摘要： 考慮扭Yangian代數(shù)Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件. 如果M（μ（u））的權(quán)由某個(gè)有理函數(shù)決定， 則通過構(gòu)造法可得到M（μ（u））的一個(gè)真子模， 進(jìn)而證明M（μ（u））可約; 若M（μ（u））可約， 則可得到一個(gè)關(guān)于u的有理函數(shù)， 從而給出了M（μ（u））可約的必要條件為該有理函數(shù)是在u=∞處的Laurent展開.

關(guān)鍵詞： 扭Yangian代數(shù); Verma模; 可約性

中圖分類號(hào)： O152.5""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""文章編號(hào)： 1671-5489（2024）06-1285-06

Verma Modules of Twisted Yangian Y（o2）

GE Wanli， TAN Yilan， XU Senrong

（School of Mathematical Sciences， Jiangsu University， Zhenjiang 212013， Jiangsu Province， China）

Abstract： We considered necessary and sufficient conditions for the Verma modules M（μ（u）） of twisted Yangian Y（o2）

to be reducible. If the weight of M（μ（u）） was determined by a certain rational function， "we could obtain a proper submodule of

M（μ（u）） through construction method， thus proving "that M（μ（u）） was reducible. If M（μ（u）） was reducible， we could obtain a rational function associated with u，

thus "we gave a necessary condition for M（μ（u）） to be reducible was that the rational function was a Laurent expansion at u=∞.

Keywords： twisted Yangian; Verma module; reducibility

0"引"言

設(shè)gN是復(fù)數(shù)域上的正交李代數(shù)oN或辛李代數(shù)spN（N∈ N且N≥2）. 目前在有界可積系統(tǒng)的研究中， Yangian代數(shù)Y（glN）的余理想子代數(shù)Y（gN）受到廣泛關(guān)注^［1-4］. 文獻(xiàn)［5-8］研究了該代數(shù)的有限維不可約模， 文獻(xiàn)［9-11］討論了它的無限維非最高權(quán)且非最低權(quán)的權(quán)模.

Y（gN）的有限維不可約模由一系列Drinfeld多項(xiàng)式唯一決定. Y（gN）存在有限維不可約模的必要條件是其所對(duì)應(yīng)的Verma?？杉s. 文獻(xiàn)［12］給出了Y（sp2）的Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件， 即M（μ（u））可約當(dāng)且僅當(dāng)

2μ（u）μ（u）+μ（-u）=P（u）Q（u2），（1）

其中P（u）和Q（u）是首1多項(xiàng)式， 且deg（P（u））=2deg（Q（u））.

本文考慮Y（o2）的Verma模， 并證明了如下結(jié)果.

定理1"設(shè)μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…是一個(gè)關(guān)于u^-1的形式冪級(jí)數(shù)， 則Y（o2）的

Verma模M（μ（u））可約的充分必要條件為4uμ（u）（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u）是一個(gè)關(guān)于u的有理函數(shù)在u=∞處的Laurent展開， 即

4uμ（u）（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u）=P（u）Q（u），（2）

其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

推論1"Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約當(dāng)且

僅當(dāng)μ（-u）μ（u）=S（u）T（u）， 其中S（u）和T（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

1"預(yù)備知識(shí)

扭Yang代數(shù)Y（o2）是由一族生成元{e^（2i+2），h^（i），f^（2i+2）i∈N}生成的結(jié)合代數(shù)， 其滿足如下生成關(guān)系：

［e^（i），e^（j）］=0，""［f^（i），f^（j）］=0，（3）

［h^（i），h^（j）］=-∑ja=1（h^（i+a-1）h^（j-a）-h^（j-a）h^（i+a-1））+∑jb=1（-1）b（f^（i+

^b-1）e^（j-b）-f^（j-b）e^（i+b-1））-∑［j/2］c=1（f^i+2c-2）e^（j-2c）-f^（j-2c）e^（i+2c-2）），

［e^（i），f^（j）］=-∑j-1a=1（h^{（i+j-1-a）}h^（a）1-h^（a）h^{（i+j-1-a）}1）+∑j-1b=1（-1）b（h^{（i+j-1-b）}1h^（b）1-h^（

^b）h^{（i+j-1-b）}）-∑［j/2］c=1（h^（i+j-2c）h^（2c-2）1-h^（2c-2）h^（i+j-2c）1）-4h^（i+j-1），（4）

