摘" 要：PID控制算法是目前應(yīng)用最廣泛的四旋翼控制算法。但目前傳統(tǒng)工業(yè)控制中的PID參數(shù)整定設(shè)置方法難以給出合適的參數(shù)導(dǎo)致無人機(jī)控制精度低且魯棒性差。采用粒子群優(yōu)化算法（PSO）可對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。針對(duì)基本PSO存在的收斂速度慢、收斂精度低、易過早收斂等缺陷，該文在傳統(tǒng)粒子群算法基礎(chǔ)上提出，非線性權(quán)重；非對(duì)稱學(xué)習(xí)因子；柯西變異；改進(jìn)PSO算法用于PID參數(shù)整定中。仿真結(jié)果表明，該文所提出的改進(jìn)粒子群算法在PID參數(shù)整定中的效果優(yōu)于傳統(tǒng)PSO算法，且魯棒性強(qiáng)。

關(guān)鍵字：PID；參數(shù)優(yōu)化；粒子群優(yōu)化算法；柯西變異；非線性權(quán)重

中圖分類號(hào)：V279" " " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " " " " 文章編號(hào)：2095-2945（2023）13-0055-05

Abstract： PID control algorithm is the most widely used four-rotor control algorithm at present. However， the current PID parameter setting method in traditional industrial control is difficult to give appropriate parameters， resulting in low control accuracy and poor robustness of UAV. Particle swarm optimization （PSO） can be used to optimize PID parameters. In view of the shortcomings of basic PSO， such as slow convergence speed， low convergence accuracy and easy premature convergence， this paper proposes the following on the basis of traditional particle swarm optimization： nonlinear weight; asymmetric learning factor; cauchy variation; the improved PSO algorithm is used in PID parameter tuning， The simulation results show that the improved particle swarm optimization algorithm proposed in this paper is better than the traditional PSO algorithm in PID parameter tuning and has strong robustness.

Keywords： PID; parameter optimization; particle swarm optimization algorithm; cauchy variation; nonlinear weight

隨著工業(yè)自動(dòng)化進(jìn)程的不斷推進(jìn)，有關(guān)比列-微分-積分控制器[1]的研究也在不斷深入。在實(shí)際工程應(yīng)用中，經(jīng)典PID算法具有控制器結(jié)構(gòu)簡單、控制原理容易理解、設(shè)計(jì)容易實(shí)現(xiàn)、運(yùn)行較為可靠且適用范圍廣等優(yōu)點(diǎn)，所以PID算法深受各大無人機(jī)研發(fā)單位的喜愛，已被廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程中。而在PID控制中，參數(shù)整定是控制器設(shè)計(jì)的核心內(nèi)容，其直接影響控制器性能。而現(xiàn)有的PID控制器參數(shù)整定方法主要有2類：理論計(jì)算整定法和工程整定法[2-3]。但這2種方法都需要豐富的先驗(yàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)理論知識(shí)，整定效率低下、難度大，且未必能夠達(dá)到最優(yōu)控制效果。

近些年來，一些智能算法的發(fā)展為PID參數(shù)整定提供了新的方向[4-5]。這些方法的確能夠在一定程度上優(yōu)化參數(shù)整定過程，但也存在計(jì)算周期長、過程復(fù)雜等缺點(diǎn)。粒子群優(yōu)化（PSO）是在1995年提出的一種新的優(yōu)化算法。與其他優(yōu)化算法相比，該算法保留了基于總體的全局搜索策略，且速度位置模型易于操作，在科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。但基本PSO存在的收斂速度慢、收斂精度低、易過早收斂等缺陷。文獻(xiàn)[4]提出一種自適應(yīng)慣性權(quán)值的PSO算法改善了算法容易過早收斂的問題。文獻(xiàn)[5]提出一種基于非線性學(xué)習(xí)因子的PSO算法，改善了其全局和局部搜索能力。結(jié)果都證明了PSO算法用于PID參數(shù)整定比傳統(tǒng)PID參數(shù)整定法更高效。

