摘要：隱含波動(dòng)率是將市場期權(quán)價(jià)格代入Black-Scholes方程等期權(quán)定價(jià)模型反推得到的波動(dòng)率結(jié)果，它反映投資者對未來一段時(shí)間內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)程度的預(yù)期。牛頓迭代法、二分法等經(jīng)典算法計(jì)算隱含波動(dòng)率時(shí)，在部分?jǐn)?shù)據(jù)上無法收斂．因此該文基于高斯牛頓法，提出一種隱含波動(dòng)率的改進(jìn)算法，利用L曲線法進(jìn)行正則化參數(shù)選取及最小殘差準(zhǔn)則確定最優(yōu)下降步長．使用上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)算法在數(shù)據(jù)集上可全部收斂，且可反演得到合理的隱含波動(dòng)率。

關(guān)鍵詞：隱含波動(dòng)率；Black-Scholes 方程；高斯牛頓法；L曲線法

中圖分類號(hào)：65F22， 68T05" " " 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2022）33-0104-04

1 引言

金融衍生物是投資者用以風(fēng)險(xiǎn)管理的工具，期權(quán)就屬于種類眾多的金融衍生物中的一種．期權(quán)的發(fā)行者和持有者都希望以公平合理的價(jià)格進(jìn)行交易，這就是期權(quán)定價(jià)問題．關(guān)于現(xiàn)代期權(quán)定價(jià)問題的研究，最早于1900年法國數(shù)學(xué)家Louis Bachelier在其博士論文《投資理論 （The Theory of Speculation）》中，從隨機(jī)過程理論的角度研究資產(chǎn)價(jià)格，假設(shè)股票價(jià)格變化過程是一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，首次提出了歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式．在Bachelier之后，期權(quán)定價(jià)理論開始蓬勃發(fā)展。1973年，F(xiàn)ischer Black和Myron Scholes建立了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型[1]，這一模型具有重大的意義。幾乎在同時(shí)Robert Merton也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式并發(fā)表，同時(shí)做了推廣應(yīng)用的相關(guān)研究。

期權(quán)定價(jià)反問題也是期權(quán)領(lǐng)域的重要課題，其中一個(gè)為對隱含波動(dòng)率的反演[2]。隱含波動(dòng)率可以反映市場對標(biāo)的資產(chǎn)包括股票、大宗商品、債券、貨幣等價(jià)格波動(dòng)的預(yù)期，包含了未來波動(dòng)率的信息。通過編制隱含波動(dòng)率指數(shù)、隱含波動(dòng)率曲面等方法可以與實(shí)際波動(dòng)率比較，從而可制定基于波動(dòng)率的風(fēng)險(xiǎn)溢酬的相關(guān)交易策略[3]。將市場期權(quán)價(jià)格等條件代入期權(quán)定價(jià)模型后可反推出隱含波動(dòng)率，但是由于期權(quán)定價(jià)模型的復(fù)雜性，隱含波動(dòng)率的計(jì)算通常不存在解析解。隱含波動(dòng)率的計(jì)算方法主要分為近似解和數(shù)值解兩類。在近似解方面，通過將正態(tài)分布進(jìn)行泰勒展開，并做二階近似可求解得到Corrado-Miller公式及其改進(jìn)公式[4]；在數(shù)值解方面，從數(shù)值逼近的角度，若基于泰勒展開式可算得隱含波動(dòng)率的無窮級(jí)數(shù)形式，通過計(jì)算系數(shù)得到其近似解[5]；此外基于Dirac Delta示性函數(shù)可得到隱含波動(dòng)率的積分逼近形式，然后使用數(shù)值積分得到隱含波動(dòng)率的漸進(jìn)解[6] 。從最優(yōu)化的角度，可以將Black-Scholes公式轉(zhuǎn)化為一個(gè)最小二乘目標(biāo)函數(shù)，然后使用牛頓法和二分法等最優(yōu)化方法迭代求解，得到該優(yōu)化問題所對應(yīng)的隱含波動(dòng)率[7] 。值得注意的是，經(jīng)典牛頓法及二分法應(yīng)用于實(shí)際期權(quán)數(shù)據(jù)時(shí)，常出現(xiàn)收斂較慢或者對部分?jǐn)?shù)據(jù)無法收斂的情況，難以得到合理的結(jié)果。為此本文將基于Black-Scholes模型研究隱含波動(dòng)率改進(jìn)的計(jì)算方法。