［h^（i），f^（j）］=-∑ja=1（h^（i+j-a）f^（a-1）-h^（a-1）f^（i+j-a））

+∑jb=1（-1）b（f^（i+j-b）h^（b-1）1-f^（b-1）h^（i+j-b））

-∑［j/2］c=1（f^（i+j-2c）h^（2c-2）1-f^（2c-2）h^（i+j-2c）1），（5）

［e^（i），h^（j）］=-∑ja=1（h^（i+a-1）e^（j-a）-h^（j-a）e^（i+a-1））

+∑jb=1（-1）b（h^（i+b-1）1e^（j-b）-h^（j-b）e^（i+b-1））-

∑［j/2］c=1（h^（i+2c-2）e^（j-2c）-h^（j-2c）e^（i+2c-2）），

其中h^（0）=h^（0）1=1， e^（0）=f^（0）=0， 且對(duì)任意的r∈N， 均有e^（2r+1）=f^（2r+1）=0， h^（2r+1）1=-h^（2r+1）， h^（2r+2）1=h^（2r+2）+h^（2r+1）.

命題1^［5］"設(shè)

x（u）∈{e（u）=e^（1）u+e^（2）u2+…， h（u）=1+h^（1）u+h^（2）u2+…， f（u）=f^（1）u+f^（2）u2+…}，

形式冪級(jí)數(shù)g（u）=1+g^（2）u^-2+g^（4）u^-4+…， 則映射

νg： x（u）g（u）x（u）（6）

定義了Y（o2）的一個(gè)自同構(gòu).

設(shè)μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…是一個(gè)關(guān)于u^-1的形式冪級(jí)數(shù). Y（o2）的Verma模為Y（o2）商去所有e^（i）和h^（i）-μ^（i）生成的左理想， Y（o2）的Verma模M（μ（u））是最高權(quán)模， 其中最高權(quán)為μ（u）， 最高權(quán)向量是Y（o2）中的元素1在商中的像， 記為1μ（u）. 形如

f^（r1）…f^（rk）1μ（u）（7）

的有序向量構(gòu)成了M（μ（u）） 的一組基， 這里k≥0.

2"定理1必要性的證明

引理1^［13］"設(shè)復(fù)系數(shù)形式冪級(jí)數(shù)μ（u）=1+μ^（1）u^-1+μ^（2）u^-2+…. 如果存在一個(gè)正整數(shù)N和一組不全為零的復(fù)數(shù)c0，c1，…，cm， 使形式冪級(jí)數(shù)μ（u）的系數(shù)u^（r）， 對(duì)任意的r≥N， 均滿足

c0μ^（r）+c1μ^（r+1）+…+cmμ^（r+m）=0，（8）

則μ（u）是一個(gè)形如P（u）Q（u）的有理函數(shù)在u=∞處的Laurent展開， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

命題2"如果Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約， 則式（2）成立， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

證明： 設(shè)g（u）=4u（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u），

且ν（u）=g（u）μ（u）. 易見g（u）=g（-u）， 且常數(shù)項(xiàng)為1. 根據(jù)自同構(gòu)（6）可知， M（μ（u））和M（ν（u））=M（g（u）μ（u））具有相同的可約性. 即研究M（μ（u））的可約性等價(jià)于研究M（ν（u））的可約性.

設(shè)K是M（ν（u））的非平凡子模. 下面分5步證明.

1） K繼承M（ν（u））的權(quán)空間分解.

如果將M（ν（u））視為一個(gè)o2-模， 其中o2=spanC{h^（1）}， 則可得它的一個(gè)權(quán)空間分解M（ν（u））= νM（ν（u））ν，其中M（ν（u））ν={η∈M（ν（u））h^（1）η=νη}. 事實(shí)上， 它的權(quán)ν形如ν^（1）+2k， 其中k是一個(gè)非負(fù)整數(shù). 根據(jù)［h^（1），f^（r）］=2f^（r）可知， 單項(xiàng)式（7）對(duì)某個(gè)確定的k構(gòu)成了M（ν（u））ν的一組基， 其中ν=ν^（1）+2k. 如果K是M（ν（u））的一個(gè)非平凡子模， 則可得K的權(quán)空間分解

K= νKν，""Kν=K∩M（ν（u））ν，（9）

這是因?yàn)?/p>

K=K∩M（ν（u））=K∩（νM（ν（u））ν）= ν（K∩M（ν（u））ν）.

對(duì)于權(quán)ν=ν^（1）+2k， 可以選定最小整數(shù)k使得Kν≠{0}. 顯然k≥1， 否則1ν（u）∈K. 因?yàn)镵ν≠{0}， 所以存在非零向量

ζ=∑rcrf^（r1）…f^（rk）1ν（u）∈Kν，""cr∈C，（10）

其中k元數(shù)組r=（r1，…，rk）， 1≤r1≤…≤rk， 并滿足 maxr{r1+…+rk}存在.

