摘 要：已有基于量子行走的社區(qū)檢測算法存在計算開銷過大或?qū)r間參數(shù)過于敏感的問題。針對此問題，提出兩階段量子行走（two-stage quantum walk，TSQW）算法。TSQW算法第一階段為無測量量子行走，此階段融合節(jié)點的鄰域拓?fù)湫畔⒐?jié)點表達(dá)為向量，第二階段利用K-means方法聚類上一階段得到的節(jié)點向量以劃分網(wǎng)絡(luò)社區(qū)。通過仿真網(wǎng)絡(luò)和空手道俱樂部網(wǎng)絡(luò)的驗證，該算法能夠準(zhǔn)確地檢測網(wǎng)絡(luò)社區(qū)結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，提出TSQW的擴(kuò)展（TSQW-E）算法，該算法依據(jù)節(jié)點的社區(qū)信息增加或刪除原始網(wǎng)絡(luò)的連邊并實現(xiàn)社區(qū)隱藏。根據(jù)互信息指標(biāo)和調(diào)整蘭德系數(shù)下的實驗表現(xiàn)，TSQW-E算法使已有社區(qū)檢測算法的平均識別精度分別下降0.491和0.58，對網(wǎng)絡(luò)社區(qū)結(jié)構(gòu)的破壞效果最好。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；量子行走；社區(qū)檢測；社區(qū)隱藏

中圖分類號：TP301.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1001-3695（2023）08-013-2329-05

doi： 10.19734/j.issn.1001-3695.2023.01.0007

Two-stage quantum walk algorithm with application to community detection

Liang Wen Yan Fei Chen Baizhen

（1. School of Computer Science amp; Technology， Changchun University of Science amp; Technology， Changchun 130022， China; 2. School of Information Engineering， Jiangxi University of Science amp; Technology， Ganzhou Jiangxi 341000， China）

Abstract：The existing quantum walk-based community detection algorithms consume massive computations and exhibit sensitivity to the time parameter. Therefore， this paper proposed a two-stage quantum walk （TSQW） algorithm. The first stage was a quantum walk model without observation， which represented each node as a vector via combing its neighbor information. In the second stage， TSQW used K-means to cluster the node vectors and divide the communities. TSQW algorithm could accurately detect the community structure for the simulated network and Karate club network. Moreover， this paper proposed a TSQW-E algorithm for community deception， which combined the community information of nodes to add or delete edges of the original network. Experimental outcomes under the normalized mutual information and the adjusted Rand index show that TSQW-E can reduce the average identification accuracy of existing community detection algorithms by 0.491 and 0.58 respectively， the effect on community deception is the best.

Key words：complex network; quantum walk; community detection; community deception

0 引言

量子算法的出現(xiàn)為圖像處理和機(jī)器學(xué)習(xí)等諸多領(lǐng)域的研究任務(wù)提供了新穎且高效的解決方案［1，2］。在諸多量子算法中，量子行走（quantum walks）顯得與眾不同，因可用于實現(xiàn)其他量子算法而被視為一種通用計算（universal computation）模型［3］，并逐漸成為信息安全通信［4］、空間搜索［3］和圖數(shù)據(jù)挖掘［5］領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)。

籠統(tǒng)地講，量子行走研究的是粒子在圖數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上的運動以及粒子在圖上測量結(jié)果的分布特點。當(dāng)量子行走發(fā)生在以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)為代表的不規(guī)則圖上時，其主要應(yīng)用為捕捉網(wǎng)絡(luò)中具有特殊含義的節(jié)點和邊。譬如，網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點、關(guān)鍵邊和網(wǎng)絡(luò)中丟失的邊等［6］。2020年Wang等人［7］提出幺正膨脹演化的連續(xù)時間量子行走模型算法構(gòu)造有向復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的幺正演化，實驗表明該算法能有效地排序有向網(wǎng)絡(luò)的中心節(jié)點。2021年，國防科技大學(xué)團(tuán)隊［8］設(shè)計了一種由Grover算符驅(qū)動的離散時間量子行走算法，該算法能以高精度評估網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的相似性。2022年，Liang等人［5］針對網(wǎng)絡(luò)關(guān)鍵邊識別問題提出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的Hadamard量子行走，并進(jìn)一步將其應(yīng)用于動態(tài)無人機(jī)通信網(wǎng)絡(luò)挖掘關(guān)鍵無人機(jī)節(jié)點。上述成果共同表明量子行走的測量結(jié)果可以有效地反映網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，為量子行走在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)挖掘中的應(yīng)用提供了有力支撐。

