關(guān)博帆,胡巍,李四海,楊小康,李熾融

(1.西北工業(yè)大學(xué) 自動化學(xué)院,陜西 西安 710072; 2.中國人民解放軍93170部隊(duì),陜西 西安 710000)

慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差分析是慣導(dǎo)研究的重要內(nèi)容[1],這里的誤差分析主要是指分析不同誤差源對最終系統(tǒng)精度的影響。對旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)來說誤差分析這項(xiàng)工作顯得尤為重要。在設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)策略時,要針對器件的誤差特性量體裁衣,有針對性地對影響系統(tǒng)精度程度較大的誤差項(xiàng)進(jìn)行抑制,從而獲得較理想的系統(tǒng)精度。在確定旋轉(zhuǎn)策略后,運(yùn)用合適的誤差分析方法計(jì)算出各誤差源在最終導(dǎo)航誤差中的占比,從而評判旋轉(zhuǎn)策略的優(yōu)劣?？焖佟?zhǔn)確地獲得誤差分析結(jié)果對于評判、驗(yàn)證旋轉(zhuǎn)調(diào)制策略不可或缺。因此,合適的誤差分析技術(shù)對旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)具有相當(dāng)重要的意義。

目前對慣導(dǎo)系統(tǒng)進(jìn)行誤差分析的方法可以分為3種。第一種方法是通過對慣導(dǎo)仿真模型逐次注入特定的誤差項(xiàng)進(jìn)行單次仿真分析,有學(xué)者研究了戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差模型并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了不同誤差源對系統(tǒng)精度的影響[2],這種方法的缺陷是每次加入的誤差是固定值,且忽略了不同誤差之間的耦合關(guān)系。第二種方法是蒙特卡羅仿真方法,這種方法需要進(jìn)行大量的仿真[3],對于旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)的長航時應(yīng)用環(huán)境來說計(jì)算量過大。第三種是協(xié)方差分析法,這種方法脫胎于對組合導(dǎo)航系統(tǒng)中卡爾曼濾波器的分析,通過對濾波器中協(xié)方差矩陣的分析推導(dǎo)獲得各項(xiàng)誤差方差和分布情況。研究人員通過推導(dǎo)協(xié)方差矩陣的更新方程提出了組合導(dǎo)航系統(tǒng)的誤差分析方法[4],還有學(xué)者提出了機(jī)載慣導(dǎo)進(jìn)行空中對準(zhǔn)時的誤差分析方法,并采用蒙特卡羅仿真對誤差分析的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證[5]。夏家和等[6]運(yùn)用協(xié)方差分析法對傳遞對準(zhǔn)過程進(jìn)行了分析,獲得了各項(xiàng)誤差源對航向誤差的貢獻(xiàn)量。但這些協(xié)方差分析方法主要運(yùn)用在濾波器中,而旋轉(zhuǎn)調(diào)制系統(tǒng)是純慣性系統(tǒng),導(dǎo)航解算過程中不涉及卡爾曼濾波器運(yùn)用,需要將協(xié)方差分析法引入到旋轉(zhuǎn)調(diào)制系統(tǒng)中,設(shè)計(jì)出適合該系統(tǒng)的誤差分析方法。

本文提出了一種相對簡單可行的應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)的誤差分析方法。首先給出了慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差模型,并將其改寫為線性狀態(tài)空間模型的形式。然后對狀態(tài)向量進(jìn)行了分解,并詳細(xì)推導(dǎo)了分解后的協(xié)方差矩陣更新方程,得到了狀態(tài)預(yù)測誤差與初始狀態(tài)、系統(tǒng)噪聲中各誤差因素分量之間的關(guān)系。根據(jù)線性系統(tǒng)的線性疊加原理,揭示了各誤差因素之間是相互獨(dú)立的,狀態(tài)預(yù)測總誤差可以分解成各誤差因素的貢獻(xiàn)量之和,從而簡化了誤差分析的計(jì)算方法。與蒙特卡羅法相比,該方法獲得的統(tǒng)計(jì)結(jié)果在理論上是準(zhǔn)確的,并且無需大量的重復(fù)計(jì)算,計(jì)算量更小,耗時更少。最后,對不同的旋轉(zhuǎn)調(diào)制策略運(yùn)用協(xié)方差分析法分別進(jìn)行了誤差分析,得到了初始對準(zhǔn)誤差、IMU常值誤差和隨機(jī)誤差等誤差源對最終系統(tǒng)導(dǎo)航精度的影響,分析結(jié)果能為評估旋轉(zhuǎn)策略的誤差抑制效果,提升系統(tǒng)精度提供有益參考。