2） e^（t）ζ=0.

對(duì)任意的非零向量ξ∈Kν， 均有e^（t）ξ=0. 否則， 有

h^（1）e^（t）ξ=［h^（1），e^（t）］ξ+e^（t）h^（1）ξ=（ν-2）e^（t）ξ ，

表明非零向量e^（t）ξ∈Kν-2={0}， 從而有e^（t）ζ=0.

3） e^（t）ζ=∑rdrf^（r1）…f^（rk-1）1ν（u）.

注意到e^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）=∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）［e^（t），f^（ri）］f^（ri+1）…f^（rk）1ν（u）.（11）

根據(jù)式（4）以及定義關(guān)系h^（2r-1）1=-h^（2r-1）和h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）， 可將［e^（t），f^（ri）］寫成一些h^（r′）h^（t′）和的形式;

再利用式（5）， 又可將h^（t′）f^（m）=［h^（t′），f^（m）］+f^（m）h^（t′）寫成一些f^（r″）h^（t″）和的形式.

因此， 將式（11）右端適當(dāng)整理后， 可寫成一些單項(xiàng)式f^（r1）…f^（rk-1）1ν（u）線性組合的形式.

設(shè)N=maxr{r1+…+rk}， 且式（10）中f^（m1）…f^（mk）1ν（u）的系數(shù)cm≠0， 其中m1≤…≤mk， 且m1+…+mk=N. 本文考慮t≥N的情形.

4） 當(dāng)t≥N時(shí)， e^（t）ζ展開項(xiàng)中f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數(shù)dm=a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-k

ν^（t+N-k）=0， 其中a0，a1，…，aN-k是一些常值復(fù)數(shù).

利用式（4）和式（5）， 再結(jié)合定義關(guān)系h^（2r-1）1=-h^（2r-1）和h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）計(jì)算e^（t）ζ，

可得單項(xiàng)式f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數(shù)dm. 注意到m1+…+mk-1≤N-1， 且1≤mk≤N-k+1， 所以易見dm是ν^（t），ν^（t+1），…，ν^（t+N-k）的線性組合， 即dm=a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-kν^（t+N-k）. 根據(jù)2）和3）可知， dm=0， 即有a0ν^（t）+a1ν^（t+1）+…+aN-kν^（t+N-k）=0.

事實(shí)上， 每個(gè)ν^（t+i）的系數(shù)ai都是復(fù)系數(shù)cr的線性組合， 每個(gè)cr的系數(shù)又是1，ν^（1），ν^（2），

…，ν^（N-k）的線性組合. 當(dāng)t≥N時(shí)， ai的計(jì)算方式完全相同， 且與t的取值無關(guān)， 即a0，a1，…，aN-k是一些常值復(fù)數(shù).

5） ν^（t+mk-1）的系數(shù)amk-1≠0.

通過計(jì)算e^（t）ζ展開項(xiàng)中單項(xiàng)式f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數(shù)dm可知， ν^（t+mk-1）的系數(shù)amk-1僅由cme^（t）f^（m1）…f^（mk）1ν（u）提供. 事實(shí)上， 這是因?yàn)閑^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）按照式（11）展開， 當(dāng)r1+…+rklt;N時(shí)， 無法提供ν^（t+mk-1）f^（m1）…f^（mk-1）1ν（u）這一項(xiàng)； 當(dāng)r1+…+rk=N時(shí)， 計(jì)算f^（m

^1）…f^（mk-1）1ν（u）的系數(shù)， 即e^（t）ζ=∑rcre^（t）f^（r1）…f^（rk）1ν（u）

=∑rcr∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）［e^（t），f^（ri）］f^（ri+1）…f^（rk

^）1ν（u）=∑rcr∑ki=1f^（r1）…f

^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）［e^（t），f^（ri）］1ν（u）=

∑r-4cr∑ki=1f^（r1）…f^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）h^（t+ri-1）

1ν（u）=∑r-4cr∑ki=1ν^（t+ri-1）f^（r1）…f^（ri-1）f^（ri+1）…f^（rk）1ν（u）=-4mcmν^（t+mk-1）f^（m1）…f^（mk-1），其中m是指標(biāo)1≤j≤k時(shí)mj=mk的個(gè)數(shù)， 顯然m≥1; 這里“=”右端表示可能參與組成系數(shù)amk-1的項(xiàng). 因此， 當(dāng)m1，…，mk-1確定時(shí)， 可得amk-1=-4cm≠0. 根據(jù)引理1可知ν（u）是有理函數(shù)P（u）Q（u）在u=∞處的Laurent展開， 即式（2）成立， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

3"定理1充分性的證明

命題3"如果式（2）成立， 則Y（o2）的Verma模M（μ（u））可約， 其中P（u）和Q（u）是同次的首1多項(xiàng)式.