本文選擇上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算隱含波動(dòng)率。2015年，上證50ETF期權(quán)經(jīng)過證監(jiān)會(huì)批準(zhǔn)后，在上海交易所上市，這是我國第一只ETF期權(quán)[8]。上證50ETF期權(quán)同時(shí)也是除銅期權(quán)外目前在我國上市交易的兩種歐式期權(quán)之一。自從上證50ETF期權(quán)推出以來，受到投資者踴躍參與，一直有著良好的發(fā)展態(tài)勢，對我國的衍生品市場乃至金融業(yè)都有積極的影響。我國的期權(quán)市場與國外期權(quán)市場相比起步較晚，現(xiàn)在仍處于萌芽階段，隨著我國期權(quán)市場不斷完善成熟，可預(yù)見期權(quán)市場將有著可觀的發(fā)展空間。因此對期權(quán)隱含波動(dòng)率的研究不僅有學(xué)術(shù)價(jià)值，也具有現(xiàn)實(shí)意義。

2 Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

在無稅收、紅利和交易成本，市場無賣空限制、交易連續(xù)進(jìn)行、貼現(xiàn)率與無風(fēng)險(xiǎn)利率相等等假設(shè)下，歐式期權(quán)價(jià)格[Vt]滿足如下Black-Scholes方程：

[?Vt?t+rSt?Vt?St+12σ2St2?2Vt?St2-rVt=0] （1）

其中[St]和[K]分別為股票價(jià)格和期權(quán)執(zhí)行價(jià)，[r]為連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險(xiǎn)利率，[σ]為隱含波動(dòng)率。[T]為期權(quán)有效期限，[t]為期權(quán)期限內(nèi)某一時(shí)間，則[T-t]為期權(quán)剩余有效時(shí)間。邊界條件為：

[hST=ST-K+，看漲期權(quán)K-ST+，看跌期權(quán)]" （2）

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，不難解得歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式為[9]：

[C=SNd1-Ke-rT-tNd2] " （3）

歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式為：

[C=Ke-rT-tN-d2-SN-d1] （4）

其中：

[d1=lnSK+r+σ22T-tσT-t]，

[d2=lnSK+r-σ22T-tσT-t]，

且[Nd1、Nd2]都是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的變量的概率分布函數(shù)。

3 改進(jìn)的高斯牛頓迭代法

由于Black-Scholes公式的復(fù)雜性，隱含波動(dòng)率[σ]不存在解析解，一般可以通過如牛頓迭代法、二分法等數(shù)值方法求出隱含波動(dòng)率的近似解。下面以歐式看漲期權(quán)為例，簡要說明牛頓迭代法的計(jì)算步驟。首先構(gòu)造最小化目標(biāo)函數(shù)[fσ;S，K，r，T，t]，它表示期權(quán)定價(jià)模型中的理論價(jià)格[Cσ]與實(shí)際期權(quán)市場價(jià)格[C]的差，簡記為：

[fσ=Cσ-C=SNd1-Ke-rT-tNd2-C] （5）

則牛頓迭代法表達(dá)式為：

[σk+1=σk-fσkf'σk] （6）

令[τ=T-t]，不難推得[fσ]，即Vega值如下：

[fσ=?Cσ?σ=S?Nd1?d1?d1?σ-Ke-rτ?Nd2?d2?d2?σ =SN'd1τ12]

