李彥蒼，徐培東

（河北工程大學(xué) 土木工程學(xué)院，河北 邯鄲 056038）

群居是一種常見的自然現(xiàn)象，在群居中，社會(huì)群體能夠適應(yīng)自然選擇原則，在物種內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)中生存下來。大雁向南遷移，魚成群結(jié)隊(duì)游蕩在水中搜索食物和蟻群在信息素濃度的幫助下選擇最短路徑，它們通過減少自身能量消耗增加集體利益，是長(zhǎng)期自然選擇的結(jié)果[1-4]。這些集群行為表現(xiàn)為群體的自組織、自適應(yīng)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作，能夠增強(qiáng)群體對(duì)環(huán)境的整體適應(yīng)性。群智能算法是一種模擬自然生物進(jìn)化或覓食行為的一種算法[5]。受動(dòng)物群體現(xiàn)象啟發(fā)，人們開發(fā)了許多優(yōu)化計(jì)算方法解決復(fù)雜問題。常見的群智能算法主要有粒子群優(yōu)化算法[6]、蟻群優(yōu)化算法[7]、人工魚群算法[8]、人工蜂群算法[9]。蝴蝶算法是O’Neil 等[10]模仿蝴蝶覓食行為提出的自然啟發(fā)式優(yōu)化算法；果蠅算法是Pan 等[11]基于果蠅覓食行為提出的全局優(yōu)化方法；花粉算法是Yang 等[12]模擬自然開花植物自授粉和異花授粉生物學(xué)特性提出的隨機(jī)全局優(yōu)化算法；雞群算法是Meng 等[13]通過模擬雞的等級(jí)和行為提出的優(yōu)化算法。鳥類、魚類、螞蟻和蜜蜂等，它們通過不斷適應(yīng)環(huán)境和相互合作，表現(xiàn)出強(qiáng)大的群體智能，給人類提供許多解決復(fù)雜問題的新思路，提高處理優(yōu)化問題的能力，有效推動(dòng)計(jì)算智能的發(fā)展，但在計(jì)算精度方面仍需進(jìn)一步研究。

狼群算法（wolf pack algorithm，WPA）是吳勝虎[14]于2013 年提出的一種新的群智能算法。該算法在進(jìn)行優(yōu)化問題求解時(shí)，具有較好的尋優(yōu)性能，但算法也存在一些不足之處：收斂速度慢、收斂精度不高、魯棒性低等[15]。文獻(xiàn)[16]針對(duì)后期收斂速度慢的問題，引入交互式步行運(yùn)動(dòng)，提出具有領(lǐng)導(dǎo)策略的狼群搜索算法。文獻(xiàn)[17]為解決高維函數(shù)優(yōu)化問題，提出非人工狼群算法（uncultivated wolf pack algorithm，UWPA）。文獻(xiàn)[18]采用Tent 混沌序列來啟動(dòng)個(gè)體位置，提出結(jié)合粒子群的狼群優(yōu)化算法。文獻(xiàn)[19]引入差分進(jìn)化策略，提出基于差分進(jìn)化的改進(jìn)狼群算法（improved wolf pack algorithm，IWPA）。文獻(xiàn)[20]引入控制自適應(yīng)參數(shù)a和混沌思想，提出自適應(yīng)調(diào)整的混沌灰狼算法。文獻(xiàn)[21]提出改進(jìn)的灰狼算法，通過添加可調(diào)參數(shù)，提高算法魯棒性，同時(shí)對(duì)幾種結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，獲得更好解決方案。改進(jìn)后的算法在一定程度上提高了精確度和收斂精度。

研究在狼群算法的基礎(chǔ)上，對(duì)狼的游走行為提出了基于萊維飛行的搜索策略，對(duì)召喚、圍攻行為時(shí)的移動(dòng)步長(zhǎng)提出自適應(yīng)性改進(jìn)，使每匹狼每次移動(dòng)的步長(zhǎng)由該狼當(dāng)前位置和當(dāng)前頭狼位置決定。經(jīng)過測(cè)試，提出的自適應(yīng)步長(zhǎng)和萊維飛行策略的改進(jìn)狼群算法（levy flight and adaptive step size strategy improved wolf pack algorithm，LWPA），收斂速度加快，收斂精度提高，增強(qiáng)了算法的尋優(yōu)性能和魯棒性。最后，使用LWPA 對(duì)桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與其他算法進(jìn)行比較。