證明： 設(shè)deg（P（u））=deg（Q（u））=p， 下面分4步證明.

1） 假設(shè)Y（o2）的Verma模M（μ（u））的權(quán)μ（u）是關(guān)于u^-1的次數(shù)不超過2p的多項(xiàng)式.

設(shè)ν（u）=（-1）p4uQ（u）Q（-u）u^-2p（2u+1）μ（u）+（2u-1）μ（-u），

易見ν（u）=ν（-u）且常數(shù)項(xiàng)為1， 即ν（u）=1+ν^（2）u^-2+ν^（4）u^-4+…. 對(duì)于Y（o2）的Verma模M（μ（u））， 利用自同構(gòu)（6）， 可得一個(gè)Y（o2） 的模， 且這個(gè)模與Y（o2）的Verma模M（ν（u）μ（u））具有相同的可約性， 其中ν（u）μ（u）=（-1）pP（u）Q（-u）u^-2p是一個(gè)關(guān)于u^-1的次數(shù)不超過2p的多項(xiàng)式.

因此， 研究M（μ（u））的可約性即等價(jià)于研究M（ν（u）μ（u））的可約性. 不失一般性， 假設(shè)μ（u）是一個(gè)關(guān)于u^-1的次數(shù)不超過2p的多項(xiàng)式， 可見對(duì)任意正整數(shù)mgt;2p， 均有h^（m）1μ（u）=h^（m）11μ（u）=0.

注意到Verma模M（μ（u））由向量f^（r1）…f^（rk）1μ（u）線性張成， 且如有必要可對(duì)f^（ri）進(jìn)行任意排序， 所以本文假設(shè)r1≤…

≤rk. 設(shè)M（μ（u））的子空間K=spanC{f^（r1）…f^（rk）1μ（u）rkgt;2p}， 根據(jù)Y（o2）的定義關(guān)系可知， 對(duì)任意的正整數(shù)r恒有e^（2r-1）=f^（2r-1）=0， 所以這里的ri全部取偶數(shù)即可. 下面的證明默認(rèn)ri是偶數(shù)且rkgt;2p.

2） h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

使用數(shù)學(xué)歸納法證明， 設(shè)k=1. 定義關(guān)系（5）等價(jià)于

［f^（r1），h^（t）］=-∑ta=1（f^（r1+a-1）h^（t-a）-f^（t-a）h^（r1+a

^-1））+∑tb=1（-1）b（f^（r1+b-1）h^（t-b）-f^（t-b）h^（r1+b-1）1）

-∑［t/2］c=1（f^{（r1+2c-2）}h^（t-2c）-f^（t-2c）h^{（r1+2c-2）}）.（12）

因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)mgt;2p， 均有h^（m）1μ（u）=h^（m）11μ（u）=0， 所以

［f^（r1），h^（t）］1μ（u）=-∑ta=1（f^（r1+a-1）h^（t-a）1μ（u）-f

（t-a）h^（r1+a-1）1μ（u））+∑tb=1（-1）b（f^（r1+b-1）h^（t-b）1μ（u）-f^（t-b）h1^（r1+b-1）1μ（u））-∑［t/2］c=1（f^{（r1+2c-2）}h^（t-2c）1μ（u）-f^（t-2c）h^{（r1+2c-2）}1μ（u））=-∑ta=1μ^（t-a）f^（r1+a-1）1

μ（u）+∑tb=1（-1）bμ^（t-b）f^（r1+b-1）1

μ（u）-∑［t/2］c=1μ^（t-2c）f^{（r1+2c-2）}1μ（u）.

因此［f^（r1），h^（t）］1μ（u）∈K. 又因?yàn)閒^（r1）h^（t）1μ（u）=μ^（t）f^（r1）∈K， 所以h^（t）f

^（r1）1μ（u）∈K.

假設(shè)h^（t）f^（r1）…f^（rk-1）1μ（u）∈K. 下面證明h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K. 計(jì)算可得

h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）=-［f^（r1），h^（t）］f^（r2）…f^（rk）1μ（u

）+f^（r1）h^（t）f^（r2）…f^（rk）1μ（u）.

