摘要： 用李代數(shù)和線(xiàn)性代數(shù)的理論和方法研究Schr?dinger代數(shù)的局部自同構(gòu)問(wèn)題， 結(jié)合特殊線(xiàn)性李代數(shù)的局部自同構(gòu)結(jié)果和Schr?dinger代數(shù)的自同構(gòu)形式， 刻畫(huà)Schr?dinger代數(shù)的局部自同構(gòu).

關(guān)鍵詞： Schr?dinger代數(shù)； 局部自同構(gòu)； 李代數(shù)； 自同構(gòu)

中圖分類(lèi)號(hào)： O152.5""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""文章編號(hào)： 1671-5489（2024）06-1291-05

Local Automorphisms of Schr?dinger Algebra

SHENG Yuqiu

（College of Mathematical Sciences， Bohai University， Jinzhou 121013， Liaoning Province， China）

Abstract： Using the theories and methods of Lie algebra and linear algebra， the author studied local automorphism problem of Schr?dinger algebra. Combining

the results of local automorphisms of special linear Lie algebra and the forms of automorphisms of Schr?dinger algebra， the author characterized local automorphis

ms of Schr?dinger algebra.

Keywords： Schr?dinger algebra； local automorphism； Lie algebra； automorphism

1"引言與預(yù)備知識(shí)

自同構(gòu)是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的重要課題之一. 局部自同構(gòu)^［1］主要考察其是否是自同構(gòu). 目前， 關(guān)于各種代數(shù)上的局部自同構(gòu)問(wèn)題研究備受關(guān)注， 研究對(duì)象也從結(jié)合代數(shù)擴(kuò)展到非結(jié)合代數(shù). Larson等^［1］證明了無(wú)限維Banach空間的所有緊算子構(gòu)成的代數(shù)的局部自同構(gòu)都是自同構(gòu)， 復(fù)數(shù)域上的n階矩陣代數(shù)的局部自同構(gòu)是自同構(gòu)或反自同構(gòu); Costantini^［2］證明了有限維單李代數(shù)的局部自同構(gòu)都是自同構(gòu); Becker等^［3］證明了復(fù)數(shù)域上n階特殊線(xiàn)性李代數(shù)的局部自同構(gòu)都是自同構(gòu)或反自同構(gòu). Schr?dinger代數(shù)是Schr?dinger群的李代數(shù)， 而Schr?dinger群可以描述自由粒子Schr?dinger的對(duì)稱(chēng)性， 在量子力學(xué)和數(shù)學(xué)物理中有重要作用^［4］. Schr?dinger代數(shù)S是一個(gè)六維的非半單李代數(shù)， 具有基{h，e，f，g，l，z}， 其非零李積如下：

［h，e］=2e，"［h，f］=-2f，"［e，f］=h，

［h，g］=g，"［h，l］=-l，"［e，l］

=g，"［f，g］=l，"［g，l］=z.

Ballesteros等^［5］研究了Schr?dinger上的李雙代數(shù)結(jié)構(gòu); Yang等^［6］刻畫(huà)了Schr?dinger代數(shù)的導(dǎo)子和雙導(dǎo)子; 王鵬等^［7］證明了Schr?dinger代數(shù)的局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子; Jiang等^［8］證明了Schr?dinger-Virasoro的2-局部導(dǎo)子都是導(dǎo)子; Lei等^［9］給出了n次Schr?dinger代數(shù)上的導(dǎo)子代數(shù)和自同構(gòu)群. 本文在上述研究的基礎(chǔ)上用矩陣方法刻畫(huà)Schr?dinger代數(shù)的局部自同構(gòu).

