曾喆昭, 章禛昊

長(zhǎng)沙理工大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410014

0 引 言

VTOL飛行器因其起飛距離短和垂直起降的性能,因而在軍用與民用領(lǐng)域都具有極其重要的作用,已經(jīng)成為各國(guó)爭(zhēng)相研究的飛行器對(duì)象.由于VTOL飛行器存在3個(gè)運(yùn)動(dòng)自由度卻只有2個(gè)控制輸入,因而是一個(gè)典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)[1-3].對(duì)于控制量個(gè)數(shù)少于自由度個(gè)數(shù)的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)而言,由于其具有重量輕、造價(jià)低、能耗小和靈活度強(qiáng)等特點(diǎn),因而被廣泛地應(yīng)用于橋式起重機(jī)[4-6]、欠驅(qū)動(dòng)船舶[7]、機(jī)器人[8]、無人機(jī)吊掛飛行系統(tǒng)[9]和四旋翼飛行器[10]等欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng).

VTOL飛行器已引起了國(guó)內(nèi)外控制領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注[11-17].迄今為止,有關(guān)VTOL飛行器的控制方法主要包括如下幾類:狀態(tài)反饋控制方法[1-2]、反演控制方法[11-12]、動(dòng)態(tài)面控制方法[3,13]、滑?？刂品椒╗14-17]以及逆最優(yōu)反饋控制[18]、雙閉環(huán)PID控制[19]和非線性信息融合控制方法[20]等,都獲得了有效的控制結(jié)果.然而,狀態(tài)反饋控制方法存在動(dòng)態(tài)品質(zhì)與穩(wěn)態(tài)性能欠佳的局限性;反演控制方法存在“微分爆炸”的局限性;動(dòng)態(tài)面控制、滑?？刂?、逆最優(yōu)反饋控制以及非線性信息融合控制等控制方法均存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算量大的局限性;而雙閉環(huán)PID控制方法則存在增益魯棒性差與抗擾動(dòng)魯棒性差的局限性.

為了解決現(xiàn)有控制方法存在的各種局限性問題, 本文根據(jù)文獻(xiàn)[21-24]提出了欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的ACPID控制理論方法.

1 問題背景

1.1 VTOL飛行器模型

圖1是VTOL飛行器的懸停示意圖.

根據(jù)文獻(xiàn)[20],VTOL飛行器的動(dòng)力學(xué)模型可表示為

(1)

其中,狀態(tài)變量y、z和θ分別是VTOL飛行器質(zhì)心在參考坐標(biāo)中的橫、縱向位置與滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角,m和J分別是飛行器的質(zhì)量和沿縱向軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,g為重力加速度,控制輸入ut與um分別是底部垂向推力與滾轉(zhuǎn)力矩,ε0是滾轉(zhuǎn)力矩對(duì)橫向與縱向運(yùn)動(dòng)的耦合作用系數(shù).

由于VTOL飛行器(1)有3個(gè)自由度y、z和θ,卻只有2個(gè)控制輸入ut與um, 因而是一類典型的欠驅(qū)動(dòng)非線性耦合系統(tǒng).

(2)

(3)

1.2 VTOL飛行器模型映射

對(duì)系統(tǒng)(3)做如下坐標(biāo)變換:

(4)

顯然,上述坐標(biāo)變換不僅使新的VTOL飛行器系統(tǒng)(4)實(shí)現(xiàn)了輸入解耦的作用,而且使VTOL飛行器系統(tǒng)(3)的不穩(wěn)定質(zhì)心位置(x1,x3)映射到具有平坦輸出的Huygens振動(dòng)中心(z1,z3).由于新的VTOL飛行器系統(tǒng)(4)的輸出是平坦的(z1與z3均不受u2的影響),因而有效避免了非最小相位VTOL飛行器零動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定的問題.由于系統(tǒng)(4)與系統(tǒng)(3)或系統(tǒng)(2)是等價(jià)映射,因此由VTOL飛行器系統(tǒng)(4)設(shè)計(jì)的控制器u1和u2可以實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)(3)或系統(tǒng)(2)的有效控制.

2 欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 VTOL飛行器的基本控制原理

為了便于分析,分別設(shè)uy與uz2個(gè)虛擬控制器為

(5)

(6)

則VTOL飛行器系統(tǒng)(4)可簡(jiǎn)化為式(7)的形式

(7)

根據(jù)式(5)與式(6),可得u1和x5分別如下:

(8)

x5=-arctan(uy/uz)

(9)

顯然,只要設(shè)計(jì)好橫縱向位置的控制器uy與uz,即可獲得控制力u1,從而獲得VTOL飛行器底部垂向推力ut=mu1.如果設(shè)滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角虛擬指令為

x5r=-arctan(uy/uz)

(10)

則可設(shè)計(jì)VTOL飛行器滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角控制器u2,進(jìn)而獲得滾轉(zhuǎn)力矩um=Ju2.

