摘 要：在自然計算方法中，為解決高維數(shù)據(jù)優(yōu)化問題，需提高種群規(guī)模以獲得更高精度，但同時需要的時間復(fù)雜度較大，若種群規(guī)模降低又會因種群多樣性不足導(dǎo)致算法陷入局部最優(yōu)。為解決優(yōu)化過程中種群規(guī)模難以平衡、算法收斂速度慢及易陷入局部最優(yōu)等問題，提出一種基于多元競爭淘汰（multiple competitive elimination，MCE）策略的自然計算方法，其適用于各類優(yōu)化算法，而不依賴于算法進化的具體步驟，具有普適性。首先將原始解空間劃分為具有競爭關(guān)系的兩類大空間，每類大空間中細化分解為N元小空間;然后在兩類大空間中分別執(zhí)行反向?qū)W習(xí)和混合變異兩種不同的淘汰方法，淘汰較差個體;最后選取N元小空間的部分較優(yōu)個體跨兩類大空間進行競爭交換以保持整體種群的多樣性，提高了算法收斂速度和收斂精度。將該策略分別應(yīng)用到粒子群算法和遺傳算法中，并與標準粒子群算法、遺傳算法及目前較先進的改進群智能優(yōu)化算法對比，利用高維經(jīng)典測試函數(shù)驗證其性能。實驗結(jié)果表明，多元競爭淘汰改進算法較其他對比算法表現(xiàn)出了更好的尋優(yōu)能力，具有普適性。

關(guān)鍵詞：自然計算方法； 高維； 多元空間； 反向?qū)W習(xí)； 混合變異

中圖分類號：TP301 文獻標志碼：A

文章編號：1001-3695（2023）08-005-2274-07

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2023.01.0009

Natural calculation method based on multiple competition elimination

Hu Jianxuan， Ma Ning Fu Wei， Ji Weidong， Diao Yifei， Liu Cong， Huang Xinyu

（School of Computer Science amp; Information Engineering， Harbin Normal University， Harbin 150025， China）

Abstract：In the natural computation method， to solve the optimization problem of high-dimensional data， the population size needs to be increased to obtain higher accuracy， but at the same time， the time complexity is relatively large. If the population size is reduced， the algorithm will fall into local optimization due to the lack of population diversity. In order to solve the pro-blems such as difficult to balance population size， slow convergence rate and easy to fall into local optimum in optimization process， this paper proposed a natural calculation method based on MCE strategy， which was suitable for all kinds of optimization algorithms. It didn’t depend on the specific steps of algorithm evolution and had universality. Firstly， the original solution space was divided into two types of large spaces with competitive relations， and each type of large space was decomposed into N-dim small space. Then， two different elimination methods of reverse learning and mixed mutation were carried out respectively in the two types of large spaces to eliminate the poor individuals. Finally， some better individuals in N-dim small space were selected to carry out competitive exchange across the two types of large spaces to maintain the diversity of the whole population. Thus， it improved the convergence speed and accuracy of the algorithm. It applied the proposed strategy to particle swarm optimization and genetic algorithm respectively， and compared with standard particle swarm optimization， genetic algorithm and current advanced improved swarm intelligence optimization algorithms， and verified the performance by high-dimensional classical test function. The experimental results show that the improved algorithm of multiple competition elimination has better optimization ability than other comparison algorithms and has universality.

Key words：natural calculation method; high dimensional; multiple space; reverse learning; mixed variation

