姜佩岑,劉曰濤,于長松,溫尚林,王福凱

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,山東 淄博 255049)

0 引言

近年來,隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展,各行各業(yè)對高精度定位有更高要求[1]。如在物理學(xué)、光通信、生物檢測、微電子、航空航天等領(lǐng)域中,對精度的要求達(dá)到了微納米級。因此,一個(gè)理想的精密定位平臺是保證實(shí)現(xiàn)高定位分辨率的關(guān)鍵[2-3]。壓電陶瓷憑著分辨率高,無磨損,效率高,強(qiáng)度大,響應(yīng)速度快及不發(fā)熱等優(yōu)點(diǎn)成為了一個(gè)理想的執(zhí)行機(jī)構(gòu)[4]。壓電陶瓷的驅(qū)動原理是利用逆壓電效應(yīng),使其迅速完成電能和機(jī)械能間的轉(zhuǎn)化,且其響應(yīng)速度迅速[5-6]。但壓電陶瓷固有的遲滯性和蠕變性影響其精度,其中遲滯性問題占主要地位,所產(chǎn)生的非線性誤差可達(dá)最大量程的10%～14%,導(dǎo)致壓電陶瓷定位平臺的執(zhí)行機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中不能準(zhǔn)確定位到目標(biāo)位置,甚至可能導(dǎo)致工作系統(tǒng)震蕩,不能滿足對精度的要求[7]。

為了提高壓電陶瓷平臺的定位精度,一個(gè)理想的復(fù)合控制系統(tǒng)起著重要作用。理想的控制系統(tǒng)可以降低壓電陶瓷自身特性帶來的不足,從而滿足對壓電陶瓷定位平臺的精度要求。本文采用復(fù)合控制方法,提出一種基于分段式的Prandtl-Ishlinskii(P-I)模型前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng),引入比例-積分控制器作為負(fù)反饋,在保證響應(yīng)速度的情況下,負(fù)反饋部分采用數(shù)字電路,使其具有更高的抗干擾能力,具有一定的學(xué)術(shù)意義和較高的工程實(shí)用價(jià)值。

1 壓電陶瓷定位平臺遲滯模型建立

針對壓電陶瓷遲滯特性建立靜態(tài)遲滯模型。目前遲滯模型可分為物理學(xué)模型和現(xiàn)象學(xué)模型兩大類。本文選用現(xiàn)象學(xué)模型中Prandtl-Ishlinskii模型,是一種在Preisach算子的基礎(chǔ)上優(yōu)化得到的模型。該模型從壓電陶瓷遲滯性的特征入手,更好地?cái)M合壓電陶瓷定位平臺的遲滯特性。該模型的Play算子如圖1所示。

圖1 單個(gè)Play算子

與Preisach模型相比,P-I模型的雙重積分計(jì)算過程少,降低了計(jì)算難度,不僅有利于控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn),還提高了響應(yīng)速度。P-I模型是各個(gè)閾值對應(yīng)的Play算子加權(quán)積分后得到的壓電陶瓷定位平臺的電壓和位移的關(guān)系構(gòu)成的。由圖1可看出,單個(gè)Play算子是奇對稱結(jié)構(gòu),因此P-I模型是一種奇對稱模型。單個(gè)Play算子:

fr(v(t),w(t))=max{v(t)-r,min(v(t)+

r,w(t)}

(1)

式中:r為Play算子的閾值;v(t)為控制系統(tǒng)在t時(shí)刻時(shí)給定的輸入;w(t)為Play算子在t時(shí)刻的輸出,其初始值為

w(0)=Hr[v](0)=fr(v(0),0)=

max{v(0),min(v,0)}

(2)

有限個(gè)數(shù)不同閾值的Play算子加權(quán)積分后得到P-I模型。不同閾值的算子描述不同的遲滯特性現(xiàn)象的輸入、輸出間的關(guān)系。因此,由P-I模型描述的壓電陶瓷遲滯特性更精確。加權(quán)疊加后Play算子的表達(dá)式為

Fk(v(t),w(t))=samax {v(t)-

r,min (v(t)-r,w(t)}

(3)