1" 四旋翼無人機(jī)原理及模型

1.1" 四旋翼無人機(jī)飛行原理

四旋翼無人機(jī)一般有“X”型布局和“十字”型布局。無人機(jī)的2對(duì)旋翼相互對(duì)稱，且每個(gè)旋翼上都有1個(gè)無刷直流電機(jī)用來為無人機(jī)提供飛行動(dòng)力，而其他的一些設(shè)備，則一般安裝于無人機(jī)的重心位置。當(dāng)忽略了機(jī)械結(jié)構(gòu)的柔性時(shí)，其是一個(gè)剛體。四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)可分為空間平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

四旋翼無人機(jī)是一個(gè)由4個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的具有6個(gè)自由度的系統(tǒng)[6-7]，分別為沿X、Y、Z坐標(biāo)軸的水平平移運(yùn)動(dòng)及姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。為了描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，首先應(yīng)該建立坐標(biāo)參考系，坐標(biāo)系的選擇不同，物體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)描述也不同。為了能夠更好地描述四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，本文采用2種坐標(biāo)系，即大地坐標(biāo)系和機(jī)體坐標(biāo)系。

1.2" 四旋翼無人機(jī)飛行建模

在建立四旋翼無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)模型之前，需要簡化對(duì)四旋翼無人機(jī)在非理想環(huán)境下的受力情況，同時(shí)又不失一般性，作出如下假設(shè)。

1）假設(shè)四旋翼無人機(jī)的機(jī)體是十字對(duì)稱的，質(zhì)心與機(jī)體坐標(biāo)系原點(diǎn)完全重合，且質(zhì)量均勻視為絕對(duì)的剛體。

2）假設(shè)地球自轉(zhuǎn)對(duì)四旋翼無人機(jī)的影響幾乎為零，且重力加速度一直不變。

3）假設(shè)無人機(jī)在飛行途中重心一直保持不變和機(jī)體坐標(biāo)系重合，且機(jī)體參數(shù)保持不變。

根據(jù)文獻(xiàn)[6]的分析方法可得到簡化的四旋翼數(shù)學(xué)模型如式（1）

（1）

式中：m為四旋翼的質(zhì)量；g為重力加速度；？茲、？準(zhǔn)、？鬃分別為俯仰角、橫滾角和偏航角角度； 分別為俯仰角、橫滾角和偏航角角度變化率；四旋翼所受總升力為U1；ρ為升力系數(shù)；Ωi（i=1，2，3，4）分別為4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速；Ixx、Iyy、Izz分別為無人機(jī)繞x、y、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

通過線性時(shí)變法（Linear Parameter Varying，LPV）[8]近似的方法進(jìn)行處理獲得四旋翼無人機(jī)的線性化狀態(tài)空間模型。將四旋翼無人機(jī)運(yùn)動(dòng)分解為3個(gè)獨(dú)立的通道考慮到四旋翼無人機(jī)懸?；蛘叩退亠w行時(shí)，飛行器受到的空氣阻力非常小，可以忽略不計(jì)[8]，其角度變化率很小。

由文獻(xiàn)[8]的分析同理可得3個(gè)通道上的傳遞函數(shù)。

俯仰角傳遞函數(shù)為

，（2）

橫滾角傳遞函數(shù)為

（3）

偏航角的傳遞函數(shù)為

， （4）

式中：K為電機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)；τ為延遲時(shí)間：d為機(jī)體中心到每個(gè)旋翼的距離；b為電機(jī)反扭轉(zhuǎn)阻力系數(shù)。

表1給出了四旋翼無人機(jī)的相關(guān)參數(shù)，將其代入式（2）、（3）、（4）可得出四旋翼無人機(jī)在3個(gè)通道上的傳遞函數(shù)，其中式（5）為俯仰角傳遞函數(shù)，式（6）為橫滾角傳遞函數(shù)、式（7）為偏航角傳遞函數(shù)。

