摘 要：Banach空間的光滑性是Banach空間幾何理論的重要研究?jī)?nèi)容之一， 其與Banach空間的凸性，范數(shù)的可微性均有密切關(guān)系?；诖私o出了賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz函數(shù)空間EΦ，p光滑性的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：Musielak-Orlicz函數(shù)空間；p-Amemiya范數(shù)；對(duì)偶空間：光滑性; 嚴(yán)格凸

DOI：10.15938/j.jhust.2024.04.016

中圖分類號(hào)： O177.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2024）04-0147-05

Smoothness in Musielak-Orlicz Function

Spaces Equipped with p-Amemiya Norm

XU Anqi， CUI Yunan

（School of Sciences， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：The smoothness of" Banach spaces is one of the important" research content in the geometric theory of Banach spaces， which is closely related to the convexity of" Banach spaces and the differentiability of norms. In this paper， we provide necessary and sufficient conditions for smoothness of" Musielak-Orlicz function spaces equipped with p-Amemiya norm.

Keywords：Musielak-Orlicz function space; p-Amemiya norm; dual space; smoothness; strict convexity

0 引 言

光滑性作為Banach空間的基本性質(zhì)，其與凸性、可微性等聯(lián)系緊密。Musielak-Orlicz函數(shù)空間作為經(jīng)典Orlicz空間的延伸，在調(diào)和分析、 PDE等領(lǐng)域有著重要的價(jià)值。有關(guān)Musielak-Orlicz空間的光滑性已有很多討論。1987年王廷輔，陳 述 濤 得 到了賦Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的光滑性、強(qiáng)光滑性和一致光滑性的判據(jù)^［1］。陶良德在1988年給出了Orlicz序列空間光滑性的判據(jù)，得出了Orlicz序列空間光滑的充分必要條件^［2］。1989年陳 述 濤給出了Orlicz函數(shù)空間關(guān)于Orlicz范數(shù)光滑點(diǎn)的判別方法，并由此推導(dǎo)出空間光滑的充分必要條件^［3］。1991年王保祥、張?jiān)品宸謩e給出了賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz序列空間中光滑點(diǎn)的判定準(zhǔn)則^［4］。2008年，崔云安等在Orlicz空間中引入p-Amemiya范數(shù)的定義，之后開始研究有關(guān)p-Amemiya范數(shù)下的幾何性質(zhì)^［5］。2010年到2011年間，陳麗麗等研究賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz空間的復(fù)強(qiáng)端點(diǎn)及復(fù)凸性等問(wèn)題^［6-7］。本文主要給出賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz空間為光滑的充要條件。

1 預(yù)備知識(shí)

本文以X及X*分別表示Banach空間及其對(duì)偶空間。

定義1^［8］ 設(shè)（G，Σ，μ）為無(wú)原子有限測(cè)度空間。Φ（t，u）是G×［0，∞）→［0，∞）的二元函數(shù)，并且滿足：

1）對(duì)任意的u∈［0，∞），Φ（t，u）是t的μ可測(cè)函數(shù)；

2）對(duì)t∈G，Φ（t，u）關(guān)于u是凸函數(shù)，Φ（t，0）=0，limu→∞Φ（t，u）u=∞。

則稱Φ（t，u）為Musielak-Orlicz函數(shù)。

記L0（G）為G上的可測(cè)函數(shù)構(gòu)成的集合，對(duì)于任意的x∈L0（G），x的模定義：

IΦ（x）=∫GΦ（t，x（t））dμ。

定義2^［5］ 線性集

LΦ={x∈L0（G）：存在λgt;0，使得IΦ（λx）lt;+∞}

賦予如下范數(shù)

‖x‖Φ，p=infkgt;01k（1+IpΦ（kx））^1p，1≤plt;+∞

infkgt;01kmax{1，IΦ（kx）}，p=+∞

稱為p-Amemiya范數(shù)，構(gòu)成了Banach空間。稱{LΦ，‖·‖Φ，p}為賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間，記為L(zhǎng)pΦ。

