摘 要：為了解決復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度過程中資源利用不均、任務(wù)完成時間較長等問題，以最小化資源負(fù)載均方差和最小化任務(wù)群完成時間為目標(biāo)構(gòu)建復(fù)雜任務(wù)群資源調(diào)度模型，提出一種融合局部搜索和Pareto支配的多目標(biāo)優(yōu)化算法BRLSN（multi-objective optimization based on boundary range local search and NSGA-Ⅱ，BRLSN）。該算法采用有效的編碼方式與交叉變異算子進(jìn)行迭代尋優(yōu)，并利用基于邊界區(qū)域局部搜索的精英保留策略擴大算法搜索范圍，保存種群優(yōu)良個體。實驗結(jié)果表明，BRLSN相較于其他多目標(biāo)算法在收斂性和多樣性上有顯著的提升，同時算法收斂速度更快，種群質(zhì)量更高，明顯優(yōu)化了最終目標(biāo)函數(shù)的結(jié)果值。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化； 局部搜索； 智能算法； 任務(wù)調(diào)度； Pareto支配

中圖分類號：TP301 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）08-009-2298-06

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2022.12.0812

Multi-objective task scheduling model incorporating

local search and Pareto domination

Han Diya Zhang Fengli Yin Jiaqi Wang Ruijin Han Yingjun

（1.School of Information amp; Software Engineering， University of Electronic Science amp; Technology of China， Chengdu 610054， China; 2.Sichuan Environmental Information Center， Chengdu 610041， China）

Abstract：In order to solve the problems of uneven resource utilization and long task completion time in complex task group scheduling， this paper constructed a complex task group resource scheduling model to minimize the mean square error of resource load and the task group completion time， and proposed a multi-objective optimization algorithm based on boundary range local search and NSGA-Ⅱ， called BRLSN. The algorithm used an effective coding method and cross mutation operator for iterative optimization， and constructed an elite retention strategy based on local search in boundary region to expand the search scope of the algorithm and preserved good individuals in the population. Experimental results show that compared with other multi-objective algorithms， the convergence and diversity of BRLSN are significantly improved. At the same time， the algorithm convergence speed is faster， the population quality is higher， and the result value of the final objective function is obviously optimized.

Key words：multi-target optimization; local search; intelligent algorithms; task scheduling; Pareto dominance

0 引言

工業(yè)4.0時代的到來，加快了產(chǎn)業(yè)智能化的推進(jìn)，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的各類任務(wù)與所需資源的調(diào)度問題也愈發(fā)復(fù)雜。工業(yè)生產(chǎn)場景下遇到的大型任務(wù)如車間生產(chǎn)、故障聯(lián)合處置等，需要調(diào)用多方資源協(xié)作完成，資源根據(jù)不同任務(wù)的需求可分為設(shè)備資源、運輸資源和人員資源等，本文將此類問題抽象為一個復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度問題，將一段時間內(nèi)產(chǎn)生的多個任務(wù)定義為一個任務(wù)群，每個任務(wù)根據(jù)復(fù)雜程度又可進(jìn)一步細(xì)分為多個具有關(guān)聯(lián)關(guān)系的原子任務(wù)，原子任務(wù)是任務(wù)執(zhí)行與持有資源的最小單元。針對工業(yè)場景下復(fù)雜任務(wù)群的調(diào)度就是要在考慮完成時間、資源利用率等因素的情況下為所有原子任務(wù)合理分配資源。

國內(nèi)外針對復(fù)雜場景下多任務(wù)調(diào)度問題的研究已經(jīng)取得了一定的成果，但多數(shù)都是針對單一目標(biāo)進(jìn)行的。文獻(xiàn)［1～6］利用混合進(jìn)化算法以最小化任務(wù)完成時間為目標(biāo)構(gòu)建了生產(chǎn)資源配置模型；文獻(xiàn)［7，8］以最小化事件延期成本為目標(biāo)提出了結(jié)合遺傳算法與自適應(yīng)策略的調(diào)度模型；文獻(xiàn)［9，10］將粒子群算法進(jìn)行離散化處理，并且驗證了在生成高質(zhì)量資源—任務(wù)配置方案方面的有效性；文獻(xiàn)［11～13］考慮到了任務(wù)優(yōu)先級差異，提出了混合精確算法與遺傳算法的任務(wù)調(diào)度框架；文獻(xiàn)［14，15］從安全性的角度出發(fā)，提出了任務(wù)調(diào)度隱私保護策略。

