摘 要：為了驗(yàn)證基于實(shí)測(cè)頻率和振型的響應(yīng)面模型修正方法的準(zhǔn)確性與可行性，以某大跨斜拉橋?yàn)楣こ瘫尘?，分別進(jìn)行靜載試驗(yàn)和環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)測(cè)試。以豎向前4階實(shí)測(cè)頻率及振型作為狀態(tài)變量，選取合理的修正參數(shù)，進(jìn)行中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)；采用考慮交互項(xiàng)的響應(yīng)面模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，并計(jì)算參數(shù)R2值的范圍，進(jìn)行精度檢驗(yàn)；分析頻率及振型的改變率，將修正后模型的撓度與實(shí)測(cè)撓度進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證該模型修正的準(zhǔn)確性。結(jié)果表明：在參數(shù)范圍內(nèi)，各響應(yīng)面模型的R2值均接近于1，擬合精度較高；修正后模型的頻率與振型均接近實(shí)測(cè)值，能準(zhǔn)確反映橋梁的動(dòng)力特性；修正后模型的撓度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度要求，能夠真實(shí)反映大跨斜拉橋的工作狀態(tài)。研究證明了基于實(shí)測(cè)頻率與振型的響應(yīng)面模型修正方法對(duì)大跨斜拉橋的適用性和可行性，可為實(shí)際工程中類似橋梁的模型修正提供參考。

關(guān)鍵詞：橋涵工程；大跨斜拉橋；動(dòng)力參數(shù)；響應(yīng)面法；有限元模型修正；靜載試驗(yàn)

中圖分類號(hào)：

U446.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

DOI： 10.7535/hbgykj.2024yx04005

Response surface model modification of long-span cable-stayed bridges based on measured frequency mode

LI Mingxing1， SI Zhenzhen2， QI Xingjun2， CAO Sanpeng2， YANG Hongchao2

（1.Shandong Railway Investment Holding Group Company Limited， Ji’nan，Shandong 250102， China; 2.School of Transportation Engineering， Shandong Jianzhu University， Ji’nan， Shandong 250101，China）

Abstract：In order to verify the accuracy and feasibility of the response surface model correction method based on the measured frequency and mode shape， the static load test and the modal test under environmental excitation were carried out with a long-span cable-stayed bridge as the engineering background. Using vertically measured frequencies and modes as state variables for the fourth-order forward experiment， appropriate correction parameters were selected to conduct a central composite experimental design. The response surface model considering the interaction term was used for data fitting， and the R2 value of the parameter range was calculated for accuracy testing. The change rate of frequency and mode shape was analyzed， and the deflection of the modified model was compared with the measured deflection to verify the accuracy of the model. The results show that in the parameter range， the R2 values of each response surface model are close to one， indicating high fitting accuracy. The frequencies and vibration mode of the modified model closely match the measured values， which can accurately reflect the dynamic characteristics of the bridge. The maximum error between the calculated deflection value and the measured value of the modified model is less than 7.98%， which meets the requirements of the engineering accuracy， and it can realistically reflect the working state of the large-span cable-stayed bridge. The study proves the applicability and feasibility of the response surface model correction method based on the measured frequencies and vibration modes for large-span cable-stayed bridges， which can provide a reference for the model correction of similar bridges in practical engineering.

Keywords：bridge and culvert engineering; long-span cable-stayed bridge; power parameters; response surface method; finite element model modification; static load test