注：1-Amemiya范數(shù)就是經(jīng)典Musielak-Orlicz空間中的Orlicz范數(shù)‖·‖0Φ（也稱為Amemiya范數(shù)），+∞-Amemiya范數(shù)就是經(jīng)典Musielak-Orlicz空間中的Luxemburg范數(shù)‖·‖L，當(dāng)1lt;plt;+∞時(shí)，有‖x‖L≤‖x‖Φ，p≤‖x‖oΦ。

定義3^［8］ 若對(duì)于任意的x∈S（X）={x∈X：‖x‖=1}，存在唯一的f∈S（X*），使f（x）=1則稱Banach空間X是光滑的。

定義4^［8］ Φ（t，u）對(duì)于t∈G，關(guān)于u是嚴(yán)格凸的定義是：對(duì)于t∈G，任意的u，v∈R，u≠v，有

Φt，u+v2lt;Φ（t，u）+Φ（t，v）2。

定義5^［8］ 若對(duì)于任意x，y∈S（X），x+y2=1，則有x=y，則稱Banach空間X是嚴(yán)格凸的。易得：如果Banach空間X的對(duì)偶空間X*是嚴(yán)格凸的，則X是光滑的。

實(shí)際上，對(duì)于任意的x∈S（X），如果存在f，g∈S（X*）滿足：

f（x）=g（x）=‖x‖=1 ，

則：2=f（x）+g（x）≤‖f+g‖≤‖f‖+‖g‖=2。

即f+g2=1。利用X*是嚴(yán)格凸的，知f=g，從而X是光滑的。

記Ψ（t，v）=sup{uv－Φ（t，u）∶ugt;0}，則稱Ψ（t，v）為Φ（t，u）Young意義下的余函數(shù)，同時(shí)Φ（t，u）也是Ψ（t，v）Young意義下的余函數(shù)。

因?qū)τ诿總€(gè)t∈G，Ψ（t，u）關(guān)于u是凸函數(shù)，從而其左右導(dǎo)數(shù)均存在，以q+（t，v）表示Ψ（t，u）的右導(dǎo)數(shù)。

以qgt;1表示pgt;1的共軛數(shù)，即1p+1q=1。

記

Z={（u，v）∶u，v≥0且u+v=（1+up）^1p（1+vq）^1q}。

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)Φ，Ψ是Young意義下互余的Musielak-Orlicz函數(shù)且limv→∞Ψ（t，v）v=+∞。則對(duì)于任意的y∈LΨ，有（IΦ（q+（k|y|）），IΨ（ky））∈Z，其中k∈kgt;0∶1k（1+IqΦ（ky））^1q=‖y‖Ψ，q。

證明：由于limv→∞Ψ（t，v）v=+∞，所以對(duì)于每個(gè)y∈S（LΨ，q），都存在kgt;0滿足‖y‖Ψ，q=1k（1+IqΨ（ky））^1q。

