周陽(yáng) 馬嘯 周星宇 張春輝 王琴?

1) (南京郵電大學(xué),量子信息技術(shù)研究所,南京 210003)

2) (南京郵電大學(xué),寬帶無(wú)線通信與傳感網(wǎng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210003)

1 引言

量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)可以在兩個(gè)遠(yuǎn)距離用戶Alice和Bob之間形成一致密鑰,其安全性基于量子力學(xué)的基本原理,且已被證明具有信息論安全性[1,2].經(jīng)過(guò)幾十年的發(fā)展,QKD理論已經(jīng)比較成熟,且在不同的場(chǎng)景下得到了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,如基于光纖的QKD[3-6]和自由空間信道QKD[7,8].在上面提到的大多數(shù)QKD系統(tǒng)中,Alice和Bob之間需要一個(gè)共享的參考系,而實(shí)時(shí)校準(zhǔn)參考系在一定程度上增加了系統(tǒng)的成本并降低了性能.幸運(yùn)的是,參考系無(wú)關(guān)(referenceframe-independent,RFI)QKD協(xié)議[9]的概念被提出,克服了參考系漂移問(wèn)題,從而受到了廣泛的關(guān)注.

實(shí)際器件特性的不理想使得QKD的理論和實(shí)踐之間存在一定矛盾.在實(shí)際QKD系統(tǒng)中,存在光源缺陷和探測(cè)端缺陷等問(wèn)題,使得系統(tǒng)的安全性降低.針對(duì)光源端態(tài)制備誤差問(wèn)題,2014年,在GLLP協(xié)議[10]的基礎(chǔ)上,Tamaki等[11]提出了一種態(tài)制備誤差容忍(loss tolerant,LT)的QKD協(xié)議.隨后,出現(xiàn)了一系列與光源安全性相關(guān)的工作[12-15],其中,2015年Wang等[12]將損耗容忍方案與參考系無(wú)關(guān)協(xié)議結(jié)合,有效提升了RFI QKD協(xié)議的光源安全性.

但除了源端缺陷之外,由于探測(cè)器固有的半導(dǎo)體結(jié)構(gòu)缺陷,在正常的探測(cè)信號(hào)之后也容易產(chǎn)生虛假的非光子探測(cè)脈沖輸出,會(huì)造成錯(cuò)誤的計(jì)數(shù),也就是后脈沖效應(yīng)[16-18],從而導(dǎo)致誤碼率增大.同時(shí),單光子探測(cè)器在探測(cè)事件發(fā)生后會(huì)進(jìn)入一段“恢復(fù)期”,在此期間,探測(cè)器不會(huì)對(duì)其他的光脈沖響應(yīng),這將帶來(lái)死時(shí)間效應(yīng)[19-21].對(duì)于一般的QKD系統(tǒng),死時(shí)間和后脈沖效應(yīng)可以忽略不計(jì),但隨著系統(tǒng)重復(fù)頻率的增大,尤其進(jìn)入千兆赫茲,這種假設(shè)就不再合理.基于以上問(wèn)題,本文提出了一種同時(shí)考慮光源端和探測(cè)器缺陷的實(shí)用化態(tài)制備誤差容忍參考系無(wú)關(guān)(loss tolerant reference-frame-independent,LT-RFI) QKD協(xié)議,并且以三強(qiáng)度誘騙態(tài)方案[22](信號(hào)態(tài)+弱誘騙態(tài)+真空態(tài))為例進(jìn)行相應(yīng)的模型分析與數(shù)值仿真計(jì)算.該協(xié)議通過(guò)利用虛擬態(tài)方法來(lái)估算相位誤碼率,顯著降低了態(tài)制備缺陷對(duì)密鑰率的影響,這意味著本文的協(xié)議在傳輸過(guò)程中能夠更有效地防止由于態(tài)制備誤差而導(dǎo)致的信息損失.此外,通過(guò)刻畫后脈沖和死時(shí)間對(duì)密鑰率帶來(lái)的影響,本文的協(xié)議還表現(xiàn)出更高的魯棒性,能夠有效應(yīng)對(duì)探測(cè)器端的缺陷問(wèn)題.