以上針對節(jié)點和邊的發(fā)現(xiàn)工作僅為微觀尺度上對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)信息的挖掘，量子行走測量結(jié)果所捕捉的目標(biāo)還可以是中觀尺度上具有高度聚集特征的子圖結(jié)構(gòu)，即社區(qū)。目前，已知的基于量子行走的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社區(qū)檢測方法有兩種。一種是由Mukai等人［9］提出的利用Fourier硬幣驅(qū)動的離散時間量子行走（discrete-time quantum walk）算法，以下簡稱Fourier量子行走。由于量子計算中的演化算符多為幺正矩陣，其特征值按實部和虛部分解后能以單位圓的形狀投射在一個單位復(fù)平面上。文獻(xiàn)［9］研究發(fā)現(xiàn)在極限行走步長下Fourier量子行走演化算符所分解出的特征值在單位圓上的分布較均勻，適宜挖掘復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)，并利用空手道俱樂部和美國航空航線網(wǎng)絡(luò)驗證Fourier量子行走在社區(qū)檢測中的有效性。另一項工作是Faccin等人［10］提出的基于連續(xù)時間量子行走（continuous-time quantum walk）的社區(qū)檢測算法?；谏鐓^(qū)內(nèi)部連接緊密的特點，文獻(xiàn)［10］中假設(shè)社區(qū)內(nèi)節(jié)點的信息交互頻率更高，令某個時段內(nèi)粒子在社區(qū)內(nèi)節(jié)點上測量概率的變化幅值盡可能地大，而考慮到社區(qū)外部連接相對稀疏的特點，令同時段內(nèi)粒子在社區(qū)間節(jié)點上測量概率的變化幅值盡可能地小，最后基于緊密性指標(biāo)（closeness index）優(yōu)化社區(qū)結(jié)構(gòu)的劃分結(jié)果。

上述基于量子行走的社區(qū)檢測算法在應(yīng)用層面存在諸多限制，例如前者因需仿真無限次演化而取平均導(dǎo)致計算開銷過大；而后者因無法確定最佳的時間參數(shù)導(dǎo)致社區(qū)檢測結(jié)果的不穩(wěn)定。為減少量子行走反復(fù)測量帶來的計算消耗并提高量子行走對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社區(qū)的檢測精度，本文提出兩階段量子行走（two-stage quantum walk， TSQW）算法。實驗表明該算法可以準(zhǔn)確劃分網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)。進(jìn)一步，本文擴(kuò)展TSQW算法并使其應(yīng)用于社區(qū)隱藏，實驗表明擴(kuò)展后的TSQW算法能夠有效避免其他社區(qū)檢測算法識別網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)。

1 兩階段量子行走算法

為規(guī)避量子行走測量結(jié)果存在震蕩的問題，并使得量子行走在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)挖掘任務(wù)上發(fā)揮應(yīng)用價值，本章提出兩階段量子行走（TSQW）算法。在TSQW算法的第一階段，設(shè)計了一種無測量量子行走（quantum walk without observation），將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的全部節(jié)點表示為向量，并融入節(jié)點的局部拓?fù)涮卣鳎坏诙A段使用K-means算法聚類第一階段得到的向量，聚類結(jié)果即TSQW算法檢測到的社區(qū)結(jié)構(gòu)。兩階段量子行走算法的框架參考圖1。

