鄭智勇 陳立杰 向呂 王鶴 王一平

(西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院,楊凌 712100)

1 引言

近年來(lái),拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)基于其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)(如物理性質(zhì)和化學(xué)性質(zhì)),已經(jīng)在不同領(lǐng)域展現(xiàn)出極其的重要性,更為凝聚態(tài)物理的研究開(kāi)辟了 一個(gè)嶄新的平臺(tái)[1-3].不同于普通絕緣體,拓?fù)浣^緣體是一種全新的物質(zhì)形式,其內(nèi)部可以展現(xiàn)絕緣體性質(zhì),但在邊界處可以呈現(xiàn)出金屬特性[4,5];在能帶間隙中存在邊緣態(tài),不僅受到能隙的保護(hù),而且受到時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性的制約;系統(tǒng)中無(wú)序和缺陷以及操縱帶來(lái)的擾動(dòng),邊緣態(tài)對(duì)它們都具有魯棒性[6-9].目前,在原子、分子、光學(xué)物理和材料物理與化學(xué)等領(lǐng)域,研究人員正在構(gòu)建新的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),同時(shí)也提出了許多新理論模型和實(shí)驗(yàn)方案,用于模擬和探索拓?fù)浣^緣體特性,從而更深入研究其中的拓?fù)湮飸B(tài)和量子物質(zhì),這已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)問(wèn)題[10-12].

隨著微納米器件制備工藝的成熟,進(jìn)一步促進(jìn)了微納量子器件的發(fā)展,并開(kāi)啟了一個(gè)嶄新的研究領(lǐng)域——微納光子學(xué),其主要研究在微納尺度下光與物質(zhì)相互作用的規(guī)律,以及光的產(chǎn)生、傳輸、調(diào)控、探測(cè)和傳感等[13-16].例如,光學(xué)微腔系統(tǒng)可以將光束縛在微小的區(qū)域范圍內(nèi),可以極大地增強(qiáng)光與物質(zhì)的相互作用,并且通過(guò)制備高品質(zhì)因子的光學(xué)微腔,可提高系統(tǒng)在傳感和探測(cè)方面的靈敏度[17-22].特別地,超導(dǎo)微波器件能夠有效提高光子集成度,進(jìn)而集成在芯片上應(yīng)用于量子光學(xué)、量子信息處理和量子模擬等領(lǐng)域,這已經(jīng)成為最具吸引力的平臺(tái)之一[23-29].另外,微納米量子器件在模擬拓?fù)浣^緣體方面已經(jīng)取得了具大的突破,如超導(dǎo)微波腔、RLC電路、納米機(jī)械振子、超導(dǎo)量子比特和NV自旋,相互耦合構(gòu)建一維或二維晶格系統(tǒng),并通過(guò)微波相干調(diào)控,以展示許多新奇的拓?fù)湮锢憩F(xiàn)象,如拓?fù)湎嘧兒瓦吘墤B(tài)、非厄米拓?fù)浣^緣體、拓?fù)洳蛔兞康?來(lái)實(shí)現(xiàn)一些特殊功能的量子器件[30-36].例如,Koch等[37]和Mei等[38]分別利用超導(dǎo)微波腔構(gòu)建一維晶格系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了拓?fù)銫hern絕緣體,后者對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)溥吘壞：筒蛔兞窟M(jìn)行了探測(cè);此外,Cai等[39]和Cao等[40]利用超導(dǎo)電路系統(tǒng)構(gòu)建二維晶格系統(tǒng),分別研究磁子絕緣態(tài)和能帶結(jié)構(gòu)與異常環(huán).因此,基于之前的研究工作[33-40],本文利用超導(dǎo)微波腔系統(tǒng)構(gòu)建一維的拓?fù)湎到y(tǒng),考慮系統(tǒng)的反旋波項(xiàng)的效應(yīng),分析、研究和調(diào)控其中的拓?fù)浣^緣體性質(zhì).