1 萊維飛行策略和自適應(yīng)步長(zhǎng)的狼群算法

1.1 智能行為和規(guī)則的描述

1.1.1 狼群的初始化

設(shè)狼群規(guī)模為N，搜索空間的維數(shù)為D，第i只人工狼的位置可表示為

式中：xmax和xmin分別是搜索空間的最大范圍和最小范圍；rand ∈(0,1)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

1.1.2 頭狼產(chǎn)生規(guī)則

在初始解空間中，目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)的人工狼被選為頭狼，每次迭代后更新人工狼的位置。此時(shí)如有多個(gè)最優(yōu)人工狼情況，則隨機(jī)選一個(gè)成為頭狼。頭狼不執(zhí)行以下智能行為，直接進(jìn)入迭代，直到被其他更強(qiáng)的人工狼替代。

1.1.3 基于萊維飛行的游走行為

除頭狼外選取最佳的S_sum 匹人工狼視為探狼，S_sum 隨機(jī)取之間的整數(shù)，α為探狼比例因子。在實(shí)際情況中發(fā)現(xiàn)，游走過程中探狼只會(huì)盲目跟隨頭狼并逼近頭狼位置的獵物氣息濃度，不會(huì)關(guān)心自己身邊是否有更優(yōu)獵物氣息濃度，在算法后期，導(dǎo)致種群?jiǎn)适Ф鄻有?，易陷入局部收斂，出現(xiàn)早熟收斂現(xiàn)象。針對(duì)這種缺陷，利用萊維飛行對(duì)群體中的探狼進(jìn)行全局搜索。萊維飛行屬于隨機(jī)游動(dòng)，是一種很好的搜索策略，能擴(kuò)大搜索范圍[22]。新一代的探狼i的計(jì)算公式如下

式中:xid(t)表示探狼i在t次迭代第d維的位置；⊕為點(diǎn)對(duì)點(diǎn)乘法；c為探狼i位置的隨機(jī)數(shù)，由式（4）決定，Levy(δ)代表隨機(jī)搜索路徑，由式（5）決定。

式中：δ的取值范圍一般為1 ＜δ＜3，δ取1.5，Xbest表示歷史最優(yōu)探狼位置，u和v服從式（6）所示的正態(tài)分布

σu和σv取值為

此時(shí)，探狼感知的獵物氣息濃度函數(shù)值為Yip，選擇最大的獵物氣息濃度函數(shù)值，若大于當(dāng)前函數(shù)值Yi，則向Yip的方向前進(jìn)一步，同時(shí)更新探狼狀態(tài)，重復(fù)以上游走行為，直到某匹探狼i的函數(shù)值Yi＞Ylead或游走次數(shù)達(dá)到最大游走次數(shù)T1max。

1.1.4 奔襲行為

在基本的狼群算法中，狼群位置變動(dòng)是由步長(zhǎng)step 決定的，對(duì)于每一個(gè)固定的D維空間，相應(yīng)的[dmin,dmax]是固定的，因而每一次迭代對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)step 是固定的。如果step 過大，會(huì)影響算法優(yōu)化的準(zhǔn)確度；如果step 過小，影響算法的收斂速度，當(dāng)達(dá)到最大迭代次數(shù)時(shí)，最優(yōu)解還未被找到。借鑒文獻(xiàn)[23]，狼i每一次移動(dòng)的步長(zhǎng)由該狼當(dāng)前位置和當(dāng)前頭狼位置決定，因此在奔襲和圍攻行為時(shí)采用自適應(yīng)步長(zhǎng)

式（8）中rand 表示[0,1］間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)狼離頭狼距離遠(yuǎn)時(shí)，以較大步長(zhǎng)逼近頭狼，加快收斂速度，避免不必要的搜索；當(dāng)離頭狼距離近時(shí)，以較小步長(zhǎng)逼近頭狼，提高搜索精細(xì)程度。

與以往狼群算法不同，隨機(jī)選取除頭狼外的全部狼群中M＿num 只猛狼參與召喚，而不僅是頭狼附近的人工狼。在猛狼奔襲過程中，當(dāng)某只猛狼感知到其所在位置獵物氣息濃度更高時(shí)，則替代頭狼，重新選取猛狼，進(jìn)行召喚，直到其所在位置的獵物氣息濃度低于頭狼位置氣息濃度。同時(shí)，召喚行為的步長(zhǎng)取式（8），猛狼根據(jù)式（9）更新當(dāng)前位置