1.1 用于節(jié)點向量表征的無測量量子行走

1.2 用于向量聚類的K-means社區(qū)檢測

2 TSQW算法在社區(qū)檢測中的應(yīng)用

2.1 社區(qū)檢測及評價指標(biāo)

2.2 TSQW算法在仿真網(wǎng)絡(luò)上的社區(qū)檢測

為驗證TSQW算法在社區(qū)檢測中的效果，本節(jié)給出一個具有明顯社區(qū)結(jié)構(gòu)特征的仿真網(wǎng)絡(luò)，作為TSQW算法的測試數(shù)據(jù)，此仿真網(wǎng)絡(luò)如圖3所示。該網(wǎng)絡(luò)具有三個特征明顯的社區(qū)結(jié)構(gòu)，TSQW算法的劃分結(jié)果必須準(zhǔn)確劃分三個無重疊社區(qū)才能反映出其在社區(qū)檢測中的效果。

由于任意節(jié)點在TSQW算法中均以N維向量的形式表達(dá)，當(dāng)全部向量投影在二維平面上，則TSQW算法對圖3網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)檢測結(jié)果如圖4所示。在圖4中，每個散點均對應(yīng)圖3網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點，根據(jù)圖中淺藍(lán)、淺紅、淺綠的三個色域以及節(jié)點的聚集情況可以發(fā)現(xiàn)，TSQW算法能夠準(zhǔn)確劃分具有明顯社區(qū)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（見電子版）。

2.3 TSQW算法對Karate網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)檢測結(jié)果

為進(jìn)一步驗證TSQW算法在社區(qū)檢測中的效果，本節(jié)采用著名開源小世界網(wǎng)絡(luò)——Karate空手道俱樂部（Zachary’s Karate Club）作為測試數(shù)據(jù)，該網(wǎng)絡(luò)由34個節(jié)點和78條邊組成。由于該俱樂部存在是否提高收費的爭議而瓦解為兩個不同社區(qū)，兩社區(qū)分別由編號為33和編號為1的節(jié)點領(lǐng)導(dǎo)。Karate網(wǎng)絡(luò)帶有標(biāo)準(zhǔn)的真實社區(qū)數(shù)據(jù)，在圖5中分別以不同顏色區(qū)分（見電子版），其中編號為3和編號為10的節(jié)點較容易被社區(qū)檢測算法錯誤劃分，因為兩者的鄰域節(jié)點分別從屬于不同社區(qū)，且數(shù)量相同。

本節(jié)實驗的對比算法可分為兩組，第1組為非量子的經(jīng)典社區(qū)檢測算法，包括Louvian［14］、Newman的模塊化算法（Newman’s modularity algorithm， NMA）、WalkTrap［15］、自旋玻璃（SpinGlass）［16］、信息熵編碼（Infomap）［17］、基于節(jié)點穩(wěn)定性和鄰域相似性的社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法（NSNSA）［18］以及改進(jìn)布谷鳥搜索優(yōu)化算法（ICSO）［19］；第2組為量子衍生群體智能算法，包括量子蟻群優(yōu)化算法（quantum ant colony optimization algorithm， QACO）［20］、量子離散多目標(biāo)的粒子群優(yōu)化算法（quantum-behaved discrete multi-object particle optimization algorithm， QDM-PSO）［21］以及量子遺傳算法（quantum genetic algorithm， QGA）［22］。以模塊化函數(shù)Q和NMI指標(biāo)為評價標(biāo)準(zhǔn)，上述算法同TSQW算法對Karate網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)檢測結(jié)果參考表1。