本文中所有的矩陣、 線(xiàn)性空間和代數(shù)都在復(fù)數(shù)域上， GL2和SL2分別表示2階一般線(xiàn)性群和2階特殊線(xiàn)性群， Mn表示n階全矩陣空間， PSL2表示2階射影特殊線(xiàn)性群， 即SL2對(duì)其中心的商群， sl2表示所有跡為0的2階方陣構(gòu)成的2階特殊線(xiàn)性李代數(shù). Schr?dinger代數(shù)是sl2與三維Heisenberg李代數(shù)η1=Span{g，l，z}的半直積. 對(duì)于方陣A， 用A表示A

的行列式， 用AT表示A的轉(zhuǎn)置矩陣， I表示單位矩陣， Eij表示（i，j）處元素為1、 其余元素都為0的矩陣單位， ei表示第i個(gè)分量為1、 其余分量都為0的單位向量. 特殊正交群SO3={A∈M3ATA=I且A=1}. 對(duì)于方陣A和B， AB表示準(zhǔn)對(duì)角陣AB.

定義1^［3］"設(shè)σ是李代數(shù)L的一個(gè)可逆線(xiàn)性變換， 若對(duì)任意的x，y∈L都有σ（［x，y］）=［σ（x），σ（y）］， 則稱(chēng)σ是李代數(shù)L的一個(gè)自同構(gòu).

定義2^［3］"設(shè)σ是李代數(shù)L的一個(gè)線(xiàn)性變換， 若對(duì)任意的x∈L都有李代數(shù)L的一個(gè)自同構(gòu)σx， 使得σ（x）=σx（x）， 則稱(chēng)σ是李代數(shù)L的一個(gè)局部自同構(gòu).

記L所有自同構(gòu)和所有局部自同構(gòu)的集合分別為Aut（L）和LAut（L）. Aut（L）可以成為一個(gè)乘法群， 當(dāng)L為有限維時(shí)， LAut（L）也可成為一個(gè)乘法群. 顯然h=E11-E22， e=E12， f=E21是sl2的一組基. 令u1=1201-10，"u2=12-10110，"u3=12-1100-1，則{u1，u2，u3}也是sl2的一組基， 且有以下結(jié)論.

引理1^［10］"設(shè)σ是sl2的一個(gè)可逆線(xiàn)性變換， 且σ在基{u1，u2，u3}下的矩陣為A， 則σ是sl2的一個(gè)李代數(shù)自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)A∈SO3.

引理1給出了李代數(shù)sl2的自同構(gòu)的矩陣形式， Jacobson^［11］給出了sl2的自同構(gòu)的映射形式， Becker等^［3］給出了sl2的局部自同構(gòu)的映射形式.

引理2^［11］"設(shè)σ是sl2的一個(gè)線(xiàn)性變換， 則σ是sl2的一個(gè)李代數(shù)自同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)存在P∈GL2， 使得σ（X）=P^-1XP， X∈sl2.

引理3^［3］"σ∈LAut（sl2）當(dāng)且僅當(dāng)存在P∈GL

2， 使得σ（X）=P^-1XP（X∈sl2）或σ（X）=P^-1XTP（X∈sl2）.對(duì)任意的B=（bij）2×2∈GL2， 記

NB=B^-1b11b22+b12b21-b11b21b12b22-2b11b12b211-b2122b21b22-b221b222.

記Δ為李代數(shù)sl2的所有自同構(gòu)在基{h，e，f}下的矩陣構(gòu)成的乘法群. 由引理2經(jīng)過(guò)直接計(jì)算可得：

推論1"Δ={NBB=（bij）2×2∈GL2}={NBB=（bij）2×2∈SL2}.

命題1"ΔSO3Aut（sl2）PSL2.

證明： 由引理1知只需證明Aut（sl2）PSL2. 對(duì)任意的P∈SL2， 定義σP（X）=P^-1XP， X∈sl2. 由引理2知Aut（sl2）={σPP∈SL2}.

定義f： Aut（sl2）→PSL2; σP→^-1. 設(shè)σP，σL∈Aut（sl2）， 若σP=σL， 則X∈sl2， P^-1XP=L^-1XL

， 故LP^-1在SL2的中心內(nèi)， 從而=， f的定義合理. 顯然， f是滿(mǎn)

射. 若f（σL）=f（σP）， 則^-1=

^-1， 故PL^-1在SL2的中心內(nèi)， 即P=±L.