如果上式不成立，則由f（k）=1k（1+IqΨ（ky））^1q關(guān)于kgt;0是連續(xù)函數(shù)，可知

‖y‖Ψ，q=limk→∞1k（1+IqΨ（ky））^1q=limk→∞IΨ（ky）k。

利用y∈S（LΨ，q），存在agt;0滿足：

m（{t∈G∶|y（t）|≥a}）gt;0。

從而

IΨ（ky）k=∫GΨ（t，ky（t））kdt≥

∫GaΨ（t，ky（t））kdt≥a∫GaΨ（t，ka）kadt。

由于函數(shù)Ψ（t，u）u關(guān)于ugt;0是單調(diào)遞增函數(shù)，由Levi定理得：

limk→∞IΨ（ky）k≥limk→∞a∫GaΨ（t，ka）kadt≥

a∫Galimk→∞Ψ（t，ka）kadt=+∞。

與‖y‖Ψ，q=1矛盾。

下面證明

（IΦ（q+（k|y|）），IΨ（ky））∈Z，

令

u=IΦ（q+（k|y|）），v=IΨ（k|y|），

且

u+v≤（1+up）^1p）（1+vq）^1q，

成立的情形與Young不等式uv≤Φ（u）+Ψ（v）等式成立的條件一致從而u+v=IΦ（q+（k|y|））+IΨ（k|y|）。

定理2 （EΦ，p）*=LΨ，q。

證明：我們只需證明1lt;plt;∞的情形，對(duì)于任意的y∈LΨ，q，y≠0我們定義EΦ，p上的線性泛函如下：

f（x）=∫Gx（t）y（t）dt，

取kgt;0，lgt;0滿足：

‖x‖Φ，p=1k（1+IpΦ（kx））^1p，

和

‖y‖Ψ，q=1l（1+IqΨ（kx））^1q。

|f（x）|=|∫Gx（t）y（t）dt|≤

∫G|x（t）y（t）|dt=

1kl∫G|kx（t）||ly（t）|dt≤

1kl∫G［Φ（|kx（t）|）+Ψ（|ly（t）|）］dt=

1kl（IΦ（kx）+IΨ（ly））≤

1k（1+IpΦ（kx））1l（1+IpΨ（ly））=

‖x‖Φ，p‖y‖Ψ，q。

從而f（x）=∫Gx（t）y（t）dt為EΦ，p上的有界線性泛函，且‖f‖≤‖y‖Ψ，q。取yn（t）=y（t）χGn，Gn={t∈G∶|y（t）|≤n}則q+（kyn）∈LΦ，p，取kngt;0，滿足‖yn‖Ψ，q=1kn（1+IqΨ（knyn））^1q。

則

|∫Gq+（kn|yn（t）|）yn（t）dμ|=

1kn∫Gq+（kn|yn（t）|）kn|yn（t）|dμ=

1kn（∫G（Φ（q+（kn|yn（t）|））+Ψ（kn|yn（t）|））dμ）=

1kn（IΦ（q+（kn|yn（t）|））+IΨ（knyn））=

1kn（1+（IPΦ（q+（kn|yn（t）|））））^1P

1kn（1+（IqΨ（kn|yn|）））^1P≥

‖q+（kn|yn|）‖Φ，p‖yn‖Ψ，q

即

|∫Gq+（kn|yn（t）|）yn（t）dμ|‖q+（kn|yn|）‖Φ，p≥‖yn‖Ψ，q，

因?yàn)?/p>

q+（kn|yn（t）|）‖q+（kn|yn|）‖Φ，p=xn（t）∈x∈S（LΦ，p），

‖yn‖Ψ，q→‖y‖Ψ，q。

所以

∫Gxn（t）y（t）dμ=∫Gxn（t）yn（t）dμ。

得到

‖fy‖≥∫Gxn（t）y（t）dμ→‖y‖Ψ，q，

即

‖fy‖≥‖y‖Ψ，q。

因此‖fy‖=‖y‖Ψ，q，則（EΦ，p）*=LΨ，q。

定理3 EΦ，p是光滑的當(dāng)且僅當(dāng)Ψ是嚴(yán)格凸的。

證明：充分性：

任意的x=S（LΨ，q）∈S（EΦ，p），令f∈S（（EΦ，p）*）是x的一個(gè)支撐泛函。若存在x的另一個(gè)支撐泛函f′。取k1gt;0，k2gt;0滿足

‖f‖Ψ，q=1k1（1+IqΨ（k1f））^1q，

和

‖f′‖=1k2（1+IqΨ（k2f′））^1q。

若f≠f′，存在正 測(cè) 集e有f（t）≠f′（t），t∈e。進(jìn)而有e′G，m（e′）gt;0，滿足k1f≠k2f′。

若k1f=k2f′a.e.t∈e，則‖k1f‖=‖k2f′‖，由‖f‖=‖f′‖=1，知k1=k2，進(jìn)而f=f′，矛盾。故e′G，m（e′）gt;0。滿足k1f（t）≠k2f′（t），t∈e′。由Ψ是嚴(yán)格凸的，知