0 引言

自然計算（natural computation）是指研究自然界中蘊藏的計算能力以及受到自然界啟發(fā)而出現(xiàn)的計算方法的研究領(lǐng)域，主要涵蓋自然啟發(fā)的計算、自然仿真或模擬和利用自然物質(zhì)計算［1］三個方面。通過仿真和模擬自然界中自然現(xiàn)象而抽離出不同的計算方法，其中對粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）和遺傳算法（genetic algorithm，GA）研究最為活躍。PSO和GA都力圖能在自然特性的基礎(chǔ)上模擬個體種群的適應(yīng)性，采用了一定的變換規(guī)則通過搜索規(guī)定解空間求得最優(yōu)解?；赑SO又引申出了模擬動物行為的群智能優(yōu)化算法，如鯨魚算法、灰狼算法等。上述算法在諸多領(lǐng)域中都表現(xiàn)出了各自生物種群的優(yōu)點，但是其本質(zhì)都是基于種群的優(yōu)化方法?；诜N群的自然計算在處理高維問題時會面臨種群規(guī)模的選擇問題。在處理高維問題時，此類算法往往都會遇到早熟及收斂性能差等問題，無法有效收斂至最優(yōu)點。為提高高維搜索問題的搜索精度，可以通過加大種群規(guī)模以更有效地搜索解空間，提高尋找全局最優(yōu)解的概率，但這會造成算法的時間空間復(fù)雜度較高導(dǎo)致種群收斂速度較慢；如果種群規(guī)模較小又會導(dǎo)致種群多樣性降低，尋優(yōu)能力較弱，無法有效搜索全部解空間，搜索精度較差，對于多峰問題又易陷入局部最優(yōu)解，導(dǎo)致算法早熟。因此如何能在高維問題中不受限于種群規(guī)模而平衡局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)能力成了自然計算的瓶頸問題。

目前，數(shù)據(jù)規(guī)模通常較為龐大且大多具有高維特性［2］，為解決高維數(shù)據(jù)優(yōu)化問題，近年來涌現(xiàn)了大量相關(guān)研究辦法。Yin等人［3］在分析粒子協(xié)同搜索網(wǎng)絡(luò)演化特征基礎(chǔ)上，建立多個互聯(lián)耦合的動態(tài)自適應(yīng)進化網(wǎng)絡(luò)模型，提出一種多種群動態(tài)自適應(yīng)協(xié)同進化策略，針對大規(guī)模高維問題有較高的優(yōu)化精度和收斂速度。Sabar等人［4］在動態(tài)多種群粒子群算法基礎(chǔ)上，將維度和種群進行雙分組，提出了協(xié)同進化的動態(tài)粒子群優(yōu)化算法。Niu等人［5］提出的IQGA算法（improved quantum genetic algorithm）將GA分為多個種群，并引入種群巨災(zāi)策略處理種群早熟問題，利用遷移操作進行多空間信息交互，提高精英種群最優(yōu)解收斂精度。劉彬等人［6］提出了一種多種群的遺傳算法，增加了GA的種群多樣性和局部搜索能力，降低了算法運行時間。Zhang等人［7］在解決算法處理大規(guī)模多目標優(yōu)化性能較差的問題時，將解空間劃分為兩組亞種群，采用隨機插值策略對種群進行更新，有效改進了算法性能。Wei等人［8］提出一種具有全局檢測機制的動態(tài)多種群粒子群優(yōu)化算法（DMS-PSO-GD），將種群劃分為全局子群和動態(tài)子群，利用隨機重組策略實現(xiàn)子種群間信息交互和共享行為。為了進一步提高算法收斂能力和避免局部最優(yōu)，反向?qū)W習(xí)策略（opposition-based learning，OBL）在解決此類問題上表現(xiàn)出了明顯優(yōu)勢。Tizhoosh［9］在2006年提出反向?qū)W習(xí)概念。Rahnamayan等人［10］提出融合OBL策略的差分進化算法并表現(xiàn)出了優(yōu)秀性能，隨后諸多學(xué)者開始考慮和研究OBL對自然計算性能的提升。Ramalingam等人［11］使用了一種融合對立學(xué)習(xí)和灰狼優(yōu)化算法的最優(yōu)選擇框架改進無限傳感網(wǎng)絡(luò)。Li等人［12］為解決高維優(yōu)化問題，提出了一種基于反向?qū)W習(xí)的自適應(yīng)精英突變蝴蝶算法（OBOAEM），通過反向?qū)W習(xí)增加了種群多樣性，提高了發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解的概率。在改進算法收斂性能時，柯西算子和高斯算子也表現(xiàn)出了優(yōu)秀性能，Alnowibet等人［13］采用了反向?qū)W習(xí)和柯西算子策略增強了鯨魚優(yōu)化算法尋優(yōu)能力。Wen等人［14］提出一種多機制結(jié)合的哈里斯鷹改進算法（CCCHHO），其中利用了柯西函數(shù)分布特性增強種群多樣性，并利用精英個體引導(dǎo)種群位置更新，加快了算法收斂速度。Wang等人［15］使用柯西變異算子改進了鴿子算法用于無人機群協(xié)同規(guī)劃，提高了算法魯棒性和路徑規(guī)劃能力?？梢钥闯?，柯西變異和高斯變異雖然側(cè)重方向不同，但兩種變異方式在不同階段具有提高算法尋優(yōu)性能的能力。這些改進算法在全局探索能力、局部尋優(yōu)能力和收斂精度上相較于原算法均有顯著提高，這表明分種群、反向?qū)W習(xí)以及變異策略等具備非常有效的改進能力。但是上述算法大多是針對某一種算法，依賴具體的尋優(yōu)過程，普適性不強，且不能兼顧高維尋優(yōu)速度和收斂能力。