根據(jù)表1，TSQW算法的社區(qū)檢測結(jié)果同Karate網(wǎng)絡(luò)真實社區(qū)數(shù)據(jù)完全相同，并且量子算法普遍優(yōu)于非量子的經(jīng)典算法。在表1中，NSNSA和ICSO算法均為較新穎的社區(qū)檢測算法，兩者的模塊度值雖然均與標(biāo)準(zhǔn)Q值相等或高度近似，但兩者的社區(qū)檢測結(jié)果與真實社區(qū)間差距極大，不及本文提出的TSQW算法。此外，無論非量子的經(jīng)典算法還是量子衍生的社區(qū)檢測算法，它們在模塊化函數(shù)和NMI指標(biāo)下的表現(xiàn)共同說明：對于具有真實社區(qū)數(shù)據(jù)的網(wǎng)絡(luò)而言，模塊化函數(shù)度量值的最大化并不意味著算法的社區(qū)檢測結(jié)果更貼合真實社區(qū)。具體而言，SpinGlass算法在全部對比方法中的模塊化函數(shù)度量值最高，但其對Karate網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)劃分精度很低。同理，也可以解釋QACO算法雖準(zhǔn)確劃分了Karate網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)（根據(jù)其NMI指標(biāo)），但其模塊化度量值（0.417）大于Karate網(wǎng)絡(luò)真實社區(qū)對應(yīng)的模塊化函數(shù)度量值（0.371）。在表1的非量子經(jīng)典算法中，前五種算法極具代表性，諸多社區(qū)檢測算法均基于其而設(shè)計改進(jìn)算法，但此五者在NMI指標(biāo)下呈現(xiàn)出的社區(qū)檢測精度均不及TSQW算法。相比之下，僅QACO和本文的TSQW算法能夠完全準(zhǔn)確地劃分網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)。

3 TSQW擴(kuò)展算法在社區(qū)隱藏中的應(yīng)用

鑒于TSQW算法在社區(qū)檢測中的優(yōu)異表現(xiàn)，本章提出TSQW的擴(kuò)展算法，用于修改網(wǎng)絡(luò)連邊信息達(dá)到隱藏網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)的目的。

3.1 社區(qū)隱藏問題描述

3.2 TSQW的擴(kuò)展算法

3.3 TSQW-E算法的社區(qū)隱藏實驗

本節(jié)實驗以Louvian、NMA、WalkTrap、Infomap以及SpinGlass算法作為式（9）中的社區(qū)檢測算法f，并選擇如下算法作為用于破壞網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的社區(qū)隱藏對比方法，包括隨機(jī)（Random）算法、社區(qū)檢測攻擊（community detection attack，CDA）［23］算法、基于度的攻擊（degree based attack， DBA）［23］算法，其中Random和CDA算法因包含隨機(jī)性而重復(fù)運行10次后取均值。在使用上述社區(qū)隱藏算法后，將得到修改的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，即式（9）中的G′。進(jìn)一步，根據(jù)式（9）的描述關(guān)系可知，社區(qū)檢測算法f對網(wǎng)絡(luò)G′的社區(qū)檢測精度越小則社區(qū)隱藏效果越佳。本節(jié)實驗仍以Karate空手道俱樂部為測試網(wǎng)絡(luò)，并考慮對該網(wǎng)絡(luò)僅移除或添加5%的連邊或節(jié)點（78×5%≈4）。

基于NMI和ARI指標(biāo)，上述社區(qū)隱藏算法及本節(jié)提出的TSQW-E算法的社區(qū)隱藏結(jié)果分別參考圖8和9。在圖8和9中，水平方向表示不同社區(qū)檢測算法，豎直方向表示破壞網(wǎng)絡(luò)社區(qū)結(jié)構(gòu)的方法，每一個方塊表示網(wǎng)絡(luò)被破壞后某算法的社區(qū)檢測精度。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)未經(jīng)破壞時，原始NMI值及ARI值默認(rèn)為1，并用original標(biāo)記。圖中右側(cè)色帶代表NMI和ARI度量值的高低，淺顏色代表高精度隱藏結(jié)果。