1 系統(tǒng)的常規(guī)誤差模型

首先將本文后續(xù)分析所用到的坐標(biāo)系定義如下:i系表示慣性坐標(biāo)系;e系表示地球坐標(biāo)系;g系表示當(dāng)?shù)氐牡乩碜鴺?biāo)系,定義為東-北-天;n系表示導(dǎo)航坐標(biāo)系,本文中選取g系作為導(dǎo)航坐標(biāo)系。b系表示運(yùn)載體坐標(biāo)系,定義為右-前-上。p系表示平臺坐標(biāo)系,即安裝IMU的平臺所在的坐標(biāo)系,該平臺與IMU固連,IMU隨平臺轉(zhuǎn)動。當(dāng)轉(zhuǎn)軸上的測角機(jī)構(gòu)讀數(shù)為零時,p系與b系重合。

一般情況下的姿態(tài)誤差可以表示為[7]

(1)

速度誤差可以表示為

(2)

位置誤差可以表示為

(3)

式中:L,λ,h分別表示運(yùn)載體所在位置的緯度、經(jīng)度和高度;RM和RN分別表示子午圈和卯酉圈的曲率半徑。

旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差模型由3個線性微分方程組成,因此可以將其改寫成矩陣乘法形式,如(4)式所示

(4)

式中,X是由導(dǎo)航誤差和IMU誤差組成的向量,可以用(5)式來定義

(5)

(5)式中的向量元素自左到右依次為初始姿態(tài)誤差、陀螺常值零偏、陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差、陀螺安裝誤差、加速度計(jì)零偏、加速度計(jì)標(biāo)度因數(shù)誤差以及加速度計(jì)安裝誤差。需要說明的是,這里的誤差項(xiàng)并不是固定的,可根據(jù)實(shí)際情況增加或減少。

系統(tǒng)誤差模型中IMU的隨機(jī)誤差,其向量及分布矩陣由(6)式給出

(6)

向量元素自左到右依次為x,y,z三軸陀螺和加速度計(jì)的隨機(jī)噪聲。

(7)

根據(jù)系統(tǒng)的誤差模型,F可以寫成(8)式,而F中一些子矩陣的定義為

這樣就得到了旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)的線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型。

2 協(xié)方差矩陣更新方程的推導(dǎo)

2.1 根據(jù)狀態(tài)空間模型的推導(dǎo)方法

隨機(jī)輸入線性系統(tǒng)空間狀態(tài)模型由(9)式給出

(9)

式中:W為隨機(jī)輸入向量。定義X為n×1維的狀態(tài)向量;W為m×1維的噪聲向量。X的離散形式為

Xk=Φk/k-1Xk-1+Γk-1Wk-1

(10)

將(10)式等號兩邊進(jìn)行轉(zhuǎn)置有

(11)

將(10)和(11)式相乘可以得到

(12)

(13)

式中:Pk為系統(tǒng)誤差的協(xié)方差矩陣;Qk為隨機(jī)誤差的方差矩陣。

在第n次更新的時候,經(jīng)過n次迭代的系統(tǒng)協(xié)方差矩陣可以擴(kuò)寫成

(14)

從(14)式可以看出,第n次迭代后協(xié)方差矩陣值只與初始的協(xié)方差矩陣和隨機(jī)輸入序列有關(guān),如果定義

則(14)式可以寫成

以上結(jié)果可以用如(19)式所示的協(xié)方差矩陣更新公式來概括

(19)

根據(jù)協(xié)方差矩陣對角線上的每個元素將(19)式分解為

(20)