受以上方法啟發(fā)，為了解決高維數(shù)據(jù)優(yōu)化問題，本文提出了一種基于多元競爭淘汰（multiple competitive elimination，MCE）策略的自然計算方法，該方法與具體的進化算法無關(guān)，因而適用于各種搜索解空間的自然計算方法。MCE自然計算方法不受限于種群規(guī)模且與優(yōu)化算法的進化方式無關(guān)，以切片式的方式融合到自然計算方法中，在不影響種群進化方式的情況下，顯著提高了收斂速度和收斂精度。本文方法將原始解空間劃分為A、B兩個大空間，兩類大空間內(nèi)各有N元小空間，同大類空間的N元小空間種群個體以相同的策略進行淘汰更新。在A空間中的N元小空間內(nèi)對適應(yīng)度較高的粒子進行精英反向?qū)W習(xí)策略，隨后淘汰掉適應(yīng)度較差的粒子并記錄最優(yōu)的10個個體；在B空間中的N元小空間內(nèi)對適應(yīng)度較差的粒子，隨迭代次數(shù)以自適應(yīng)的概率進行高斯柯西混合變異，淘汰較差個體并記錄最優(yōu)的10個個體，最后從不同大空間的N元小空間內(nèi)記錄的10個最優(yōu)個體位置中隨機選擇部分最優(yōu)個體進行跨A、B兩類大空間競爭交換，這種操作可以保證在算法尋優(yōu)前期促進種群收斂并在后期增加種群多樣性。將MCE策略應(yīng)用到四種不同的自然計算方法中，使用不同的高維標準測試函數(shù)來驗證該策略的普適性和有效性。

1 變異算子和反向?qū)W習(xí)

1.1 變異算子

以往的一些研究表明，自然計算中粒子個體通常在前一個最優(yōu)粒子和當(dāng)前代的全局最優(yōu)個體之間振蕩［16］，因此對粒子進行變異算子擾動能夠有效提高算法性能，變異算子包括高斯變異（Gaussian mutation）和柯西變異（Cauchy mutation），兩種變異算子的函數(shù)如圖1所示。

1.1.1 柯西變異

柯西變異是一個符合正態(tài)分布的函數(shù)，其函數(shù)特征為在原點處峰值較低并擁有較長的兩翼，即生成遠離原點的隨機數(shù)范圍更大。使用柯西變異算子處理個體點能夠有效跳出局部最優(yōu)值，但如果只使用柯西變異帶來的缺陷就是對當(dāng)前個體點附近的搜索力度較差、尋優(yōu)精度較低且收斂速度較慢。

1.1.2 高斯變異

高斯變異也是一種符合正態(tài)分布的函數(shù)，其函數(shù)分布特性在原點處較為密集，但亦有幾率跳到離原點較遠的范圍去。使用高斯變異算子處理個體點時能夠有效搜索當(dāng)前解附近空間，提高算法收斂精度，但面對多峰問題時會導(dǎo)致算法早熟，陷入局部最優(yōu)解無法跳出。

