王修業(yè)，汪會(huì)明，孫芹芹

（1. 南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210018；2. 南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，南京 210016）

1 引 言

隨著多智能體技術(shù)、人工智能技術(shù)和通信網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速完善和發(fā)展，無(wú)人機(jī)和無(wú)人車的應(yīng)用也越來(lái)越廣泛，如無(wú)人機(jī)環(huán)境偵察系統(tǒng)、無(wú)人機(jī)編隊(duì)作戰(zhàn)系統(tǒng)、無(wú)人車作戰(zhàn)系統(tǒng)、無(wú)人車運(yùn)輸系統(tǒng)等［1-2］。為了將無(wú)人機(jī)和無(wú)人車應(yīng)用于更復(fù)雜的場(chǎng)景，越來(lái)越多的研究人員致力于由多個(gè)無(wú)人機(jī)和無(wú)人車組成的空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制的研究。該系統(tǒng)能夠?qū)o(wú)人機(jī)的偵察能力和無(wú)人車的重型運(yùn)載能力結(jié)合起來(lái)，能夠?qū)η閳?bào)收集、自主目標(biāo)打擊和協(xié)同搜救等任務(wù)的執(zhí)行產(chǎn)生重大影響。因此，空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制的研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義［3］。

空地協(xié)同、碰撞避免、不確定性處理是空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制的三項(xiàng)重要控制任務(wù)。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)這三項(xiàng)控制任務(wù)的相關(guān)技術(shù)問(wèn)題進(jìn)行了研究。在空地協(xié)同控制方面，馬亞杰等基于虛擬領(lǐng)航-跟隨法的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，提出了一種基于分布式自適應(yīng)觀測(cè)器的容錯(cuò)編隊(duì)控制算法，實(shí)現(xiàn)了通信鏈路故障下多無(wú)人機(jī)-多無(wú)人車空地一體協(xié)同控制［4］。周思全等針對(duì)無(wú)人機(jī)-無(wú)人車異構(gòu)系統(tǒng)時(shí)變編隊(duì)控制與擾動(dòng)抑制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了具有分層架構(gòu)的分布式時(shí)變編隊(duì)控制器［5］。朱旭等針對(duì)通信時(shí)延下的高維異構(gòu)無(wú)人機(jī)-無(wú)人車混合編隊(duì)控制系統(tǒng)，提出了系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件和時(shí)延邊界計(jì)算方法［6］。在碰撞避免控制方面，尹鳳儀等提出了一種基于改進(jìn)人工勢(shì)場(chǎng)法的多無(wú)人車編隊(duì)路徑規(guī)劃方法，實(shí)現(xiàn)了無(wú)人車編隊(duì)對(duì)障礙的避碰［7］。蔡澤等提出了一種基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)的自動(dòng)導(dǎo)引車避障方法［8］。Chen 等提出了一種基于微分同胚變換的避碰控制方法［9-15］。在不確定性處理方面，孫芹芹等提出了一種自適應(yīng)有限時(shí)間容錯(cuò)控制方案，能夠?qū)ο到y(tǒng)中存在的不確定性進(jìn)行有效抑制［16-18］。本文對(duì)空地協(xié)同不定義某一固定場(chǎng)景，而是將空地協(xié)同這一類控制任務(wù)抽象出來(lái)，進(jìn)行控制設(shè)計(jì)的研究。

同時(shí)，針對(duì)具有不確定性的空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)了一種多任務(wù)協(xié)同的自適應(yīng)魯棒控制方法。首先，根據(jù)多個(gè)控制任務(wù)分別建立相關(guān)的伺服約束。然后，建立約束跟隨誤差，將空地協(xié)同問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一類近似約束跟隨問(wèn)題。最后，提出了一種自適應(yīng)魯棒控制方法，以驅(qū)動(dòng)無(wú)人集群系統(tǒng)在存在不確定性的情況下仍能遵循約束條件，從而實(shí)現(xiàn)無(wú)人集群系統(tǒng)空地協(xié)同控制中跟隨、避碰和不確定性抑制等多種控制任務(wù)。仿真結(jié)果表明，所提控制方法能夠有效實(shí)現(xiàn)預(yù)期空地?zé)o人集群系統(tǒng)的控制目標(biāo)，并具有良好的性能。