(21)

則協(xié)方差矩陣的更新過程被分解為

(22)

2.2 利用卡爾曼濾波基本方程的推導(dǎo)方法

協(xié)方差分析法在慣導(dǎo)系統(tǒng)的應(yīng)用來源于對卡爾曼濾波器協(xié)方差陣的分析,而對旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系來說,應(yīng)用的是純慣性算法,并沒有外界輔助量測引入系統(tǒng)。但是這里可以借助部分卡爾曼濾波器的思路,摒棄濾波器中的量測更新過程,僅參考其時間更新過程,則可以應(yīng)用于純慣性系統(tǒng)的誤差分析。

卡爾曼濾波的狀態(tài)均方差陣Pk一步預(yù)測方程為

(23)

在僅考慮時間更新過程的情況下可簡寫為

(24)

將其不斷向前遞推可以得到

(25)

一般情況下P0和Q均為對角陣,那么(25)式可以改寫為

(26)

(26)式中有

(27)

(28)

如果令

(29)

那么有

(30)

3 調(diào)制型捷聯(lián)慣導(dǎo)的誤差抑制原理

通常旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)的器件誤差有陀螺常值零偏ε,加速度計(jì)零偏,陀螺的標(biāo)度因數(shù)誤差δKg,加速度計(jì)的標(biāo)度因數(shù)誤差δKa等。

一般情況下陀螺和加速度計(jì)的誤差模型可以表示為[8]

(31)

(31)式表明陀螺和加速度計(jì)的誤差模型具有一致性,唯一不同的是陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差和安裝誤差與轉(zhuǎn)軸的角運(yùn)動存在耦合,且考慮到陀螺誤差對導(dǎo)航精度的影響更加顯著,因此下文以陀螺誤差為例分析繞方位軸勻速旋轉(zhuǎn)下的慣性器件誤差調(diào)制原理。

對于陀螺常值零偏有

(32)

對于陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差有

(33)

對于陀螺安裝偏角有

(34)

可見,在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)δGxy和δGyx無法被調(diào)制,而δGxz,δGzx,δGyz,δGzy在一個周期內(nèi)積分為零,誤差得到了抑制。

對于陀螺隨機(jī)誤差有

(35)

旋轉(zhuǎn)前后陀螺隨機(jī)誤差協(xié)方差并未發(fā)生實(shí)質(zhì)性改變,也即對于陀螺隨機(jī)誤差無法起到周期性旋轉(zhuǎn)調(diào)制作用。這是因?yàn)樾D(zhuǎn)調(diào)制的頻率遠(yuǎn)小于陀螺隨機(jī)誤差的頻率,在一個旋轉(zhuǎn)調(diào)制周期內(nèi),陀螺隨機(jī)誤差的表現(xiàn)形式仍然是白噪聲。

通過對旋轉(zhuǎn)調(diào)制誤差抑制機(jī)理的簡要分析可以看出,同一個旋轉(zhuǎn)動作對不同的器件誤差項(xiàng)抑制效果不同,類似地,由多個旋轉(zhuǎn)動作構(gòu)成的整套調(diào)制策略對不同的器件誤差抑制效果也不同,需要對各個器件誤差的抑制效果進(jìn)行逐項(xiàng)分析,這也正是本文推導(dǎo)協(xié)方差分析法的強(qiáng)項(xiàng)。

4 協(xié)方差分析法的評估與實(shí)際應(yīng)用

下面使用本文推導(dǎo)的協(xié)方差分析法對慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差傳播過程進(jìn)行分析,前提是這里的誤差必須用方差矩陣的形式來進(jìn)行描述,以分析陀螺和加速度計(jì)噪聲的影響。

這種方法與傳統(tǒng)的蒙特卡羅方法不同,新方法不需要進(jìn)行多次的仿真以獲取最終誤差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。尤其是旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)主要應(yīng)用于航海等長航時工作場合,如果進(jìn)行蒙特卡羅仿真將會消耗大量計(jì)算資源和時間,而本文推導(dǎo)的協(xié)方差分析法只需進(jìn)行一次運(yùn)算即可,是一種簡單、快速、可行的慣導(dǎo)誤差分析方法。

