(t k) -t ij(t k-1)確定退化模型類型。因此多元的基于Copula 函數(shù)可靠性模型可以表示為

其中C(·)為Copula 函數(shù)，代表各性能參數(shù)的聯(lián)合分布，F(xiàn) j(Δy ij(tk))為性能參數(shù)的邊緣分布，θ cop和分別為Copula 函數(shù)參數(shù)和邊緣分布參數(shù)。邊緣退化模型為Wiener 過程，Gamma 過程和IG 過程，可表示為

當(dāng)邊緣退化模型確定后，便可推導(dǎo)出相應(yīng)的邊緣分布函數(shù)。在式（2）中通常利用幾種常用的Copula 函數(shù)構(gòu)建性能參數(shù)之間的相關(guān)性，例如阿基米德Copula 函數(shù)。而單個性能參數(shù)的邊緣退化模型則可為式（3）中的任一隨機過程模型。其中ΔΛj(tk|γj)=Λj(tk|γj) -Λj(t k-1|γj)表示時間間隔的非線性轉(zhuǎn)換，用于處理性能退化過程的非線性問題，常用的形式有冪函數(shù)和對數(shù)等?；诖耍憧蓪Χ阅軈?shù)的退化過程進(jìn)行描述。假如一個二元退化的邊緣退化模型互不相同，分別為Wiener過程和Gamma 過程，則該模型可以表示為

其中，δ為Copula 函數(shù)系數(shù)。性能參數(shù)1 的退化模型為Wiener過程，a1,β1為漂移參數(shù)和擴(kuò)散參數(shù)。性能參數(shù)2 的退化模型為Gamma 過程，a2,β2分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù)。γ1,γ2分別為兩個退化模型的時間尺度轉(zhuǎn)換系數(shù)。

1.2 二元相關(guān)的可靠性建模

在多性能參數(shù)的系統(tǒng)中，當(dāng)性能參數(shù)之間不相互獨立，其系統(tǒng)可靠性由性能參數(shù)的聯(lián)合分布決定。Copula 函數(shù)只需要通過性能參數(shù)的邊緣分布便能構(gòu)建聯(lián)合分布，因此引入Copula 函數(shù)可以直接、靈活地建立系統(tǒng)聯(lián)合分布函數(shù)。

假設(shè)有M個性能參數(shù)的退化系統(tǒng)在時刻t的性能參數(shù)為Y(t)=(Y1(t),Y2(t),…Y M(t))T，邊緣可靠度為R(t)=(R1(t),R2(t),…RM(t))T，M≥ 2，則系統(tǒng)的可靠度滿足以下兩個特點

1）串聯(lián)系統(tǒng)

2）并聯(lián)系統(tǒng)

針對二元系統(tǒng)，其可靠度為

1）串聯(lián)系統(tǒng)

2）并聯(lián)系統(tǒng)

2 二元相關(guān)系統(tǒng)建模方法及流程

根據(jù)上面的推導(dǎo)可知，二元相關(guān)系統(tǒng)的可靠性建模主要包括邊緣退化建模與聯(lián)合分布構(gòu)建。當(dāng)利用式（2）建立系統(tǒng)聯(lián)合分布函數(shù)時，其對數(shù)似然函數(shù)為

由于似然函數(shù)較為復(fù)雜，難以利用最大似然估計直接估計參數(shù)。然而，對數(shù)似然函數(shù)中的兩個主要部分相互分離，因此可分別對兩部分的參數(shù)進(jìn)行估計。二元系統(tǒng)的可靠性建?？煞譃槿剑?）邊緣分布參數(shù)估計與模型選擇；2）Copula 函數(shù)的參數(shù)估計與選擇；3）系統(tǒng)模型的構(gòu)建與評估。主要流程如圖1 所示。

圖1 二元系統(tǒng)可靠性建模流程Fig.1 Binary system reliability modeling process

選擇合適的邊緣分布對系統(tǒng)的可靠性建模至關(guān)重要，由于隨機過程模型能夠較好地描述多種不確定性，并且可結(jié)合相關(guān)物理模型，因此從幾種常用的隨機過程模型中選擇合適的邊緣退化模型。樣本值的概率積分變化是Copula 參數(shù)估計中的重點和難點，需將樣本值從樣本空間映射到0到1 的均勻分布，通常利用邊緣分布概率函數(shù)作為概率積分變換函數(shù)[16]。

