李兵海，盧亞運(yùn)，張光雅，李江坤，葉發(fā)旺，童勤龍，張翔

（1.核工業(yè)航測(cè)遙感中心，河北 石家莊 050002；2.核工業(yè)北京地質(zhì)研究院，北京 100029）

航空伽馬能譜測(cè)量是主要的鈾礦勘查方法之一，除直接尋找鈾礦外，還可直接尋找釷礦、鉀鹽礦等放射性礦產(chǎn)，也可應(yīng)用于尋找與放射性礦產(chǎn)伴生的非放射性金屬和非金屬礦產(chǎn)，如金、銅、稀土礦、磷礦、油氣等。航空伽馬能譜測(cè)量具有不受地面地形地貌和交通條件的限制、速度快、效率高、成本低、覆蓋面廣、信息量大、找礦效果明顯、對(duì)環(huán)境影響極小等優(yōu)勢(shì)，在國(guó)內(nèi)外礦產(chǎn)勘查、遠(yuǎn)景評(píng)價(jià)及各項(xiàng)地質(zhì)研究中占有重要的位置，起著先行作用［1］。然而，隨著找礦目標(biāo)層從淺到深的變化，航放數(shù)據(jù)固有的噪聲嚴(yán)重影響了航空伽馬能譜數(shù)據(jù)的應(yīng)用效果，導(dǎo)致深部反演和解釋不準(zhǔn)確。因此，抑制復(fù)雜的噪聲并提高成果數(shù)據(jù)的質(zhì)量，已成為現(xiàn)今重要且必要的任務(wù)。

目前航空伽馬能譜數(shù)據(jù)降噪主要為一維尺度，故最終結(jié)果會(huì)出現(xiàn)沿測(cè)線方向的條帶，這種條帶的處理方法一般采用微調(diào)平技術(shù)，其缺點(diǎn)在于一次只能調(diào)平一種寬度的條帶，對(duì)于有多種寬度的復(fù)雜條帶不僅需要調(diào)平多次，還容易丟失異常信息，造成了無(wú)條帶和局部異常不可兼得的局面。曲波變換的出現(xiàn)，可以完美的解決這種情況，利用曲波多方向的特性可以降低航空伽馬能譜數(shù)據(jù)中的沿測(cè)線方向的條帶，利用曲波多尺度的特性可以降低航空伽馬能譜數(shù)據(jù)中的白噪聲，實(shí)現(xiàn)無(wú)條帶和局部異常兼得的效果。

國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者將曲波變換運(yùn)用于圖像數(shù)據(jù)處理和地震資料數(shù)據(jù)處理，推動(dòng)了所屬行業(yè)技術(shù)的發(fā)展［2-12］。國(guó)內(nèi)學(xué)者將曲波變換運(yùn)用于位場(chǎng)數(shù)據(jù)處理方面的研究較晚，陳召曦［13］通過(guò)建立簡(jiǎn)單、復(fù)雜組合模型對(duì)曲波變換的多尺度、多方向性進(jìn)行了分析， 對(duì)中國(guó)大陸及鄰區(qū)衛(wèi)星布格重力異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲波變換及閾值重構(gòu)，得到了不同尺度上的重力分解結(jié)果，對(duì)中國(guó)大陸及鄰區(qū)的區(qū)域重力場(chǎng)特征、構(gòu)造分區(qū)等方面進(jìn)行了分析，給出了初步的地質(zhì)解釋。張楊［14］等從曲波變換的基本原理入手，通過(guò)重力位場(chǎng)理論模型數(shù)據(jù)分析了曲波變換的多尺度分解重構(gòu)能力，并且利用加噪理論模型數(shù)據(jù)分析了曲波變換的閾值降噪能力；此外，還使用曲波變換對(duì)南嶺東部地區(qū)布格重力異常資料進(jìn)行了有效信號(hào)提取，驗(yàn)證了曲波變換可同時(shí)適用于位場(chǎng)數(shù)據(jù)的分解和降噪處理研究，為重磁數(shù)據(jù)多尺度分析處理提供參考。

王寧、高玲琦［15-16］等將曲波變換應(yīng)用于航空電磁數(shù)據(jù)處理，將曲波變換降噪與傳統(tǒng)的降噪方法（奇異值分解、主成分分析和小波變換）做比較，得出曲波變換降噪效果最佳，重構(gòu)信號(hào)最準(zhǔn)確，信噪比最高的結(jié)論。因降噪方法與數(shù)據(jù)類型無(wú)關(guān)，故本文不再討論與證明曲波變換降噪與傳統(tǒng)的降噪方法的優(yōu)劣。