2=‖f+f′‖*Ψ，p≤

k1+k2k1k21+IqΨk2k1+k2k1f+k1k1+k2k2f′^1q≤

k1+k2k1k2k2k1+k2（1+IqΨ（k1f））+

k1k1+k2（1+IqΨ（k2f′））^1qlt;

1k1（1+IqΨ（k1f））^1q+

1k2（1+IqΨ（k2f′））^1q=

‖f‖+‖f′‖=2。

矛盾，從而f=f′，即EΦ，p是光滑的。

必要性：若Ψ不是嚴(yán)格凸函數(shù)，即存在a（t）gt;0，b（t）gt;0，a（t）lt;b（t），

滿足

q-（t，v）=A（t），a（t）≤v≤b（t）。

記{rn}為正的有理數(shù)集，

Gn，m={t∈G∶q-（t，rn）=q-（t，rm）}，

則

G0=∪∞n，m=1n≠mGn，m

若Ψ（t，u）不是嚴(yán)格凸的，則存在n0，m0∈N，滿足m（Gn0，m0）gt;0。不妨設(shè)rn0lt;rm0，∫n0，m0Ψ（t，p－（t，rn0））dtlt;1。再取agt;0，滿足

（∫G/Gn0，m0Φ（t，a）dt+∫Gn0，m0Φ（t，p－（t，rn0））dt）^p－1（∫G/Gn0，m0Ψ（t，

p－（a））dt+∫G/Gn0，m0Ψ（t，p－（t，rn0））dt）≥1。

因?yàn)闇y(cè)度為無(wú)原子的，故存在G1G/Gn0，m0滿足：

（∫G1Φ（t，p－（a））dt+∫Gn0，m0Φ（t，p－（t，rn0））dt）^p－1（∫G1Ψ（t，

a）dt+∫G/Gn0，m0Ψ（t，p（t，rn0））dt）=1。

令x（t）=aχG1（t）+p（t，rn0）χGn0，m0（t），

將Gn0，m0分成兩個(gè)測(cè)度相等且互不相交的兩個(gè)集合E、F。Gn0，m0=E∪F。定義：

w1（t）=rn0χE（t）+rm0χF（t）+aχG1（t），

w2（t）=rm0χE（t）+rn0χF（t）+aχG1（t）。

令

v1=w1‖w1‖Ψ，q，v2=w2‖w2‖Ψ，q。

則

1≥1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p

∫Gx（t）w1（t）dt=

1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p（IΦ（x）+IΨ（w1））=

1‖w1‖Ψ，q1‖x‖Φ，p（1+IpΦ（x））^1p（1+IqΨ（w1））^1q≥1。

即w1為x的支撐泛函，同理w2也為x的支撐泛函，故EΦ，p不是光滑的，矛盾，證畢。

參 考 文 獻(xiàn)：

［1］ 王廷輔， 陳述濤. Orlicz空間的光滑性［J］. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1987，4（3）：113.

WANG Tingfu，CHEN Shutao.Smoothness of Orlicz Spaces［J］.Journal of Engineering Mathematics，1987，4（3）：113.

［2］ 陶良德. Orlicz序列空間的光滑性［J］. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1988，4（1）：13.

TAO liangde.Smoothness of Sequence Orlicz Spaces［J］.Natural Sciences Journal of Naormal University，1988，4（1）：13.

［3］ 陳述濤. Orlicz空間的光滑點(diǎn)［J］. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1989，5（1）：1.

CHEN Shutao.Smooth Points of Orlicz Spaces［J］.Natural Sciences Journal of Naormal University，1989，5（1）：1.

［4］ 王保祥， 張?jiān)品? Orlicz序列空間的光滑性［J］. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，1991，7（3）：18.