下面將設(shè)計(jì)幾組典型的場合進(jìn)行這種分析方法的分析評估和實(shí)際運(yùn)用,分析展示各項(xiàng)誤差的傳播形式以及對總誤差的貢獻(xiàn)。

4.1 協(xié)方差分析法的準(zhǔn)確性評估

最簡單的捷聯(lián)慣導(dǎo)靜態(tài)導(dǎo)航狀態(tài)下,各誤差項(xiàng)的傳播規(guī)律相對明確,因而可以與協(xié)方差分析法處理過的結(jié)果進(jìn)行對比,驗(yàn)證該方法的準(zhǔn)確性。

誤差分析用到的相關(guān)慣導(dǎo)誤差源列于表1中。

表1 誤差源設(shè)置表

簡潔起見,下面僅以經(jīng)度誤差為例展示分析結(jié)果。

圖1清晰展示了捷聯(lián)慣導(dǎo)靜基座條件下24 h的經(jīng)度誤差以及各個誤差項(xiàng)的傳播規(guī)律和總誤差的貢獻(xiàn),從圖中可以得到幾個結(jié)論:

圖1 捷聯(lián)慣導(dǎo)的協(xié)方差分析結(jié)果

1) 初始水平誤差對最終的經(jīng)度誤差影響程度很小,而初始航向誤差的影響則不可忽略,這也是提高初始對準(zhǔn)精度的意義之一。

2) 陀螺誤差對系統(tǒng)總誤差的貢獻(xiàn)比例要遠(yuǎn)大于加速度計(jì)誤差。

3) 靜基座條件下陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差和安裝誤差對總經(jīng)度誤差的貢獻(xiàn)很小,原因是這2項(xiàng)誤差需要通過與角運(yùn)動耦合引入,而靜基座條件下的角運(yùn)動僅有地球自轉(zhuǎn),其數(shù)量級較小,因而引起的誤差有限。

4) 陀螺的常值零偏是靜基座條件下經(jīng)度誤差的主要誤差源。

上述結(jié)論與捷聯(lián)慣導(dǎo)誤差分析[9]得到的結(jié)論一致,也能從側(cè)面驗(yàn)證該分析方法的合理性。

圖2為單軸旋轉(zhuǎn)條件下的經(jīng)度誤差及初始誤差貢獻(xiàn),從圖中可以看出,初始姿態(tài)誤差引起的經(jīng)度誤差曲線與捷聯(lián)條件下完全相同,說明旋轉(zhuǎn)調(diào)制技術(shù)對初始對準(zhǔn)誤差無能為力。

圖2 單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)經(jīng)度誤差(初始對準(zhǔn)誤差貢獻(xiàn))

從圖3可以看出,水平(x,y軸)陀螺零偏引起的經(jīng)度誤差相對于捷聯(lián)慣導(dǎo)大幅度減小,趨近于零,說明繞方位軸的旋轉(zhuǎn)調(diào)制可以很好地抑制水平陀螺的常值零偏。而z軸陀螺零偏的貢獻(xiàn)無變化(圖中未標(biāo)出)。

圖3 捷聯(lián)與單軸旋轉(zhuǎn)慣導(dǎo)陀螺零偏對經(jīng)度誤差貢獻(xiàn)

對比圖1和圖2的總經(jīng)度誤差可以看出,系統(tǒng)經(jīng)度誤差最大值從約23 000 m降到了13 000 m,說明單軸旋轉(zhuǎn)調(diào)制對提高系統(tǒng)精度有一定效果。

接下來進(jìn)行單軸旋轉(zhuǎn)與雙軸旋轉(zhuǎn)的對比。理論上雙軸旋轉(zhuǎn)可以對三軸上的器件誤差進(jìn)行抑制,可以獲得較單軸調(diào)制更佳的效果,下面用協(xié)方差分析法對一種典型的雙軸16位置調(diào)制方法[10]進(jìn)行分析。