（7）

此外Matlab軟件的Finance工具箱中也集成了基于Black-Scholes公式求解隱含波動(dòng)率的函數(shù)BLSIMPV， 該函數(shù)使用其優(yōu)化工具箱中fzero函數(shù)進(jìn)行目標(biāo)函數(shù)尋優(yōu)。fzero函數(shù)使用了二分、割線和反二次插值等數(shù)值方法的組合。

牛頓法收斂速度快，但在計(jì)算隱含波動(dòng)率時(shí)存在某些數(shù)據(jù)無法收斂的問題。因此本文在高斯牛頓法的基礎(chǔ)上提出改進(jìn)算法。設(shè)[σ=σ1，σ2，…，σnT]為未知參數(shù)向量，其分量[σi]表示第[i]（[i=1，2，…，n]）個(gè)日期對應(yīng)的隱含波動(dòng)率；基于Black-Scholes公式的理論期權(quán)價(jià)格為[Cσ=Cσ1，Cσ2，…，CσnT]，實(shí)際期權(quán)價(jià)格為[C=C1，C2，…，CnT]。高斯牛頓法基于最小二乘法建立目標(biāo)函數(shù)，且由于隱含波動(dòng)率的求解是病態(tài)反問題，需加入正則化項(xiàng)來提高解的適定性。為了便于計(jì)算，選擇L2正則化項(xiàng)，則目標(biāo)函數(shù)可表示為：

[Fσ=C-Cσ22+ασ22]" " " （8）

[其中α]為正則化參數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的解為：

[argminσi≥0Fσ]" " " " " " " " " " " " " " " （9）

高斯牛頓迭代法的基本原理為首先對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線性化近似處理。為此，假設(shè)[Cσ]可近似為[σ]的線性函數(shù)，則可表示為：

[Cσ≈Cσ0+J0Δσ]" " " " " " " "（10）

其中，[σ0]是[σ]的n維初值向量；[Δσ=Δσ1，Δσ2，…，ΔσnT]是[σ]的修正方向向量；[J0]是n[×]n的雅可比矩陣，可使用式（7）求得。令線性誤差方程為：

[VΔσ=Cσ-C=Cσ0+J0Δσ-C] （11）

取[VΔσ]的二范數(shù)后得到：

[VΔσTVΔσ=Cσ0+J0Δσ-CTCσ0+J0Δσ-C]

（12）

則線性近似下的目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為：

F[Δσ=VΔσTVΔσ+αΔσTΔσ] （13）

進(jìn)一步，令F[Δσ]關(guān)于[Δσ]的一階偏導(dǎo)為0。

[?FΔσ?Δσ=2JT0VΔσ+2αΔσ=0n×1] （14）

可推得正則化后的解為：

[Δσ=JT0J0+αI-1JT0C-Cσ0] " " "（15）

由此構(gòu)建高斯牛頓法的迭代公式為：對于[k=0，1，…，n]。

[σk+1=σk+λkΔσkΔσk=JTkJk+αI-1JTkC-Cσk]" " " " （16）

[Jk]是第[k]步迭代的雅可比矩陣。

該迭代格式中有兩個(gè)需要確定的參數(shù)，即為正則化參數(shù)lt;E：＼2022知網(wǎng)文件＼33＼7xs202233＼Image＼image57.pnggt;和迭代步長lt;E：＼2022知網(wǎng)文件＼33＼7xs202233＼Image＼image58.pnggt;。首先，正則化參數(shù)的選取會(huì)影響解的精度，過大則解不準(zhǔn)確，過小則數(shù)值不穩(wěn)定。正則化參數(shù)可以通過先驗(yàn)選取或者后驗(yàn)選取。先驗(yàn)選取依賴精確解的先驗(yàn)信息，但在實(shí)際應(yīng)用中精確解的先驗(yàn)信息往往難以獲得。后驗(yàn)選取的方法有很多，常用的方法有廣義交叉驗(yàn)證（GCV）、L曲線法等[10-11]。L曲線法可用于線性最小二乘泛函中正則化參數(shù)的選取。它的基本思路是通過構(gòu)造最小二乘殘差范數(shù)與L2范數(shù)正則化項(xiàng)的變化曲線，通過找出曲線上曲率達(dá)到最大值的點(diǎn)，得到其對應(yīng)的正則化參數(shù)[11]。由于高斯牛頓法已對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了線性化處理，故可采用L曲線法確定正則化參數(shù)。由于高斯牛頓法對初值的依賴性較強(qiáng)，在首先使用L曲線法取得正則化參數(shù)[α]之后，使用（15）計(jì)算[Δσ]后可得到一個(gè)改進(jìn)的初值[σ0]如下：