1.2 反向?qū)W習(xí)

反向?qū)W習(xí)（opposition-based learning，OBL）是2006年提出的一種提高搜索性能的策略。其基本思想為如果當(dāng)前個體適應(yīng)度較差，那么考慮其在解空間內(nèi)反向個體更優(yōu)適應(yīng)度的可能性，如果新粒子的適應(yīng)度表現(xiàn)更好，則替換當(dāng)前解。盡管反向?qū)W習(xí)概念簡單易懂，但在算法優(yōu)化中卻表現(xiàn)出了很好的性能。Chen等人［17］利用OBL策略對種群進行初始化，提高算法種群多樣性，同時引入了正余弦加速系數(shù)策略以優(yōu)化算法收斂速度。Xu等人［18］采用基于消元的反向?qū)W習(xí)策略改進魚類洄游算法，提高了消息傳輸效率。其證明了OBL具備良好的尋優(yōu)能力，能夠有效提高收斂速度。

2 多元競爭淘汰自然計算方法

2.1 精英廣義反向?qū)W習(xí)

精英廣義反向?qū)W習(xí)（elite generalized opposiition-based learning，EGOBL）是針對基本反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生的反向解不一定比當(dāng)前搜索空間更容易搜索到全局最優(yōu)解值這一問題提出的解決方案，已成功應(yīng)用于多個自然計算方法改進研究。Yuan等人［21］為解決高度非線性優(yōu)化問題，提出一種精英反向?qū)W習(xí)和混沌最佳引力搜索灰狼算法（EOCSGWO），采用精英反向?qū)W習(xí)充分利用了性能更高的粒子進行下一代優(yōu)化。Liu等人［22］采用鏡墻概念對精英反向?qū)W習(xí)中跨界粒子進行處理，減少資源損失，增強了算法的優(yōu)化能力。Amer等人［23］為實現(xiàn)云資源的高性能，對哈里斯鷹算法（Harris hawks optimizer，HHO）進行優(yōu)化改進，采用精英反向?qū)W習(xí)改進HHO探索階段解的質(zhì)量，表現(xiàn)出了更好性能。

2.2 混合變異

在不同的自然計算方法中，首要考慮的問題就是如何平衡全局探索能力和局部尋優(yōu)能力，在算法前期要提高全局搜索能力，加快種群個體聚集在最優(yōu)解候選位范圍的速度以及避免算法早熟，在算法后期要注意不能陷入局部最優(yōu)解陷阱，注意增加種群多樣性，提高局部微小值探索能力和算法收斂精度。

前文提到高斯變異與柯西變異的優(yōu)缺點，可以看出在種群個體更新過程中，如果使用單一變異算子會無可避免地陷入到局部最優(yōu)陷阱中不易跳出和收斂性較差的兩難困境中。因此本文引入混合變異方式處理B類空間中適應(yīng)度排名較后的種群個體，使用自適應(yīng)的參數(shù)調(diào)節(jié)高斯變異與柯西變異的比例。在算法迭代前期使用較大柯西變異的比例以提高全局搜索能力，隨迭代次數(shù)增加提高高斯變異比例，在當(dāng)前解個體附近進行小幅擾動，但仍保持較合適的柯西變異幾率以跳出局部最優(yōu)值。