2.2 VTOL飛行器垂向推力控制器設(shè)計(jì)

設(shè)VTOL飛行器質(zhì)心坐標(biāo)的期望軌跡為x1d與x3d,并設(shè)期望滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角為x5d=θd=0,從而可得Huygens振動(dòng)中心坐標(biāo)的期望軌跡為

z1d=x1d-εsinx5d=x1d

(11)

z3d=x3d+εcosx5d=x3d+ε

(12)

(1) 橫向位置控制器設(shè)計(jì)

設(shè)橫向位置跟蹤誤差為

e11=z1d-z1

(13)

其中,z1d=x1d,z1=x1-εsinx5.

(14)

在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下,根據(jù)文獻(xiàn)[21],可設(shè)計(jì)橫向位置的ACPDy控制器為

(15)

其中,zcy>0是ACPDy控制器的速度因子.

(2)縱向位置控制器設(shè)計(jì)

設(shè)縱向位置跟蹤誤差為

e31=z3d-z3

(16)

其中,z3d=x3d+ε,z3=x3+εcosx5.

(17)

在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下, 根據(jù)文獻(xiàn)[21],可設(shè)計(jì)縱向位置的ACPDz控制器為

(18)

其中,zcz>0是ACPDz控制器的速度因子,g是重力加速度.

根據(jù)式(15)與式(18)分別獲得橫縱向位置控制器uy與uz后,根據(jù)式(8)即可獲得控制力u1為

(19)

進(jìn)而可獲得欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器底部垂向推力為ut=mu1.

2.3 VTOL飛行器姿態(tài)角控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)橫縱向位置控制力獲得VTOL飛行器姿態(tài)角虛擬指令x5r后,設(shè)滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角跟蹤誤差為

e51=x5r-x5

(20)

(21)

在忽略積分環(huán)節(jié)的情況下,根據(jù)文獻(xiàn)[21],可設(shè)計(jì)滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角ACPD2控制器為

(22)

其中,zc2>0是ACPD2控制器的速度因子.

由式(22)即可獲得欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的滾轉(zhuǎn)力矩為um=Ju2.

2.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)分析

證明.將式(15)定義的橫向位置控制力uy代入受控誤差系統(tǒng)(14),可得橫向位置閉環(huán)控制系統(tǒng)如下:

(23)

對(duì)系統(tǒng)(23)取拉普拉斯變換,并整理得

(24)

定義橫向位置控制系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為

(25)

當(dāng)zcy>0時(shí),由于Hy(s)在復(fù)頻域的左半平面有雙重實(shí)極點(diǎn)sp=-zcy<0,因而系統(tǒng)(23)或(25)是穩(wěn)定的.又因?yàn)樗俣纫蜃觶cy與系統(tǒng)模型無關(guān),因而系統(tǒng)(23)或(25)是魯棒穩(wěn)定的.

由系統(tǒng)(25),可得單位沖激響應(yīng)為

hy(t)=texp(-zcyt),t>0

(26)

因而閉環(huán)系統(tǒng)(24)的時(shí)域解可表示為

(27)

其中,“*”表示卷積積分運(yùn)算.

當(dāng)|dy|≤εy時(shí),則有

(28)

因而穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

(29)

由式(26)可知, 當(dāng)t≥0時(shí),hy(t)≥0,因而有

(30)

以上理論分析表明:穩(wěn)態(tài)誤差與速度因子的平方成反比,因而增大速度因子有利于提高穩(wěn)態(tài)控制精度,增強(qiáng)抗擾動(dòng)能力,具有重要的理論意義.

為了節(jié)省篇幅,欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的縱向位置控制系統(tǒng)和滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角控制系統(tǒng)的分析不再贅述,可參照定理1進(jìn)行魯棒穩(wěn)定性分析.

2.5 自適應(yīng)速度因子

考慮到誤差微分的敏感特性,定義ACPDy、ACPDz和ACPD2等3個(gè)自耦PD控制器的ASF (adaptive speed factor)模型分別為

zcy=zcmyexp(-β|e12|)

(31)

zcz=zcmzexp(-β|e32|)

(32)

zc2=zcm2exp(-|e52|)

(33)

考慮到橫縱向位置可以以相同的速度運(yùn)行,因而其控制器的最小速度因子可以相同,即

zcmy=zcmz=20α/tr

(34)

再考慮到內(nèi)環(huán)的滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角虛擬指令是由外環(huán)橫縱向控制力形成的,即x5r=-arctan(uy/uz),因此,要求滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角控制器ACPD2的最小速度因子zcm2應(yīng)該滿足如下不等式條件:

4zcmy≤zcm2≤10zcmy

(35)

3 仿真驗(yàn)證與分析

為了驗(yàn)證本文控制方法的有效性, 并與文獻(xiàn)[20]進(jìn)行比較分析,欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的相關(guān)參數(shù)與文獻(xiàn)[20]完全相同:飛行器質(zhì)量m=5×104kg,耦合系數(shù)ε0=0.05,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=2×105kg·m2.