2.1 模型的選擇與確定

模型的選擇主要包括邊緣退化模型和Copula函數(shù)的選擇。為了更好地描述各性能參數(shù)的邊緣分布，從四種隨機過程模型中進(jìn)行擇優(yōu)選擇。1）考慮隨機效應(yīng)和測量誤差的Wiener 過程（WNME）；2）考慮隨機效應(yīng)的Wiener 過程（WNRom）；3）固定效應(yīng)的Wiener 過程（WNFE）；4）Gamma 過程（Gam）。為了描述性能參數(shù)退化過程中的非線性，引入時間尺度轉(zhuǎn)換 Λ(t;γ)=tγ。由于線性過程為非線性的一種特例γ=1，因此備選的邊緣分布如表1 所示。

表1 備選邊緣分布模型Table 1 Alternative edge distribution model

2.2 貝葉斯推理

本節(jié)通過貝葉斯MCMC 方法實現(xiàn)邊緣分布參數(shù)和Copula 函數(shù)的參數(shù)估計。首先進(jìn)行邊緣分布參數(shù)估計，根據(jù)貝葉斯定理，可知邊緣分布參數(shù)的后驗分布為

為了實現(xiàn)參數(shù)的推理，利用R 軟件中的R2OpenBUGS 調(diào)用Open BUGS 進(jìn)行后驗分布推理及采樣，從而實現(xiàn)參數(shù)的估計。

2.3 可靠度計算

二元相關(guān)系統(tǒng)的可靠度計算較一元退化系統(tǒng)和獨立系統(tǒng)復(fù)雜。文獻(xiàn)[17-20]中都涉及到二元相關(guān)模型的可靠度計算，共有兩種計算方法。

1）利用邊緣退化模型在時刻t的可靠度R1(t)和R2(t)作為Copula 函數(shù)C(u,v)的輸入進(jìn)行計算。

2）利用二元相關(guān)模型，結(jié)合蒙特卡洛方法，模擬仿真兩個性能參數(shù)的退化軌跡，并統(tǒng)計系統(tǒng)可靠度。文獻(xiàn)[20]中指出第一種方法的處理方式不正確，因為估計Copula 參數(shù)時，是利用增量的概率作為輸入而非退化的值。雖然Pan 等[17]指出在擴(kuò)散系數(shù)較小時這種方法可作為一種近似，但是并非所有邊緣模型的擴(kuò)散系統(tǒng)都較小，因此這種方法具有一定的局限性。本文主要利用蒙特卡洛的方法計算系統(tǒng)可靠度，主要有兩方面的考慮。（1）該方法適用性較廣，不受邊緣退化模型擴(kuò)散系數(shù)的約束。（2）便于計算系統(tǒng)可靠度，可直接根據(jù)各性能參數(shù)或產(chǎn)品之間的連接關(guān)系（串聯(lián)或并聯(lián)）進(jìn)行計算，特別是在多元的情況下。

基于蒙特卡洛的二元系統(tǒng)可靠性計算主要分三步

1）利用Copula 函數(shù)隨機生成[0,t]時間段內(nèi)的樣本概率點，樣本點的個數(shù)一般取105。

2）利用Copula 產(chǎn)生的概率點，結(jié)合邊緣退化模型生成各性能參數(shù)樣本。

3）統(tǒng)計各性能參數(shù)未達(dá)到失效閾值的概率，并根據(jù)連接關(guān)系計算系統(tǒng)可靠度。例如，當(dāng)兩性能參數(shù)為串聯(lián)時，計算兩性能參數(shù)同時未達(dá)到失效閾值的概率，如圖2 中所示兩失效閾值與坐標(biāo)軸形成的矩形內(nèi)樣本的概率，而非分別計算后再相乘。因為這兩性能參數(shù)之間具有相關(guān)性，分開計算時忽略了兩種性能之間的相關(guān)性。逐步分別計算不同時刻t的可靠度，便可得出二元相關(guān)系統(tǒng)隨時間變化的可靠度曲線。如圖3 所示為二元系統(tǒng)的實時可靠度計算流程。

圖2 蒙特卡洛計算可靠度—串聯(lián)計算方法Fig.2 Monte Carlo reliability calculation-series calculation

圖3 二元系統(tǒng)實時可靠度計算流程Fig.3 Real time reliability calculation process for binary systems

2.4 剩余壽命預(yù)測

假設(shè)產(chǎn)品在時刻t k未發(fā)生失效，則第i(i=1,2)個性能參數(shù)的歷史退化數(shù)據(jù)為Yi,1:k=(Y i(t1),Yi(t2),…,Yi(tk))T，則Yi(t k+l)-Yi(tk)與Yi(t)具有相同的形式，即當(dāng)X i(t)為Wiener 過程時，Y i(t k+l) -Yi(tk)依舊為Wiener 過程；當(dāng)Yi(t)為Gamma 過程時，Yi(t k+l) -Yi(t k)依舊為Gamma 過程。