以上研究均從單一維度出發(fā)對問題進(jìn)行建模，缺少了對實際應(yīng)用的綜合考慮，應(yīng)當(dāng)從多目標(biāo)出發(fā)，構(gòu)建符合實際場景的多目標(biāo)優(yōu)化模型。在求解多目標(biāo)問題上，主要有基于加權(quán)聚合和基于Pareto排序兩種方式?；诩訖?quán)聚合的多目標(biāo)優(yōu)化策略通過降維的方式把問題簡單化，偏離了多目標(biāo)優(yōu)化研究的本質(zhì)，同時權(quán)值的選擇有較強的主觀性。因此，多目標(biāo)優(yōu)化問題的研究更傾向于使用另一種基于Pareto前沿的多目標(biāo)優(yōu)化策略，該策略通過對個體的多個目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行非支配排序，從而選擇出一組最優(yōu)的解集。基于Pareto的NSGA-Ⅱ［16］多目標(biāo)算法利用快速非支配排序?qū)ΨN群進(jìn)行分層，并結(jié)合擁擠度比較算子保留將優(yōu)良個體保留下來，從而找到一組非支配解集。文獻(xiàn)［17］采用基于過程的隨機變異策略和交叉方法生成新一代種群，并改進(jìn)了精英保留策略。針對工業(yè)車間調(diào)度問題，文獻(xiàn)［18］在原有多目標(biāo)算法的基礎(chǔ)上提出了一種智能決策優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［19］引入了Pareto部分優(yōu)勢的概念，使NSGA-Ⅱ在多維解空間中進(jìn)行有效搜索，但是仍然存在算法易早熟、收斂速度較慢等問題。文獻(xiàn)［20］采用多區(qū)域采樣重組策略，有針對性地調(diào)整粒子在多個方向上的收斂能力。文獻(xiàn)［21，22］的研究表明，利用局部搜索可以有效提升多目標(biāo)優(yōu)化問題解的質(zhì)量，但會產(chǎn)生大量局部解，導(dǎo)致計算量成倍增加。

從以上分析可知，目前針對工業(yè)場景下復(fù)雜任務(wù)群資源調(diào)度問題的研究多集中于將問題建模為一個單目標(biāo)優(yōu)化問題，然而實際應(yīng)用場景中資源分配方案需要考慮多方面因素，如任務(wù)群完成時間、資源負(fù)載情況等。同時，傳統(tǒng)多目標(biāo)算法尋優(yōu)能力不足、易進(jìn)入局部最優(yōu)的缺陷，亦是需要解決的問題，局部搜索策略為問題的求解提供了思路，但需要解決計算量過大的問題。

本文首先以最小化任務(wù)群完成時間和最小化資源負(fù)載均方差為目標(biāo)，構(gòu)建了雙目標(biāo)復(fù)雜任務(wù)群資源調(diào)度模型；其次針對問題模型的求解提出了一種融合邊界范圍局部搜索和Pareto支配的多目標(biāo)優(yōu)化算法（multi-objective optimization based on boundary range local search and NSGA-Ⅱ，BRLSN），算法利用混沌變量擴大解的搜索范圍，即有更大的概率發(fā)現(xiàn)更為優(yōu)質(zhì)的任務(wù)群調(diào)度方案，彌補了算法陷入局部最優(yōu)的缺陷，同時加快了算法的收斂速度，能夠在更短的時間內(nèi)找到更為優(yōu)質(zhì)的解；最后通過仿真實驗對算法性能進(jìn)行測試，結(jié)果表明與現(xiàn)有算法相比，本文提出的BRLSN算法在收斂性和多樣性上相較于標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ算法分別平均提升了35%～70%和29%～56%，并且生成的資源調(diào)配方案在兩個目標(biāo)值上的結(jié)果均優(yōu)于其他具有代表性的多目標(biāo)算法。

1 問題模型

1.1 問題描述

1.2 符號定義

1.3 問題假設(shè)

1.4 模型約束

1.5 優(yōu)化目標(biāo)

2 BRLSN多目標(biāo)優(yōu)化算法

2.1 算法概述

前一章已對本文需要解決的復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度問題進(jìn)行了建模，本章將介紹對該問題模型進(jìn)行求解的算法。

此類任務(wù)群調(diào)度問題是NP-hard問題，以遺傳算法為代表的元啟發(fā)式算法是解決此類問題的重要方法，所以本文所提出的BRLSN沿用了進(jìn)化算法的框架，如圖1所示，BRLSN算法具體由染色體編碼、交叉變異、精英選擇三大模塊組成。

首先通過染色體編碼將任務(wù)—資源的匹配方式以染色體的形式表示，每一條染色體代表一種任務(wù)群調(diào)度方案，染色體的編碼需要考慮1.3、1.4節(jié)中的假設(shè)和約束；其次通過交叉變異擴大種群的多樣性，即豐富調(diào)度方案的多樣性；最后以1.5節(jié)提出的優(yōu)化目標(biāo)為評價指標(biāo)，利用精英選擇策略保留優(yōu)良個體，對染色體優(yōu)中選優(yōu)，直到達(dá)到進(jìn)化結(jié)束條件并生成最優(yōu)解集，在最優(yōu)解集中任一染色體均可作為最優(yōu)個體，通過解碼獲得最優(yōu)調(diào)度方案。各模塊具體描述將在后續(xù)章節(jié)進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2.2 染色體編碼

