［摘 要］文章深挖微專題的內(nèi)涵和特點，以“擺線運動”微專題復習為例，探索如何從解決問題的不同方向入手，有針對性地引導學生抓住問題的本質(zhì)、培養(yǎng)科學思維、建立物理模型、提煉方法形成策略，進而使學生領(lǐng)會物理科學思維方式，提高解決問題能力，從“學會”走向“會學”。

［關(guān)鍵詞］微專題復習；擺線運動；建模

［中圖分類號］" " G633.7" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0041-04

電磁場是高考物理的高頻考點，由于電磁場的模型眾多，學生建模非常困難，且不易發(fā)現(xiàn)問題間的內(nèi)在聯(lián)系，難以建立知識之間的關(guān)聯(lián)性，因此電磁場部分的復習往往繁雜而低效。設(shè)計微專題引導學生復習，可幫助學生建構(gòu)物理模型，把握知識之間的聯(lián)系，讓學生能夠在多變的情境中靈活運用知識。本文以“擺線運動”為例對電磁場的復習進行探究，并利用微專題形式，幫助學生建構(gòu)物理模型，領(lǐng)會物理科學思維方式，提高解決問題能力，讓學生從“學會”走向“會學”。

一、微專題的內(nèi)涵與特點

微專題的“微”，是指以一個“點”為中心，這個點可以是學生難以理解的一個概念、規(guī)律、模型。微專題教學聚焦學生不清楚的知識點，點對點地引導學生梳理知識，用時短，針對性強。

微專題的“?！?，指的是對這個“微”知識點，“專”門進行深入細致、透徹的分析。微專題教學旨在循序漸進、由點及面地引導學生運用科學思維方法，定性、定量地對相關(guān)問題進行科學推理，從而找出規(guī)律、形成結(jié)論，進一步認識和體會物理模型在探究自然規(guī)律中的作用[1]。

小切口、針對性強是微專題教學的主要特征，確定有價值的教學主題是關(guān)鍵。教師可以結(jié)合相關(guān)考點，從學生的學情出發(fā)，將復習內(nèi)容按主題進行逐級分解，從一級主題到二級主題，再到微專題，構(gòu)建邏輯清晰的知識網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化學生的物理認知結(jié)構(gòu)。例如在電磁場中“帶電粒子在電磁場中的運動”就是一級主題，其二級主題包括“單電場”“單磁場”“復合場”“儀器”。在“復合場”中，“沒有約束面的疊加場”是其中一個三級主題，“擺線運動”是“沒有約束面的疊加場”下的一個微專題。

二、“擺線運動”微專題教學實踐

“擺線運動”微專題教學的思路是首先建構(gòu)數(shù)學模型，提出擺線運動的定義；其次引導學生將數(shù)學模型轉(zhuǎn)換為物理模型，分析物理模型的特點和規(guī)律；最后精選6道例題，通過建構(gòu)模型、變式訓練等方法，使學生能夠?qū)χR進行歸納總結(jié)，并學會舉一反三，將同一類問題聯(lián)系起來，提煉解決問題的方法。

“擺線運動”微專題教學的程序圖如圖1所示。

（一）從數(shù)學角度精準建模

首先，提出擺線運動的定義：如圖2，一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線，這種運動稱為擺線運動。

其次，從數(shù)學角度推出擺線運動的軌跡方程：

[x=a（θ-sinθ）]

[y=a（1-cosθ）]

通過數(shù)學方法總結(jié)出擺線的性質(zhì)：

（1）拱高：2a

（2）拱寬：[2πa]

（二）從物理角度精準建模

1.從“分解運動”角度進行物理建模

對比數(shù)學對擺線運動的定義，用運動分解的思路把擺線運動分解為勻速直線運動和勻速圓周運動來進行分析，建立物理模型，強調(diào)“配速法”的運用。下面以2018年蚌埠的一道模擬題來介紹“配速法”。

［例1］如圖3所示，[xOy]坐標平面在豎直面內(nèi)，[x ]軸沿水平方向，[y]軸正方向豎直向上，在圖示空間內(nèi)有垂直于[xOy]平面的水平勻強磁場。一帶電小球從[O]點由靜止釋放，運動軌跡如圖中曲線。關(guān)于帶電小球的運動，下列說法中正確的是（ ） 。