1 基于曲波變換的降噪方法

曲波變換是在小波變換基礎(chǔ)上發(fā)展而來(lái)，是小波變換的高維泛化，可表示不同尺度和不同方向的圖像，可以提取不同尺度任意方向及任意方向組合的信息。曲波變換不僅繼承了小波變換的多尺度性質(zhì)，還具有多方向性，因此曲波變換能更好地表征二維或更高維的信號(hào)。開發(fā)基于曲波變換的數(shù)據(jù)條帶去除和降噪方法，對(duì)有效提高航空伽馬能譜數(shù)據(jù)質(zhì)量，降低解釋難度和成本能夠起到積極的作用?；谇ㄗ儞Q的調(diào)平方法只對(duì)數(shù)據(jù)的某些細(xì)節(jié)尺度和角度進(jìn)行局部改變，故對(duì)數(shù)據(jù)的原始相位關(guān)系影響很小，在去除調(diào)平誤差時(shí)不容易引起數(shù)據(jù)畸變。

離散曲波變換在波數(shù)域內(nèi)具有緊湊支撐特性，可以將信號(hào)轉(zhuǎn)換到不同的尺度和角度進(jìn)行存放。我們首先在波數(shù)域定義曲波。為此，我們定義二維波數(shù)域內(nèi)的徑向窗W?j(ω)和角度窗Vj(ω)為

式中：ω= (ω1，ω2)，為波數(shù)域內(nèi)的變量；j 為尺度參數(shù)；［j/2］表示j 的整數(shù)部分；φ由兩個(gè)一維低通窗的乘積定義，可表示為

式中：濾波器φ滿足0 ≤φ≤1。由此，我們可以進(jìn)一步定義如下“笛卡爾”窗，即

根據(jù)“笛卡爾”窗的定義可知，徑向窗和角度窗共同構(gòu)造出多個(gè)楔形支撐區(qū)間，波數(shù)域在楔形的邊緣處{(ω1，ω2)|2j≤ω1≤2j+1，-2-j/2≤ω2/ω1≤2-j/2}被分割。接下來(lái)引入相同間隔的斜率tanθl=l· 2-[j/2]，其中，角度參數(shù)l滿足l=-2-[j/2]，...，2[j/2]- 1，則公式（4）可寫為

式中：剪切矩陣Sθ為

圖1 為曲波分解5個(gè)尺度第2 尺度為16個(gè)方向時(shí)的尺度方向示意圖，圖中數(shù)字代表尺度，藍(lán)線代表方向，中間標(biāo)號(hào)為1 的矩形區(qū)域代表第一尺度（也稱為粗尺度，低頻），不具有方向特性；從第2 尺度開始，具有方向性。隨著同心方環(huán)向外擴(kuò)展，尺度參數(shù)增大，角度窗的數(shù)量增大，對(duì)應(yīng)的信息也趨向于細(xì)節(jié)，最高尺度存儲(chǔ)的信息頻率最高，角度窗對(duì)各尺度的信息從不同方向進(jìn)行劃分，對(duì)信息進(jìn)一步細(xì)化。一般來(lái)說(shuō)中間幾個(gè)尺度稱為細(xì)節(jié)尺度，較高的尺度稱為精細(xì)尺度。

圖1 曲波分解后的尺度與方向示意圖Fig. 1 Figure of scale and direction after curvelet decomposition

根據(jù)波數(shù)域中曲波的定義，我們進(jìn)一步討論空間域中曲波的形態(tài)。因此，首先引入R2內(nèi)空間變量為x 的連續(xù)曲波。我們定義一個(gè)“母曲波”為φj(x)，其傅里葉變換為φ?j(x) =Uj(ω)，其中Uj(ω)為連續(xù)曲波變換中的窗函數(shù)。引入相同間隔的旋轉(zhuǎn)角度序列θl= 2πl(wèi)· 2-[j/2]，l=0，1，...，以及平移參數(shù)序列k= (k1，k2) ∈Z2。通過(guò)母曲波φj(x)的旋轉(zhuǎn)和平移，可以得到該尺度下所有的曲波。由此，空間域內(nèi)尺度為2-j，方向?yàn)棣萳= 2πl(wèi)· 2-[j/2]，位置為x(j，l)k= R-1θl(k1·2-j，k2· 2-j/2)的曲波可定義為