代入?yún)?shù)有

（5）

，（6）

。（7）

2" 粒子群算法（PSO）

2.1" 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法

標(biāo)準(zhǔn)PSO算法在每次迭代中，粒子通過跟蹤單個(gè)極值和全局極值來更新其速度和位置。但最初的粒子群存在著收斂速度慢且容易“早熟”等問題。隨后Shi等增加了慣性系數(shù)ω，以提高粒子跳出局部極值的能力，每個(gè)粒子的修正速度和位置可以根據(jù)式（8）、（9）進(jìn)行控制

v（t+1）=ωv（t）+c1r1（pbest-x（t））+c2r2（gbest-x（t）），（8）

xij（t+1）=xij（t）+vij（t+1），（9）

式中：ω為慣性權(quán)重，使算法有擴(kuò)大搜索空間的趨勢(shì)；t為當(dāng)前迭代的代數(shù)；c1和c2為學(xué)習(xí)因子，通常值為2；隨機(jī)因子r1和r2為分布在[0，1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；pbest為粒子本身的最優(yōu)解，即個(gè)體極值；gbest為目前整個(gè)粒子群的最優(yōu)解，即全局極值。為了防止粒子跳出搜索范圍，通常使v∈[-vmax，vmax]。一般情況下，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)或粒子已經(jīng)找到全局極值時(shí)，迭代將被終止。

式（8）、（9）被稱為標(biāo)準(zhǔn)PSO算法。

2.2" 粒子群算法改進(jìn)分析

在基本的PSO中，慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因子是重要的參數(shù)，通常被設(shè)為常數(shù)，但這樣卻不能平衡局部搜索和全局搜索，導(dǎo)致了收斂速度慢、收斂精度低和容易陷入局部最優(yōu)解等問題[9]。本文提出了一種新的CA-PSO算法來解決基本的PSO 問題。

2.2.1" 慣性權(quán)重的調(diào)整法

在PSO中，慣性權(quán)重ω決定了粒子的先前飛行速度對(duì)當(dāng)前飛行速度的影響。選擇合適的慣性權(quán)值可以平衡全局和局部搜索能力，提高算法的性能。一般來說，在早期搜索中最好使用更大的慣性權(quán)值，在后期搜索中使用較小的慣性權(quán)值。本文采用了動(dòng)態(tài)變化的非線性逆切線遞減慣性權(quán)重，如式（10）。

，（10）

式中：t為當(dāng)前的迭代次數(shù)；tmax為最大的迭代次數(shù)。

2.2.2" 學(xué)習(xí)因子調(diào)整

在PSO算法中，學(xué)習(xí)因子c1和c2決定了粒子的經(jīng)驗(yàn)信息和其他粒子的經(jīng)驗(yàn)信息對(duì)粒子軌跡的影響。為了提高PSO的精度，當(dāng)?shù)螖?shù)改變時(shí)，c1和c2發(fā)生動(dòng)態(tài)非對(duì)稱變化，如式（11）和（12）。在搜索早期，粒子具有較大的自我學(xué)習(xí)能力和較小的社會(huì)學(xué)習(xí)能力。在算法后期，粒子具有較大的社會(huì)學(xué)習(xí)能力。

，（12）

2.2.3" 局部最優(yōu)解的調(diào)整方法

針對(duì)粒子群優(yōu)化算法易陷入局部最優(yōu)的特點(diǎn)，利用柯西變異來增加種群的多樣性，提高算法的全局搜索能力，增加搜索空間。

全局極值突變操作的前提是檢測(cè)粒子的收斂狀態(tài)[10]，判斷gbest是全局極值還是局部極值，然后局部極值gbest以柯西方式突變。為了定量描述粒子群的狀態(tài)，適應(yīng)度方差的定義為

（14）

f=max{max|fi-favg|，1}， （15）

式中：i∈[1，n]，粒子群的粒子數(shù)為n；fi為第i個(gè)粒子的適應(yīng)度；粒子群的當(dāng)前平均適應(yīng)度為favg；粒子群的群適應(yīng)度方差為σ2。σ2反映了粒子群的聚集程度，該值越小，總體的收斂性就越大。當(dāng)出現(xiàn)局部最優(yōu)解時(shí)，說明算法出現(xiàn)早熟，則gbest將發(fā)生柯西突變?nèi)缡剑?6）