式中：x*id表示更新后猛狼的位置；xid為當(dāng)前猛狼的位置；xleadd為頭狼的位置。

1.1.5 圍攻行為

同時(shí)，猛狼聯(lián)合探狼對(duì)獵物進(jìn)行圍捕。移動(dòng)步長(zhǎng)采用式（8），狼群圍攻行為由式（10）表示

式中：Gd為獵物在D維空間的位置，λ為區(qū)間[-1,1］均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

1.1.6 “強(qiáng)者生存”的狼群更新機(jī)制

獵物的分配遵循“由強(qiáng)到弱”的原則，即在算法中去除目標(biāo)函數(shù)值最差的R匹人工狼,同時(shí)隨機(jī)產(chǎn)生R匹人工狼，在實(shí)際捕獵過程中，每次捕獵的數(shù)量都是隨機(jī)的，這也導(dǎo)致不同數(shù)量的弱狼被淘汰?；诖耍氯n(2 ×β),n β]之間的隨機(jī)整數(shù)，β為更新比例因子。

1.2 改進(jìn)狼群算法描述

Step1 初始化狼群中人工狼的數(shù)目N和其所在位置Xi，最大迭代次數(shù)Kmax，探狼比例因子α，更新比例因子β，最大游走次數(shù)T1max，最大奔襲次數(shù)T2max。

Step2 根據(jù)頭狼產(chǎn)生規(guī)則確定頭狼。

Step3 探狼按照萊維飛行策略公式（3）～（7）執(zhí)行游走行為，直到某匹探狼i的函數(shù)值Yi＞Ylead或游走次數(shù)達(dá)到最大游走次數(shù)T1max，轉(zhuǎn)Step4。

Step4 猛狼執(zhí)行奔襲行為，并按照公式（9）向獵物奔襲。在奔襲過程中，若猛狼感知的獵物氣息濃度的函數(shù)值Yi＞Ylead，則令Yi=Ylead，該猛狼轉(zhuǎn)化為頭狼并發(fā)起召喚行為；若Yi＜Ylead，則繼續(xù)奔襲直到某匹猛狼的函數(shù)值小于頭狼函數(shù)值或奔襲達(dá)到最大奔襲次數(shù)T2max，轉(zhuǎn)Step5。

Step5 按照公式(10)，更新參與圍攻的人工狼位置，進(jìn)行圍攻。

Step6 執(zhí)行狼群的更新機(jī)制。

Step7 判斷算法是否滿足優(yōu)化精度要求或最大迭代次數(shù)Kmax，若滿足要求，輸出頭狼位置，即所求問題的最優(yōu)解，否則轉(zhuǎn)Step2。

圖1 LWPA 算法的基本流程圖Fig. 1 LWPA algorithm iteration diagram

2 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

2.1 基本測(cè)試函數(shù)與參數(shù)設(shè)置

表1 中的“U”表示函數(shù)為單模態(tài)函數(shù)，“M”為多模態(tài)函數(shù)，“S”為可分離函數(shù)，“N”為不可分離函數(shù)。多模態(tài)函數(shù)比單模態(tài)函數(shù)復(fù)雜，一般算法難以找到具有多個(gè)局部極值的全局最優(yōu)值，容易陷入局部極值或局部極值之間的振蕩[24]。因此，多模態(tài)常被用來測(cè)試算法的全局搜索性和避免早熟收斂能力[25-26]。由于不可分函數(shù)變量之間的關(guān)系較復(fù)雜，很難找到不可分函數(shù)的全局最優(yōu)值[27-28]。WPA、UWPA 以及IWPA 算法所涉及到的參數(shù)分別參考文獻(xiàn)[14-19］進(jìn)行設(shè)置。N取50，Kmax取1 000，β取4，α取4，T1max（T2max）取10。

表1 用于測(cè)試算法性能的15 個(gè)函數(shù)Table 1 15 functions for testing algorithm performance

2.2 算法對(duì)比驗(yàn)證

為充分計(jì)算算法的性能，使用LWPA、UWPA、WPA 以及IWPA 分別對(duì)15 個(gè)復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行了100 次連續(xù)優(yōu)化計(jì)算[29]?；诒? 的6 種指標(biāo)對(duì)該算法進(jìn)行評(píng)估。當(dāng)不同的計(jì)算結(jié)果與最優(yōu)值之間的誤差超過e-3，被認(rèn)為是一種失敗。結(jié)果見表2。