當(dāng)Yi(t)為Wiener 過程時，

當(dāng)Yi(t)為Gamma 過程時，

即隨機過程Wi(l)首次達(dá)到閾值Dk=DYi(t k)的時間。此時，二元相關(guān)系統(tǒng)的剩余壽命預(yù)測與初始時刻的壽命估計類似，利用更新后的實時邊緣退化模型，結(jié)合系統(tǒng)Copula 函數(shù)計算實時可靠度曲線，再利用實時可靠度曲線估計剩余壽命。

退化模型更新時，如果邊緣退化模型為Wiener 過程，可利用卡爾曼濾波算法結(jié)合狀態(tài)空間模型根據(jù)監(jiān)測數(shù)據(jù)對退化模型進(jìn)行更新。如果邊緣退化模型Gamma 過程，則利用貝葉斯方法進(jìn)行更新。更新過程中，利用離線建立的退化模型作為初始條件或先驗信息。

在更新退化模型并計算系統(tǒng)實時可靠度曲線后，便可通過下式對系統(tǒng)的剩余壽命進(jìn)行估計

3 芯片試驗數(shù)據(jù)應(yīng)用

3.1 芯片可靠性建模

芯片作為電子設(shè)備的重要組成部分，其故障與失效將會導(dǎo)致整個電子設(shè)備功能故障。一個芯片通常由多個焊點結(jié)構(gòu)組成，每個焊點結(jié)構(gòu)的損傷都可能引發(fā)整個芯片的故障。為了評估芯片可靠性，試驗過程中對芯片高應(yīng)力區(qū)的焊點進(jìn)行了監(jiān)測。芯片的高應(yīng)力區(qū)通過有限元仿真確定。本節(jié)利用芯片高應(yīng)力區(qū)內(nèi)兩個焊點結(jié)構(gòu)的充電時間數(shù)據(jù)進(jìn)行芯片可靠性建模。首先對焊點數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑濾波，然后提取50%中位數(shù)作為特征量。試驗條件為恒溫75℃，正弦振動幅值為1g，頻率為300Hz。如圖4 所示分別為兩個焊點結(jié)構(gòu)的一個樣本。而圖4(a)為焊點結(jié)構(gòu)充電時間數(shù)據(jù)提取的特征量，樣本量N=4。圖4(b)為兩特征量增量的散點圖，它們之間的相關(guān)性參數(shù)τ=0.16，表明在建模過程中應(yīng)該考慮它們之間的相關(guān)性。

以該兩焊點結(jié)構(gòu)充電時間的特征量作為芯片的性能參數(shù)，建立芯片的二元相關(guān)可靠性模型。根據(jù)二元相關(guān)系統(tǒng)建模流程，采用二步法進(jìn)行可靠性建模。首先，結(jié)合DIC 準(zhǔn)則，分別選擇確定兩個特征量的最優(yōu)邊緣退化模型，并利用MCMC算法估計模型參數(shù)。然后，從備選的Copula 連接函數(shù)中選擇合適Copula 函數(shù)，并估計其參數(shù)。最后，結(jié)合邊緣退化模型和Copula 函數(shù)建立二元相關(guān)可靠性模型。兩個特征量邊緣退化模型的估計結(jié)果如表2 所示。由于充電時間的特征量不服從Gamma 過程的性質(zhì)，因此只從三個Wiener 過程中選擇邊緣退化模型。結(jié)果顯示，在三個邊緣退化模型中，WNME 模型的DIC 值最小，因此選擇WNME 作為兩個特征量的邊緣退化模型。如表3 所示為焊點結(jié)構(gòu)兩個特征之間Copula 函數(shù)的估計結(jié)果。從表中可知，在五個備選Copula 中，F(xiàn)rankCopula 函數(shù)的DIC 值最小，因此確定其作為兩個特征量之間的相關(guān)性函數(shù)，這與圖5（b）中顯示的兩個特征量之間的相關(guān)特點相符。焊點結(jié)構(gòu)兩個時段內(nèi)特征量增量的等高線如圖6 所示，圖中顯示兩特征量增量之間的等高線形狀隨時間沒有發(fā)生變化，而相同時間內(nèi)兩個特征量增量的幅值隨時間增大。

表3 焊點結(jié)構(gòu)的Copula 函數(shù)參數(shù)估計結(jié)果Table 3 Parameter estimation results of Copula function for solder joint structure

圖6 兩特征量增量的等高線Fig.6 Contour lines with two feature increments

假定焊點結(jié)構(gòu)兩個特征量的失效閾值為Df1=Df2=10ms，則根據(jù)邊緣退化模型與二元相關(guān)模型，可分別計算單個特征量及兩個特征量相聯(lián)合的可靠度函數(shù)。如圖7 所示為該芯片可靠函數(shù)，分別列出了單個特征量的可靠度函數(shù)、兩特征量相互獨立的可靠度函數(shù)以及基于Copula 函數(shù)的二元相可靠度函數(shù)。圖中顯示，同時考慮兩個特征量的芯片可靠度低于只考慮單個特征量的可靠度。另外，當(dāng)認(rèn)為兩特征量之間相互獨立時會低估芯片的可靠度，因此在建模過程中，應(yīng)該考慮兩特征量之間的相關(guān)性。