式中:Fk為閾值r的加權(quán)Play算子在t時(shí)刻的輸出;sa為Play算子的權(quán)值。

再對各個(gè)閾值對應(yīng)的Play算子進(jìn)行加權(quán)積分,得到P-I遲滯模型的表達(dá)式為

r,w(t)}

(4)

式中:y(t)為P-I模型在t時(shí)刻的輸出;k為算子的個(gè)數(shù)。

P-I模型的擬合精度與Play算子的個(gè)數(shù)有關(guān),算子個(gè)數(shù)越少,擬合精度越低;算子個(gè)數(shù)多,雖可提高擬合精度,但也增加了計(jì)算復(fù)雜性。所以在保證精度的前提下,算子個(gè)數(shù)越少越好。算子個(gè)數(shù)與位移誤差如圖2所示。

為了得到最合理情況下算子的個(gè)數(shù),在3～17個(gè)算子中進(jìn)行比較。經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn),當(dāng)算子個(gè)數(shù)為11時(shí),位移的平均誤差為0.22 μm;算子個(gè)數(shù)繼續(xù)增加,位移誤差無明顯減少,可實(shí)現(xiàn)在保證建模精度要求下,降低算法的復(fù)雜程度。

2 遲滯逆模型參數(shù)辨識與驗(yàn)證

選用的P-I遲滯模型存在逆解,同時(shí)其逆模型也是一種奇對稱的P-I模型。壓電陶瓷的遲滯性是不對稱的結(jié)構(gòu),對壓電定位平臺施加電壓,并測得電壓與位移的關(guān)系,得到遲滯曲線圖如圖3所示。

圖3 壓電陶瓷的遲滯曲線

對此提出分段式的P-I模型進(jìn)行擬合,對升程和回程進(jìn)行分別建模,權(quán)值的選擇通過對加速度矢量(dv/dt)的大小進(jìn)行判斷,以確定升壓段或降壓段。逆模型的解與P-I模型的乘積是一個(gè)單位矩陣(yy′=E),對于不同段,逆模型的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)表達(dá)式均可表示為

r′,w′(t))}=s′rF′r[y,y′]

(5)

其中:

(6)

(7)

利用Matlab在同一段三角波下進(jìn)行仿真,將傳統(tǒng)P-I模型、分段式P-I模型與實(shí)際測量值進(jìn)行對比分析,結(jié)果如圖4所示。分段式P-I模型的誤差優(yōu)于傳統(tǒng)P-I模型,平均誤差從3.7%降低到0.69%。

圖4 傳統(tǒng)PI模型與分段式PI模型誤差對比

3 壓電陶瓷定位平臺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)一種基于前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng),在基于分段式P-I遲滯逆模型的前饋逆補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上引入反饋,在保證響應(yīng)速度的前提下,負(fù)反饋部分采用數(shù)字電路,使其具有更高的抗干擾能力。

3.1 前饋控制設(shè)計(jì)

前饋控制是一種開環(huán)控制,響應(yīng)速度快,利用建立的模型充當(dāng)導(dǎo)向作用[8-9],因此這類控制的精度取決于建立模型的精度。對于壓電陶瓷執(zhí)行器,前饋控制也是最便捷的抵消遲滯性影響的方法,是一種直接控制的方法[10]。如圖5所示,開環(huán)前饋控制是將輸入的期望位移轉(zhuǎn)化為控制的輸入電壓信號,進(jìn)而控制壓電平臺的執(zhí)行器,響應(yīng)速度快,且能較大的糾正遲滯性帶來的誤差,但不能對誤差進(jìn)行改進(jìn)。

圖5 前饋控制結(jié)構(gòu)圖

3.2 反饋控制設(shè)計(jì)

雖然有前饋補(bǔ)償起導(dǎo)向作用,理論上能達(dá)到較高的精度,但實(shí)際應(yīng)用中,任何環(huán)節(jié)一點(diǎn)微小的誤差都會影響壓電陶瓷定位平臺的實(shí)際位移輸出,因此引入負(fù)反饋,對實(shí)際應(yīng)用中產(chǎn)生的誤差進(jìn)行補(bǔ)償,可提高平臺的控制精度。