表2 4 種算法在15 個(gè)測(cè)試函數(shù)中的結(jié)果比較Table 2 Comparison of results of four algorithms in 15 test functions

2.3 LWPA 主要參數(shù)分析

LWPA 雖然具有一定優(yōu)越性，但所涉及的參數(shù)也眾多，主要參數(shù)對(duì)算法性能的影響也不盡相同。T1max/T2max分別是狼群在游走/奔襲過程中的最大次數(shù)，β是狼群的更新比例系數(shù)。根據(jù)15 個(gè)函數(shù)的特性將其分成7 大類，分別改變Tmax和β的大小對(duì)這7 種函數(shù)進(jìn)行50 次尋優(yōu)計(jì)算，Tmax和β對(duì)算法性能的影響如表3、4 所示。

表3 Tmax 對(duì)算法的影響Table 3 Effect of Tmaxon the algorithm

2.4 LWPA 收斂性分析

Markov 鏈?zhǔn)且环N無后效性的隨機(jī)過程，常被應(yīng)用于分析收斂性問題。由于LWPA 是基于游走、召喚和圍攻3 種智能行為的不斷重復(fù)，每種行為都與當(dāng)前的群體狀態(tài)有關(guān)，而與之前無關(guān)，因此LWPA 的種群序列為Markov 鏈。設(shè)Qk={X1,X2,…,XN}為L(zhǎng)WPA 的第k代種群，其中N為人工狼總數(shù)，Xi為第i匹人工狼的狀態(tài)。

定理1 文獻(xiàn)[30]已經(jīng)證明若一個(gè)進(jìn)化算法滿足：1）對(duì)可行解空間中任意2 點(diǎn)x1和x2，x2是x1由算法中的各種算子產(chǎn)生且是可達(dá)的；2）若種群序列Q1,Q2,…,QN是單調(diào)的，則此進(jìn)化算法是以概率1 收斂于問題的全局最優(yōu)解。

定理2 LWPA 算法以概率1 收斂于問題的全局最優(yōu)解。

證明：由文獻(xiàn)[14]的推理可知LWPA 種群序列的Markov 鏈也是遍歷鏈，且LWPA 優(yōu)化序列是一個(gè)有限齊次Markov 鏈，每次迭代狼群個(gè)體位置狀態(tài)只有遇到更優(yōu)解時(shí)才會(huì)更新。因此，LWPA 產(chǎn)生的子代Qk+1中的任意解都不差于Qk中的任意解。由此可知種群序列Q1,Q2,…,QN是單調(diào)的，于是由定理1 得證，LWPA 以概率1 收斂于問題的全局最優(yōu)解。

2.5 結(jié)果分析

由表2 各種算法的對(duì)比結(jié)果可知:

1）對(duì)于單峰、低維的不可分函數(shù)Eason、Matyas, LWPA 與UWPA 都尋優(yōu)成功且具有較好性能，接近于最優(yōu)值，就耗時(shí)而言，UWPA 的消耗時(shí)間是LWPA 的2 倍，IWPA 和WPA 的精度較差。

2）對(duì)于多峰、低維的可分函數(shù)Booth、Bohachevs1、Eggcrate，LWPA 的收斂精度明顯高于其他3 種算法，達(dá)到1e-6 以上，耗時(shí)方面，LWPA 和UWPA 的耗時(shí)最短，IWPA 次之，WPA 耗時(shí)最長(zhǎng)；

3）對(duì)于多峰、低維的不可分函數(shù)Schaffer、Six Hump Camel Back、Bohachevs3、Bridge，WPA 與IWPA 由于陷入局部最優(yōu)而導(dǎo)致尋優(yōu)失敗，LWPA 與UWPA 尋優(yōu)成功且LWPA 具有更好的尋優(yōu)性能，同時(shí)，LWPA 的耗時(shí)最短，明顯少于其他3 種算法；

4）對(duì)于單峰、高維的不可分函數(shù)Trid6，LWPA 與UWPA 尋優(yōu)成功且性能較好。耗時(shí)方面，除WPA 耗時(shí)較長(zhǎng)外，其他3 種算法耗時(shí)相當(dāng)；

5）對(duì)于單峰、高維的可分函數(shù)Sumsquares、Sphere，LWPA 與UWPA 尋優(yōu)成功，LWPA 的尋優(yōu)精度明顯優(yōu)于其他3 種算法，達(dá)到1e-7 以上，但在耗時(shí)方面，UWPA 略優(yōu)于LWPA；