2 理論模型

在實(shí)際的量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)中,由于器件的不完美,不可避免地存在量子態(tài)制備誤差、后脈沖效應(yīng)與死時(shí)間效應(yīng).針對(duì)3種缺陷,本文提出了同時(shí)考慮光源和探測(cè)器缺陷的實(shí)用性態(tài)制備誤差容忍參考系無(wú)關(guān)量子密鑰分發(fā)協(xié)議,該協(xié)議通過(guò)將態(tài)制備誤差、后脈沖與死時(shí)間等缺陷分別進(jìn)行建模和刻畫,并對(duì)QKD系統(tǒng)重新進(jìn)行了安全性分析證明,使得該模型的結(jié)果可以對(duì)誤差具有較好的容忍性能,模型的魯棒性得以增強(qiáng).

下面以相位編碼的QKD系統(tǒng)為例進(jìn)行具體模型介紹.由于現(xiàn)實(shí)環(huán)境下編碼系統(tǒng)在態(tài)制備過(guò)程存在一定的缺陷,制備出的量子態(tài)與理想的量子態(tài)之間存在一定偏差,因此考慮態(tài)制備誤差時(shí),Alice對(duì)量子態(tài)中的誤差刻畫如下:

其中δ1和δ2表示由于衰減器或強(qiáng)度調(diào)制器不理想造成的態(tài)制備誤差,δ3和δ4表示由于分束器不理想造成的誤差,θ1和θ2表示由相位調(diào)制器不理想造成的偏差.

在RFI協(xié)議之中,Eve獲取的信息量由IE表示為

其中

接下來(lái),使用虛擬協(xié)議[23]來(lái)更緊致估計(jì)4組不同基矢下的誤碼率:EXX,EXY,EYX,EYY.以誤碼率EXX為例,其表征為虛擬協(xié)議中X基下的比特誤碼率,表達(dá)式如下:

其中pjX,vir表示發(fā)送Alice在系統(tǒng)B發(fā)送虛擬態(tài)的概率;1/4表示Bob選擇X基矢測(cè)量的概率;qsX|t=表示泡利矩陣的傳輸率,且t∈{Id,X,Y,Z};表示Eve竊聽的測(cè)量算符.

對(duì)于虛擬態(tài)的發(fā)送概率pjX,vir,其可表示為p0(1)X,vir={1±sin[(δ1+δ2)/2]}/2,而對(duì)于泡利矩陣的傳輸率qsX|t,與真實(shí)量子態(tài)的計(jì)數(shù)率滿足如下關(guān)系:

由此,可以求得相位誤碼率EXX,其他相位誤碼率EXY,EYX,EYY求解方法相同.以上,可精準(zhǔn)求得竊聽者Eve在量子密鑰分發(fā)過(guò)程中獲取的信息量.

由于在接收端有兩個(gè)探測(cè)器,因此協(xié)議有效的探測(cè)事件分為兩種情況: 兩個(gè)探測(cè)器同時(shí)響應(yīng)或者只有一個(gè)探測(cè)器響應(yīng).首先考慮探測(cè)端帶來(lái)的后脈沖效應(yīng),探測(cè)器的響應(yīng)正確(錯(cuò)誤)的概率以及兩個(gè)探測(cè)器同時(shí)響應(yīng)的概率滿足如下表達(dá)式:

其中Pdc表示暗計(jì)數(shù)率,Pap表示后脈沖概率.

當(dāng)使用弱相干態(tài)(weak coherent state,WCS)光源時(shí),認(rèn)為只有一個(gè)探測(cè)器響應(yīng)且測(cè)得正確的概率為、只有一個(gè)探測(cè)器響應(yīng)但測(cè)得錯(cuò)誤的概率為Done,×、兩個(gè)探測(cè)器同時(shí)響應(yīng)的概率為Dtwo.相應(yīng)的表達(dá)式如下:

其中η表示系統(tǒng)的總透射率,Alice發(fā)送量子態(tài) |?0Z〉且Bob使用Z基測(cè)量得到正確比特值0的概率為C0Z|0Z,錯(cuò)誤結(jié)果的概率為C1Z|0Z.

結(jié)合誘騙態(tài)方法,可以得到平均光子數(shù)為λ的增益為

其中λ∈{μ,v},a=ηCn,sα|jγ,D=1-Pdc.Vn,sα|jγ表示Alice發(fā)送量子態(tài) |?jγ〉且Bob選擇α基測(cè)量得到s比特的條件概率,s,j∈{0,1},α,γ∈{X,Y,Z}.其表達(dá)式為

其中?sα|jγ=(1+ηCsα|jγ-η)n-(1-ηCsα|jγ)n-(1-Pdc)(1-η)n.

