于宗艷，韓連濤，王 麗

（1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022；2.哈爾濱電氣科學(xué)技術(shù)有限公司，哈爾濱 150040）

倒立擺是一個(gè)典型的高階次、不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合、非線性的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[1]。由于倒立擺的控制與空間飛行器和各類伺服平臺(tái)的穩(wěn)定控制有很大的相似性，因此，對(duì)倒立擺的研究又具有重要的實(shí)際意義。目前已有很多控制方法應(yīng)用到了倒立擺的控制中[2-6]，如LQR 控制方法、模糊控制方法、預(yù)測(cè)控制方法、滑?？刂品椒ǖ龋〉昧溯^好的效果，但也存在一些問題，如需要獲得系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、控制精度不高、運(yùn)算耗時(shí)量大及易出現(xiàn)抖振等。

自抗擾控制器（ADRC）其核心思想是將系統(tǒng)模型和外擾作用均當(dāng)作對(duì)系統(tǒng)的擾動(dòng)而自動(dòng)估計(jì)并給予補(bǔ)償，進(jìn)而將對(duì)象變?yōu)橐粋€(gè)簡(jiǎn)單的積分串聯(lián)型系統(tǒng)，然后通過適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)誤差反饋實(shí)現(xiàn)良好的控制品質(zhì)[7-11]。ADRC 不依賴于系統(tǒng)的模型，具有算法簡(jiǎn)單、超調(diào)小、響應(yīng)速度快、精度高、抗干擾能力強(qiáng)和魯棒性強(qiáng)等特點(diǎn)。

本文針對(duì)直線一級(jí)倒立擺，采用自抗擾控制技術(shù)實(shí)現(xiàn)解耦控制的思路，設(shè)計(jì)了直線一級(jí)倒立擺的線性自抗擾控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺在參考位置的穩(wěn)定控制。本文在線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)中利用了已知的系統(tǒng)模型信息，進(jìn)一步提高了觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的跟蹤性能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的線性自抗擾控制器的有效性、強(qiáng)抗干擾性和魯棒性。

1 線性自抗擾控制

實(shí)際中，大量的被控對(duì)象可簡(jiǎn)化為[12]

式中：w 為外擾。ADRC 的核心思想是使用適合的方法，通過對(duì)象的期望輸出r、實(shí)際輸出y 以及控制量u 對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行過程中的實(shí)時(shí)作用量a（t）=f（y，，…，y（n-1），w，u，t）進(jìn)行估計(jì)并給予補(bǔ)償，使系統(tǒng)變成積分串聯(lián)型系統(tǒng)：

然后對(duì)其實(shí)現(xiàn)適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)誤差反饋來達(dá)到控制的目的。

以形如系統(tǒng)（1）的二階系統(tǒng)為例，為了實(shí)現(xiàn)ADRC的核心功能（估計(jì)、補(bǔ)償、反饋控制），二階ADRC 的結(jié)構(gòu)如圖1 所示，現(xiàn)將其各部分作用進(jìn)行說明。

圖1 ADRC 控制器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Frame of ADRC

（1）安排過渡過程裝置。由給定值v0得到過渡過程v1及其微分信號(hào)v2。

（2）擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器ESO。利用被控對(duì)象的輸入、輸出信號(hào)u 和y，將被控對(duì)象的狀態(tài)信號(hào)z1，z2和施加在其上的總和擾動(dòng)信號(hào)z3實(shí)時(shí)地估計(jì)出來。

（3）狀態(tài)誤差的非線性反饋律NF。其中，e1=v1-z1，e2=v2-z2稱為系統(tǒng)的狀態(tài)誤差，而NF 的作用是由e1和e2生成控制律u0。

（4）利用u0和總和擾動(dòng)的實(shí)時(shí)估計(jì)值z(mì)3的補(bǔ)償來確定最終控制信號(hào)u。

式中：b0是與補(bǔ)償強(qiáng)弱有關(guān)的可調(diào)參數(shù)。

線性自抗擾控制技術(shù)（LADRC）是在ADRC 基礎(chǔ)上提出的[13-14]，從組成部分看，由上述的（2）、（3）和（4）部分組成；從數(shù)學(xué)形式看，LADRC 用線性配置替代ADRC 中的非線性配置；從控制角度看，LADRC通過ωc和ωo參數(shù)化方法，將所有的控制器和觀測(cè)器的參數(shù)分別轉(zhuǎn)化為ωc和ωo的函數(shù)，進(jìn)而將困難、復(fù)雜的參數(shù)調(diào)整問題簡(jiǎn)單、直觀化，同時(shí)也更貼近工程師所熟悉的控制語言，這里的ωc表示反饋控制系統(tǒng)的帶寬，ωo表示觀測(cè)器的帶寬。

2 倒立擺的線性自抗擾控制器的設(shè)計(jì)