2.3 多元競爭淘汰策略

由上述兩種淘汰方法可知，精英廣義反向和末位混合變異都有著優(yōu)秀的跳出局部最優(yōu)能力與收斂能力，MCE融合兩種淘汰方法并增加多元空間個體交流能力，在不同大空間中劃分多個小空間，降低因種群規(guī)模過大造成的消極影響，在執(zhí)行過淘汰操作后，取不同大空間中N元小空間中的隨機優(yōu)秀個體競爭學(xué)習(xí)，當(dāng)某一類空間中（假設(shè)為A空間）有著更優(yōu)適應(yīng)度個體時，通過兩空間個體的交流學(xué)習(xí)，A空間中更優(yōu)的個體來到B空間，使得在下一次迭代中B種群的歷史最優(yōu)適應(yīng)度解得到提高，促進了B空間其他個體向此歷史更優(yōu)點收斂，通過此種方法，A空間帶動了B空間的收斂性能；當(dāng)某一空間個體陷入局部最優(yōu)時，此時因為兩種空間采用了不同的淘汰策略，反向?qū)W習(xí)策略產(chǎn)生的新解在全局尋優(yōu)能力貢獻較大，而混合變異方式隨迭代進行，在局部尋優(yōu)上能力更突出，在算法前期反向?qū)W習(xí)空間生成的新解會帶動混合變異空間收斂，后期混合變異對收斂精度的提高也會增強整體種群的收斂精度，因此通過競爭學(xué)習(xí)可以幫助算法在尋優(yōu)前后期擺脫局部最優(yōu)陷阱，增加種群多樣性。

MCE策略與其他算法融合是采用切片式的方式加入到算法，通過在每一次迭代前后增加競爭淘汰操作而提高算法性能，對算法自身的參數(shù)設(shè)置和具體進化流程不做改變，通過競爭的過程保持了原有算法在不同搜索時期的優(yōu)勢，使得MCE策略不會降低原有算法性能，再通過淘汰機制進一步保證了算法的收斂能力和種群多樣性。

基于多元競爭淘汰策略的自然計算算法步驟流程如下：

a）初始化種群初始化參數(shù)及算法相關(guān)參數(shù)，包括種群個數(shù)N，函數(shù)維度D，搜索空間上下界lb、ub等；

b）劃分種群size-a、size-b作為兩個競爭空間；

c）兩空間按原始算法公式進行迭代并計算適應(yīng)度值fitness；

d）A空間中對各小空間執(zhí)行精英反向?qū)W習(xí)，淘汰掉適應(yīng)度較差的粒子，并記錄最優(yōu)的10個個體；

e）B空間中對各小空間執(zhí)行末位混合變異，并記錄最優(yōu)的10個個體；

f）生成10以內(nèi)的隨機數(shù)rand，跨類別隨機交換兩類大空間中各小空間中的10個優(yōu)秀個體中的rand個；

g）判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若結(jié)束則返回最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)步驟c）。

基于多元競爭淘汰策略的算法流程如圖2所示。

3 算法時間復(fù)雜度與全局收斂性分析

針對不同的自然計算方法，時間復(fù)雜度與收斂性是判斷一個方法是否實用的重要依據(jù)，時間復(fù)雜度較低會帶來更低的開銷，并且只有在滿足收斂條件的前提下，算法才具有實際的工程應(yīng)用意義。本章首先分析應(yīng)用多元競爭淘汰策略的改進自然計算方法的時間復(fù)雜度，其次通過馬爾可夫鏈推論驗證改進算法具備漸進收斂性，在保持并提高原算法漸進收斂性上具有普適性。

3.1 時間復(fù)雜度

3.2 收斂性分析

4 仿真實驗與結(jié)果分析

4.1 MCE策略與標準算法的實驗結(jié)果分析

4.1.1 參數(shù)設(shè)置

4.1.2 實驗結(jié)果與分析

4.2 MCE策略與其他較新改進算法的實驗結(jié)果分析

MCE策略不僅在高維計算中有著獨到的優(yōu)勢，在低維計算中仍有著較好的收斂性能，在被對比的幾個算法中，F(xiàn)PSO借鑒了頻率波特性以避免種群陷入局部最優(yōu)陷阱，利用振幅、頻率和波長三個參數(shù)模擬波浪，在多峰函數(shù)中表現(xiàn)優(yōu)異但是在單峰函數(shù)中收斂精度較低，CSOGA將余弦相似度反向?qū)W習(xí)與遺傳算法結(jié)合，提高遺傳算法的尋優(yōu)能力。選取維度為50維，種群規(guī)模為100，迭代次數(shù)為1 000。實驗結(jié)果如表4所示，函數(shù)收斂圖像如圖5、6所示。由函數(shù)收斂圖可以很直觀地看到，MCE策略改進的PSO和GA有較好的收斂表現(xiàn)，同時可以與不同的改進算法結(jié)合進一步提高算法收斂能力，且解決了原改進算法后期尋優(yōu)能力不足等問題。