式中：旋轉(zhuǎn)矩陣Rθ為

而曲波系數(shù)由φj，l，k(x) 與函數(shù)f∈L2(R2)的內(nèi)積定義，可表示為

根據(jù)Plancherel 定理，曲波系數(shù)也可以在波數(shù)域內(nèi)由下式得到，即

波數(shù)域與空間域內(nèi)的曲波滿足傅里葉變換關(guān)系，且由于傅里葉變換的90°旋轉(zhuǎn)特性，使得波數(shù)域和空間域內(nèi)相對(duì)應(yīng)的曲波方向相互正交。

基于上述關(guān)于曲波變換理論的介紹，可以將任意航空伽馬能譜數(shù)據(jù)通過(guò)曲波變換轉(zhuǎn)換至一系列不同尺度、不同角度下的曲波系數(shù)。條帶誤差主要分布在曲波域不同尺度特定角度的系數(shù)中，對(duì)這些方向系數(shù)進(jìn)行閾值處理即可有效消除條帶。地質(zhì)信號(hào)在曲波域內(nèi)通常對(duì)應(yīng)數(shù)值較大的系數(shù)，而噪聲多對(duì)應(yīng)數(shù)值較小的系數(shù)。因此，對(duì)曲波域各尺度不同方向系數(shù)進(jìn)行閾值處理，濾除與噪聲、條帶相關(guān)的系數(shù)，再將剩余的曲波系數(shù)重構(gòu)回空間域，即可實(shí)現(xiàn)航空伽馬能譜數(shù)據(jù)的條帶去除和降噪。

2 航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波變換處理方法

2.1 航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波分解參數(shù)設(shè)置及特征

由于曲波分解用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理中的主要任務(wù)之一為消除條帶，最寬的條帶具有架次性，即飛行一個(gè)架次的寬度，曲波分解的尺度設(shè)置取決于條帶最寬的寬度，像素最差幾何分辨率有方向系數(shù)的尺度為第二尺度，第一尺度不分方向，沒(méi)有方向系數(shù)，第二尺度開始具有方向系數(shù)，對(duì)于網(wǎng)格間距為100 m 的網(wǎng)格數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)，分解為7個(gè)尺度時(shí)，每個(gè)像素代表約6.4 km 的范圍，分解為6個(gè)尺度時(shí)，第二尺度每個(gè)像素代表3.2 km 的范圍，目前航空伽馬能譜測(cè)量的比例尺一般均為1∶5 萬(wàn)，線距為500 m，3.2 km 的范圍一般相當(dāng)于一架次測(cè)線寬度的一半， 6.4 km 大致代表12 條測(cè)線的寬度，大致可以覆蓋一架次的測(cè)線，因此分解為7個(gè)尺度比較合理。

表1 曲波變換各尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)Table 1 The structure of the scale coefficients of the curvelet

分解的角度方向個(gè)數(shù)第二尺度設(shè)置為16個(gè)方向，每一方向代表22.5 度的范圍，在去除條帶時(shí)，范圍太大，容易影響非條帶數(shù)據(jù)，因此第二尺度設(shè)置為32個(gè)方向，每一方向代表11.25 度的范圍，較為精準(zhǔn)。

表2 曲波變換各尺度第一組方向矩陣形式Table 2 The matrix form of the first group of directions in each scale of the curvelet

第二尺度設(shè)置為32個(gè)方向時(shí)，曲波分解后第3、4 尺度為64個(gè)方向，第5、6 尺度為128個(gè)方向，第7 尺度為256個(gè)方向。當(dāng)分解的二維數(shù)據(jù)為正方形時(shí)，曲波分解后每一個(gè)尺度的方向分為8 組，每組4個(gè)矩陣；分解的數(shù)據(jù)為長(zhǎng)方形時(shí)，曲波分解后每一個(gè)尺度的方向分為4 組，每組8個(gè)矩陣；組與組之間矩陣形式相同，每一個(gè)方向均為一個(gè)矩陣，一組內(nèi)矩陣的大小部分相同。閾值重構(gòu)就是根據(jù)分解后每個(gè)方向代表的含義，選擇需要處理的方向進(jìn)行閾值處理，航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波分解后除第一尺度外，共672個(gè)方向，由于第一尺度為框架數(shù)據(jù)（也稱為粗尺度，低頻），不具有方向特性，無(wú)需處理，所以航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波變換處理就是在672個(gè)方向中選擇需要處理的方向進(jìn)行不同的閾值處理。條帶閾值處理方法一般采用硬閾值函數(shù)，噪聲閾值處理方法一般采用軟閾值函數(shù)或線性閾值函數(shù)。