在對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)尤其是大型復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析以及狀態(tài)評(píng)定時(shí)，通常需要以設(shè)計(jì)圖紙為依據(jù)，建立出可以真實(shí)反映橋梁結(jié)構(gòu)特性的基準(zhǔn)有限元模型[1]。但實(shí)際在役橋梁的物理參數(shù)具有隨機(jī)、離散等特點(diǎn)，而建立有限元模型時(shí)的參數(shù)較為理想化，與實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)相差較大。同時(shí)，在建模過程中，邊界條件、材料屬性等也進(jìn)行了簡(jiǎn)化和不合實(shí)際的假設(shè)，不能真實(shí)反映其力學(xué)特性[2-3]。利用有限元模型修正技術(shù)，對(duì)初始理論有限元模型的彈性模量、密度等參數(shù)進(jìn)行修正，可以減小誤差，使模型更接近于實(shí)際情況。既確保了參數(shù)自身的精度，又可以使修正后的有限元模型的計(jì)算結(jié)果與測(cè)試結(jié)果趨于一致[4]。

對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)，常見的模型修正方法有靜力模型修正法[5]和動(dòng)力模型修正法[6]。鄧苗毅等[7]以靜力響應(yīng)為目標(biāo)，對(duì)一座兩跨連續(xù)梁橋的有限元模型進(jìn)行了修正，提高了模型修正的優(yōu)化效率和修正精度。李延強(qiáng)等[8]以實(shí)測(cè)索力和位移為目標(biāo)值，通過靜力荷載試驗(yàn)，對(duì)一座獨(dú)塔斜拉橋的有限元模型進(jìn)行了修正，對(duì)比修正后模型的索力與實(shí)測(cè)索力，結(jié)果吻合良好。馬印平等[9]提出一種全橋多尺度有限元模型修正技術(shù)，修正了一座鋼管混凝土組合桁梁橋的撓度和應(yīng)力，修正后的參數(shù)變化情況與實(shí)際工程情況相吻合。靜力模型修正法具有測(cè)量精度高、抗干擾能力強(qiáng)和適應(yīng)性好等優(yōu)點(diǎn)，但需要進(jìn)行多因素影響的荷載試驗(yàn)，加載模式單一、測(cè)試數(shù)據(jù)量較少、需中斷交通等，所以測(cè)試過程比較困難。

動(dòng)力模型修正法以反映橋梁結(jié)構(gòu)特性的模態(tài)參數(shù)作為特征參數(shù)[10]，不依賴于任何荷載形式，可采用環(huán)境激勵(lì)法進(jìn)行測(cè)試，且不影響車輛的行駛。已有研究表明，該方法更適合檢測(cè)實(shí)際的橋梁結(jié)構(gòu)。韓建平等[11]在現(xiàn)場(chǎng)動(dòng)力測(cè)試的基礎(chǔ)上，對(duì)一座剛構(gòu)-連續(xù)組合梁橋進(jìn)行了模型修正，該結(jié)果可精確地反映橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能。BELL等[12]和 SCHLUNE等[13]提出了同時(shí)使用靜、動(dòng)力無損檢測(cè)數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)方法以及誤差函數(shù)歸一化技術(shù)，用來修正橋面板模型的剛度和質(zhì)量。姚昌榮等[14]對(duì)大跨橋梁初始模型計(jì)算參數(shù)進(jìn)行了修正，修正后的模型使橋梁結(jié)構(gòu)的計(jì)算分析更加切合實(shí)際。張文武等[15]聯(lián)合單輛重車實(shí)測(cè)位移和頻率對(duì)某裝配式鋼筋混凝土簡(jiǎn)支梁橋進(jìn)行模型修正，得到精準(zhǔn)的有限元修正模型。王曉光等[16]以斜拉橋?yàn)槔?，采用穩(wěn)健估計(jì)法，進(jìn)行基于振動(dòng)頻率的響應(yīng)面模型修正，最大限度地保證了修正結(jié)果的穩(wěn)定性。

通過上述研究可知，大多數(shù)動(dòng)力模型修正方法僅采用頻率作為響應(yīng)特征值，對(duì)于振型的研究少之又少；而模態(tài)參數(shù)中振型響應(yīng)對(duì)模型的影響頗為重要，僅采用頻率進(jìn)行修正有一定的局限性。因此，本文以一座大跨度斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立初始有限元模型，以橋梁實(shí)測(cè)頻率和振型作為狀態(tài)變量，基于響應(yīng)面方法對(duì)該有限元模型進(jìn)行動(dòng)力模型修正，對(duì)比修正后的撓度與實(shí)測(cè)撓度，以驗(yàn)證該模型修正后的準(zhǔn)確性。