A. [OAB]的軌跡為半圓

B.小球運動至最低點 [A] 時速度最大，且沿水平方向

C.小球在整個運動過程中機械能增加

D.小球在 [A] 點時受到的洛倫茲力與重力大小相等

解析：帶電小球在“沒有約束面的疊加場”中運動只受重力和洛倫茲力，且初速度為零，在這種情況下，可把速度分解成等大、反向的兩個速度[v1]和[v2（v1=v2）]，如果磁場垂直[xOy]平面向里，小球帶正電，它在[O]點的受力情況如圖4所示，即小球的運動可以看成是以速度[v1]做勻速直線運動和以速度[v2]做半徑為[a]的勻速圓周運動的兩個分運動，那實際的合運動就是“擺線運動”，分別滿足[qv1B=mg]，[qv2B=mv22a]。

從分運動的角度看，其勻速圓周運動的圓心在做勻速直線運動，半徑不變。當小球勻速圓周運動到最低點[A]時，速度[v1]和[v2]同向，合運動的速度是最大的，受力情況如圖5所示；從合運動的角度看，此時有" [qv1B+qv2B-mg=m（v1+v2）2r]，解得[r=4a]，并且由擺線運動的性質(zhì)可知拱高[yA=2a]，即[r=2yA]，所以有些題目會直接告知此曲線（擺線）在最低點的曲率半徑為該點到[x]軸距離的2倍。

這是最簡單、最基本的情況，所以為了加深學生對擺線運動模型的理解，教師可以創(chuàng)設(shè)帶電小球在“沒有約束面的疊加場”中運動只受重力和洛倫茲力，但有水平初速度的情境，引導學生進行分類討論。

［例2］如圖6所示，一個帶正電的小球沿光滑絕緣的桌面向右運動，速度方向垂直于一個水平向里的勻強磁場，試討論小球運動的情況。

解析：將小球的速度分解為向右的速度[v01]和另一個速度[v02]，其中[v01]滿足[qv01B=mg]。由于[v0]大小的具體值未知，因此存在以下三種可能：

（1）[v0=v01=mgqB]，則[v02=0]，小球直接做水平向右的勻速直線運動。

（2）[v0gt;v01=mgqB] ，則[v02]向右，[v01]引起向右的勻速直線運動，[v02]引起逆時針的勻速圓周運動。

這里又有三種情況：

①[v02lt;v01]，則在最高點，合速度向右，軌跡如圖7所示。

②[v02=v01]，則在最高點，合速度為 0，軌跡如圖8所示。

③[v02gt;v01]，則在最高點，合速度向左，軌跡如圖9所示。

這三種情況小球在最低點的速度都是最大的。

（3）[v0lt;v01=mgqB]，則v02向左，且[v02lt;v01]，[v01]引起向右的勻速直線運動，[v02]引起逆時針的勻速圓周運動，這種情況是在最低點速度最大，軌跡如圖10所示。

以上兩道例題的配速是在一條直線上，即把合速度分解為兩個在一條直線上的分速度。而2013年福建省高考理綜卷第22題第（3）問的配速是不在一條直線上的。下面筆者對該題進行改編，引導學生進一步體會“配速法”。

［例3］如圖11所示，空間存在一范圍足夠大的垂直于[xOy]平面向外的勻強磁場和沿[y]軸正向的勻強電場，磁感應(yīng)強度大小為[B]，電場強度大小為[E]。讓質(zhì)量為[m]，電量為[q（qgt;0）]的粒子從[O]點以初速度[v0]沿[y]軸正向發(fā)射。不計重力和粒子間的影響，求該粒子運動過程中的最大速度值[vm]。

解析：[v0]沿[y]軸正向，與電場方向相同，把[v0]分解為一個速度[v1]，使其大小滿足 [qv1B=qE]，洛倫茲力的方向和電場力相反，則[v1]的方向應(yīng)沿[x]軸正方向。如圖12所示，[v2]的大小滿足下列關(guān)系：[v2=v20+v21]，[tanθ=v0v1]，在最高點速度是最大的，其最大值[vmax=v1+v2=EB+v20+EB2]。