2 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及控制目標(biāo)

考慮一個(gè)空地?zé)o人集群系統(tǒng)，包括N架無(wú)人機(jī)和一輛無(wú)人車。定義N={1，2，…，N}為無(wú)人機(jī)的序號(hào)集，Γ={N+ 1}是無(wú)人車的序號(hào)集，?={1，2，…，N，N+ 1}為分配給所有無(wú)人單位（無(wú)人機(jī)和無(wú)人車）的序號(hào)集。在該系統(tǒng)中，無(wú)人機(jī)和無(wú)人車之間的相互作用和動(dòng)力學(xué)是非常復(fù)雜的，需要復(fù)雜的控制策略來(lái)確保其相互協(xié)同和控制性能。令qi=[xi，yi，zi]T為無(wú)人單位在慣性坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)，τi=[τxi，τyi，τzi]T為控制輸入，其中i∈?。無(wú)人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為［19］

式中，t∈R 為時(shí)間，σi∈Σi?RPi為不確定性參數(shù)， 代表無(wú)人集群系統(tǒng)的不確定性，Mi(qi，σi，t) ＞0 為慣性矩陣，Ci(qi，q?i，σi，t)q?i為 離 心 力 ，gi(qi(t)，σi(t)，t) 為 引 力 ，F(xiàn)i(qi，q?i，σi，t)為系統(tǒng)中的摩擦、空氣阻力或其他外部擾動(dòng)。無(wú)人集群系統(tǒng)中的函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)。

本文針對(duì)空地?zé)o人集群系統(tǒng)的控制目標(biāo)為：無(wú)人車進(jìn)行跟蹤目標(biāo)軌跡，同時(shí)無(wú)人機(jī)群在運(yùn)動(dòng)時(shí)保持與無(wú)人車的期望距離，且不發(fā)生碰撞，如圖1所示。因此，預(yù)期有四方面的性能：（1）無(wú)人機(jī)之間避免碰撞；（2）無(wú)人機(jī)與地面之間避免碰撞；（3）無(wú)人機(jī)跟蹤無(wú)人車；（4）無(wú)人車軌跡跟蹤。

圖1 空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制示意圖Fig.1 Schematic diagram of cross-domain control for airground unmanned swarm systems

3 空地協(xié)同問(wèn)題約束跟隨分析

3.1 控制問(wèn)題描述

第一，考慮無(wú)人機(jī)在相互飛行時(shí)的避碰性能。定義函數(shù)

表征兩架無(wú)人機(jī)k和j之間的距離關(guān)系，其中k，j∈N，k≠j，s＞0表示無(wú)人機(jī)的最大半徑。

定義 1. （無(wú)人機(jī)之間避免碰撞）對(duì)于任意安全初始條件（即dkj(t0)＞0），在所有t＞t0的情況下，dkj(t) ＞0。

第二，考慮無(wú)人機(jī)在飛行過(guò)程中與地面的避碰性能。定義函數(shù)

表征無(wú)人機(jī)k與地面之間的距離關(guān)系，其中hk＞0是無(wú)人機(jī)與地面的最小安全距離。同時(shí)，定義無(wú)人車最高點(diǎn)到地面的距離為hc＞0，且hk＞hc。

定義 2. （無(wú)人機(jī)避免與地面碰撞）對(duì)于任何初始安全條件（即dkh(t0)＞0），在所有t＞t0情況下，dkh(t) ＞0。

注 1. 由于hk＞hc，在定義2 的條件下，無(wú)人機(jī)能夠避免與無(wú)人車相撞。

第三，考慮無(wú)人機(jī)與無(wú)人車之間的空地協(xié)同問(wèn)題。定義函數(shù)

表征無(wú)人機(jī)k與無(wú)人車o之間的距離關(guān)系，基于距離關(guān)系，定義空地協(xié)同誤差

式中，?ko∈R表示無(wú)人機(jī)k和無(wú)人車o之間的期望距離。

定義 3. （無(wú)人機(jī)跟蹤無(wú)人車）對(duì)于無(wú)人機(jī)k的任何初始狀態(tài)qk(t0)，存在時(shí)間Tk＜∞，使得