直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是由小臺(tái)車和倒立擺構(gòu)成。控制量是伺服電機(jī)電樞電壓，被控量是倒立擺的偏角及小臺(tái)車位移，直線一級(jí)倒立擺示意圖參見文獻(xiàn)[15]。

倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型[16]為

式中：φ 為擺相對(duì)于鉛直方向的偏角；x 為小臺(tái)車的位移；J 為擺的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m 為擺的質(zhì)量；L 為擺的質(zhì)心距節(jié)點(diǎn)的距離；M 為小臺(tái)車的質(zhì)量；b 為小臺(tái)車摩擦系數(shù)；g 為重力加速度。

記轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=mL2/3，由式（4）可得：

通常的自抗擾控制技術(shù)處理的對(duì)象是SISO 系統(tǒng)，但是倒立擺系統(tǒng)的輸出由擺的偏角和小臺(tái)車位移組成，并且受控于同一伺服電機(jī)輸出電壓，同時(shí)擺的偏角和小臺(tái)車位移之間還相互影響?？梢姷沽[系統(tǒng)具有強(qiáng)烈的耦合性。

由于自抗擾控制技術(shù)具有內(nèi)在的解耦功能[17]，本文采用自抗擾控制方法實(shí)現(xiàn)解耦控制的思路實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。為此，將系統(tǒng)方程（5）改寫為

進(jìn)一步記為

式中：f1和f2分別為偏角通道和位移通道的總擾動(dòng)，包括內(nèi)擾（系統(tǒng)不確定模型）和外擾。

基于式（8）把u 當(dāng)作輸入，把φ 當(dāng)作輸出，看成一個(gè)單輸入單輸出系統(tǒng)，并將u 和φ 作為偏角通道觀測(cè)器的輸入，用觀測(cè)器的3 個(gè)輸出設(shè)計(jì)偏角通道控制器，從而完成了u 為輸入φ 為輸出的單變量系統(tǒng)的自抗擾控制器設(shè)計(jì)。位移通道的自抗擾控制器設(shè)計(jì)思路同偏角通道。由于倒立擺系統(tǒng)為典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，所以將2 個(gè)通道的控制器輸出之和作為對(duì)象的最終控制量u。倒立擺系統(tǒng)的方案如圖2 所示。

圖2 倒立擺自抗擾控制器結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of LADRC for pendulum

LESO1 是擺的偏角通道的觀測(cè)器，LESO2 是小臺(tái)車位移通道的觀測(cè)器；z11，z12為擺的偏角及其微分信號(hào)的估計(jì)值，z13為對(duì)偏角通道的總擾動(dòng)的實(shí)時(shí)估計(jì)，z21，z22為小臺(tái)車位移及其微分的估計(jì)值，z23為對(duì)小臺(tái)車位移通道的總擾動(dòng)的實(shí)時(shí)估計(jì)；LTD 為對(duì)小臺(tái)車位移設(shè)定值設(shè)計(jì)的線性跟蹤微分器；v0為輸入的小臺(tái)車位移設(shè)定值，v1為對(duì)v0安排的過渡過程也即小臺(tái)車位移設(shè)定值的跟蹤值，v2為v0的近似微分值；由于擺的偏角設(shè)定值為零度，所以忽略其TD設(shè)計(jì)；LF1 和LF2 分別為偏角和位移通道狀態(tài)誤差的線性反饋律，均采用PD 控制律；b01和b02近似為系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)控制輸入的放大系數(shù)的近似值，由于倒立擺系統(tǒng)只有一個(gè)控制輸入u，因此，b01必然等于b02。另外，為了提高位移通道總擾動(dòng)的估計(jì)效果，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)小臺(tái)車位移的穩(wěn)定控制，本文在位移通道的觀測(cè)器設(shè)計(jì)中利用了位移通道總擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)信息即h，這樣位移通道的觀測(cè)器LESO2 的輸入在控制量u 和位移量x 基礎(chǔ)上又增加了一個(gè)h。

3 仿真結(jié)果

采用的直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的參數(shù)為M=1.32 kg；m=0.109 kg；b=0.1 N/m/s；g=9.8 m/s2；L=0.25 m。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]給出的參數(shù)化步驟確定的倒立擺線性自抗擾控制器的各參數(shù)設(shè)置為r=16；b01=b02=-1.8；ωo1=30；ωo2=80；ωc1=40；ωc2=7；kp1=；kd1=10ωc1；kp2=；kd2=16ωc2。

下文對(duì)以下3 種情形分別進(jìn)行仿真，以實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺線性自抗擾控制器的有效性、抗擾性和魯棒性等性能的驗(yàn)證。

圖3 不加干擾時(shí)擺的偏角、小臺(tái)車位移響應(yīng)和控制量變化曲線Fig.3 Response of the pendulum angle cart position and the control viable without disturbance