于是σP=σL， f是單射. 又

f（σLσP）=σPL=^-1=

^-1-1=f（σL）f（σP），

因此f是同構(gòu)映射.

下面所討論的Schr?dinger代數(shù)S的所有線(xiàn)性變換的矩陣都是在基{h，e，f，

g，l，z}下的. 記Γ為S的所有李代數(shù)自同構(gòu)的矩陣構(gòu)成的乘法群.

引理4^［9］"Γ={M（B，x，y）B∈GL2， x，y是復(fù)數(shù)}， 其中

M（B，x，y）=NBBC（x，y）BBα（x，y

）Bβ（x，y）B，""C（x，y）=xy0-y0x，

α（x，y）=xyy22-x22，""β（x，y）=y-x.

由引理4和推論1易知下列結(jié)論成立.

引理5"1） 若A*****∈Γ， 則A∈Δ；

2） 若A∈Δ， 則存在B∈GL2， 使得ABB∈Γ.

2"主要結(jié)果

定理1"設(shè)σ∈LAut（S）， 則σ∈Aut（S）或-σ∈Aut（S）.

證明： 設(shè)T是σ的矩陣. 由局部自同構(gòu)的定義知， 對(duì)任意的六維向量Y， 存在由Y確定的TY∈Γ， 使得

TY=TYY.（1）

由引理4， 將Y=ei（i=4，5，6）分別代入式（1）可得

T=ACBαβc，"A∈M3，"B∈M2.（2）

若T不可逆， 則存在非零向量Z使得0=TZ=T

ZZ， 與TZ可逆矛盾， 故T可逆， 從而方陣A和B

都是可逆的. 對(duì)任意的三維向量X， 由式（1），（2）和引理5可知， 存在AX

∈Δ， 使得AX=AXX， 即σsl2是sl2的一個(gè)局

部自同構(gòu). 由引理3知， 存在P∈SL2， 使得σ（Z）=P^-1ZP（Z∈sl2）或σ（Z）=P^-1ZTP（Z∈sl2）.

情形1） σ（Z）=P^-1ZTP， Z∈sl2.

此時(shí)， -σ∈Aut（sl2）， 故-A∈Δ. 由引理5可知， 存在D∈GL2， 使得T1=-ADD∈Γ. 令

T2=T^-11T=-IC1B1α1β1c1=-1000000-1000000-1000a41a42a43a44a450a51a52a53a54a550a61a62a63a64a65a66，則T2仍是S的一個(gè)局部自同構(gòu)的矩陣. 由局部自同構(gòu)定義可知， 對(duì)任意的六維向量Y， 存在由Y確定的TY∈Γ， 使得T2Y=TYY.（3）

由引理4， 可設(shè)TY=NB2B2C（x，y）B2B2α（x，y）B2β2（x，y）B2，其中B2=b11b12b21b22∈GL2， C（x，y），α（x，y）和β（x，y）如引理4所述. 顯然， B2，x，y都與Y有關(guān).下面將Y用不同的向量代入式（3）以確定T2中的aij. B2的可逆性表明B2的每一行（列）的兩個(gè)元素不能都是0.

① 將Y=e1代入式（3）可得a61=a41a51；

② 將Y=e2代入式（3）可得a52=0， a62=-12a242；

③ 將Y=e3代入式（3）可得a43=0， a63=12a253；

④ 將Y=e2+e4代入式（3）可得a54=0；

⑤ 將Y=e1+e4代入式（3）可得a64=a44a51；

⑥ 將Y=e3+e5代入式（3）可得a45=0；

⑦ 將Y=e1+e5代入式（3）可得a65=a41a55；

⑧ 將Y=e1+e4+e5-e6代入式（3）可得a66=-a44a55；

⑨ 將Y=e1+e2代入式（3）可得a42=-a51；

⑩ 將Y=e1+e3代入式（3）可得a41=a53；

將Y=e3+e5-12e6代入式（3）可得a44=a55.