[σ0=σ0+Δσ]" " " " " " " " " " " " "（17）

其次，在迭代過程中，步長[λk]也會(huì)對迭代結(jié)果產(chǎn)生影響。如果步長過小，則需要的迭代次數(shù)會(huì)增加，從而降低收斂速度；如果步長過大，則迭代結(jié)果會(huì)快速變化，容易導(dǎo)致無法收斂。本文使用最小殘差步長準(zhǔn)則確定迭代步長[12]。記第[k+1]次迭代的殘差[rk+1]為：

[rk+1=Cσk+1-C]

[≈Cσk+Jkσk+1-σk-C] " " " " " " " " " " " " " （18）

把高斯牛頓法計(jì)算的[σk+1]表達(dá)式代入（3.14）式，得到如下形式：

示為殺出，長對

[ rk+1=Cσk-C-Jkσk+Jkσk+λkJTkJk+αI-1JTkC-Cσk]

[=rk-λkJkJTkJk+αI-1JTkrk][?rk-λkBkrk]" " "（19）

其中記[Bk?JkJTkJk+αI-1JTk]。對第[k+1]次迭代，要使殘差最小，即：

[argmin" Rλk=rk+122]" " " " " " " " " "（20）

對[Rλk]關(guān)于[λk]求導(dǎo)，并令其為零，有：

[" R'λk=2rTk+1?r'k+1λk]" " " " " " " " " "[ =2rk-λkBkrkT-Bkrk]" [=-2rkTBkrk+2λkBkrk22=0]" " " " " " " " " " " " " " " " " （21）

最后化簡可得到步長[λk]。 表達(dá)式為：

[λk=rkTBkrkBkrk22] " " " " " " " " " " （22）

綜上所述，基于改進(jìn)高斯牛頓法的隱含波動(dòng)率計(jì)算方法具體步驟如下：

Step1： 給定隱含波動(dòng)率初值[σ0]，對期權(quán)定價(jià)公式在[σ0]處做線性化處理；

Step2： 利用L曲線法確定正則化參數(shù)[α]，并用（17）式更新隱含波動(dòng)率初值[σ0]；

對于 [k=1，…n，]和[σk]，給定誤差限[ε]，

Step3： 使用（7）式計(jì)算[Jk]，根據(jù)最小殘差步長準(zhǔn)則（22）式得到步長[λk]，使用（16）式更新得到[σk+1]；

Step4： 若滿足[σk-σk-12]lt;[ε]，則停止迭代，輸出隱含波動(dòng)率的求解結(jié)果；否則回到Step3，直至收斂準(zhǔn)則被滿足。