gnewbest=gbest+gbest×Cauchy（0，1），（16）

式中：Cauchy（0，1） 為柯西分布函數(shù)生成的0到1的隨機(jī)數(shù)。

本文集合上述3種方法，提出了一種改進(jìn)的CA-PSO算法，該算法根據(jù)當(dāng)前的優(yōu)化過程動(dòng)態(tài)調(diào)整慣性權(quán)重和學(xué)習(xí)因素。同時(shí)，對(duì)全局極值進(jìn)行了自適應(yīng)柯西突變操作，以避免局部最優(yōu)解。改進(jìn)的PSO算法早期具有較強(qiáng)全局收斂能力，后期具有較強(qiáng)局部收斂能力，一定程度上解決了PSO收斂速度慢、精度低、容易“早產(chǎn)”的問題。

2.3" 改進(jìn)的PSO性能分析

本文采用Rastrigin函數(shù)來測(cè)試改進(jìn)的PSO算法的性能，其函數(shù)表達(dá)式為

（17）

式中：-2≤x≤2，該函數(shù)具有較多的局部極值難以求得最優(yōu)解。

然后就是選擇合適的適應(yīng)度指標(biāo)，常用的綜合性能評(píng)價(jià)指標(biāo)有：ITAE、IAE、ISE。適應(yīng)度的作用是來標(biāo)稱算法中個(gè)體的好壞[11]。這里選用ITAE，時(shí)間絕對(duì)偏差積分ITAE數(shù)學(xué)表達(dá)式如式（18）所示

。（18）

本文選取文獻(xiàn)[4]的W-PSO、文獻(xiàn)[5]的H-PSO與本文算法CA-PSO進(jìn)行比較。

首先進(jìn)行初始化處理，粒子群種群規(guī)模設(shè)置為20，終止迭代步數(shù)設(shè)置為20；文獻(xiàn)[4]算法的ω初值為方便比較將其設(shè)置如式（10）所示，c1，c2初值設(shè)置為２；文獻(xiàn)[5]的c1，c2初值設(shè)置如式（11）、（12）所示，ω初值設(shè)置為0.9。

分別使用改進(jìn)前后的粒子群算法的尋優(yōu)曲線如圖1所示。

由圖1可知，W-PSO在搜索過程中，在算法初期尋優(yōu)速度較快，效率高；但是在算法中期卻陷入了“早熟”，落入局部最優(yōu)，雖然最后通過慣性權(quán)重的調(diào)整跳出了局部最優(yōu)，但影響了其收斂速度。改進(jìn)的H-PSO算法，由于引入了非對(duì)稱學(xué)習(xí)因子策略，平橫了其全局和局部搜索能力。本文提出的CA-PSO在文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，提出柯西變異策略的CA-PSO具有收斂速度快且不易陷入局部最優(yōu)等優(yōu)點(diǎn)。

3" 改進(jìn)粒子群算法PID整定結(jié)果分析

3.1nbsp; 仿真模型建立

無人機(jī)的姿態(tài)控制都是通過調(diào)節(jié)4個(gè)電機(jī)的轉(zhuǎn)速來實(shí)現(xiàn)的，四旋翼無人機(jī)的控制系統(tǒng)采用串級(jí)PID[10-12]來控制電機(jī)的輸出，為了方便研究，忽略內(nèi)外環(huán)之間的效益，可在Matlab/Simulink建立如圖2所示的模型。

3個(gè)通道分別表示單級(jí)PID已整定、串級(jí)PID整定前和串級(jí)PID整定后。

3.2" 控制參數(shù)的確立

采用改進(jìn)PSO算法對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行整定，PID參數(shù)的大致范圍為[0，0，0，0，0，0]到[10，10，10，10，10，10]。本文采用ITAE作為適應(yīng)度指標(biāo)。

利用改進(jìn)粒子群方法進(jìn)行多次迭代，得到最優(yōu)的參數(shù)集見表2。

再將尋優(yōu)得到的參數(shù)代入圖3所示的動(dòng)態(tài)仿真模型中可得圖3。

其中，3號(hào)曲線為單級(jí)PID控制器參數(shù)已整定，2號(hào)為串級(jí)PID控制器參數(shù)未優(yōu)化，其參數(shù)是采用試湊法得出的，1號(hào)曲線為串級(jí)PID控制器參數(shù)已優(yōu)化。根據(jù)上述仿真結(jié)果可以得知。