以某測(cè)區(qū)釷元素含量數(shù)據(jù)為例，其網(wǎng)格化數(shù)據(jù)為2 095×2 558 的二維數(shù)據(jù)，面積約200 km×250 km。經(jīng)過(guò)上述設(shè)置的曲波變換后，可以得到系列曲波系數(shù)，其結(jié)構(gòu)見(jiàn)表1。表2 為第二尺度至第7 尺度第一組方向矩陣形式。因?yàn)楦鹘M矩陣形式相同，所以每一尺度僅列了一組方向的矩陣形式。從矩陣形式上可以看出，隨著尺度序數(shù)的增大，對(duì)應(yīng)的信息也趨向于細(xì)節(jié)，對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)也更豐富。

2.2 不規(guī)則測(cè)區(qū)的處理

航空伽馬能譜測(cè)區(qū)一般均為不規(guī)則形狀，在應(yīng)用其他方法（加權(quán)平均法、低通濾波法、小波法）降噪時(shí)，都會(huì)產(chǎn)生一定的邊界效應(yīng)，然而，基于曲波變換的降噪方法由于具有多尺度性，可以有效地處理不規(guī)則測(cè)區(qū)獲取的數(shù)據(jù)。高玲琦［15］等用一個(gè)常數(shù)來(lái)填充缺失的區(qū)域，然后進(jìn)行調(diào)平，得到了較好的效果；本文作者嘗試了這個(gè)方法，發(fā)現(xiàn)常數(shù)數(shù)值的大小非常關(guān)鍵，如果給出的值過(guò)大或過(guò)小均會(huì)產(chǎn)生邊界效應(yīng)，即在邊界部位產(chǎn)生假值（圖2，填充常數(shù)為0），經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)數(shù)值設(shè)為測(cè)區(qū)所有測(cè)量值的均值時(shí)，幾乎沒(méi)有邊界效應(yīng)。

圖2 某測(cè)區(qū)釷元素含量曲波變換邊界效應(yīng)Fig. 2 The boundary effect map reconstructed by the curve wave transform of thorium content in the study area

2.3 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)處理效果

圖3 為某測(cè)區(qū)利用全譜計(jì)算的釷元素含量原始數(shù)據(jù)。由圖3 可見(jiàn)，原始數(shù)據(jù)中不僅存在隨機(jī)噪聲，還存在沿測(cè)線方向不同尺度（315 度方向）的條帶。利用本文所述方法對(duì)該數(shù)據(jù)進(jìn)行閾值處理，利用不同尺度的組合系數(shù)重構(gòu)了網(wǎng)格數(shù)據(jù)文件，為了評(píng)價(jià)降噪效果，利用參考文獻(xiàn)［15］中提供的均方根差（Root Mean Square Error，RMSE）和平滑度（R）公式計(jì)算了原始數(shù)據(jù)與處理后不同尺度組合重構(gòu)數(shù)據(jù)的均方根差和平滑度（表3）。降噪后重構(gòu)信號(hào)文件名的后兩位代表了重構(gòu)的尺度組合數(shù)字，例如：13為1 至3 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，15 為1 至5 尺度的閾值重構(gòu)圖，以此類推。RMSE 體現(xiàn)了降噪后重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的偏差，RMSE越小，兩者偏差越小；R 體現(xiàn)了降噪后重構(gòu)信號(hào)的平滑程度，R 值越小，數(shù)據(jù)越平滑。數(shù)據(jù)表明隨著所用尺度的增加均方根差在減小，平滑度在變差。為了綜合評(píng)價(jià)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)質(zhì)量及性能，設(shè)計(jì)了參數(shù)加權(quán)平滑度。根據(jù)加權(quán)平滑度的數(shù)值重構(gòu)后的數(shù)據(jù)質(zhì)量及性能，不難發(fā)現(xiàn)重構(gòu)數(shù)據(jù)el2019_nathw17（第1 尺度至第7 尺度的組合）平滑度R 與加權(quán)平滑度R'均有一個(gè)突變，R 增加了很多，而RMSE 沒(méi)有減小很多，平滑度R 的突變預(yù)示著噪聲信息的陡增。因此不建議使用1 至7 尺度組合的閾值重構(gòu)數(shù)據(jù)，推薦曲波變換1 至6 尺度組合的閾值重構(gòu)圖作為最終提交的標(biāo)準(zhǔn)圖件。