4 實(shí)證分析

平值期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格等于或最接近于市場期權(quán)價(jià)格。由于在平值附近的期權(quán)交易更加活躍，相比實(shí)值期權(quán)和虛值期權(quán)更能反映市場的真實(shí)情況，故本文選取的樣本包含四個(gè)50ETF期權(quán)平值看漲期權(quán)合約，分別是2016年7月28日至2017年3月22日、2017年3月23日至2017年6月28日、2017年6月29日至2017年9月27日、2017年9月28日至2017年12月27日共347個(gè)交易日的期權(quán)收盤價(jià)[C]、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格[S]、執(zhí)行價(jià)格[K]、期權(quán)合約剩余期限[τ]（計(jì)算時(shí)除以年交易日數(shù)進(jìn)行年化處理），無風(fēng)險(xiǎn)利率[r]選擇2017年所有中債國債1年期利率的均值0.0330。數(shù)據(jù)來源為Wind數(shù)據(jù)庫，為便于展示，時(shí)間按日期順序排列并從1至347進(jìn)行編號(hào)，下列所有圖的時(shí)間軸均以日期編號(hào)代替具體日期。

下面將使用50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行隱含波動(dòng)率反演。由于從實(shí)際期權(quán)數(shù)據(jù)中反演的隱含波動(dòng)率沒有真解，故主要對比計(jì)算期權(quán)價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格的誤差。高斯牛頓法的初值在所有日期均設(shè)為[σn=0.3，]誤差準(zhǔn)則選取為[σk-σk-12lt;ε]，其中誤差限選取為[ε=10-5]。 用L曲線法算得的最優(yōu)的正則化參數(shù)為[α=0.1091]，見圖1。

使用改進(jìn)高斯牛頓法和Maltab軟件中BLSIMPV函數(shù)算得的隱含波動(dòng)率及期權(quán)價(jià)格的比較結(jié)果見圖2-圖4，期權(quán)價(jià)格相對誤差見表1。由圖2及表1可看出，改進(jìn)高斯牛頓法對該數(shù)據(jù)集的所有數(shù)據(jù)均可收斂，計(jì)算期權(quán)價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格較為接近，其滿足[Cσ-Clt;0.02]的數(shù)據(jù)點(diǎn)為311個(gè)，占比為[311347=89.63%] ；而BLSIMPV函數(shù)的計(jì)算結(jié)果中有98個(gè)數(shù)據(jù)無法收斂，顯示結(jié)果為NaN，反演失敗率為[98347=28.24%]。圖3的計(jì)算殘差分布顯示，在BLSIMPV函數(shù)能收斂的點(diǎn)處，改進(jìn)的高斯牛頓法的計(jì)算殘差多位于零軸附近，比BLSIMPV函數(shù)的殘差更??；在BLSIMPV函數(shù)無法收斂的數(shù)據(jù)點(diǎn)處，這些點(diǎn)多位于每兩個(gè)期權(quán)數(shù)據(jù)的分界點(diǎn)附近，改進(jìn)的高斯牛頓法均能收斂，且計(jì)算殘差保持在合理的范圍。圖4中改進(jìn)高斯牛頓法迭代過程顯示其相鄰兩次迭代的絕對誤差能快速下降，達(dá)到收斂準(zhǔn)則的迭代次數(shù)為81次。由此知本文提出的計(jì)算方法對實(shí)際期權(quán)數(shù)據(jù)的隱含波動(dòng)率反演更加有效，數(shù)值更加穩(wěn)定。

5 總結(jié)

由于經(jīng)典的牛頓法、二分法在應(yīng)用于實(shí)際期權(quán)數(shù)據(jù)計(jì)算隱含波動(dòng)率存在局部不收斂的問題，本文提出的改進(jìn)算法在高斯牛頓法的基礎(chǔ)上，利用L曲線法和最小殘差步長原則分別確定最優(yōu)正則化參數(shù)和迭代步長，可快速得到隱含波動(dòng)率的合理解?；谏献C50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用本文改進(jìn)算法計(jì)算的隱含波動(dòng)率全部收斂，且精度優(yōu)于Matlab自帶函數(shù)BLSIMPV，理論期權(quán)價(jià)格與實(shí)際期權(quán)價(jià)格的相對誤差控制在合理的范圍內(nèi)。進(jìn)一步研究可將本文提出的算法應(yīng)用于改進(jìn)的期權(quán)定價(jià)模型中。

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【通聯(lián)編輯：李雅琪】