為了使系統(tǒng)具備良好的穩(wěn)定性,產(chǎn)生較小的噪音及擁有更高的控制精度,在前饋補(bǔ)償?shù)那疤嵯乱敕答?設(shè)計(jì)一種串聯(lián)PI控制電路。其中反饋控制器分為比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié),二者相互獨(dú)立,提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)速度。PI控制器的控制規(guī)律表示為

(8)

式中:U(t)為控制輸出電壓;e(t)為輸入位移v(t)和輸出位移w(t)之間的差值;Kp、Ki分別為比例、積分系數(shù)。

反饋控制器采用二進(jìn)制數(shù)字信號的數(shù)字電路,無噪音積累,抗干擾能力強(qiáng),更有利于遠(yuǎn)距離存儲和運(yùn)輸。因此,加入數(shù)字電路使系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠,從而減少了不必要的誤差。

采用雙極板式電容傳感器對壓電陶瓷定位平臺的位移進(jìn)行檢測。與應(yīng)變片式電容傳感器相比,電容式傳感器結(jié)構(gòu)簡單,安裝方便。對于高精度的設(shè)施,復(fù)雜的安裝工序會增加誤差值。因此,采用電容式傳感器在保證分辨率的前提下可增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。

對反饋回路進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化,正弦激勵電路原理圖如圖6所示。選擇有源石英晶振電路作為激勵信號的信號源,使其產(chǎn)生穩(wěn)定幅值和頻率的正弦激勵信號,該信號可將待測電容值轉(zhuǎn)化為電壓值。激勵信號的質(zhì)量是決定檢測電路是否有效的關(guān)鍵。信號首先經(jīng)過A1輸入運(yùn)算放大器LF353-N和電阻R2、R3,以及雙T性陷波濾波器組成的選頻放大電路,然后通過由A2運(yùn)算放大器AD818及對應(yīng)電阻和場效應(yīng)管構(gòu)成穩(wěn)壓調(diào)節(jié)電路,輸出具有穩(wěn)定幅值和頻率的激勵信號,該正弦激勵電路的傳遞函數(shù)為

圖6 正弦激勵電路

(9)

電容轉(zhuǎn)換電路選用雙極板式電容傳感器,利用檢測電路對電容傳感器的電容變化進(jìn)行調(diào)制,然后輸出電壓值,原理圖如圖7所示。電容的變化量很小,需要增大放大器增益及輸入阻抗,確保提高反饋回路的靈敏度。因此,由A1運(yùn)算放大器(OPA637)、電阻R1及電容Cr、C1構(gòu)成高通濾波器。通過電阻和電容值的改變控制雙T型濾波器的頻率。A2運(yùn)算放大器(AD818)和雙T型濾波器構(gòu)成陷波濾波器。該轉(zhuǎn)換電路的傳遞函數(shù)為

圖7 電容轉(zhuǎn)換電路

(10)

式中:Uin為輸入電壓;Uout為輸出電壓;Cr為已知參考電容;Cx為待測電容。

3.3 復(fù)合控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

為進(jìn)一步提高系統(tǒng)的定位精度,在前饋逆補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上引入反饋,本文提出一種基于前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng),如圖8所示。前饋基于分段式的P-I遲滯逆模型,反饋控制器采用串聯(lián)式PI控制器,可保證有較高的響應(yīng)速度,同時(shí)也有較高的精度,且更適合應(yīng)用于實(shí)際工程中。

圖8 復(fù)合控制結(jié)構(gòu)圖

在前饋?zhàn)鳛閷?dǎo)向的前提下,反饋回路具有微調(diào)的作用,有利于在最短時(shí)間內(nèi)盡可能減少誤差,提高系統(tǒng)的定位精度。因?yàn)閴弘娞沾傻倪t滯特性,PI控制器內(nèi)比例、積分部分在電容傳感器檢測到誤差信號時(shí),檢測電路輸出包含位移變化的直流電壓分量,經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換電路實(shí)現(xiàn)數(shù)字化處理,保證誤差信號傳輸時(shí)的可靠性和穩(wěn)定性,有利于信號的存儲和傳輸。比例部分對誤差信號進(jìn)行迅速放大,放大后誤差信號由積分部分進(jìn)行積分,經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換電路輸出驅(qū)動電壓信號,控制壓電陶瓷產(chǎn)生伸縮變形。