由于推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似， 因此下面僅給出其中兩種典型情形的推導(dǎo)過(guò)程.情形（i） "將Y=e1代入式（3）可得a61=a41a51. 此時(shí)， 由式（3）可得b11b22+b12b21=-b11b22+b12b21，""b11b12=b21b22=0，a41=b11x-b12y，"a51=b21x-b22y，"a61=bxy.于是， b11=b22=0， a41=-b12y， a51=b21x. 因此， a61=-b12b21xy=a41a51.

情形（ii） "將Y=e1+e2代入式（3）可得a42=-a51.

注意到此時(shí)已經(jīng)有a61=a41a51， a52=0， a62=-12a242. 由式（3）得

b21（2b22-b21）=b11（2b22-b21）=0， （4）

-2b11b12+b211=-b11b22+b12b21，（5）

-b22x-b12y-b22y=a41+a42，（6）2b22x+b22y=a51，（7）

（-b222-2b22b12）xy+12y2=a41a51-12a242.（8）

由式（4）得b21=2b22. 由式（5）得（b11+b22）（2b12-b11）=0. 若2b12-b11=0， 考慮到b21=2b22， 表明B2不可逆， 矛盾. 所以2b12-b11≠0， 從而b11=-b22. 由于

（-b22x-b12y-b22y）（2b22x+b22y）=-1

2（2b22x+b22y）2+（-b222-2b22b12）xy+12y2，

故由式（6）～（8）可得（a41+a42）a51=-12a251+a41a51-12a242.

于是a42=-a51.記a44=-c， a41=-cu， a42=-cv. 綜合上述結(jié)果有T2=T^-11T=-IC1B1α1β1c1=-1000000-1000000-1000-cu-cv0-c00cv0-cu0-c0-c2uv-12c2v212c2u2-c2vc2u-c2.

由引理4知-T2=M（cI2，u，v）∈Γ， 故-T∈Γ， 從而有-σ∈Aut（S）.

情形2） σ（Z）=P^-1ZP， Z∈sl2.

類(lèi)似于情形1）的證明可推得T∈Γ， 從而有σ∈Aut（S）.

定理2"σ∈LAut（S）當(dāng)且僅當(dāng)σ∈Aut（S）或-σ∈Aut（S）.

證明： 由定理1知， 只需證明當(dāng)-σ∈Aut（S）時(shí)σ∈LAut（S）. 由于-idS=（-σ）^-1σ（其中idS為S的恒等映射）， 故只需證明-idS∈LAut（S）

. 由局部自同構(gòu)的定義知， 只需證明對(duì)任意的X=（x1，x2，x3，x4，x5，x6）T， 存在由X確定的MX∈Γ， 使得-X=MXX. 當(dāng)然， 只需考慮X為非零向量. 下面分情況討論.

情形1） x4=x5=0.

情形① x1=0. 令B=E11-E22， 則M（B，0，0）X=-X.

情形② x1≠0且x2=0. 令B=-x^-11x3E11+2E12+2^-1（1-x^-21x23）E21+x^-11x

3E22， 則M（B，0，0）X=-X.

情形③ x1≠0且x2≠0. 令B=-E11+E22

+2x^-12x1E21， 則M（B，0，0）X=-X.

情形2） x4，x5不全為0.

此時(shí)存在B∈GL2， 使得B（x4，x5）T=（1，0）T. 記M（

B，0，0）X=Y=（y1，y2，y3，1，0，y6）T. 只需證明存在MY∈Γ使得MY=-Y.

情形① y3≠0. 令B1=-E11+E22+2y1y^-13E12， 則M（B1，0，0）Y=-Y.

情形② y3=y1=0. 令B2=-E11+E2

2， 則M（B2，0，0）Y=-Y.

情形③ y3=y2=0且y1≠0. 令B3=E12+E21， 則M（B3，-y^-11，y^-11）Y=-Y.

情形④ y3=0且y1y2≠0. 令B4=-E11+E22+2y1y^-12E21， 則M（B4，-2y^-11，2y^-12）Y=-Y.

綜上可知， 當(dāng)-σ∈Aut（S）時(shí)σ∈LAut（S）.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）