根據(jù)圖8和9的社區(qū)隱藏實驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，無論基于何種指標(biāo)，本文提出的TSQW-E算法的社區(qū)檢測效果均為最佳。相比之下，Random算法因隨機(jī)地移除集合E中的邊，導(dǎo)致其隱藏效果在對比算法中最差；CDA算法雖以感知網(wǎng)絡(luò)社區(qū)結(jié)構(gòu)作為移除網(wǎng)絡(luò)邊的前提，但其在節(jié)點選擇上沒有可依賴的啟發(fā)信息并具有隨機(jī)性，導(dǎo)致社區(qū)隱藏精度不穩(wěn)定；DBA算法以最大度節(jié)點作為修改網(wǎng)絡(luò)的啟發(fā)信息，其在NMI和ARI指標(biāo)下的隱藏效果整體上優(yōu)于CDA算法。為量化不同算法的社區(qū)隱藏效果，此處逐一計算圖8和9中縱方向算法對經(jīng)典社區(qū)檢測算法造成的精度損失，精度損失的值越大越能表明算法在社區(qū)隱藏任務(wù)上的有效性。以圖8中Random算法為例，Random算法使水平方向五種經(jīng)典社區(qū)檢測算法的平均精度下降了1-（0.873+0.732+0.833+0.819+0.826）/5=0.183。依此類推，在NMI指標(biāo)下，CDA、DBA以及TSQW-E算法使五種社區(qū)檢測算法的精度分別平均下降了0.252、0.328以及0.491；而根據(jù)圖9，在ARI指標(biāo)下，三種對比算法和TSQW-E算法使社區(qū)檢測精度分別平均下降了0.229、0.328、0.330以及0.580。由此可見，無論采用何種評價指標(biāo)，TSQW-E算法的社區(qū)隱藏效果在對比算法中最佳。

此外，社區(qū)隱藏效果的優(yōu)劣同樣與所使用的社區(qū)檢測算法f存在明顯相關(guān)關(guān)系。以圖9中DBA算法的社區(qū)隱藏結(jié)果為例，分別使用Louvian算法和NMA算法計算社區(qū)序列時，兩者對由DBA算法修改后得到的網(wǎng)絡(luò)G′的社區(qū)隱藏結(jié)果差距較大，前者等于0.815而后者等于0.585。說明社區(qū)隱藏的效果高度依賴所使用的社區(qū)檢測算法f。而相比之下，本文提出的TSQW-E算法能有效地避免不同類型社區(qū)檢測算法準(zhǔn)確識別網(wǎng)絡(luò)原有的社區(qū)結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)束語

本文提出一種用于社區(qū)檢測的兩階段量子行走算法，該算法的無測量量子行走能有效地融合節(jié)點的局部拓?fù)涮卣餍畔⒐?jié)點向量化表達(dá)。相比已有量子行走算法，兩階段量子行走算法壓縮了態(tài)向量的維度并省略了測量過程，極大節(jié)省了計算過程中的空間占用。實驗表明，兩階段量子行走算法能在社區(qū)檢測和社區(qū)隱藏兩項應(yīng)用中同時發(fā)揮顯著作用，具有高度靈活性和可擴(kuò)展性。

本文的應(yīng)用場景僅針對無重疊的社區(qū)檢測任務(wù)，未來計劃將量子行走擴(kuò)展至高維的線圖上，線圖中的節(jié)點與原網(wǎng)絡(luò)中的邊相對應(yīng)，而每條邊關(guān)聯(lián)兩個不同的節(jié)點。因此量子行走對線圖上每個節(jié)點的表征結(jié)果包含網(wǎng)絡(luò)連邊的信息，當(dāng)基于連邊信息來劃分網(wǎng)絡(luò)的社區(qū)結(jié)構(gòu)時，自然而然能夠得到重疊的社區(qū)結(jié)構(gòu)。結(jié)合本文算法在無重疊社區(qū)檢測上的表現(xiàn)可以推斷，兩階段量子行走算法未來在重疊社區(qū)檢測中有望發(fā)揮新的積極作用。

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