本文構(gòu)建了基于超導(dǎo)微波腔的一維拓?fù)渚Ц裣到y(tǒng),其中包含兩種微波腔晶胞元素,通過(guò)磁通量子比特耦合晶胞元素,來(lái)分析和研究其中的拓?fù)浣^緣體特性.這里保留晶格之間相互作用的反旋波項(xiàng),使拓?fù)涑瑢?dǎo)體中的p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)與其相映射,得到具有p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的一維超導(dǎo)微波腔晶格方案.研究發(fā)現(xiàn),p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)可以調(diào)制系統(tǒng)中拓?fù)淞孔討B(tài),可以實(shí)現(xiàn)多通道的拓?fù)淞孔有畔鬏?此外,當(dāng)考慮p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)和次近鄰相互作用時(shí),發(fā)現(xiàn)能帶的波動(dòng)可以誘導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生新的能帶,邊緣態(tài)發(fā)生彎曲,但其簡(jiǎn)并性保持穩(wěn)定,通過(guò)調(diào)制可以實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔討B(tài)不同的傳輸路徑;然而,當(dāng)調(diào)控超過(guò)閾值時(shí),系統(tǒng)的能隙將會(huì)閉合,使邊緣態(tài)湮滅在新的能帶中.另外,考慮系統(tǒng)存在隨機(jī)的缺陷時(shí),發(fā)現(xiàn)能帶呈現(xiàn)無(wú)規(guī)則的波動(dòng),邊緣態(tài)有微小的擾動(dòng);當(dāng)缺陷強(qiáng)度超過(guò)閾值時(shí),能帶導(dǎo)致強(qiáng)烈的無(wú)規(guī)則波動(dòng),使邊緣態(tài)融入能帶中.

2 系統(tǒng)模型及哈密頓量

如圖1(a)所示的一維超導(dǎo)微波腔晶格系統(tǒng),其中包含an和bn兩種微波腔晶胞元素,并且通過(guò)兩種不同類(lèi)型的量子比特互相交叉耦合.此外,如圖1(b)所示,an和bn微波腔晶胞耦合在一個(gè)頻率可調(diào)的控制場(chǎng)上,其頻率在ωan=ωa+λncos(υt+?)和ωbn=ωb+γncos(υt+?)的范圍內(nèi)調(diào)制,ωa和ωb是微波腔晶胞的固有頻率,λn(γn) 是微波腔晶胞的頻率調(diào)制強(qiáng)度,υ描述微波腔晶胞的調(diào)制頻率,?是相位因子.因此,該一維晶格電路系統(tǒng)的哈密頓量可以寫(xiě)成

圖1 (a)基于超導(dǎo)微波腔組成的一維晶格系統(tǒng),Q1 (Q2)是晶胞之間的耦合磁通量子比特,g1 (g2)表示 an (bn)和 bn (an+1)的耦合參數(shù),T表 示 an和an+1 (bn和bn+1)的耦合參數(shù);(b) an和bn 耦合在一個(gè)頻率可調(diào)的控制場(chǎng)上,g1 (g2) 可以通過(guò)磁通量子比特外部磁通調(diào)控,T通過(guò)電容C耦合調(diào)制Fig.1.(a) Schematic of the 1D superconducting microwave cavity lattice system,Q1 (Q2) is the coupling flux qubit between the unit cell,an and bn (bn and an+1) coupling coefficient is g1 (g2),an and an+1 (bn and bn+1) coupling coefficient is T;(b) an and bn are connected in a tunable frequency field,g1 (g2) can be modulated by the external flux of qubits,T is modulated by the capacitance C coupling.

其中,ω1±=(ωa±ωb)t+(λn±γn)sin(υt+?),ω2±=(ωa±ωb)t+(λn+1±γn)sin(υt+?),第1項(xiàng)和第3項(xiàng)為最近鄰微波腔晶胞間耦合的反旋波項(xiàng),第2項(xiàng)和第4項(xiàng)為微波腔晶胞間最近鄰耦合.這里,先不考慮次近鄰作用,即T=0,研究系統(tǒng)中的反旋波項(xiàng)在晶格電路系統(tǒng)中的作用.利用exp[iKsin(υt)]=為關(guān)于貝塞爾函數(shù)的m次序),使相位?=0,對(duì)哈密頓量H1展開(kāi),(2)式可以寫(xiě)成:

其中,G11=g1Jm1(K1,n),G12=g1Jm2(K2,n),G23=g2Jm3(K3,n),G24=g2Jm4(K4,n),K1,n=λn+γn,K2,n=λn-γn,K3,n=λn+1+γn,K4,n=λn+1-γn.當(dāng)系統(tǒng)在共振條件下ωa=ωb=υ,λn+1=γn=λn,取m1=m3=-2,m2=m4=0 時(shí),m1(m2,m3,m4) 求和項(xiàng)和(3)式中的e指數(shù)項(xiàng)可以忽略,哈密頓量H2描述為

3 結(jié)果與討論

3.1 反旋波項(xiàng)調(diào)制

在拓?fù)浣^緣體中,p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的存在能夠誘導(dǎo)許多新奇的物理現(xiàn)象.這里考慮頻率調(diào)控的方法,使一維晶格電路的反旋波項(xiàng)與p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)關(guān)聯(lián),通過(guò)調(diào)控反旋波項(xiàng),從而得到帶有p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的一維拓?fù)潆娐肪Ц裣到y(tǒng),這為探索豐富的拓?fù)涮匦院拖嘧兲峁┮环N新思路.首先,考慮沒(méi)反旋波項(xiàng)的調(diào)制,即通過(guò)貝塞爾函數(shù)來(lái)調(diào)控p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的強(qiáng)度為零,那么哈密頓量H3可以簡(jiǎn)化,從而得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一維拓?fù)渚o束縛模型,對(duì)應(yīng)的哈密頓量為H4=因此,根據(jù)上述哈密頓量H4,可以繪制系統(tǒng)的能譜圖,來(lái)研究和分析其中拓?fù)溥吘墤B(tài)的概率分布.在這里,定義藍(lán)色和紅色邊緣態(tài)的概率分布,即 ||ψblue〉|2和||ψred〉|2,相對(duì)應(yīng)的能量本征值為Eblue和Ered.圖2給出了系統(tǒng)的能譜和邊緣態(tài)與晶格數(shù)目的關(guān)系.如圖2(a)所示,能譜有δE的能帶間隙,并且存在兩個(gè)簡(jiǎn)并的邊緣態(tài).圖2(b)和圖2(c)展示了邊緣態(tài)(第50 (藍(lán)色)和第51(紅色))的概率分布,可以清楚地看到邊緣態(tài)分布在一維拓?fù)渚Ц耠娐废到y(tǒng)的兩端.

圖2 (a)系統(tǒng)能譜與晶格數(shù)目的關(guān)系;(b)藍(lán)色和(c)紅色邊緣態(tài)的概率分布圖;其中 =0.15,=0.3 和晶格數(shù)N=100Fig.2.(a) Energy spectrum of the system via the lattice numbers;(b),(c) probability distributions of (b) blue and (c) red edge states.=0.15,=0.3 and lattice size N=100.

圖3 系統(tǒng)能譜與晶格數(shù)目的關(guān)系 (a) ==0.003;(b) ==0.03;(c) ==0.06;(d) ==0.15;(e) ==0.165;(f) ==2.1;其他參數(shù)為 =0.15,=0.3 和晶格數(shù)N=200Fig.3.Energy spectrum of the system via the lattice numbers: (a) ==0.003;(b) ==0.03;(c) ==0.06;(d) ==0.15;(e) ==0.165;(f) ==2.1.Other parameters are =0.15,=0.3 and lattice size N=200.

此外,如圖4所示,我們分析了系統(tǒng)4個(gè)簡(jiǎn)并邊緣態(tài)的概率分布.從圖4(a)和圖4(b)可以清楚地看到,當(dāng)逐漸增加p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)耦合強(qiáng)度時(shí),紅色邊緣態(tài)的分布發(fā)生了翻轉(zhuǎn)過(guò)程,也就是說(shuō),紅色邊緣態(tài)從系統(tǒng)最左邊傳遞到腔的最右邊.與圖4(a)和圖4(b)對(duì)比,從圖4(c)可以看到,紅色邊緣態(tài)分布在系統(tǒng)的兩端,通過(guò)調(diào)控p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)耦合強(qiáng)度,可以使邊緣態(tài)分布在右端(圖4(d))或者左端(圖4(e)).另外,從圖4 中觀(guān)察到其他3個(gè)邊緣態(tài)(藍(lán)、黑、綠),在系統(tǒng)中分布的位置各有差異,那么通過(guò)調(diào)制p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)耦合強(qiáng)度,在系統(tǒng)中可以實(shí)現(xiàn)多路徑的拓?fù)淞孔有畔鬏?