從圖3 可以看出，當(dāng)擺桿具有一定的偏角時(shí)，自抗擾控制器能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)擺桿的穩(wěn)定控制。在t=25 s給出位移參考指令后，擺的偏角的調(diào)節(jié)時(shí)間為ts=4 s，穩(wěn)態(tài)誤差為零且超調(diào)量很小；小臺(tái)車位移經(jīng)過4 s左右進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為零，超調(diào)量小且振蕩次數(shù)少。說明自抗擾控制器能夠?qū)崿F(xiàn)在給定位置上倒立擺的穩(wěn)定控制，且響應(yīng)速度快，超調(diào)小，控制準(zhǔn)確。

從控制量變化曲線可以看出控制倒立擺由具有一定的偏角到平衡位置所施加的控制信號(hào)的能量較大，控制倒立擺由平衡狀態(tài)到給定位置的穩(wěn)定狀態(tài)所需的控制信號(hào)能量并不大。

（2）在t=45 s 時(shí)對(duì)倒立擺施以幅度為2、持續(xù)時(shí)間為0.1 s 的脈沖轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，其他條件不變進(jìn)行仿真。擺的偏角、小臺(tái)車位移響應(yīng)和控制量變化曲線如圖4 所示。擺的偏角通道和小臺(tái)車位移通道的LESO 對(duì)總擾動(dòng)的跟蹤性能如圖5 所示。

圖4 加擾動(dòng)時(shí)擺的偏角、小臺(tái)車位移響應(yīng)和控制量變化曲線Fig.4 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by adding disturbance

圖5 擺的偏角通道和小臺(tái)車位移通道的總擾動(dòng)及其估計(jì)值Fig.5 Total disturbance and its estimation for pendulum angle and cart position channels

從圖4 可以看出，擺桿只需2 s 就能回到平衡狀態(tài)，而小車位移經(jīng)過5 s 就能進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，且最終能穩(wěn)定在參考位置，說明自抗擾控制器具有良好的抗干擾能力。另外，從控制量變化曲線可以看出為克服擾動(dòng)所施加的控制信號(hào)的能量并不大。

從圖5 可以看出擺的偏角通道和小臺(tái)車位移通道的LESO 能夠?qū)倲_動(dòng)進(jìn)行很好的估計(jì)，進(jìn)而補(bǔ)償總擾動(dòng)，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺在給定位置上的穩(wěn)定控制，說明LESO 具有很好的總擾動(dòng)跟蹤性能。

從圖5 還可以看出位移通道的總擾動(dòng)估計(jì)效果好于擺的偏角通道。這是因?yàn)楸疚脑谖灰仆ǖ赖挠^測(cè)器設(shè)計(jì)中利用了位移通道總擾動(dòng)的導(dǎo)數(shù)信息，這也說明如果完全知道或部分知道對(duì)象模型信息，可以利用并取得更好的跟蹤效果。

（3）下面來研究當(dāng)被控對(duì)象發(fā)生變化或者系統(tǒng)參數(shù)不準(zhǔn)確時(shí)，自抗擾控制器的控制效果。仿真實(shí)驗(yàn)中改變倒立擺系統(tǒng)的以下3 個(gè)參數(shù)，即m=0.159，L=0.5，b=0.2，其他參數(shù)不變。自抗擾控制參數(shù)保持不變，仿真情形同（1）。擺的偏角、小臺(tái)車位移響應(yīng)和控制量變化曲線如圖6 所示。

圖6 對(duì)象參數(shù)改變時(shí)擺的偏角、小臺(tái)車位移響應(yīng)和控制量變化曲線Fig.6 Response of the pendulum angle cart position and the control viable by changing parameters

從圖6 可以看出，在保持自抗擾控制器參數(shù)不變的條件下，改變倒立擺系統(tǒng)的多個(gè)參數(shù)后，仍能取得很好的控制效果，說明自抗擾控制器對(duì)系統(tǒng)參數(shù)具有良好的適應(yīng)性及具有強(qiáng)魯棒性。

4 結(jié)語

對(duì)倒立擺這種高階、不穩(wěn)定、多變量、強(qiáng)耦合、非線性的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，本文利用自抗擾控制器具有的良好的總擾動(dòng)跟蹤能力、強(qiáng)魯棒性，采用自抗擾控制方法實(shí)現(xiàn)解耦控制的思路，設(shè)計(jì)了直線一級(jí)倒立擺的線性自抗擾控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)倒立擺在給定位置的穩(wěn)定控制。

為了提高控制器的控制效果在設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器時(shí)利用了系統(tǒng)已知的模型信息，仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的線性自抗擾控制器的有效性，并且進(jìn)一步驗(yàn)證了線性自抗擾控制器具有的優(yōu)良的抗干擾能力和強(qiáng)魯棒性。但理論分析及其在更高階倒立擺系統(tǒng)上的應(yīng)用有待下一步研究。