1 工程實(shí)例

1.1 工程概況

緯六路斜拉橋（以下簡(jiǎn)稱斜拉橋）位于濟(jì)南市天橋區(qū)，是一座雙塔雙斜索面五跨連續(xù)的預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋，采用墩塔固結(jié)，全漂浮體系。該橋全長(zhǎng)為704 m，寬為30 m，跨徑為（42+120+380+120+42）m，主跨380 m，邊跨設(shè)輔助墩，橋梁整體外觀如圖1所示。

該橋主梁截面采用帶懸臂的雙邊主梁斷面形式，懸臂端至梁底高2.10 m，懸臂長(zhǎng)為1.75 m，在橋塔處主梁去掉懸臂，橋?qū)挏p為26.38 m，橋面板厚度為0.3 m；邊跨內(nèi)每 4.4 m 設(shè)置一道橫隔梁，其余區(qū)段每7.5 m 設(shè)置一道橫隔梁。該橋橋塔為A 字形，采用單箱雙室斷面，塔高124.8 m，斜拉索在邊

跨主梁上的錨固間距為4.4 m，其余區(qū)段主梁上錨固間距為7.5 m，橋塔中心線兩側(cè)各15.5 m處補(bǔ)設(shè)第1對(duì)拉索，全橋共計(jì)196根斜拉索。該橋橫斷面、立面結(jié)構(gòu)如圖2所示。

1.2 有限元模型

依據(jù)斜拉橋竣工圖紙建立橋梁有限元模型：主梁、橋塔和橫隔梁均采用BEAM4單元模擬；斜拉索采用LINK8單元模擬；橋面板則采用SHELL63單元模擬，單元長(zhǎng)度為0.5 m；瀝青鋪裝，人行道、非機(jī)動(dòng)車道欄桿等采用質(zhì)量單元MASS21附加到橋面節(jié)點(diǎn)上。約束順橋向及橫橋向自由度，建立的斜拉橋有限元模型如圖3所示。

1.3 現(xiàn)場(chǎng)模態(tài)測(cè)試

模態(tài)試驗(yàn)基于環(huán)境激勵(lì)，在不中斷交通的情況下進(jìn)行。在斜拉橋左右兩側(cè)各布置37個(gè)豎向測(cè)點(diǎn)，全橋共設(shè)置74個(gè)測(cè)點(diǎn)，每側(cè)設(shè)置2個(gè)參考點(diǎn)，采集74個(gè)測(cè)點(diǎn)的速度時(shí)程數(shù)據(jù)，測(cè)點(diǎn)布置見圖4。

現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試時(shí)采樣頻率設(shè)置為50 Hz，采用SSI，EFDD等模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)采集到的速度時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別。通過對(duì)比2種方法，識(shí)別得到的結(jié)果均一致。

為了便于實(shí)際橋梁進(jìn)行剛度等狀態(tài)評(píng)估，需建立合理的有限元模型；以豎向前4階實(shí)測(cè)頻率及振型為狀態(tài)變量，對(duì)初始有限元模型進(jìn)行動(dòng)力模型修正。豎向前4階有限元理論頻率及實(shí)測(cè)頻率對(duì)比如表1所示，實(shí)測(cè)振型的MAC值如表2所示。

