關(guān)鍵詞：醫(yī)療資源；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性

中圖分類號：O175.1"" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0 引言

傳染病是經(jīng)過一定途徑傳染給另一個(gè)人或物種的疾病，它是由病原微體（如病毒、細(xì)菌和真菌等）或由寄生蟲（如原蟲、蠕蟲等）感染人或其他生物后引起的流行的疾病的總稱[1]，通常可以通過直接接觸、或者接觸體液及排泄物傳播，也可以通過母嬰傳播、空氣傳播、水源傳播、食物傳播等.由于傳染病的類型繁多以及在爆發(fā)后的初期、中期、晚期的情況呈現(xiàn)多樣化，使得無法提前做出預(yù)防措施和相應(yīng)的治療方案.因此，當(dāng)傳染病發(fā)生時(shí)，想在短期內(nèi)快速地建立足夠的醫(yī)療資源并不現(xiàn)實(shí)，也不科學(xué)，故當(dāng)傳染病爆發(fā)后，如何快速地制定合理的、行之有效的治療方案就顯得尤為重要.

在傳統(tǒng)的傳染病模型中[2-3]，恢復(fù)率μ通常是一個(gè)常數(shù)，但實(shí)際上恢復(fù)率μ與醫(yī)療資源的情況有密切的關(guān)系.恢復(fù)率表示恢復(fù)者在感染者中所占的比例，當(dāng)病床數(shù)增加或醫(yī)療資源充足時(shí)，感染者就能快速接受治療，同時(shí)恢復(fù)的也比較快，此時(shí)恢復(fù)率增大；當(dāng)感染者增多，醫(yī)療資源匱乏時(shí)，恢復(fù)率降低.為此，在文獻(xiàn)［4-7］中把恢復(fù)率μ看作是病床數(shù)b和I的函數(shù)μ（I，b0），

本文將總?cè)丝诜譃橐赘蓄悾⊿）和染病類（I）.考慮了雙線性發(fā)生率以及具有醫(yī)療資源影響的SIS模型，為后期研究具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIS模型打下基礎(chǔ)，建立以下模型：

其中：參數(shù)A表示人口的輸入率，且均為易感者；d為自然死亡率系數(shù)；α表示因病死亡率系數(shù)；β表示與患者接觸后被感染的概率.

顯然，系統(tǒng)（1）的可行域?yàn)?/p>

容易驗(yàn)證Ω為系統(tǒng)（1）的正不變集.

1 平衡點(diǎn)的存在性

1.1 無病平衡點(diǎn)的存在性

1.2 正平衡點(diǎn)的存在性

令微分方程（1）的右端為零，即

由式（2）可以得到系統(tǒng)（1）的正平衡點(diǎn)E（S，I）滿足：

將式（3）代入式（2）中的第二個(gè)方程中，得到一個(gè)關(guān)于I的一元二次方程，

F（I）=A1I2+B1I+C1=0，

其中

顯然，R1lt;R0，故可以得到：

（1）當(dāng)R1lt;1時(shí)，

①若R0lt;1，則系統(tǒng)不存在正平衡點(diǎn)；

（2）當(dāng)R1gt;1時(shí)，R0gt;1，故分以下兩種情況：

根據(jù)以上分析，有以下定理.

取A=3，β=0.052，d=0.2，α=0.035，u0=0.2，u1=0.35，b0=0.2，R1gt;1，繪制了感染者I隨R0變化的圖像，當(dāng)R0gt;1時(shí)，系統(tǒng)存在一個(gè)正平衡點(diǎn)，如圖2所示.

2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

2.1 無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在無病平衡點(diǎn)E0處的Jacobian矩陣為[8]

特征方程為

（λ+d）λ+（d+α+μ1）（1－R1）=0.

通過分析可得以下定理.

定理2 當(dāng)R1lt;1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)R1gt;1時(shí)，無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

2.2 正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)（1）在正平衡點(diǎn)E（S，I）處的Jacobian矩陣為

特征方程為

λ2－tr（JE）λ+det（JE）=0，

其中

F′（I）=2A1I+B1，A1gt;0.因此，有以下幾種情況：

3 參數(shù)敏感性分析

為了找到較好的防控措施，需要對影響R0的參數(shù)進(jìn)行分析，下面對基本再生數(shù)中的一些參數(shù)進(jìn)行敏感性分析.

u，α，β，d對R0的影響如圖3-圖6所示.從圖3、圖4中可以看出R0隨著μ，α的增加而減少；圖5顯示，當(dāng)βlt;0.2時(shí)，基本再生數(shù)小于1；圖6顯示，當(dāng)dgt;0.3時(shí)，R0幾乎為一個(gè)常數(shù)，此時(shí)d對R0的影響幾乎可以忽略不計(jì).為了體現(xiàn)參數(shù)對R0的綜合影響，分別繪制了α與β，α與d對R0的影響，如圖7和圖8所示.由圖7可以看到，β對R0的影響比較大；圖8顯示，α對R0的影響比d對R0的影響大.

4 結(jié)語

參考文獻(xiàn)：

[1] 馬知恩，周義倉，王穩(wěn)地，等.傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

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[8] WANG W D，RUAN S G.Simulating SARS outbreak in Beijing with limited data[J].Journal of Theoretical Biology，2004，227（3）：369-379.