圖4 4個(gè)不同邊緣態(tài)的概率分布圖 (a) ==0.003;(b) ==0.006;(c) ==0.009;(d) ==0.015;(e) ==0.021;(f) ==0.027;其他參數(shù)為 =0.15,=0.3 和晶格數(shù) N=200Fig.4.State distributions of four different edge states: (a) ==0.003;(b) ==0.006;(c) ==0.009;(d) ==0.015;(e) ==0.021;(f) ==0.027.Other parameters are =0.15,=0.3 and lattice size N=200.

3.2 次近鄰相互作用

在一維拓?fù)渚Ц耠娐返慕Y(jié)構(gòu)中,通過(guò)調(diào)控晶格之間的相互作用,可以研究和探索其中許多有趣的拓?fù)洮F(xiàn)象.接下來(lái)考慮p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)和次近鄰相互作用對(duì)系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的影響,系統(tǒng)的哈密頓量可表示為

其中,T0=TJ0(K2,n) 用來(lái)描述一維拓?fù)渚Ц耠娐废到y(tǒng)中次近鄰相互作用.根據(jù)(5)式中的次臨近相互作用和p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng),進(jìn)一步研究和分析兩者對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)的影響.這里考慮其周期調(diào)控,即參數(shù)為T(mén)0=Tcosθ和==0.08(1+cosθ),通過(guò)分析能譜結(jié)構(gòu)的變化特征,研究系統(tǒng)的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)渫ǖ?

圖5(a)給出了次近鄰相互作用T=0 時(shí)系統(tǒng)能譜與相位的關(guān)系,可以清楚地看到能帶中存在4個(gè)簡(jiǎn)并的零模邊緣態(tài)(藍(lán)色),它們分別和上下能帶存在間隙,類(lèi)似于圖3(a).然而,當(dāng)T=0.05 時(shí),系統(tǒng)的上下能帶發(fā)生波動(dòng),并引起4個(gè)邊緣態(tài)起伏,但簡(jiǎn)并度沒(méi)有發(fā)生變化,例如,在θ∈[0.5π,1.5π]位置有4個(gè)邊緣態(tài)(藍(lán)色)凸起,在θ∈[0,0.5π] 和θ∈[1.5π,2π]位置有4個(gè)邊緣態(tài)下降.由上述分析可知,當(dāng)p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)制恒定時(shí),周期調(diào)制次臨近相互作用可引起能帶和邊緣態(tài)的周期起伏變化.如圖5(c)所示,當(dāng)T=0 時(shí),周期調(diào)制p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng),即==0.08(1+cosθ),可以看到系統(tǒng)上下能帶變化不同于圖5(b),4個(gè)簡(jiǎn)并邊緣態(tài)(藍(lán)色)保持穩(wěn)定.從上面的討論分析可以發(fā)現(xiàn),它們對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)淠軒ЫY(jié)構(gòu)調(diào)制不同,也就是說(shuō),這兩者的變化可以導(dǎo)致系統(tǒng)進(jìn)入不同的拓?fù)湎嘀?

圖5 系統(tǒng)能譜與相位的關(guān)系 (a) ==0.1,T=0;(b) ==0.1,T=0.05;(c) ==0.08(1+cosθ),T=0;其他參數(shù)為 =0.2,=0.4 和晶格數(shù)N=200Fig.5.Energy spectrum of the system via the phase:(a) ==0.1,T=0;(b) ==0.1,T=0.05;(c) ==0.08(1+cosθ),T=0.Other parameters are =0.2,=0.4 and lattice size N=200.