根據(jù)誘導(dǎo)假設(shè)可知， 對(duì)任意的正整數(shù)r， 均有f^（r）h^（t）f^（r2）…f^（rk）1μ（u）∈K. 由定義關(guān)系h^（2r-1）1=-h^（2r-1

^）， h^（2r）1=h^（2r）+h^（2r-1）以及式（12）可知［f^（r1），h^（t）］f^（r2）…f^（rk）1μ（u）∈K. 因此， 由數(shù)學(xué)歸納法可知h^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

3） e^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

根據(jù)定義關(guān)系（4）， 可得［e^（t），f^（r）］1μ（u）=-∑r-1a=1（h^{（r+t-1-a）}h^（a）11μ（u）-h^（a）h^{（r+t-1-a）}11μ（u））+∑r-1b=1（-1）b（h1^{（r+t-1-b）}h^（b）11μ（u）-h^（b）h^{（r+t-1-b）}1μ（u））-∑［r/2］c=1（h^（r+t-2c）h^（2c-2）11μ（u）-h^（2c-2）h^（r+t-2c）1μ（u））-4h^（r+t-1）1μ（u）.

與2）類似， 利用數(shù)學(xué)歸納法， 可以證明e^（t）f^（r1）…f^（rk）1μ（u）∈K.

4） K是M（μ（u））的非平凡子模.

易見子空間K的生成元在Y（o2）的作用下是穩(wěn)定的. 事實(shí)上， 易知f^（t）對(duì)K的作用是穩(wěn)定的； 由2）和3）可知， K在h^（t）

和e^（t）下的作用也是穩(wěn)定的. 又因?yàn)镵是M（μ（u））的非平凡子空間， 所以可知K是M（μ（u））的非平凡子模.

參考文獻(xiàn)

［1］"CHEN H J， GUAY N， MA X G. Twisted Yangians， Twisted Quantum Loop Algebras and Affine Hecke Algebras of Type BC

［2］"GUAY N， REGELSKIS V， WENDLANDT C. Representations of Twisted Y

angians of Types B，C，D： Ⅰ ［J］. Selecta Math New Ser， 2017， 23（3）： 2071-2156.

［3］"GUAY N， REGELSKIS V， WENDLANDT C. Representations of Twisted Yangians of Types B，C，D： Ⅱ［J］. Transform Groups， 2019， 24（4）： 1015-1066.

［4］"GUAY N， REGELSKIS V. Twisted Yangians for Symmetric Pairs of Types B，C，D［J］. Math Z， 2016， 284（1/2）： 131-166.

［5］"MOLEV A. Yangians and Classical Lie Algebras ［M］. Providence， RI： American Mathematical Society， 2007： 45-184.

［6］"MOLEV A. Finite-Dimensional Irreducible Representations of Twisted Yangians ［J］. J Math Phys， 1998， 39（10）： 5559-5600.

［7］"MOLEV A. Skew Representations of Twisted Yangians ［J］. Selecta Math New Ser， 2006， 12（1）： 1-38.

［8］"ARNAUDON D， MOLEV A， RAGOUCY E. On the R-Matrix Realization of Yangians

and Their Representations ［J］. Ann Henri Poincaré， 2006， 7（7/8）： 1269-1325.

［9］"劉曉華， 譚易蘭， 夏利猛. Twisted Yangian Y（sp2）的單權(quán)模 ［J］. 東北師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 2024， 56（1）： 1-7.

（LIU X H， TAN Y L， XIA L M. Simple Weight Modules of Twisted Yangian Y（sp2） ［J］. Journal of Northeast Normal University （Natura

l Science Edition）， 2024， 56（1）： 1-7.）

［10］"TAN Y L， XIA L M， ZHOU Y K. Simple Weight Modules for Yangian Y（sl2） ＼11］"吳青云， 譚易蘭， 夏利猛. 量子Loop代數(shù)Uq（L（sl2））的單權(quán)模［J］. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版）， 2024， 62（2）： 256-262.

（WU Q Y， TAN Y L， XIA L M. Simple Weight Modules of Quantum Loop Algebra Uq（L（sl2）） ［J］. Journal of Jilin University （Science Edition）， 2024， 62（2）： 256-262.）

［12］"TAN Y L. Verma Modules for Twisted Yangians ［J］. Comm Algebra， 2020， 48（1）： 210-217.

［13］"BILLIG Y， FUTORNY V， MOLEV A. Verma Modules for Yangians ［J］. Lett Math Phys， 2006， 78（1）： 1-16.

（責(zé)任編輯： 李"琦）