6）對(duì)于多峰、高維的可分函數(shù)Rastrigin、Quadric，隨著維數(shù)的遞增，只有LWPA 尋優(yōu)成功且精度較高，LWPA 與UWPA 的耗時(shí)都較短；

7）對(duì)于多峰、高維的不可分函數(shù)Ackley，只有LWPA 尋優(yōu)成功，耗時(shí)也最短。

就時(shí)間復(fù)雜度而言，由于探狼在游走過程中，探狼采取萊維飛行的隨機(jī)搜索策略，擴(kuò)大搜索范圍，增加了運(yùn)行時(shí)間。但在對(duì)召喚、圍攻行為的移動(dòng)步長(zhǎng)進(jìn)行自適應(yīng)性改進(jìn)，當(dāng)狼群離頭狼較遠(yuǎn)時(shí)，以較大步長(zhǎng)逼近頭狼；當(dāng)離頭狼距離較近時(shí)，以較小步長(zhǎng)逼近頭狼，實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)性的靈活調(diào)節(jié)，使算法更具靈活性，極大縮短運(yùn)行時(shí)間，搜索效率進(jìn)一步提高。

綜上可知，無論是從精度方面還是耗時(shí)方面，基于自適應(yīng)步長(zhǎng)和萊維飛行策略的改進(jìn)狼群算法在處理函數(shù)問題時(shí)比其他改進(jìn)的狼群算法更精確、效果更好，尤其是對(duì)多峰、高維的復(fù)雜函數(shù)，效果更佳。UWPA 的效果次之，IWPA 和WPA 較差。由表3 可知，隨著Tmax增大，標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)。若Tmax值太小，會(huì)導(dǎo)致狼群搜索效率降低，耗時(shí)較長(zhǎng)，找不到最優(yōu)解；若Tmax值太大，以至于忽略最優(yōu)解，達(dá)不到所需精度。綜上，算法中Tmax取10。由表4 可知，隨著β增大，標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)先減小后增大趨勢(shì)。若β太小，狼群更新數(shù)量太多，狼群難以聚集，導(dǎo)致算法優(yōu)化效果降低；但若β太大時(shí)，狼群更新的數(shù)量太少，導(dǎo)致狼群多樣性的急劇下降，并且容易陷入局部最優(yōu)。綜上，算法中β取4。

表4 β 對(duì)算法的影響Table 4 Effect of β on the algorithm

為進(jìn)一步直觀說明LWPA 的優(yōu)越性，圖2 給出了LWPA 與 UWPA、IWPA、WPA 在各測(cè)試函數(shù)中的收斂曲線圖。從圖中看出，對(duì)于單峰、低維的不可分復(fù)雜函數(shù)，當(dāng)算法迭代到300 次時(shí)，LWPA 已經(jīng)找到最優(yōu)值且趨于穩(wěn)定，而其他3 種算法迭代到400 次時(shí)雖也趨于穩(wěn)定，但精度較差；對(duì)于簡(jiǎn)單的低維函數(shù)，UWPA 在前期搜索中效果最好，但隨著后期搜索效率不高，導(dǎo)致耗時(shí)長(zhǎng)且易陷入局部最優(yōu)；對(duì)于復(fù)雜函數(shù)，LWPA 的收斂精度明顯高于其他3 種算法，當(dāng)維數(shù)增加到30 維、60 維、120 維，甚至200 維時(shí)，UWPA、IWPA、WPA 3 種算法尋優(yōu)效果明顯較差，出現(xiàn)前期搜索時(shí)間較長(zhǎng)，后期陷入局部最優(yōu)的情況。因此，針對(duì)算法在后期容易陷入局部最優(yōu)問題，LWPA 已經(jīng)有很好改進(jìn)。比較可知，與其他3 種改進(jìn)狼群算法相比，在收斂速度還是收斂精度方面，LWPA 的優(yōu)化性能都有明顯提升，說明改進(jìn)方向的正確性。

圖2 15 個(gè)測(cè)試函數(shù)的收斂曲線圖Fig. 2 Convergence curves of 15 test functions

3 LWPA 對(duì)桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化實(shí)例

3.1 桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型

1）優(yōu)化模型

以截面積為設(shè)計(jì)變量的桁架優(yōu)化模型問題可描述為

式中：gi(x)為約束函數(shù)；p為約束個(gè)數(shù)。

2）目標(biāo)函數(shù)