為了進(jìn)一步深入探索其中的拓?fù)涮卣?圖6給出了不同p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)制系統(tǒng)的能譜圖.從圖6(a)和圖6(b)可以發(fā)現(xiàn),p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)制強(qiáng)度不斷增加時(shí),系統(tǒng)的能帶間隙將逐漸變小,并且能帶結(jié)構(gòu)發(fā)生變化,使上下能帶產(chǎn)生新的能帶,但4個(gè)邊緣態(tài)依然保持簡(jiǎn)并,并且在一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài),沒(méi)有發(fā)生混亂.然而,從圖6(c)清楚地看到,當(dāng)p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)制強(qiáng)度達(dá)到一定值時(shí),部分邊緣態(tài)融入到新的能帶中,而另一部分邊緣態(tài)保留在θ∈[0.25π,0.75π]和θ∈[1.25π,1.75π] 區(qū)域的能隙中.如圖6(d)所示,當(dāng)p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)制強(qiáng)度超過(guò)閾值時(shí),上下能帶產(chǎn)生的新能帶使邊緣態(tài)全部湮滅在其中,進(jìn)入另一個(gè)拓?fù)湎?

圖6 系統(tǒng)能譜與相位的關(guān)系 (a) ==0.08;(b) ==0.16;(c) ==0.24;(d) ==0.32;其他參數(shù)為 =0.2,=0.4,T=0.1 和晶格數(shù)N=200Fig.6.Energy spectrum of the system via the phase: (a) ==0.08;(b) ==0.16;(c) ==0.24;(d) ==0.32.Other parameters are =0.2,=0.4,T=0.1 and lattice size N=200.

此外,當(dāng)p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的調(diào)制恒定時(shí),通過(guò)周期性調(diào)控次近鄰相互作用,分析其對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)涮卣鞯挠绊?如圖7(a)和圖7(b)所示,當(dāng)次近鄰相互作用T逐漸增加時(shí),能帶和邊緣態(tài)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化,比如在θ=π 位置上下能帶發(fā)生重疊,部分邊緣態(tài)湮滅在重疊區(qū)域.然而,從圖7(c)和圖7(d)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)T增加到一定時(shí),上下能帶將全部重合,邊緣態(tài)將融入能帶中.

圖7 系統(tǒng)能譜與相位的關(guān)系(a)T=0.1;(b) T=0.2;(c) T=0.3;(d) T=3;其他參數(shù)為=0.2,=0.4,==0.04 和晶格數(shù)N=200Fig.7.Energy spectrum of the system via the phase: (a) T=0.1;(b) T=0.2;(c) T=0.3;(d) T=3.Other parameters are=0.2,=0.4,==0.04 and lattice size N=200.

根據(jù)前面的討論,p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)和次近鄰相互作用的調(diào)控,可以會(huì)引起能帶的波動(dòng),但4個(gè)邊緣態(tài)的簡(jiǎn)并性一直保持穩(wěn)定,并且沒(méi)有發(fā)生混亂和擾動(dòng),那么可以利用邊緣態(tài)的拓?fù)涮匦?在系統(tǒng)中進(jìn)行量子信息的傳輸和儲(chǔ)存操作.圖8繪制了不同相位θ下4個(gè)邊緣態(tài)的概率密度分布圖,對(duì)其中的拓?fù)淞孔油ǖ肋M(jìn)行分析和研究.從圖8(a)和圖8(b)可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)θ=π/2 時(shí),對(duì)p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)調(diào)控的耦合強(qiáng)度進(jìn)行調(diào)制,4個(gè)邊緣態(tài)可以分別從系統(tǒng)的一端轉(zhuǎn)移到另一端,比如藍(lán)色的邊緣態(tài)分布在最右邊的位置(圖8(a1)),通過(guò)耦合強(qiáng)度調(diào)制后,藍(lán)色的邊緣態(tài)分布在最左邊的位置(圖8(b1)).因此,通過(guò)調(diào)控和大小,可以使系統(tǒng)的邊緣態(tài)分布呈現(xiàn)一個(gè)翻轉(zhuǎn)過(guò)程,這可以應(yīng)用于量子信息的傳輸通道.

圖8 4個(gè)不同邊緣態(tài)的分布圖 (a) θ=π/2,==0.08;(b) θ=π/2,==0.1;(c) θ=3π/2,==0.08;(d) θ=3π/2,==0.1.其他參數(shù)為 T=0.1,=0.2,=0.4 和晶格數(shù)N=200Fig.8.State distributions of four different edge states: (a) θ=π/2,==0.08;(b) θ=π/2,==0.1;(c) θ=3π/2,==0.08;(d) θ=3π/2,==0.1.Other parameters are T=0.1,=0.2,=0.4 and lattice size N=200.