WANG Baoxiang，ZHANG Yunfeng.The Smooth Points of Orlicz Sequence Spaces［J］.Natural Sciences Journal of Naormal University，1991，7（3）：18.

［5］ CUI Yunan， DUAN Lifen ， HUDZIK H. Basic Theory of" p-Amemiya Norm in Orlicz Spaces： Extreme Points and Rotundity in Orlicz Spaces Endowed with These Norms［J］. Nonlinear Analysis： Theory Methods amp; Applications， 2008， 69（5/6）：1796.

［6］ CHEN Lili， CUI Yunan.. Complex Extreme Points and Complex Rotundity in Orlicz Function Spaces Equippd with the p-Amemiya Norm［J］. Nonlinear Analysis： Theory Methods amp; Applications， 2010， 73（5）：1389.

［7］ CHEN Lili， CUI Yunan. Complex Rotundity of Orlicz Sequence Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm ［J］. Journal of Mathematical Analysis amp; Applications， 2011， 378（1）：151.

［8］ 吳從炘， 王廷輔， 陳述濤， 等. Orlicz空間幾何理論［M］. 哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社， 1986.

［9］ WISLA M. Orlicz Spaces Equipped with s-norm ［J］." Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2020， 483（2）：1.

［10］CUI Yunan， HUDZIK H， LI Jingjing. Some Fundamental Properties for Duals of Orlicz Spaces［J］. Nonlinear Analysis： Theory Methods amp; Applications， 2010， 73 （8）：2353.

［11］趙麗， 崔云安. 賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz序列空間的Kadec-Klee性質(zhì)［J］. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2021， 26（5）：157.

ZHAO Li，CUI Yunan.Kadec-klee Property in Musielak-Orlicz of SequenceSpace Equipped with p-Amemiya Norm［J］. Journal of Harbin University of Science and Technology，2021，26（5）：157.

［12］LI Xiaoyan， CUI Yunan， WISLA M. Smoothess of Orlicz Function Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］. Banach Journal of Mathematical Analysis， 2021（5）：1.

［13］KACZMAREK R. Uniform Rotundity of Orlicz Funtion" Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］. Mathematische Nachrichten， 2018， 291（10）：1514.

［14］Rui F. Smoothness of the Orlicz Norm in Musielak-Orlicz Function Spaces［J］. Mathematische Nachrichten， 2014， 287（8/9）：1025.

［15］CUI Yunan ， Zhao Li. Kadec-Klee Property in Musielak-Orlicz Function Spaces Equipped with the Orlicz Norm［J］. Aequationes mathematicae， 2021（3）：1.

［16］KAMINSKA A. Indices， Convexity and Concavity in Musielak-Orlicz Spaces［J］. Functiones et Approximatio， 1998， 26：67.

［17］FAN Xianling. Amemiya Norm Equals Orlicz Norm in Musielak-Orlicz Spaces［J］. Acta Mathematica Sinica， 2007， 23（2）：93.

［18］崔云安， 牛金玲， 陳麗麗. 賦p-Amemiya范數(shù)的Musielak-Orlicz函數(shù)空間的復(fù)凸性［J］. 哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)， 2013，29（2）：7.

CUI Yunan，NIU jinling，CHEN Lili.Complex Rotundity in Musielak-Orlicz Function Spaces Equipped with the p-Amemiya Norm［J］.Natural Sciences Journal of Naormal University，2013，29（2）：7.

［19］賈靜， 王俊明. 賦p-Amemiya范數(shù)Musielak-Orlicz空間的強(qiáng)端點(diǎn)［J］. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2018， 23（5）：124.

JIA Jing，WANG Junming.The Strongly Extreme Points in the Musielak-Orlicz Space Endowed With p-Amemiya Norm［J］. Journal of HarbinUniversity of Science and Technology，2018， 23（5）：124.

［20］HANEBALY E. The Fixed Point Property in Banach Spaces via the Strict Convexity and the Kadec-Klee Property［J］. Journal of Fixed Point Theory and Applications， 2020， 22（2）：1.

（編輯：溫澤宇）