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

該實(shí)驗(yàn)平臺用STM32F103VET6搭建控制器,用Visual C++作為編程語言,反饋電路由正弦激勵電路和電容轉(zhuǎn)換電路構(gòu)成,壓電平臺由壓電陶瓷和柔性鉸鏈構(gòu)成,其余部分由驅(qū)動器、TDS1012B-SC數(shù)字儲存示波器、IT6722可編程直流電源等組成。通過上機(jī)位輸入一個(gè)期望控制信號,前饋逆模型輸出補(bǔ)償后的數(shù)字電壓信號,控制器內(nèi)部的D/A轉(zhuǎn)換電路輸出相應(yīng)的模擬信號,驅(qū)動電路控制壓電陶瓷定位平臺的執(zhí)行器產(chǎn)生相應(yīng)的位移,然后通過電容傳感器檢測出位移差,經(jīng)檢測電路后輸出包含位移變化量的電壓信號,經(jīng)A/D轉(zhuǎn)換電路后輸出數(shù)字信號并反饋到反饋控制器內(nèi)。實(shí)驗(yàn)測試平臺如圖9所示。

圖9 測試平臺搭建

在測試行程為0～140 μm時(shí),對壓電陶瓷定位平臺從反向極限到正向極限進(jìn)行輸出。起始點(diǎn)在反向極限處,進(jìn)行5個(gè)周期循環(huán),每個(gè)周期設(shè)置11個(gè)采集點(diǎn),分別為pi(i=1,2,3,…,11),第i個(gè)測量位置準(zhǔn)確度Ai可表示為

(11)

式中:Pij為第i個(gè)位置的第j次測量值;Pi為第i個(gè)位置的理論值;n為測量次數(shù)。

取A=max (Ai),作為平臺測試的準(zhǔn)確度,再分別對5個(gè)周期中壓電平臺的輸出位移進(jìn)行記錄,得出在復(fù)合控制系統(tǒng)下壓電定位平臺的性能實(shí)驗(yàn)結(jié)果,如圖10所示。

圖10 期望位移與實(shí)際輸出位移對比曲線

由圖10可看出,壓電陶瓷定位平臺的實(shí)際輸出位移與期望位移誤差較小,且未出現(xiàn)與期望位移偏移的情況。比較兩種位移行程,得到的誤差如圖11所示。由圖可看出,實(shí)際位移所產(chǎn)生的誤差較小,且存在一定的周期性規(guī)律,最大誤差出現(xiàn)在升程段與回程段交匯處,以及回程段的回零點(diǎn)處。

圖11 期望位移與實(shí)際位移輸出位移誤差

在復(fù)合控制系統(tǒng)和僅有開環(huán)控制的情況下,對兩種控制精度進(jìn)行對比分析,并記錄在1個(gè)周期下的誤差對比,如圖12所示。由圖可看出,復(fù)合型控制系統(tǒng)的控制精度更高。

圖12 兩種控制方法下的誤差對比

根據(jù)參考國標(biāo)GB/T 38614—2020的測試標(biāo)準(zhǔn),測量結(jié)果表明,在設(shè)計(jì)的復(fù)合控制系統(tǒng)控制下,壓電陶瓷定位平臺正、反向重復(fù)定位精度分別為0.013 1 μm和0.015 5 μm,準(zhǔn)確度為0.033 5 μm,計(jì)算出反向差值后可得遲滯誤差為0.013%。

5 結(jié)束語

針對壓電陶瓷位移平臺固有的遲滯非線性會降低其定位精度的問題,本文提出一種帶有前饋補(bǔ)償?shù)膹?fù)合型閉環(huán)控制系統(tǒng)。設(shè)計(jì)一種分段式P-I模型作為前饋補(bǔ)償,建模誤差率小于0.69%。為了提高平臺的控制精度提出了一種串聯(lián)式PI控制電路。為了提高系統(tǒng)的抗干擾能力,檢測回路采用雙極板電容式傳感器,并增加A/D轉(zhuǎn)換電路使其信號數(shù)字化,以便存儲和運(yùn)輸。根據(jù)GB/T 38614—2020 進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試,結(jié)果可得出遲滯模型的擬合精度得到提高,控制精度更準(zhǔn)確。最終驗(yàn)證了本文所提出的復(fù)合控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和有效性。