式中，t≥Tk，?ko＞0是任意小的常量。

第四，考慮無(wú)人車的軌跡跟蹤性能。定義軌跡跟蹤誤差

表征無(wú)人車o和期望軌跡之間的距離的誤差，其中為目標(biāo)軌跡。

定義 4. （無(wú)人車軌跡跟蹤）對(duì)于無(wú)人車o的任何初始位置狀態(tài)qo(t0)，存在時(shí)間To＜∞使得

式中，t≥To，ψ＞0為無(wú)窮小常量。

3.2 約束跟隨分析

第一，進(jìn)行無(wú)人機(jī)相互間避碰約束的約束跟隨分析。對(duì)于系統(tǒng)中的任意兩個(gè)無(wú)人機(jī)k，j（k，j∈N，k≠j），定義

式中，dkj為式（2）顯示的距離關(guān)系函數(shù)。將無(wú)人機(jī)k上的避碰約束構(gòu)造為e?kj= 0，構(gòu)造其二階形式e?kj= 0。令

第二，進(jìn)行無(wú)人機(jī)與地面避碰約束的約束跟隨分析。定義誤差函數(shù)

第三，進(jìn)行無(wú)人機(jī)對(duì)無(wú)人車跟蹤約束的約束跟隨分析。構(gòu)造無(wú)人機(jī)跟蹤約束并求得其二階形式

第四，進(jìn)行無(wú)人車軌跡跟蹤約束的約束跟隨分析。構(gòu)造無(wú)人車軌跡跟蹤并求得其二階形式

4 自適應(yīng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

基于上述約束跟隨分析，本節(jié)將四個(gè)不同的任務(wù)整合，并設(shè)計(jì)一個(gè)控制器同時(shí)完成四種控制任務(wù)，實(shí)現(xiàn)無(wú)人系統(tǒng)空地協(xié)同控制。首先進(jìn)行約束整合，當(dāng)i∈N時(shí)

當(dāng)i∈Γ時(shí)

則每個(gè)無(wú)人單位i（i∈?）的約束跟隨誤差可表示為

在不確定性方面，考慮空地協(xié)同控制中的復(fù)雜時(shí)變不確定性，包括系統(tǒng)本身不確定性、外界干擾、測(cè)量誤差和初始狀態(tài)等。此類不確定性時(shí)變有界，但界限未知，相比以往單純的系統(tǒng)其不確定性更難控制。因此，為了便于后續(xù)進(jìn)行不確定性估計(jì)，將和分解為

定理 1. 基于標(biāo)稱系統(tǒng)式（25） 和約束式（20），得到約束力為

該約束力遵循拉格朗日形式的達(dá)朗貝爾原理［20］，使標(biāo)稱系統(tǒng)在模型已知和不存在不確定性的情況下滿足約束條件。然而，在實(shí)際工程中，該模型在大多數(shù)情況下是未知的（即存在不確定性）。因此，當(dāng)不確定性存在時(shí)，則需要對(duì)整個(gè)不確定系統(tǒng)進(jìn)行更全面的控制設(shè)計(jì)，令

假設(shè)1. （1） 存在一個(gè)未知的常數(shù)向量αi∈(0，∞)ki，以及一個(gè)已知函數(shù)Πi(·，qi，q?i，t)：(0，∞)ki× Rn× Rn× R →R+，對(duì)任意σi∈Σi有

（2） 對(duì)任意(qi，q?i，t) ∈Rn× Rn× R，函數(shù)Πi(·，qi，q?i，t)： (0，∞)ki→R+有以下性質(zhì)：（i） 一階連續(xù)可導(dǎo)；（ii） 函數(shù)Πi為凹函數(shù)，且對(duì)任意αi1，αi2∈(0，∞ki)有

（3）函數(shù)Πi相對(duì)于其自變量αi的每一個(gè)分量都是不遞減的。由于ρiE＞-1，因此 1 +ρiE＞0。Πi(·)與不確定性的邊界有關(guān)。常數(shù)向量αi與邊界集合Σi有關(guān)，因此也可能是未知的。