當(dāng)考慮死時(shí)間效應(yīng)時(shí),Alice制備 |jγ〉量子態(tài)并發(fā)送平均光子數(shù)為λ的脈沖,然后Bob使用 |sα〉量子態(tài)測(cè)量的探測(cè)概率為Pλ,sα|jγ=cdtPλPγ|λPαQλ,sα|jγ.其中,Pλ表示Alice發(fā)送λ強(qiáng)度脈沖的概率,Pγ|λ表示Alice發(fā)送λ強(qiáng)度脈沖條件下選擇γ基的概率,Pα表示Alice選擇α基矢的概率.cdt表示死時(shí)間效應(yīng)引起的修正系數(shù),滿足關(guān)系式:

其中F為系統(tǒng)重復(fù)頻率,τdt為死時(shí)間大小,為基于ξ基下λ強(qiáng)度的探測(cè)效率.

根據(jù)信號(hào)態(tài)μ、誘騙態(tài)v的增益,可以得到單光子計(jì)數(shù)率的下限,從而得到Z基下的單光子增益和比特誤碼率:

Z基下的整體增益QZ和比特誤碼率eZ,滿足關(guān)系式:

結(jié)合以上參數(shù)和公式,代入下面密鑰率公式,即可得到安全密鑰率[12]大小:

其中,f為系統(tǒng)糾錯(cuò)系數(shù);IE為Eve獲取的信息量.通過(guò)對(duì)上述參數(shù)求解,可以計(jì)算出最終密鑰.

3 數(shù)值仿真結(jié)果及分析討論

在數(shù)值仿真中,使用合理的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)參數(shù)[12],如表1所列.

表1 基于后脈沖效應(yīng)和死時(shí)間效應(yīng)的LT-RFI協(xié)議仿真參數(shù)列表Table 1.Parameter list used in simulation of LT-RFI protocol based on after-pulse effect and dead time effect.

為了更直觀地說(shuō)明光源端和探測(cè)端不同設(shè)備缺陷對(duì)LT-RFI協(xié)議的影響,基于WCS且考慮有限長(zhǎng)效應(yīng)的RFI協(xié)議的密鑰率隨距離的變化曲線如圖1所示.其中,實(shí)線表示不考慮態(tài)制備誤差容忍下RFI協(xié)議的結(jié)果,虛線對(duì)應(yīng)LT-RFI協(xié)議的結(jié)果.

圖1 (a) 基于態(tài)制備缺陷 δ 的RFI協(xié)議以及LT-RFI協(xié)議的密鑰生成率圖;(b)基于后脈沖效應(yīng) Pap 的RFI協(xié)議以及LT-RFI協(xié)議的密鑰生成率圖Fig.1.(a) Key generation rates of the RFI protocol and LT-RFI protocol based on state preparation flaws δ;(b) the key generation rates of the RFI protocol and LT-RFI protocol based afterpulse effect Pap.

圖1基于RFI 協(xié)議和LT-RFI協(xié)議分別比較了兩種不同缺陷條件下的安全密鑰率.圖1(a),(b)中從上到下實(shí)線分別依次表示δ(Pap) 為0(0),0.2004(5%)和0.3006(10%)的RFI 協(xié)議的安全密鑰率曲線;從上到下的折點(diǎn)線則分別依次代表與對(duì)應(yīng)實(shí)線δ(Pap)相同的LT-RFI協(xié)議的安全密鑰率曲線.當(dāng)δ=0.3006時(shí),與理想狀態(tài)相比,與傳統(tǒng)RFI不同,在估算不同基的比特誤碼率時(shí),不是直接對(duì)不完美態(tài)進(jìn)行投影測(cè)量計(jì)算,而是通過(guò)引入虛擬態(tài)、虛擬協(xié)議和過(guò)渡矩陣,對(duì)測(cè)量過(guò)程做了一定變換和優(yōu)化處理,原理上降低了態(tài)制備誤差對(duì)估算結(jié)果的影響.但是,在此過(guò)程中不可避免地增加了一些統(tǒng)計(jì)量參與估算,在考慮有限長(zhǎng)效應(yīng)時(shí),在一定程度上增加了有限長(zhǎng)效應(yīng)的影響,故在態(tài)制備誤差為0時(shí),LT協(xié)議的碼率相比于傳統(tǒng)RFI協(xié)議有一定的下降;隨著態(tài)制備誤差的增大,LT協(xié)議的魯棒性和優(yōu)勢(shì)才逐漸顯示出來(lái).與理想狀態(tài)相比(δ=0.3006),LT-RFI(RFI)協(xié)議的密鑰率下降了約1/2(4/5),最遠(yuǎn)傳輸距離減小了5(12) km.