2 斜拉橋模型修正

2.1 待修正參數(shù)選取

為了提高優(yōu)化修正的效率，需要選擇出合理的待修正參數(shù)。大量研究數(shù)據(jù)表明，斜拉橋的主梁、橋塔、橋面板和斜拉索都會(huì)影響到斜拉橋的振動(dòng)頻率和振型，由此，選用主梁彈性模量Eg（A）、密度ρg（B），橋塔彈性模量Et（C），斜拉索彈性模量Es（D）和板彈性模量Eb（E）、密度ρb（F）等6個(gè)變量作為待修正參數(shù)；根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)[16-17]，使待修正值上下變化幅度為30%，待修正參數(shù)及取值范圍如表3所示。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及顯著性分析

方差分析作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一種基礎(chǔ)分析方法，通過檢驗(yàn)多個(gè)總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對(duì)數(shù)值型因變量是否有顯著性影響[11]。

F檢驗(yàn)是把總變差分解為回歸平方和SSA與殘差平方和SSe，然后分別除以各自自由度得到均方回歸和均方殘差，求出F值[18]。應(yīng)用F檢驗(yàn)法進(jìn)行顯著性分析，分辨出高度顯著或顯著水平的參數(shù)。對(duì)有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)A進(jìn)行檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為

FA=SSA/fASSe/fe～F（fA，fe），（1）

式中：fA和fe分別為參數(shù)A和偏差的自由度。

進(jìn)行方差分析時(shí)，F(xiàn)檢驗(yàn)法的通用規(guī)則為當(dāng)F≥F1－0.01（fA，fe），則稱因素的影響高度顯著；F1－0.01（fA，fe）gt;F≥F1－0.05（fA，fe），則稱因素的影響顯著；F1－0.05（fA，fe）gt;F≥F1－0.1（fA，fe），則稱因素有一定的影響；Flt;F1－0.1（fA，fe），則稱因素?zé)o顯著性影響，即每個(gè)因素的作用效應(yīng)為0。

以識(shí)別的豎向前4階頻率和振型作為響應(yīng)特征值，選取的A，B，C，D，E和F作為試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)，進(jìn)行中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)。

采用F檢驗(yàn)法對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行顯著性分析，在設(shè)計(jì)空間內(nèi)進(jìn)行參數(shù)篩選，通過P值判斷參數(shù)和參數(shù)組合的顯著性。當(dāng)P∈[0，0.01]時(shí)，該參數(shù)影響高度顯著；當(dāng)P∈（0.01，0.05]時(shí)，該參數(shù)影響顯著；當(dāng)P∈（0.05，1]時(shí)，該參數(shù)影響不顯著；以P值確定多項(xiàng)式擬合中涉及到的變量與變量組合。

表4為豎向前4階頻率和振型的P值統(tǒng)計(jì)結(jié)果，以此進(jìn)行顯著性分析。

由表4可知，參數(shù)A，C對(duì)豎向前4階頻率及振型的影響高度顯著；參數(shù)B，F(xiàn)對(duì)前4階頻率及前3階振型的影響高度顯著，對(duì)第4階振型的影響顯著；參數(shù)D對(duì)豎向第2階振型的影響不顯著，其余均高度顯著；參數(shù)E對(duì)前3階頻率及第1階振型的影響高度顯著，對(duì)第3、第4階振型的影響顯著，對(duì)第4階頻率及第2階振型的影響不顯著。

二次項(xiàng)A2對(duì)第4階頻率影響不顯著；B2對(duì)第4階頻率影響顯著，對(duì)前4階振型影響不顯著；C2對(duì)第2階振型影響不顯著；D2對(duì)第3階振型影響不顯著；E2對(duì)第1、第3、第4階振型影響不顯著；F2對(duì)第4階頻率及前4階振型影響不顯著。

交互項(xiàng)AC對(duì)第2、第3階振型影響高度顯著，對(duì)第1、第4階振型影響顯著；AD對(duì)前3階頻率及第1、第3階振型的影響高度顯著，對(duì)第2、第4階振型影響顯著；AF對(duì)第1、第2階頻率影響顯著；BD對(duì)第3、第4階頻率影響顯著；CD對(duì)前4階頻率及第1、第3、第4階振型的影響高度顯著；BF，DF對(duì)前3階頻率影響高度顯著。