在假設(shè)1. （2）的一種特殊情況下，函數(shù)Πi(·)可以對(duì)常數(shù)向量αi進(jìn)行線性分解，即存在函數(shù)使得

這為選擇滿足假設(shè)1. （2）要求的Πi(·)提供了一種簡(jiǎn)單可靠的方法。

式中，κi為設(shè)計(jì)參數(shù)，Pi∈Rm×m為設(shè)計(jì)矩陣，γi(·)為控制設(shè)計(jì)函數(shù)，Πi(·)為不確定性邊界函數(shù)［15］。定義自適應(yīng)律

注2. 在本控制方法中，pi1用于確保受控系統(tǒng)的標(biāo)稱部分緊密遵循約束，pi2使得系統(tǒng)狀態(tài)迅速接近期望值，pi3用于使得系統(tǒng)在存在不確定性的情況下，控制τi具有良好的魯棒性，以減少不確定性對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

證明：為驗(yàn)證定理2，選取函數(shù)

為合理的李雅普諾夫備選函數(shù)。其導(dǎo)函數(shù)為

接下來(lái)進(jìn)行單獨(dú)分析，首先分析式（36）右端第一項(xiàng)

當(dāng)系統(tǒng)中不存在不確定性，即σi≡0 時(shí)，ΔMi= ΔCi= Δgi= ΔFi= 0，Qci=pi1，且

根據(jù)式（28）得

根據(jù)式（31）得

由于ΔDi=DiEi，結(jié)合式（32）可得

根據(jù)假設(shè)1及瑞利原理可得

聯(lián)立式（43）及式（44）可得

然后，根據(jù)假設(shè)1. （2）可得

將式（50） 代入式（48），并聯(lián)立式（49）可得

因此

式中，

基于以上分析，定理2 所描述的系統(tǒng)性質(zhì)成立，具體表現(xiàn)為

（1）一致有界性

（2）一致最終有界性

式中，

因?yàn)楹瘮?shù)γi是嚴(yán)格遞增的，因此通過(guò)調(diào)整控制器參數(shù)κi，，εi可以選擇任意小的。至此，基于以上分析，證明所設(shè)計(jì)的約束跟隨控制方法能夠使得受控空地?zé)o人協(xié)同系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的跟蹤和避碰性能。

5 仿真結(jié)果及分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提控制方法的性能水平，本節(jié)在仿真過(guò)程中將所提出的自適應(yīng)魯棒控制與線性二次型調(diào)節(jié)器（Linear Quadratic Regulator，LQR）控制進(jìn)行比較。選取仿真參數(shù)m1，2，3，4= 10，s= 0.25，h1，2，3= 0.2，?14，24，34= 4，l14，24，34=3.6，l4= 3.6，g1，2，3，4= 9.81，κ1，2，3，4= 15，P1，2，3，4= 0.8，，，k1= 0.1，k2= 1.2。選擇1 倍不確定的大小為（1倍描述為 1x， 100 倍描述為 100x）Fi=[0.1sin10t， 0.1sin10t， 0.1sin10t]T以及初始狀態(tài)q1(0) =[0，2，2.8]T，q2(0) =[-1，1，3.3]T，q3(0) =[1，0，2.5]T，q4(0) =[1，0，0]T，。仿真參數(shù)的選用原則為：（1）無(wú)人機(jī)不處于危險(xiǎn)碰撞狀態(tài)，即無(wú)人機(jī)之間保持安全的距離；（2）為了驗(yàn)證在系統(tǒng)初始狀態(tài)不處于目標(biāo)約束下時(shí)控制器的控制性能，無(wú)人車的初始位置選擇在目標(biāo)軌跡上；（3）無(wú)人機(jī)與無(wú)人車初始距離不處于目標(biāo)距離內(nèi)；（4）為大于0的隨機(jī)值；（5）不確定性符合時(shí)變、有界等特性。上述兩種控制器在不同不確定性干擾下的比較結(jié)果如圖2～9所示。