同樣,當(dāng)Pap=10%時(shí),LT-RFI (RFI)協(xié)議比后脈沖大小為0條件下的密鑰率下降了1/2 (3/4),最遠(yuǎn)傳輸距離減小了6 (25) km.值得注意的是,與傳統(tǒng)RFI不同,LT-RFI在估算不同基的單光子比特誤碼率時(shí),不是直接使用對(duì)不完美態(tài)做投影測(cè)量的結(jié)果進(jìn)行計(jì)算,而是通過(guò)引入虛擬態(tài)、虛擬協(xié)議和傳輸矩陣,對(duì)測(cè)量過(guò)程進(jìn)行一定變換和優(yōu)化處理,原理上降低了態(tài)制備誤差對(duì)估算結(jié)果的影響.但是,在此過(guò)程中不可避免地增加了一些統(tǒng)計(jì)量參與估算過(guò)程,因此,在一定程度上增加了有限長(zhǎng)效應(yīng)的影響,故在態(tài)制備誤差為0時(shí),LT協(xié)議的碼率相比于傳統(tǒng)RFI協(xié)議有一定下降,于是圖1中出現(xiàn)態(tài)制備誤差為0時(shí),紅色實(shí)線略高于黑色虛線的現(xiàn)象;但隨著態(tài)制備誤差的增大,LT協(xié)議的魯棒性和優(yōu)勢(shì)又逐漸顯示出來(lái).

圖2給出了同時(shí)考慮態(tài)制備缺陷和后脈沖效應(yīng)條件下的密鑰率結(jié)果.當(dāng)態(tài)制備缺陷δ=0.2004,Pap=5%時(shí),RFI協(xié)議的密鑰率比理想情況(δ=0,Pap=0)下該協(xié)議的密鑰率降低了67%,最遠(yuǎn)傳輸距離減小了18 km.而我們提出的實(shí)用性LTRFI協(xié)議的密鑰率僅僅降低了50%,最遠(yuǎn)傳輸距離減小5 km.此外,當(dāng)δ=0.3006,Pap=10%時(shí),RFI協(xié)議的密鑰率比理想情況下的密鑰率降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)以上,最遠(yuǎn)傳輸距離更是急劇減小45 km.與之相比,LT-RFI協(xié)議的密鑰率雖然降低了70%,但最遠(yuǎn)傳輸距離僅僅減小了10 km.通過(guò)以上結(jié)果可以得出,基于誘騙態(tài)方法的傳統(tǒng)RFI協(xié)議雖然對(duì)態(tài)制備缺陷和后脈沖效應(yīng)具有一定的魯棒性,但依舊不如LT-RFI協(xié)議.主要由于與傳統(tǒng)的RFI協(xié)議相比,LT-RFI協(xié)議除了對(duì)態(tài)制備誤差具有魯棒性,對(duì)探測(cè)端的后脈沖效應(yīng)也具有良好的魯棒性.主要原因與上面類似,LT-RFI協(xié)議通過(guò)引入虛擬態(tài)、虛擬協(xié)議和傳輸矩陣,對(duì)測(cè)量過(guò)程做了一定變換和優(yōu)化處理,原理上降低了測(cè)量端的不完美對(duì)估算結(jié)果的影響,從而使得Eve獲取的信息量降低,從而具有更好的魯棒性.

圖2 基于態(tài)制備缺陷和后脈沖效應(yīng)的RFI 協(xié)議以及LT-RFI協(xié)議的密鑰生成率圖Fig.2.Key generation rates of the RFI protocol and LTRFI protocol based on state preparation flaws and afterpulse effect.

如圖3所示,當(dāng)不考慮態(tài)制備缺陷時(shí),RFI協(xié)議中Eve獲取的信息量明顯要高于LT-RFI協(xié)議對(duì)應(yīng)的Eve獲取的信息量.在距離相同的條件下,隨著態(tài)制備缺陷δ和后脈沖概率Pap的增大,前者顯著增大,而LT-RFI協(xié)議對(duì)應(yīng)的Eve獲取的信息量?jī)H略微增加.這是由于在LT-RFI協(xié)議中使用的虛擬比特誤密鑰率更加緊致地估計(jì)了相位誤密鑰率,進(jìn)而更加緊致地估計(jì)Eve獲取的信息量.

圖3 基于態(tài)制備缺陷和后脈沖效應(yīng)的RFI 協(xié)議與LT-RFI協(xié)議的Eve獲取的信息量Fig.3.Information leakage to Eve of the RFI protocols and LT-RFI protocols based on state preparation flaws and after-pulse effect.