從收斂圖5、6中可以看到，F(xiàn)PSO有效提高了在多峰函數(shù)中的尋優(yōu)性能，但在單峰函數(shù)中表現(xiàn)一般，而結(jié)合了MCE策略 后的FPSO算法完善了FPSO在單峰函數(shù)中收斂精度不高的缺點，同時在多峰函數(shù)中進一步提高了其收斂能力，在保持了有效跳出局部最優(yōu)的能力外，尋優(yōu)精度也得到了大幅提升。CSOGA憑借有效的反向?qū)W習(xí)機制在單峰函數(shù)中表現(xiàn)突出，且能快速收斂。結(jié)合了MCE策略后保持并提高了其局部尋優(yōu)能力，同時在CSOGA容易陷入局部最優(yōu)的測試函數(shù)中能避免算法早熟，繼續(xù)向下收斂，提高了函數(shù)性能。通過對PSO和GA改進算法的實驗發(fā)現(xiàn)，MCE策略不僅自身對算法性能提高較好，同時能有效結(jié)合其他算法，彌補算法短板。

對于兩種算法的改進實驗中發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)PSO在多峰函數(shù)中表現(xiàn)優(yōu)異但單峰函數(shù)中表現(xiàn)一般，雖然融合了MCE策略后收斂精度和速度都得到了很大提升，但是較本就表現(xiàn)優(yōu)秀的CSOGA仍有較大差異，由此在選擇不同質(zhì)算法解決實際問題時，應(yīng)明確原算法的優(yōu)劣能力，在單峰函數(shù)中結(jié)合PSO類改進算法而在多峰函數(shù)中結(jié)合GA類改進算法。

5 結(jié)束語

本文提出一種普適性的基于多元競爭淘汰的尋優(yōu)策略以提高自然計算處理多維問題時全局尋優(yōu)的能力及跳出局部最優(yōu)陷阱的能力。通過大量的理論分析與實驗結(jié)果表明，本文策略不僅可以在單峰函數(shù)中提高算法的收斂速度和收斂精度，同時還可以在多峰函數(shù)中尋優(yōu)后期提高種群多樣性，避免種群陷入局部最優(yōu)陷阱，且仍具備較好的局部尋優(yōu)能力。將MCE策略與PSO、GA兩種自然計算方法以及近兩年提出的FPSO、CSOGA兩種改進算法相結(jié)合，與標準算法和原改進算法進行實驗性能比較，選取了包括單峰、多峰以及固定維多峰在內(nèi)的10個測試函數(shù)驗證策略的普適性和有效性。實驗結(jié)果表明，本文MCE策略可以與其他算法有效結(jié)合，在高維測試函數(shù)中表現(xiàn)優(yōu)異，有效降低因種群規(guī)模過大帶來的負面影響，不僅可以充分發(fā)揮原算法的搜索特性，對于原算法的尋優(yōu)短板也可以進行有效的補齊。在高維測試函數(shù)中，結(jié)合而成的新算法相較于原算法具有更好的尋優(yōu)性能，收斂曲線更為優(yōu)秀。據(jù)此，該策略可應(yīng)用于解決高維工程問題，提高尋優(yōu)精度和速度，同時在處理路徑規(guī)劃問題時也能有效提高效率。但是本文策略在算法前期不能有效地加快收斂速度，因為要充分發(fā)揮原算法的搜索機制優(yōu)點，避免因MCE策略導(dǎo)致算法早熟，在算法進入局部尋優(yōu)過程后才會大幅提高局部探微能力，所以在不同自然計算的前期尋優(yōu)階段，如何保證能夠在避免群體早熟的同時提高收斂速度仍缺乏一個行之有效的辦法。在后續(xù)的研究中，可以在不同的大空間中增加更多元的競爭方式，在多個大類空間的N元小空間中采用更隨機和更合理的自適應(yīng)交換方式，使算法在前、中、后期都能有一個更好的表現(xiàn)。

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