另外,從圖8(a2)和圖8(c2)可以看出,當(dāng)θ=π/2時(shí),紅色的邊緣態(tài)分布在最左邊的位置;當(dāng)θ=2π/3時(shí),紅色的邊緣態(tài)分布在最右邊的位置.可以調(diào)控相位參數(shù)θ,即調(diào)制次近鄰相互作用,使系統(tǒng)的邊緣態(tài)分布呈現(xiàn)一個(gè)翻轉(zhuǎn)過(guò)程,也就是說(shuō),在次近鄰作用下,可以實(shí)現(xiàn)4個(gè)不同通道的量子拓?fù)湫畔鬏?此外,與圖8(a)和圖8(c)相比,在圖8(b)和圖8(d)中只有兩個(gè)邊緣態(tài)(藍(lán)色和紅色)展現(xiàn)一個(gè)翻轉(zhuǎn)過(guò)程,其他兩個(gè)分布位置保持不變,這源于p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)耦合和次近鄰相互作用之間潛在的相輔性,引起邊緣態(tài)分布的差異性,正如圖8(b)和圖8(c)所示,4個(gè)邊緣態(tài)的分布位置完全相同,但所使用參數(shù)不同,那么通過(guò)優(yōu)化系統(tǒng)的參數(shù)可以實(shí)現(xiàn)多通道的拓?fù)淞孔有畔鬏?

3.3 隨機(jī)缺陷的擾動(dòng)

在目前的實(shí)驗(yàn)中,由系統(tǒng)漲落引起的無(wú)序以及操縱帶來(lái)的微擾,這些將會(huì)影響系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì),并且是不可回避的問(wèn)題,需要深入的研究和分析.接下來(lái),把無(wú)序和微擾看作系統(tǒng)的隨機(jī)缺陷,進(jìn)一步討論其對(duì)系統(tǒng)的拓?fù)涞挠绊?哈密頓量表示為

其中ω,ν和τ分別描述反旋波項(xiàng)、最近鄰和次近鄰相互作用項(xiàng)的隨機(jī)缺陷強(qiáng)度,δ∈[-0.5,0.5] 是隨機(jī)數(shù).

圖9繪制了不同隨機(jī)缺陷下的系統(tǒng)能譜圖.從圖9(a)—(c)可以看到,在ν=τ=0 時(shí),隨著ω逐漸增加,系統(tǒng)的上下能帶開(kāi)始無(wú)規(guī)則地波動(dòng),同時(shí)4個(gè)簡(jiǎn)并的邊緣態(tài)也輕微地?cái)_動(dòng),但邊緣態(tài)可以區(qū)分;然而,當(dāng)ω≥0.7 時(shí),上下能帶開(kāi)始重疊,導(dǎo)致邊緣態(tài)湮滅在能帶中,如圖9 (d)所示.另外,如圖9(e)—(g)所 示,當(dāng)ω=τ=0 時(shí),隨 著ν逐 漸增加,系統(tǒng)的上下能帶也產(chǎn)生無(wú)規(guī)則波動(dòng),但邊緣態(tài)的擾動(dòng)比圖9(a)—(c)中的輕微一點(diǎn),邊緣態(tài)可以區(qū)分.如圖9(h)所示,當(dāng)ν≥0.4 時(shí),上下能帶的帶隙閉合,導(dǎo)致邊緣態(tài)湮滅在能帶中,這和圖9(d)所示相同.此外,從圖9(a)—(h)中能帶和邊緣態(tài)的變化趨勢(shì)可以清楚地看到,ω和ν導(dǎo)致的擾動(dòng)各有異同,例如,能帶的無(wú)規(guī)則波動(dòng)和邊緣態(tài)的擾動(dòng)程度不同,也發(fā)現(xiàn)能帶的無(wú)規(guī)則波動(dòng)引起的帶隙閉合趨勢(shì)相同,其中ω值要比ν值大多.