為了進(jìn)一步展示不同設(shè)備缺陷同時(shí)對(duì)LTRFI協(xié)議造成的影響,下面給出了基于態(tài)制備缺陷、后脈沖效應(yīng)和死時(shí)間效應(yīng)的LT-RFI 協(xié)議的密鑰率隨距離變化的曲線,如圖4所示.其中,黑色實(shí)線表示3種設(shè)備缺陷都為0的密鑰率結(jié)果,紅色實(shí)線與綠色虛線表示δ=0.2004,Pap=5%但死時(shí)間大小不同的密鑰率結(jié)果.為了更好地表現(xiàn)LT-RFI協(xié)議的性能,對(duì)3種缺陷進(jìn)行放大(δ=0.3006,Pap=10%且τdt=1 μs)并對(duì)密鑰率進(jìn)行仿真(紫色虛線).結(jié)果表明,當(dāng)同時(shí)考慮這3種設(shè)備缺陷時(shí),LT-RFI協(xié)議的傳輸距離和安全密鑰率有不同程度的下降.通過(guò)對(duì)比紅色實(shí)線與綠色虛線發(fā)現(xiàn)死時(shí)間效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致短距離內(nèi)的密鑰率大幅下降,但這種影響會(huì)隨著距離的增大而下降,因此最遠(yuǎn)傳輸距離下的密鑰率幾乎相同.此外,與綠色虛線相比,紫色虛線的3種缺陷分別是前者的1.5倍、2倍與50倍,后者的密鑰率減小了一個(gè)數(shù)量級(jí),但最遠(yuǎn)傳輸距離僅減小5 km.因此,對(duì)于LT-RFI協(xié)議,死時(shí)間效應(yīng)只是在近距離時(shí)進(jìn)一步降低密鑰率,而沒(méi)有影響最遠(yuǎn)傳輸距離.

圖4 基于不同設(shè)備缺陷的RFI協(xié)議以及LT-RFI協(xié)議密鑰生成率圖Fig.4.Key generation rates of the RFI protocol and LTRFI protocol based on different defects in equipments.

4 結(jié)論

本文提出了一種同時(shí)考慮光源端與探測(cè)器缺陷的實(shí)用化態(tài)制備誤差容忍參考系無(wú)關(guān)QKD協(xié)議.本文首先考慮了QKD系統(tǒng)中光源的不完美性,將發(fā)送端制備態(tài)誤差大小進(jìn)行刻畫并代入安全性分析之中,并考慮了損耗容忍方法.然后進(jìn)一步考慮了探測(cè)器的不完美性(后脈沖效應(yīng)和死時(shí)間效應(yīng))對(duì)該協(xié)議的影響.以三強(qiáng)度誘騙態(tài)方法為例來(lái)進(jìn)行模型構(gòu)建和參數(shù)估計(jì)方法介紹,同時(shí)開展相應(yīng)數(shù)值仿真計(jì)算.結(jié)果表明,本文提出的協(xié)議通過(guò)利用虛擬態(tài)測(cè)量相位誤密鑰率不僅減小了態(tài)制備缺陷對(duì)密鑰率的影響,還對(duì)探測(cè)器端的缺陷(后脈沖效應(yīng)、死時(shí)間效應(yīng))更具有魯棒性.

需要指出,本文對(duì)RFI QKD的分析中,在接收端使用了兩個(gè)單光子探測(cè)器來(lái)構(gòu)建模型,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,在仿真中假設(shè)兩個(gè)探測(cè)器的性能完全一致.倘若兩個(gè)探測(cè)器性能不一致,如探測(cè)效率和暗計(jì)數(shù)等,則可能會(huì)引入一定安全隱患,進(jìn)而降低整個(gè)QKD系統(tǒng)的實(shí)際性能[24,25].當(dāng)然,在實(shí)際應(yīng)用中,不同探測(cè)器的性能不可避免存在一定差異,是需要實(shí)際考慮和解決的問(wèn)題,也將成為我們后繼的工作重點(diǎn)之一.本方法還可以拓展到其他安全性等級(jí)更高的量子密鑰分發(fā)協(xié)議,如與測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)的量子密鑰分發(fā)協(xié)議[26-30]以及雙場(chǎng)量子密鑰分發(fā)[31,32]等,進(jìn)一步降低實(shí)用化進(jìn)程中QKD系統(tǒng)因器件缺陷所帶來(lái)的不利影響.因此,本文工作將對(duì)QKD系統(tǒng)的實(shí)用化起到一定推進(jìn)作用.