關(guān)鍵詞：一般能量法；Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統(tǒng)；先驗(yàn)估計(jì)；齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間；最優(yōu)衰減率

中圖分類號(hào)：Ｏ１７５． ２９ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１-８３９５（２０２３）０４-０４４８-０９

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１８３９５． ２０２３． ０４． ００３

Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統(tǒng)是模擬由熱場(chǎng)或密度場(chǎng)的浮力效應(yīng)和磁場(chǎng)產(chǎn)生的洛倫茲力驅(qū)動(dòng)的不可壓縮流體的對(duì)流，這種對(duì)流發(fā)生在存在磁場(chǎng)的導(dǎo)電流體的水平層［１］． 對(duì)于ＢｏｕｓｓｉｎｅｓｑＭＨＤ 系統(tǒng)，文獻(xiàn)［２］研究了具有分層效應(yīng)的ＭＨＤ 對(duì)流的二維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ 方程解的一般性質(zhì)． 文獻(xiàn)［３］研究上述具有分層效應(yīng)的二維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ系統(tǒng)的初邊值問(wèn)題，應(yīng)用一般能量法證明了在光滑有界區(qū)域中弱解的全局存在性和強(qiáng)解的全局存在唯一性． 文獻(xiàn)［４］將文獻(xiàn)［２］在二維空間上的結(jié)果推廣到三維空間上分析，證明了三維Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統(tǒng)在無(wú)熱擴(kuò)散下解的存在性．文獻(xiàn)［５］使用能量估計(jì)研究了二維非齊次Ｂｏｕｓｓ-ｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 系統(tǒng)在有界光滑區(qū)域中強(qiáng)解的整體適定性和衰減估計(jì)．

近年來(lái)，許多學(xué)者研究了不同的微分方程解的存在性和衰減率等問(wèn)題［６-８］． 解的衰減估計(jì)或衰減問(wèn)題是流體力學(xué)的常見(jiàn)問(wèn)題，它描述了一般解與時(shí)間行為的關(guān)系． 文獻(xiàn)［９］提出了一種證明可壓縮Ｎａｖｉｅｒ-Ｓｔｏｋｅｓ 方程最優(yōu)時(shí)間衰減率的純能量方法． 文獻(xiàn)［１０］運(yùn)用這種一般能量法證明了可壓縮Ｋｏｒｔｅｗｅｇ 系統(tǒng)的最優(yōu)時(shí)間衰減率． 文獻(xiàn)［１１-１２］在基于線性方程的最優(yōu)衰減率和非線性項(xiàng)的能量估計(jì)下得到了量子等離子體磁流體力學(xué)模型在整個(gè)空間下常數(shù)態(tài)解的最優(yōu)衰減率．文獻(xiàn)［１３］同樣借助于純能量方法，通過(guò)假設(shè)小初值以及利用齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 范數(shù)的估計(jì)，得到關(guān)于磁微極流體方程解的高階導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)時(shí)間衰減率． 本文主要參考了文獻(xiàn)［１３］研究三維不可壓縮磁微極流體方程組衰減估計(jì)的方法，結(jié)合三維不可壓縮Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ-ＭＨＤ 方程組的結(jié)構(gòu)，研究其衰減估計(jì)． 眾所周知，解的高階空間導(dǎo)數(shù)的估計(jì)需要在齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間中完成，因此，證明的主要困難在于處理方程組中θｅ３ 項(xiàng)在齊次Ｓｏｂｏｌｅｖ 空間的估計(jì)問(wèn)題．

１ 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)主要介紹定理１ 以及后面證明中需要用到的一些定義和引理．