圖2 自適應(yīng)魯棒控制下的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.2 Motion trajectories under the adaptive robust control

圖2、圖3 為在這兩種方法控制下不同不確定性干擾時(shí)每個(gè)無(wú)人單位的運(yùn)動(dòng)軌跡情況。圖4 為任意兩架無(wú)人機(jī)之間的距離關(guān)系， 其中d12，d23，d31始終大于0，且采用自適應(yīng)魯棒控制的任意兩架無(wú)人機(jī)之間的距離比LQR 控制時(shí)更快地穩(wěn)定在安全值。圖5 為每架無(wú)人機(jī)與地面之間的距離關(guān)系，其距離d1h，d2h，d3h始終大于所設(shè)最小安全距離h1，2，3，且相較于LQR控制，自適應(yīng)魯棒控制可使無(wú)人機(jī)更快地到達(dá)穩(wěn)定的飛行高度。圖6 為空地協(xié)同誤差e14，24，34，可以看出，相較于LQR 控制，所提出的控制方法可以使空地誤差更快地接近期望鄰域。圖7 為無(wú)人車的軌跡跟蹤誤差，在所提出的自適應(yīng)魯棒控制策略下，跟蹤誤差接近于期望鄰域，而LQR 控制無(wú)法將跟蹤誤差穩(wěn)定到期望鄰域。圖8、圖9 給出了不同不確定性干擾下的自適應(yīng)參數(shù)的變化趨勢(shì)，二者都在10 s左右近似收斂至0。結(jié)合圖2～9 在100 倍不確定性干擾下的圖線，其所顯示兩種控制方法的各方面控制性能可以表明，當(dāng)加大不確定性干擾時(shí)，所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)魯棒控制器受到不確定性干擾較小，能夠使得系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行。相比之下，LQR 控制下的無(wú)人系統(tǒng)受到了較大干擾，控制效果也隨之下降，各類誤差均無(wú)法收斂至穩(wěn)定值。因此，本文所提自適應(yīng)魯棒控制方法有更好的魯棒性，對(duì)不確定性干擾的抑制效果更好。

圖3 LQR控制下的運(yùn)行軌跡Fig.3 Motion trajectories under the LQR control

圖4 無(wú)人機(jī)之間的距離Fig.4 Distance between UAVs

圖5 無(wú)人機(jī)與地面的距離Fig.5 Distance between UAVs and ground

圖6 空地協(xié)同誤差Fig.6 Air-ground cross-domain coordinated errors

圖7 無(wú)人車的軌跡跟蹤誤差Fig.7 Trajectory tracking errors of UGVs

圖8 自適應(yīng)律的變化趨勢(shì)(1x)Fig.8 Change tendencies of the adaptive laws(1x)

圖9 自適應(yīng)律的變化趨勢(shì)(100x)Fig.9 Change tendencies of the adaptive laws(100x)

6 結(jié) 論

本文針對(duì)多任務(wù)空地?zé)o人集群系統(tǒng)控制問(wèn)題，提出了一種同時(shí)解決多種任務(wù)的自適應(yīng)魯棒控制方法。通過(guò)創(chuàng)造性的轉(zhuǎn)換，將四個(gè)控制任務(wù)分別轉(zhuǎn)化為伺服約束，并將其整合在一個(gè)約束方程中，并建立了約束跟隨誤差χ表征系統(tǒng)性能，將空地協(xié)同控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一類近似約束跟隨問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，提出自適應(yīng)魯棒控制方案，并建立自適應(yīng)律，使得系統(tǒng)在包含不確定性條件下呈現(xiàn)一致有界性和一致最終有界性。最后通過(guò)仿真分析，驗(yàn)證了所提控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)具有避碰、軌跡跟蹤和不確定性抑制性能的無(wú)人機(jī)-無(wú)人車空地集群控制。在未來(lái)的研究中，將進(jìn)一步探究具有外部環(huán)境避碰性能的空地?zé)o人集群系統(tǒng)的控制方法。此外，還將搭建物理實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，進(jìn)一步驗(yàn)證控制方法在實(shí)踐中的有效性。