例2、例3是改變了初速度的條件，可以再進一步拓展，改變粒子的受力，使其運動情況變?yōu)槭艿诫妶隽?、重力和洛倫茲力的“擺線運動”。

［例4］如圖13所示，某空間內(nèi)存在電場強度大小[E=100 V/m]、方向水平向左的勻強電場和磁感應(yīng)強度大小[B=100 T]，方向垂直紙面向里的勻強磁場。一質(zhì)量[m=0.1 kg]、帶電量[q=0.01] C的小球從[O]點由靜止釋放，到達點[O′]時速率恰好為零。求：

（1）小球運動過程中的最大速率；

（2）小球運動過程中距離[OO′]的最大距離；

（3）[OO′]的長度及方向。

解析：（1）小球同時受到電場力、重力和洛倫茲力，其中電場力和重力的合力可以用等效重力代替：[mg=（mg）2+（qE）2=2]（N），[tanθ=qEmg=1]，[θ=45°]，如圖14所示。在初速度為零的情況下，可把速度分解成等大、反向的兩個速度[v1]和[v2（v1=v2=v）]，如圖15所示，其中[v1=v]滿足 [qvB=mg]，解得[v=2]（m/s），[v2= v]滿足 [qvB=mv2a]，解得[a=mvqB=210]（m）。當小球圓周運動到物理意義上的最低點時，速度[v1]和[v2]同向，合運動的速度是最大的，如圖16所示，有[vmax=2v=22]（m/s）。

（2）小球運動過程中距離[OO′]的最大距離：[ymax=2a=25]（m）。

（3）[OO′]的長度：[OO=vT=2πmvqB=25π]（m），方向：[θ=45°]。

這部分的教學設(shè)計思路：通過4道例題，從“只受一個恒力和洛倫茲力，初速度為零”，到“只受一個恒力和洛倫茲力，初速度與恒力垂直”，再到“只受一個恒力和洛倫茲力，初速度與恒力平行”，最后到“受兩個恒力和洛倫茲力，初速度為零”，由淺入深，層層遞進，幫助學生把“擺線運動”的分解方法——“配速法”的模型建構(gòu)起來。

2.從“合運動”角度進行物理建模

“擺線運動”除了可用分解運動的思路，根據(jù)牛頓第二定律和運動學知識去求解，還可以用動量定理和動能定理去求解。因為洛倫茲力的大小與速度有關(guān)，所以洛倫茲力的沖量是非常有特點的。下面筆者通過兩道例題來介紹解決“擺線運動”問題的第二種模型。

［例5］在磁感應(yīng)強度為[B]的勻強磁場中，一質(zhì)量為[m]、帶正電[q]的小球在[O]點靜止釋放，小球的運動曲線如圖17所示，重力加速度為[g]。求：

（1）小球運動到任意位置[P（x，y）]處的速率[v]；

（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離[ym]和此時的曲率半徑[r]；

（3）當在上述磁場中加一豎直向上、場強為[EEgt;mgq]的勻強電場時，小球從[O]點靜止釋放后獲得的最大速率[v′m]、上升的最大距離[y′m]和此時的曲率半徑[r]。

解析：（1）帶電小球只受重力和洛倫茲力，而洛倫茲力不做功，只有重力做功，所以根據(jù)動能定理有[mgy=12mv2-0]，解得[v=2gy]。

（2）如果第一次下到最低點，則根據(jù)動能定理有：

[mgym=12mv2m-0]

每一瞬間的受力如圖18所示，根據(jù)動量定理，水平方向有：

[qvyB·Δt=m·Δvx]，

可以用微積分的思路求解，即[qB（vy1Δt1+vy2Δt2+vy3Δt3+…）=m（Δvx1+Δvx2+Δvx3+???）]或者[qvyB·Δt=m·Δvx]，直到小球下到最低點，[vyΔt=ym]，[Δvx=vm-0]，所以有[qBym=mvm-0]，

聯(lián)立解得[ym=2m2gq2B2]，[vm=2mgqB]，

根據(jù)牛頓第二定律，在最低點有[qvmB-mg=mv2mr]，解得[r=4m2gq2B2=2ym]。

（3）如果加一個豎直向上、場強為[EEgt;mgq]的勻強電場，則往上運動，同理，根據(jù)動能定理有[（qE-mg）y′m=12mv2m-0]，根據(jù)水平方向動量定理有[qBy′m=mv′m-0] ，聯(lián)立解得[y′m=2m（qE-mg）q2B2]，[v′m=2（qE-mg）qB]。根據(jù)牛頓第二定律，在最高點有：[qv′mB-（qE-mg）=mv2mr]，解得[r=4m（qE-mg）q2B2=2y′m]。