從圖4的經(jīng)度誤差曲線可以看出,三軸陀螺零偏造成的誤差相比總誤差可以忽略不計(jì)(僅為數(shù)米),說明雙軸旋轉(zhuǎn)可以調(diào)制三軸陀螺零偏誤差,這也是其與單軸調(diào)制的最大區(qū)別。

上面幾組實(shí)例分析的主要目的是將得到的結(jié)果與已知結(jié)論進(jìn)行對比,從而驗(yàn)證這種分析方法的合理性以及在旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)研究領(lǐng)域的適用性。

4.2 協(xié)方差分析法在評價旋轉(zhuǎn)策略的應(yīng)用

不同的旋轉(zhuǎn)調(diào)制策略對不同器件誤差項(xiàng)有不同的抑制效果,很難找到一種調(diào)制方法能對所有的器件誤差項(xiàng)有最優(yōu)抑制效果,因此要根據(jù)系統(tǒng)的器件誤差特性等因素來選擇最適合的旋轉(zhuǎn)調(diào)制策略,這也是設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)調(diào)制系統(tǒng)非常關(guān)鍵的一個步驟。應(yīng)用上文推導(dǎo)的協(xié)方差分析法可以相對快捷且清晰地獲得某種調(diào)制策略對各項(xiàng)器件誤差的抑制效果,下面通過一個實(shí)例來具體分析。將上文提到的16位置方法和一種64位置方法[11]進(jìn)行對比分析,該64位置方法對陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差有較好的抑制效果。為了凸顯2種調(diào)制方法的差別,將陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差由10×10-6增加為30×10-6,其余條件不變。

從圖5可以看出,2種調(diào)制方法的差別主要是緯度誤差,然后對緯度誤差的各個誤差源進(jìn)行繪圖。

圖5 2種調(diào)制方法的位置誤差圖

從圖6中可以看出,造成2種調(diào)制策略效果差異的主要原因是對陀螺標(biāo)度因數(shù)誤差的抑制。如果某系統(tǒng)采用了標(biāo)度因數(shù)性能較差的陀螺,就需要避免采用這種16位置的調(diào)制方法。

圖6 2種調(diào)制方法的緯度誤差分解

通過上面的實(shí)例分析可以看出,協(xié)方差分析法只需運(yùn)行一次即可獲得各個誤差項(xiàng)對總誤差的貢獻(xiàn),這一特點(diǎn)尤其適合旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)的誤差分析,可清晰地展示各項(xiàng)誤差的傳播規(guī)律以及與總誤差的對比,具有快捷、準(zhǔn)確、明了等特點(diǎn)。該方法在慣導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和精度評估中的應(yīng)用,可以輔助器件選型、系統(tǒng)方案設(shè)計(jì)、慣導(dǎo)算法優(yōu)化等環(huán)節(jié),協(xié)方差分析結(jié)果對慣導(dǎo)算法研究和工程應(yīng)用有一定意義。

5 結(jié) 論

本文在根據(jù)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差模型構(gòu)建狀態(tài)空間模型后,將隨機(jī)誤差的狀態(tài)向量進(jìn)行遞推和分解,推導(dǎo)出了包含初始誤差和系統(tǒng)隨機(jī)誤差信息的協(xié)方差矩陣的更新方程。利用協(xié)方差更新方程即可對系統(tǒng)進(jìn)行誤差分析。這種分析方法僅運(yùn)行一次即可獲得每個誤差源的誤差分布情況,這就為評判調(diào)制策略的優(yōu)劣以及改進(jìn)旋轉(zhuǎn)策略提供了依據(jù),并且相較于蒙特卡羅仿真方法更快速簡明。因此,這種方法在設(shè)計(jì)旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)方面具有較為重要的實(shí)用價值,利用協(xié)方差分析法得到的結(jié)果可以直觀看出某種調(diào)制策略對某項(xiàng)器件誤差的抑制效果,評判調(diào)制策略與系統(tǒng)的適合程度,對優(yōu)化和提升旋轉(zhuǎn)調(diào)制慣導(dǎo)系統(tǒng)精度具有較好的指導(dǎo)意義。