1）在3個(gè)姿態(tài)環(huán)的響應(yīng)曲線中，單級(jí)PID明顯比串級(jí)PID振動(dòng)明顯，且調(diào)節(jié)時(shí)間長。

2）采用改進(jìn)的PSO算法整定參數(shù)的PID控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能更加的穩(wěn)定。

3）在2個(gè)串級(jí)回路中，參數(shù)整定后，超調(diào)量下降明顯，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了20%～30%，說明參數(shù)整定優(yōu)化之后，無人機(jī)能快速到達(dá)穩(wěn)態(tài)，動(dòng)態(tài)性能明顯提升。

總體來說，通過粒子群算法整定四旋翼無人機(jī)控制器參數(shù)相比傳統(tǒng)算法要高效很多，其動(dòng)態(tài)性能得到了明顯提升，同時(shí)大大節(jié)約了參數(shù)整定時(shí)間。

4" 結(jié)束語

本文通過改進(jìn)PSO算法來對(duì)四旋翼串級(jí)PID控制系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)整定，大大提高了四旋翼飛行系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，并極大縮短了參數(shù)整定的時(shí)間。

通過提出非線性慣性權(quán)重調(diào)整、非對(duì)稱學(xué)習(xí)因子調(diào)整和自適應(yīng)柯西變異來解決標(biāo)準(zhǔn)粒子群收斂速度慢、收斂精度低和容易陷入局部最優(yōu)解等問題。

最后通過Matlab/Simulink仿真建模來驗(yàn)證了所得參數(shù)的有效性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高強(qiáng)，劉新鵬，劉春平，等.四旋翼無人機(jī)串級(jí)自抗擾姿態(tài)控制及軌跡跟蹤[J].電光與控制，2023，30（9）：90-95.

[2] 范東生，邢小軍，趙亞青，等.基于自適應(yīng)模糊PID的無人機(jī)四維航跡控制研究[J].計(jì)算機(jī)測(cè)量與控制，2018，26（1）：107-109，114.

[3] 任宇希，丁振偉，莫愁，等.基于禿鷹算法的PID參數(shù)自整定[J].電氣傳動(dòng)自動(dòng)化，2022，44（3）：6-8.

[4] 于彥.自適應(yīng)權(quán)重混合粒子群算法在PID整定中的應(yīng)用[J].無線通信技術(shù)，2022，31（1）：15-19.

[5] 毛開富，包廣清，徐馳.基于非對(duì)稱學(xué)習(xí)因子調(diào)節(jié)的粒子群優(yōu)化算法[J].計(jì)算機(jī)工程，2010，36（19）：182-184.

[6] SHETA A，BRAIK M，MADDI D R，et al. Optimization of PID controller to stabilize quadcopter movements using meta-heuristic search algorithms [J]. Applied Sciences，2021，11（14）.

[7] TIEZHOU W，CUICUI Z，ZHE Y，et al. Application of PID optimization control strategy based on particle swarm optimization （PSO） for battery charging system[J]. International Journal of Low-Carbon Technologies，2020，15（4）.

[8] 司磊.多飽和LPV系統(tǒng)的控制及其在飛行控制中的應(yīng)用[D].沈陽：東北大學(xué)，2008.

[9] 李超.粒子群優(yōu)化算法改進(jìn)策略及其應(yīng)用研究[D].無錫：江南大學(xué)，2021.

[10] YANG S，WANG Z S. Quad-rotor UAV control method based on PID control law[J]. International Journal of Advanced Network， Monitoring and Controls，2018，2（1）.

[11] 龔格格，李壯舉.融合U-model的四旋翼無人機(jī)自抗擾控制研究[J/OL].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)：1-7[2023-04-21].http：//kns.cnki.net/kcms/detail/21.1106.TP.20221031.1632.004.html.

[12] 曾憲陽，楊紅莉，郁漢琪.基于STM32單片機(jī)四旋翼飛行器建模分析與設(shè)計(jì)[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2016，42（12）：65-68.