式中：W(A)為結(jié)構(gòu)的重量；Ai為第i根桿件的截面積；Li為第i根桿件的長(zhǎng)度；γ為材料密度；n為設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)。

3）約束條件

各桿必須滿足對(duì)強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性和截面尺寸要求，約束條件如下

式中：σi為第i桿的軸向正應(yīng)力；[σ]為材料的許用應(yīng)力；μj為節(jié)點(diǎn)j的位移；μmax為節(jié)點(diǎn)j的許用位移；Amin、Amax分別為桿件截面的上限、下限。

3.2 算例1

10 桿平面桁架結(jié)構(gòu)見圖3，此桁架有6 個(gè)節(jié)點(diǎn)，10 個(gè)設(shè)計(jì)變量，如表5 所示。優(yōu)化目標(biāo)是獲得最小的結(jié)構(gòu)總重量。E=68 950 Mpa，ρ=2 768 kg/m3，全部桿件的許用應(yīng)力為±172.4 MPa，各桿件截面積的下限為0.645 cm2，上限為258 cm2，工況只有一個(gè)，在5、6 號(hào)節(jié)點(diǎn)作用向下載荷P=4.445 KN 的集中力，可動(dòng)節(jié)點(diǎn)向下的位移約束均5.08 cm，圖中l(wèi)=914.4 cm。

圖3 10 桿平面桁架結(jié)構(gòu)圖Fig. 3 Plane truss structure diagram of 10-bar

3.3 算例2

25 桿空間桁架結(jié)構(gòu)如圖4 所示，該結(jié)構(gòu)有10 個(gè)節(jié)點(diǎn)，25 根桿件。應(yīng)力約束為[-275.8,275.8］Mpa，材料的密度ρ=2 768 kg/m3，彈性模量E=68 950 Mpa，1、2 節(jié)點(diǎn)的最大豎向位移不能超過dmax=0.889 cm，L=63.5 cm。根據(jù)對(duì)稱性，將25 根桿件分成8 組，即設(shè)計(jì)變量為8 個(gè)，如表6-7 所示。

表6 25 桿空間桁架工況荷載Table 6 Load cases of the 25-bar spatial truss structure

圖4 25 桿空間桁架結(jié)構(gòu)圖Fig. 4 The 25-bar spatial truss structure

3.4 算法迭代曲線對(duì)比

算例1 為無約束優(yōu)化問題，算例2 為含約束優(yōu)化問題，通過以上2 種經(jīng)典算例模型進(jìn)行優(yōu)化對(duì)比，由表5和表7 的優(yōu)化結(jié)果可知改進(jìn)后算法LWPA 在優(yōu)化程度和精度方面表現(xiàn)更加良好，達(dá)到減輕重量目的；通過圖5 的4 種算法迭代曲線，在初始條件相同情況下， LWPA 算法相較于其它算法在迭代初期的迭代速度更快、全局搜索能力更強(qiáng)，以較快迭代速度尋找質(zhì)量較好的全局最優(yōu)解，在尋優(yōu)迭代過程中算法表現(xiàn)穩(wěn)定，驗(yàn)證了LWPA 有較高收斂速度和精度，具有其獨(dú)特優(yōu)越性。

表7 25 桿空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of optimal results for the 25-bar spatial truss structure

圖5 2 個(gè)算例的尋優(yōu)迭代曲線示意圖Fig. 5 The optimization iteration curve of two examples

4 結(jié) 論

筆者在基本狼群算法上引入自適應(yīng)性步長(zhǎng)和萊維飛行搜索策略，避免探狼游走過于盲目，使算法能夠在搜索后期擴(kuò)大搜索范圍，避免陷入局部收斂，在提高收斂精度的同時(shí)能較好提高收斂速度，達(dá)到改進(jìn)目的。通過仿真實(shí)驗(yàn)和方法對(duì)比，驗(yàn)證了改進(jìn)狼群算法的可行性、有效性，并將其運(yùn)用于桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化中，優(yōu)化結(jié)果表明改進(jìn)后的狼群算法達(dá)到了預(yù)期重量最輕的目的。該方法可用于求解組合優(yōu)化問題。雖然對(duì)算法的改進(jìn)有一定成效，但實(shí)際工程中的問題復(fù)雜多變，今后的研究重點(diǎn)是如何將改進(jìn)的狼群算法解決更加復(fù)雜的工程優(yōu)化問題。