表3 不同尺度重構(gòu)數(shù)據(jù)均方根誤差與平滑度Table 3 The root mean square error and smoothness of reconstructed data at different scales

圖3 某測(cè)區(qū)釷元素含量原始數(shù)據(jù)Fig. 3 The original data map of thorium content in study area

將曲波變換不同尺度組合閾值重構(gòu)文件的加權(quán)平滑度（1 至7 尺度組合因噪聲太大，不參與）繪制成曲線圖（圖4）。由圖4 可見(jiàn)，1至6 尺度組合信息量最大，可為精細(xì)信息圖件，1 至4 尺度組合與1 至5 尺度組合可分為一類，為細(xì)節(jié)信息圖件，剩余為一類，為粗糙信息圖件。

圖4 不同尺度重構(gòu)數(shù)據(jù)加權(quán)平滑度曲線圖Fig. 4 Figure of weighted smoothness of reconstructed data at different scales

圖5 為1 至6 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬精細(xì)信息圖件類別，視覺(jué)效應(yīng)上基本等同于原始數(shù)據(jù)的精細(xì)程度，與原始數(shù)據(jù)相比，僅僅去除了條帶，沒(méi)有產(chǎn)生其他降噪方法經(jīng)常出現(xiàn)的邊界效應(yīng)，測(cè)區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒(méi)有畸變，信息損失較少，可以做局部異常特征分析及異常解釋及1∶5 萬(wàn)標(biāo)準(zhǔn)圖件。

圖5 某測(cè)區(qū)釷元素含量曲波變換第1 至第6 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 5 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 to 6 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

圖6 為1 至4 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬細(xì)節(jié)信息圖件類別，視覺(jué)效應(yīng)上去除了條帶，碎小斑塊較少?？梢杂脕?lái)做航空伽馬能譜異常分布規(guī)律及分類解釋，一方面信息足夠，另一方面可以不受特別碎小斑塊的影響。

圖6 某測(cè)區(qū)釷元素含量曲波處理第1 至第4 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 6 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 to 4 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

圖7 為1 至2 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬粗糙信息圖件類別，視覺(jué)效應(yīng)上去除了條帶，特征場(chǎng)信息特別清晰，可用來(lái)做區(qū)域場(chǎng)特征分析、遷移富集規(guī)律分析、補(bǔ)徑排特征分析、報(bào)告插圖等。

圖7 某測(cè)區(qū)釷元素含量曲波處理第1 和第2 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 7 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 and 2 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

綜上所述，所有處理結(jié)果均消除了沿測(cè)線方向不同尺度（315 度方向）的條帶，降低了隨機(jī)噪聲，沒(méi)有產(chǎn)生邊界效應(yīng)，測(cè)區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒(méi)有畸變，具有較好的效果。隨著所用尺度的增加，反應(yīng)的信息也越來(lái)越精細(xì)，不同尺度的閾值重構(gòu)圖在數(shù)據(jù)解釋方面可以發(fā)揮不同的作用。

3 結(jié) 論

綜上所述，曲波變換用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理具有如下優(yōu)勢(shì)：

1）利用曲波變換多尺度的特點(diǎn)，可以將航空伽馬能譜重構(gòu)為不同尺度的圖件，適用于不同的數(shù)據(jù)解釋。粗尺度圖件適用于區(qū)域場(chǎng)特征分析、遷移富集規(guī)律分析、補(bǔ)徑排特征分析等；細(xì)節(jié)尺度圖件適用于航空伽馬能譜異常分布規(guī)律及分類解釋；精細(xì)尺度圖件適用于局部異常特征分析及異常解釋。

2）利用曲波變換多尺度和多方向的特點(diǎn)，可以快捷方便地去除其他降噪方法非常難于去除的沿測(cè)線方向不同尺度的條帶，并且不降低分辨率，不損失局部異常信息。

3）在降低隨機(jī)噪聲時(shí)，不產(chǎn)生邊界效應(yīng)，測(cè)區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒(méi)有畸變。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：曲波變換用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理快捷方便、信息損失少、成果豐富，效果較好。