這道題的最大特點是雖然帶電小球受重力和洛倫茲力的作用，洛倫茲力的大小和方向都在變化，但是水平方向只有洛倫茲力的分力，洛倫茲力在水平方向上的沖量改變了水平方向的動量，而該水平方向的沖量大小卻和豎直方向位移有關(guān)，即給出了豎直位移與水平速度的關(guān)系。2008年江蘇卷高考題和這道題的區(qū)別在于它直接給出了“此曲線在最低點的曲率半徑為該點到[x]軸距離的2倍”這個條件，即[r=2ym]，不需要列水平方向的動量定理，就將整個問題簡化了。我們還可以進一步拓展，研究[v0≠0]且末態(tài)不是最低點或者最高點的情況。

［例6］如圖19所示，空間中存在豎直向下的勻強電場和垂直于紙面向里的勻強磁場，不計重力，電荷量為[q]、質(zhì)量為[m]的帶正電的粒子在疊加場中運動。當經(jīng)過[P]點時速度為[v0]，與水平方向成[α]角，當經(jīng)過[Q]點時速度為[v]，與水平方向成[β]角，[P]、[Q]兩點豎直距離為[y]，求粒子經(jīng)過[Q]點時的曲率半徑。

解析：從[P]到[Q]的過程，根據(jù)動能定理有[qEy=12mv2-12mv20]，解得[v=2qEym+v20]，

根據(jù)水平方向動量定理有：[qBy=mvcosβ-mv0cosα]，

解得[cosβ=（qBy+mv0cosα）12qEmy+m2v20]，

如圖20所示建立直角坐標系，在[Q]點根據(jù)牛頓第二定律有[qvB-qEcosβ=mv2ρ]，

解得[ρ=mv2qvB-qEcosβ=]

[mv2qvB-qE（qBy+mv0cosα）12qEmy+m2v20。]

例6研究的是[v0≠0]且末態(tài)不是最低點或者最高點的情況。因為不是特殊位置、特殊狀態(tài)，所以更具有普遍性和代表意義?；旧暇褪且粋€動能定理、一個水平方向動量定理和一個對應(yīng)圓周運動的牛頓第二定律就能夠解決問題。

（三）提煉方法，形成策略

通過上述分析，可得出解決“擺線運動”問題的兩種基本方法：一是用“分解運動”的思路，把“擺線運動”分解為“勻速直線運動”和“勻速圓周運動”來求解特殊位置的相關(guān)參量，如最大速度、下降或上升的最大距離（拱高）及該位置的曲率半徑、擺線的寬度（拱寬）；二是用“動量定理和動能定理”的思路求解特殊位置、特殊狀態(tài)的相關(guān)參量，或者是非特殊位置、非特殊狀態(tài)的相關(guān)參量。例5就可以用兩種方法求解。這樣一來，學生的認知結(jié)構(gòu)更加完整，問題分析更加細致，模型建構(gòu)更加全面，規(guī)律和方法的運用更加靈活，有效提升了學生運用知識解決物理問題的能力，培養(yǎng)了學生的科學思維能力。

綜上可知，電磁場這部分內(nèi)容知識點、情景模型非常多，教師可將其分成20～30個微專題來進行教學，每個微專題主題明確，短小精悍，環(huán)環(huán)相扣，循序漸進，由淺入深，由“點”到“面”；注重對物理知識、規(guī)律和模型的歸納、總結(jié)和提升，重視引導學生在生產(chǎn)、生活情境中運用物理知識解決問題；強調(diào)從現(xiàn)象到本質(zhì)的分析過程，讓學生完成自我學習和模型建構(gòu)，并進行復習反思，自主歸納學習思想和解決問題的方法，從而培養(yǎng)學生的解決問題能力，提升學生的物理學科核心素養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

[1]" 冷玉蘭.基于核心素養(yǎng)的高中物理微情境小專題教學探究[D].成都：四川師范大學，2020.

[2]" 李春蘭，董喬生，張建國.建構(gòu)主義知識觀視角下反思性學習的困境與突破[J].教學與管理，2020（9）：14-16.

（責任編輯 黃春香）