綜上可得，交互項(xiàng)在前4階頻率與振型中起到了至關(guān)重要的作用，不可忽略。

2.3 響應(yīng)面擬合

響應(yīng)面分析是一種最優(yōu)化方法，它是通過設(shè)計(jì)合理的試驗(yàn)次數(shù)，得到試驗(yàn)的實(shí)際數(shù)據(jù)，將體系的響應(yīng)作為一個(gè)或多個(gè)因素的函數(shù)，建立一個(gè)包含各顯著因素的一次項(xiàng)、平方項(xiàng)以及任意2個(gè)因素之間交互項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型，精確研究各因素與響應(yīng)值之間的關(guān)系，擬合出多元二次回歸方程，該方程能夠通過坐標(biāo)圖的方式表現(xiàn)出來，以此來預(yù)測(cè)不同條件對(duì)響應(yīng)值的影響，從而選擇試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的最優(yōu)條件[19-20]。

考慮到結(jié)構(gòu)有限元模型修正的特性，本文采用二次多項(xiàng)式建立響應(yīng)面模型；建立完響應(yīng)面模型，需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木?，主要采用R2參數(shù)，計(jì)算見式（2）：

R2=1－∑Nj=1yRS（j）－y（j）2∑Nj=1y（j）－y2，（2）

式中：N為試驗(yàn)設(shè)計(jì)的響應(yīng)值數(shù)量；yRS表示響應(yīng)面模型的計(jì)算數(shù)值；y表示在有限元中得到的數(shù)值；y表示在有限元中得到的數(shù)值平均值;

R2為檢驗(yàn)的一種相關(guān)系數(shù)，取值范圍為0～1。R2值越接近于1，說明擬合的響應(yīng)面模型精度越高；R2值越接近于0，則表示試驗(yàn)誤差較大，應(yīng)重新進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)[21]。

通過中心復(fù)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)和顯著性分析，得到的樣本點(diǎn)，選取顯著性較高的參數(shù)，應(yīng)用回歸分析方法，按照考慮交互項(xiàng)影響的響應(yīng)面模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行響應(yīng)面擬合。

對(duì)擬合后的響應(yīng)面模型計(jì)算其參數(shù)范圍內(nèi)的R2值，進(jìn)行精度檢驗(yàn)；各階頻率及振型響應(yīng)R2值如表5所示。

由表5可以看出，各響應(yīng)面模型的R2值均趨近于1，說明在參數(shù)范圍內(nèi)，各響應(yīng)面模型的試驗(yàn)誤差較小，均具有較高的擬合精度，能很好地反映原有模型的特性，因此，可以采用擬合的響應(yīng)面模型代替初始有限元模型進(jìn)行修正。豎向前4階振動(dòng)響應(yīng)面模型如圖5所示。

2.4 模型修正

根據(jù)式（2）計(jì)算的響應(yīng)面模型，在響應(yīng)面內(nèi)采用優(yōu)化方法對(duì)初始有限元模型的試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了修正，參數(shù)的修正值及變化率如表6所示。

由表6可知，橋面板密度減小，主梁密度出現(xiàn)輕微增大現(xiàn)象；主梁、橋面板、橋塔及斜拉索的彈性模量均大幅度增大，且主梁彈性模量幾乎達(dá)到修正上限。將修正參數(shù)替換到初始有限元模型中重新加載計(jì)算，分析主梁前4階頻率實(shí)測(cè)值、頻率修正值的相對(duì)誤差以及模型修正前后的MAC值，結(jié)果如表7、表8所示。

由表7、表8可知：基于頻率和振型對(duì)初始模型修正后，頻率實(shí)測(cè)值與頻率修正值的相對(duì)誤差最大為9.18%，最小為0.28%；每一階振型的MAC值都更加趨近于1；模型修正后頻率和振型的誤差均明顯減小，修正值與實(shí)測(cè)值非常接近。結(jié)果表明，基于響應(yīng)面的動(dòng)力模型修正能夠有效提高模型精度，修正后的模型能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