2.3 交叉變異

因為隨機性的交叉與變異方式會導(dǎo)致大量非可行解的產(chǎn)生，所以本文設(shè)計了兩種交叉變異算子來解決此問題。

2.3.1 交叉算子

2.3.2 變異算子

2.4 基于邊界區(qū)域局部搜索的精英保留策略

因為研究［19～22］表明局部搜索和多區(qū)域采樣能有效提高解的質(zhì)量，但是盲目的擴張搜索范圍在增加發(fā)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)解可能的同時會導(dǎo)致計算量過大從而使得收斂速度較慢，本文提出了一種基于邊界搜索的精英保留策略（elite retention strategy based on boundary search，BS-ERS），引導(dǎo)算法有目的地對種群周邊區(qū)域進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)解的同時提高尋優(yōu)速度，同時結(jié)合精英保留策略最大程度保留優(yōu)質(zhì)解作為下一代進(jìn)化的親本，促進(jìn)種群整體向評價指標(biāo)更優(yōu)的方向迭代發(fā)展。BS-ERS主要包含快速非支配排序、邊界區(qū)域局部搜索和精英保留三個部分，下面將對其進(jìn)行詳細(xì)說明。

2.4.1 快速非支配排序

2.4.2 邊界區(qū)域局部搜索

2.4.3 精英保留

規(guī)模為M的父種群Pt和子種群P1、P2經(jīng)過合并與邊界區(qū)域局部搜索后，形成規(guī)模為2M+k的新種群R，其中k為通過搜索發(fā)現(xiàn)的新個體數(shù)。經(jīng)過種群分層與個體擁擠度計算，每個染色體都具有兩個屬性，分別是非支配等級irank和擁擠度id，為了構(gòu)成規(guī)模為M的新一代父種群Pt+1，優(yōu)先選擇非支配等級數(shù)小的個體。直到添加到rank（x），此時種群規(guī)模超過M，對rank（x）中的所有染色體進(jìn)行擁擠度排序，選擇擁擠度更大者，直到生成規(guī)模為M的新種群Pt+1。

2.5 BRLSN算法流程

3 實驗設(shè)計與結(jié)果分析

3.1 實驗環(huán)境

本章實驗均使用Python編程實現(xiàn)，運行環(huán)境為macOS Big Sur（1.4 GHz四核Intel Core i5，8 GB內(nèi)存）。

為驗證本文所提出的多目標(biāo)優(yōu)化算法BRLSN的性能以及在解決復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度問題上有效性設(shè)計了兩個對比實驗。用于對比的算法有標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ［16］、基于多鄰域局部搜索的MOEA-LS［23］和基于精英分布局部搜索的DEGA［24］。其中實驗1為算法性能測試，該實驗使用4個雙目標(biāo)優(yōu)化問題常用的測試函數(shù)，通過相應(yīng)的評價指標(biāo)量化對比算法計算得出的Pareto前沿與函數(shù)本身真實Pareto前沿的擬合程度，從而對算法的性能進(jìn)行評估；實驗2為BRLSN在解決實際復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度問題中的有效性測試，以資源負(fù)載均方差和任務(wù)群完成時間這兩個目標(biāo)作為評價指標(biāo)，對比各算法在相同進(jìn)化代數(shù)下的表現(xiàn)。

3.2 實驗1設(shè)計與結(jié)果分析

因為無法確切地知道自定義的多目標(biāo)優(yōu)化問題真實Pareto前沿所在的位置，所以本實驗使用雙目標(biāo)優(yōu)化問題常用的ZDT系列測試函數(shù)［25］對算法的尋優(yōu)性能進(jìn)行測試，ZDT系列函數(shù)有真實的Pareto前沿，且均為多變量的無約束優(yōu)化問題，能夠很好地測試優(yōu)化算法的性能，函數(shù)具體內(nèi)容如表2所示。

根據(jù)表3的實驗對比結(jié)果，BRLSN所求得Pareto解集的收斂性在ZDT1～ZDT4上均優(yōu)于同組對比算法，說明BRLSN算法所求得的Pareto最優(yōu)解集更接近于真實Pareto最優(yōu)解集。以標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ算法收斂性均值和標(biāo)準(zhǔn)差為基準(zhǔn)，BRLSN在ZDT1上的平均優(yōu)化比例分別為70.6%和12.5%；在ZDT2上的平均優(yōu)化比例分別為49.2%和42.8%；在ZDT3上的平均優(yōu)化比例分別為35.25%和71.3%；在ZDT4上的平均優(yōu)化比例分別為55.8%和72.6%。