設(shè)采樣頻率fs=1 000 Hz,重力加速度g=9.8 m·s-2,Huygens振動(dòng)中心坐標(biāo)為z1=x1-εsinx5,z3=x3+εcosx5.

(1)ACPDy控制器

其中,zcy=10e(-|e12|).

(2)ACPDz控制器

其中,zcz=10e(-|e32|).

(3)ACPD2控制器

其中,zc2=80e(-|e52|),且|x5r|≤0.3 rad.

考慮到輸入受限情況,要求|u2|≤80,進(jìn)而可獲得欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的滾轉(zhuǎn)力矩um=Ju2.

圖3 文獻(xiàn)[20]控制結(jié)果Fig.3 The control results in [20]

比較圖2與圖3可知,本文控制方法只需要6 s即可穩(wěn)定在指定位置,而文獻(xiàn)[20]則需要至少10 s才能實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定跟蹤(由于文獻(xiàn)[20]使用x3d=t來對(duì)縱向期望位置安排過渡過程,因而需要10 s才能達(dá)到期望的10 m,而本文則使用x3d=10 m,無需對(duì)縱向期望位置安排過渡過程),表明本文控制方法的響應(yīng)速度是文獻(xiàn)[20]的1.6倍以上.此外,本文控制方法的最大底部推力小于6×105N,而文獻(xiàn)[20]則需要8×105N,表明本文控制方法的最大底部推力只需要文獻(xiàn)[20]的75%即可.在姿態(tài)控制方面,本文控制方法不存在晃動(dòng)現(xiàn)象,而文獻(xiàn)[20]存在明顯的晃動(dòng)現(xiàn)象.由于文獻(xiàn)[20]是基于系統(tǒng)模型的控制方法,且涉及偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算、矩陣代數(shù)計(jì)算及其重復(fù)迭代計(jì)算,因而計(jì)算復(fù)雜、量大,不便于實(shí)際應(yīng)用,而本文控制方法的每個(gè)控制器只涉一個(gè)速度因子,且與被控系統(tǒng)的模型無關(guān),表明本文控制方法具有良好的模型魯棒性.由于本文控制方法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、物理概念明確、控制思路清晰,因而更便于實(shí)際應(yīng)用.

由于仿真實(shí)驗(yàn)3.1只考慮了垂直起飛的情況,沒有考慮懸停和著陸情況,為了驗(yàn)證本文控制方法的有效性,下面將進(jìn)行垂直起飛、懸停與著陸等全工況過程的控制.

仿真實(shí)驗(yàn)3.2.設(shè)VTOL飛行器的橫向期望軌跡為x1d=10 m,期望滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角x5d=0,縱向期望軌跡為

(36)

圖4 垂直起飛、懸停與著陸控制結(jié)果Fig.4 Vertical take-off, hover and landing control results

由圖4可知,本文控制方法對(duì)欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器垂直起飛、懸停與著陸等全工況過程進(jìn)行控制, 都獲得了良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)態(tài)性能,橫向與縱向位置分別在5 s與10 s之內(nèi)即可進(jìn)入穩(wěn)定的控制狀態(tài),進(jìn)一步表明了本文控制方法的有效性.由于文獻(xiàn)[20]只考慮了垂直起飛的工況情況,沒有考慮懸停與著陸的工況情況,因此無法進(jìn)行比較分析.

4 結(jié) 論

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)VTOL飛行器的控制問題,提出了一種自耦PID控制方法,在復(fù)頻域分析了閉環(huán)控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性,仿真結(jié)果表明了本文控制方法的有效性,不僅具有良好的動(dòng)態(tài)品質(zhì)和穩(wěn)態(tài)性能, 而且控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算量小,便于實(shí)際應(yīng)用.此外,本文控制方法的主要思想是根據(jù)橫向與縱向2個(gè)虛擬位置控制器uy與uz作為外環(huán)控制,進(jìn)而分別獲得VTOL的底部推力和滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角的虛擬指令, 再根據(jù)滾轉(zhuǎn)姿態(tài)角的虛擬指令,使欠驅(qū)動(dòng)的VTOL系統(tǒng)映射為虛擬全驅(qū)動(dòng)的VTOL系統(tǒng),在欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)控制領(lǐng)域具有重要的科學(xué)指導(dǎo)意義與廣泛的應(yīng)用價(jià)值.