3 修正后模型響應(yīng)值驗(yàn)證

設(shè)計(jì)斜拉橋的靜載試驗(yàn)，對(duì)比分析修正后有限元模型的靜力撓度與中載工況下各測(cè)點(diǎn)的實(shí)測(cè)撓度，驗(yàn)證修正后的有限元模型能否進(jìn)行橋梁的剛度評(píng)估。

根據(jù)斜拉橋主橋現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，依據(jù)規(guī)范設(shè)計(jì)中載試驗(yàn)工況，A1—A3為靜載試驗(yàn)撓度布置測(cè)點(diǎn)，截面測(cè)點(diǎn)布置如圖6所示。本次試驗(yàn)共使用20輛28.14～31.66 t的三軸車進(jìn)行一次性加載，加載示意圖如圖7所示。

根據(jù)車輛軸重，將車輛荷載等效為集中力分配到修正后的斜拉橋有限元模型節(jié)點(diǎn)上，計(jì)算相應(yīng)實(shí)測(cè)點(diǎn)的理論靜力撓度；模型修正前后撓度值及誤差對(duì)比如表9所示，模型修正前后撓度比較如圖8所示。

由表9、圖8可知，模型修正后各測(cè)點(diǎn)的撓度值均顯著減小，與實(shí)測(cè)值的最小誤差為3.95%，最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度要求，能夠以修正的有限元模型進(jìn)行橋梁剛度的評(píng)估?；趯?shí)測(cè)頻率與振型響應(yīng)面法有效實(shí)現(xiàn)了對(duì)大跨斜拉橋的有限元模型修正。

4 結(jié) 語

本文以一座大跨度斜拉橋?yàn)檠芯繉?duì)象，建立初始有限元模型，并對(duì)橋梁頻率及振型的實(shí)測(cè)值和理論值進(jìn)行識(shí)別，基于響應(yīng)面模型對(duì)該有限元模型進(jìn)行動(dòng)力模型修正，計(jì)算模型修正后的撓度，與實(shí)測(cè)撓度進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了響應(yīng)面模型修正的準(zhǔn)確性，解決了傳統(tǒng)承載力評(píng)定方法耗時(shí)長(zhǎng)、成本高等問題。主要研究結(jié)論如下。

1）計(jì)算所得各響應(yīng)面模型的R2值都接近于1，響應(yīng)面模型的擬合精度高，試驗(yàn)誤差較小，擬合的響應(yīng)面模型能夠代替初始有限元模型進(jìn)行修正。

2）基于頻率和振型對(duì)初始模型進(jìn)行修正后，頻率實(shí)測(cè)值與修正值相對(duì)誤差最大為9.18%，最小為0.28%；振型的MAC值每一階都更加趨近于1。表明基于響應(yīng)面的動(dòng)力模型修正可以有效提高模型精度，修正后的模型能夠準(zhǔn)確反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性。

3）修正后模型各測(cè)點(diǎn)的撓度計(jì)算值與實(shí)測(cè)值最大誤差不超過7.98%，滿足工程精度的要求，對(duì)于斜拉橋主梁剛度的評(píng)估具有一定的工程可行性。

基于實(shí)測(cè)頻率與振型的響應(yīng)面模型可有效實(shí)現(xiàn)對(duì)大跨斜拉橋的有限元模型修正。但在試驗(yàn)工程中，在對(duì)斜拉橋進(jìn)行模態(tài)測(cè)試過程時(shí)，布置了大量傳感器，導(dǎo)致采集數(shù)據(jù)量大、處理過程復(fù)雜，因此，在后續(xù)研究時(shí)應(yīng)進(jìn)一步減少傳感器的布置數(shù)量，使試驗(yàn)過程更加方便快捷。

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