根據(jù)表4的實驗對比結(jié)果，BRLSN所求得Pareto解集的多樣性在ZDT1～ZDT4上均優(yōu)于同組對比算法，說明通過BRLSN算法得到的Pareto解在前沿上分布得更均勻，種類更豐富。以標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ算法多樣性的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為基準(zhǔn)，BRLSN在ZDT1上的平均優(yōu)化比例分別為56.2%和48.5%；在ZDT2上的平均優(yōu)化比例分別為31.9%和83.1%；在ZDT3上的平均優(yōu)化比例分別為42.2%和89.2%；在ZDT4上的平均優(yōu)化比例分別為29.6%和40%。

綜上，本文所提出的融合邊界范圍局部搜索的多目標(biāo)優(yōu)化算法BRLSN較標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ在綜合性能方面有明顯的提升，在保證收斂性的同時增強了種群多樣性，同時，結(jié)合基于多鄰域局部搜索的MOEA-LS和基于精英分布局部搜索的DEGA的實驗結(jié)果，驗證了引入局部搜索對算法尋優(yōu)能力的積極影響。

3.3 實驗2設(shè)計與結(jié)果分析

為了驗證本文所提的BRLSN算法在實際場景中復(fù)雜任務(wù)群調(diào)度方面的有效性，本節(jié)結(jié)合真實案例數(shù)據(jù)，整理形成了符合實驗要求的三種規(guī)模的仿真算例，詳細(xì)信息如表5所示。

四種算法的初始種群規(guī)模均設(shè)置為100，交叉概率P_c為0.9，變異概率P_m為0.1，交叉部分均采用混合交叉方法，在變異部分，BRLSN采用本文提出的多點變異策略MMS，NSGA-Ⅱ、DEGA和MOEA-LS采用隨機變異策略，每組實驗都進(jìn)行200次進(jìn)化迭代，實驗?zāi)康脑谟趯Ρ冗M(jìn)化代數(shù)相同時，不同算法所得出的平均任務(wù)群完成時間和平均資源負(fù)載均方差的差別。

BRLSN與三種對比算法的目標(biāo)值隨進(jìn)化代數(shù)的變化情況如圖6～8所示，結(jié)果表明：a）由于算例規(guī)模的不同，算法達(dá)到收斂時所需代數(shù)也有所差異，但BRLSN算法始終能夠在80代以內(nèi)實現(xiàn)收斂，而標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ［16］、DEGA［24］、MOEA-LS［23］達(dá)到收斂時的代數(shù)始終大于BRLSN；b）從算法最終收斂到的目標(biāo)值結(jié)果來看，BRLSN的求解較標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ有顯著的提升，同時明顯優(yōu)于DEGA和MOEA-LS。

BRLSN最終生成的種群分布與標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ的對比情況如圖9所示，其中“×”點構(gòu)成Pareto最優(yōu)解集，BRLSN算法所找出的Pareto解集中的解在每個優(yōu)化目標(biāo)上均優(yōu)于原始NSGA-Ⅱ最終解集中的解，即選擇BRLSN算法的Pareto解集中的任意解，都能夠得到資源負(fù)載均方差更小、任務(wù)群完成時間更短的調(diào)度方案。

因為本文的兩個優(yōu)化目標(biāo)都是向最小化的方向?qū)?yōu)，而相較于標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ，改進(jìn)后的BRLSN算法的種群整體分布明顯更靠近于坐標(biāo)系的左下方，所以結(jié)果顯示BRLSN算法最終生成的種群整體上更為優(yōu)質(zhì)。

4 結(jié)束語

本文首先以最小化任務(wù)群完成時間和最小化資源負(fù)載均方差為目標(biāo)構(gòu)建了復(fù)雜任務(wù)群資源調(diào)度模型；其次針對復(fù)雜任務(wù)群資源調(diào)度模型的求解，提出了一種融合邊界區(qū)域局部搜索策略的多目標(biāo)優(yōu)化算法BRLSN，利用混沌變量擴大了算法的搜索范圍；最后，通過仿真實驗與現(xiàn)有標(biāo)準(zhǔn)NSGA-Ⅱ、DEGA和MOEA-LS進(jìn)行對比，結(jié)果表明BRLSN的解有更好的收斂性與多樣性，同時有效提高了收斂速度，所生成的方案在目標(biāo)值上的表現(xiàn)更優(yōu)質(zhì)。目前的研究是針對雙目標(biāo)優(yōu)化問題展開的，后續(xù)工作將嘗試把本文的思想融入當(dāng)目標(biāo)維數(shù)大于3時的高維多目標(biāo)優(yōu)化問題，以解決更復(fù)雜場景下的應(yīng)用問題。

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