圖9 系統(tǒng)能譜與隨機(jī)缺陷的關(guān)系圖 (a) ω=0.1,ν=τ=0;(b) ω=0.3,ν=τ=0;(c) ω=0.5,ν=τ=0;(d) ω=0.7,ν=τ=0;(e) ν=0.1,ω=τ=0;(f) ν=0.2,ω=τ=0;(g) ν=0.3,ω=τ=0;(h) ν=0.4,ω=τ=0;(i) τ=0.1,ω=ν=0;(j) τ=0.2,ω=ν=0;(k) τ=0.3,ω=ν=0;(l) τ=0.4,ω=ν=0;其他參數(shù)為=0.2,=0.4,==0.04,T=0.1和晶格數(shù)N=200Fig.9.Energy spectrum of the system via the random defects: (a) ω=0.1,ν=τ=0;(b) ω=0.3,ν=τ=0;(c) ω=0.5,ν=τ=0;(d) ω=0.7,ν=τ=0;(e) ν=0.1,ω=τ=0;(f) ν=0.2,ω=τ=0;(g) ν=0.3,ω=τ=0;(h) ν=0.4,ω=τ=0;(i) τ=0.1,ω=ν=0;(j) τ=0.2,ω=ν=0;(k) τ=0.3,ω=ν=0;(l) τ=0.4,ω=ν=0.Other parameters are =0.2,=0.4,==0.04,T=0.1 and lattice size N=200.

另一方面,如圖9(i)—(k)所示,當(dāng)ω=ν=0時(shí),τ增加到一定程度時(shí),可以看到上下能帶逐漸閉合,邊緣態(tài)將融合在能帶中,但邊緣態(tài)的擾動(dòng)程度大于圖9(a)—(h)所示;當(dāng)τ≥0.4 時(shí),上下能帶的帶隙閉合,邊緣態(tài)在能帶中湮滅,而這和圖9(d)、圖9(h)所示相同.根據(jù)上面的分析與討論可以得到,系統(tǒng)的不同隨機(jī)缺陷都會(huì)影響其能帶結(jié)構(gòu)特征,但較小值的缺陷對(duì)系統(tǒng)的邊緣態(tài)擾動(dòng)微小,能隙中邊緣態(tài)可以區(qū)分,說(shuō)明其具有魯棒性;然而,當(dāng)缺陷較大時(shí),能帶間隙閉合,邊緣態(tài)將湮滅在能帶中.此外還發(fā)現(xiàn),三者對(duì)邊緣態(tài)的擾動(dòng)程度不同,次臨近相互作用的缺陷對(duì)邊緣態(tài)的擾動(dòng)最大,最近鄰相互作用的缺陷對(duì)邊緣態(tài)擾動(dòng)最小.因此,在實(shí)驗(yàn)制備和操作中,需要考慮這些缺陷引起的擾動(dòng),盡可能地調(diào)控在合適的范圍,使實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有建設(shè)性和應(yīng)用性,進(jìn)一步拓展拓?fù)淞孔有畔⒌膬?chǔ)存和傳輸方式.

4 結(jié)論

本文提出基于超導(dǎo)微波腔的一維晶格理論方案,通過(guò)磁通量子比特調(diào)控晶胞之間的耦合,考慮反旋波項(xiàng)與p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)相映射,獲得p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng)的一維晶格方案,來(lái)模擬和探索其中拓?fù)浣^緣體特性.研究發(fā)現(xiàn),通過(guò)調(diào)控p-波超導(dǎo)配對(duì)項(xiàng),系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)4個(gè)邊緣態(tài)的拓?fù)淞孔有畔鬏斖ǖ?此外,當(dāng)加入次近鄰相互作用時(shí),其可以誘導(dǎo)能帶產(chǎn)生新的能帶,邊緣態(tài)的簡(jiǎn)并性穩(wěn)定,可以實(shí)現(xiàn)不同路徑的拓?fù)淞孔討B(tài)傳輸;然而,當(dāng)次近鄰相互作用調(diào)控超過(guò)閾值時(shí),能隙會(huì)閉合,邊緣態(tài)湮滅在新的能帶中.另外,當(dāng)系統(tǒng)存在缺陷時(shí),發(fā)現(xiàn)缺陷較小時(shí),邊緣態(tài)對(duì)其具有魯棒性;當(dāng)缺陷超過(guò)閾值時(shí),能帶會(huì)導(dǎo)致劇烈的波動(dòng),使邊緣態(tài)消失.本文的研究結(jié)果具有廣泛的潛在應(yīng)用,對(duì)未來(lái)建立可擴(kuò)展量子網(wǎng)絡(luò)具有重要的指導(dǎo)性建議.