3.2 芯片剩余壽命預(yù)測

通過對芯片進(jìn)行二元相關(guān)性建?？芍瑑蓚€性能參數(shù)的邊緣退化模型都為WNME 模型。在剩余壽命預(yù)測的過程中，利用卡爾曼濾波結(jié)合狀態(tài)空間模型對邊緣模型中的參數(shù)進(jìn)行更新。如圖8 所示為芯片的兩個性能參數(shù)退化過程，將利用該兩性能參數(shù)進(jìn)行剩余壽命預(yù)測。

圖8 芯片的兩個性能參數(shù)Fig.8 Two performance parameters of the chip

令兩個性能參數(shù)的失效閾值分別為D1=7.6ms 和D2=7.7ms，如圖9 所示為兩個性能參數(shù)每間隔0.3h的剩余壽命預(yù)測結(jié)果。圖中顯示，兩個性能參數(shù)的剩余壽命預(yù)測值與真實值接近，具有較好的預(yù)測結(jié)果。

圖9 兩特征量的剩余壽命預(yù)測Fig.9 Residual life prediction of two characteristic quantities

另外，在邊緣退化模型根據(jù)實時監(jiān)測參數(shù)更新后，聯(lián)合Copula 函數(shù)對芯片的實時可靠度進(jìn)行估計，并預(yù)測剩余壽命，如圖10 所示為剩余壽命預(yù)測結(jié)果。在退化過程中，壽命預(yù)測值與真實值接近，在各個監(jiān)測點略小于真實值，即低估真實壽命，但都具有較好的預(yù)測效果。同時圖中也列出了兩個性能參數(shù)獨立時的剩余壽命預(yù)測中，通過比較可以發(fā)現(xiàn)，考慮兩性能參數(shù)之間的相關(guān)關(guān)系時具有更好的預(yù)測效果。

圖10 芯片剩余壽命預(yù)測Fig.10 Prediction of chip remaining life

4 結(jié)論與展望

作為電子設(shè)備重要組成部分，器件可靠性對電子設(shè)備的功能完好性具有重大影響，特別是部分關(guān)鍵器件。本文以具有兩個性能參數(shù)的芯片為研究對象，在考慮兩性能參數(shù)之間相關(guān)性的基礎(chǔ)上，建立了基于隨機過程模型和Copula 函數(shù)的二元相關(guān)可靠性模型，明確了邊緣退化模型和Copula 函數(shù)的選擇與確定原則。同時，基于MCMC，提出了邊緣退化模型參數(shù)和Copula 函數(shù)參數(shù)估計方法，并結(jié)合實時監(jiān)測數(shù)據(jù)，基于邊緣退化模型的在線更新，提出了二元相關(guān)的剩余壽命預(yù)測方法，主要結(jié)論如下

1）通過分別詳細(xì)分析和討論邊緣退化模型及Copula 函數(shù)失配對二元相關(guān)模型的影響，結(jié)果表明，Copula 函數(shù)失配導(dǎo)致的偏差較大，而邊緣退化模型只有在退化速率隨時間下降時才會導(dǎo)致較大的偏差。另外，也分析了DIC 準(zhǔn)則用于邊緣退化模型和Copula 函數(shù)選擇與確定的有效性。結(jié)果顯示，DIC 準(zhǔn)則能夠較好地用于邊緣模型和Copula 函數(shù)的選擇與確定，并且隨著樣本量越大，效果越好。

2）利用焊點結(jié)構(gòu)的充電數(shù)據(jù)對本文提出的二元相關(guān)模型進(jìn)行擬合及驗證，結(jié)果顯示，該二元相關(guān)可靠性模型能夠較好地描述兩特征量之間的相關(guān)性及其隨時間變化的特性。通過比較不同情況下器件可靠度函數(shù)可知，只考慮一種性能參數(shù)或認(rèn)為兩種性能參數(shù)相互獨立都會導(dǎo)致器件可靠度估計時出現(xiàn)偏差。

3）利用一組芯片數(shù)據(jù)進(jìn)行了剩余壽命預(yù)測分析，結(jié)果表明，基于Copula 函數(shù)的可靠性模型能夠較好地預(yù)測芯片在退化過程中的剩余壽命。與不考慮性能參數(shù)之間相關(guān)性時相比較，考慮相關(guān)性的聯(lián)合模型能更準(zhǔn)確地預(yù)測焊點結(jié)構(gòu)在各個監(jiān)測點的剩余壽命。